CC BY
5
УДК 656.61.052[681.3]
DOI 10.52375/20728689_2022_2_200
КВАДРАТИЧЕСКАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ПОГРЕШНОСТИ ПРИ ДИСКРЕТНОМ ПРОЦЕССЕ УПРАВЛЕНИЯ В ЦИФРОВОЙ АВТОМАТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ
Судового вычислителя, при движении судна на курсе
Попов А.н., к.д.п., к.т.н., доцент кафедры «Судовождение», ФГБОУВО «Государственный морской университет имени адмирала Ф.Ф.
Ушакова»
Брыляков А.В., аспирант кафедры «Судовождение», ФГБОУ ВО «Государственный морской университет имени адмирала Ф.Ф. Ушакова»
Анализируется погрешность, возникающая при реализации закона управления в судовом вычислителе в переходном и установившемся режиме работы системы автоматического регулирования. Исследуются случайные и детерминированные входные управляющие воздействия, для которых погрешность оценивается с помощью дисперсии ошибки и ее огибающей, и суммарного интегрального, квадратических значений, в виде расчетных формул.
Ключевые слова: анализ, погрешность, детерминированность, дискретность, интегральный, дисперсия, контур, огибающая, квантование, ядро, управление, белый шум, статистический, изображение.
quadratic error characteristic in the discrete control process in the digital automatic system of the ship’s computer
popov A., Master Mariner, Ph.D., associate professor of the Navigation chair, FSBEI HE <«Admiral Ushakov Maritime University» Bryliakov A., the post-graduate student, FSBEI HE <«Admiral Ushakov Maritime University»
The error arising during the implementation of the control law in the ship’s computer in the transient and steady-state operation of the automatic control system is analyzed. Random and deterministic input control actions are investigated, for which the error is estimated using the variance of the error and its envelope, and the total integral, quadratic values, in the form of calculation formulas.
Keywords: analysis; error; determinism; discreteness; integral; variance; contour; envelope; quantization; kernel; control; white noise; statistical; image.
Введение. В современных комплексах интегрированного ходового мостика судна применяется цифровая вычислительная машина, как автоматическая система для реализации закона управления, заданного в непрерывной форме, при этом возникает погрешность, обусловленная дискретностью процесса управления. Возникновение погрешности вызывается потерей информации в результате квантования входного сигнала по времени , использования численных методов реализации закона управления на вычислителе, не идеальностью процесса восстановления выходных сигналов вырабатываемых в информационной машине и эффектом квантования информации по уровням в преобразователях и самом вычислителе. Важно обоснованно выбирать машину, как ядро систем интегрированного ходового мостика обусловленной дискретностью процесса управления, при случайных детерминированных воздействиях в переходном и установившемся режимах работы системы.
Постановка задачи. Пусть задан объект управления с передаточной функцией W (s ) и синтезирован закон управления D (s ) отвечающий требованиям, предъявляемым к процессу функционирования данной системы. В качестве управляющего устройства в системе применим цифровую ЭВМ, реализующую, на основе принятого численного метода, заданный закон управления с помощью передаточной
ф D* (z) й й ф й D0 (s)m
функции , с принятым типом восстанавливающего устройства с передаточной функцией 0 . [1]
Тогда, передаточная функция приведенной непрерывной части, будет:
W’(ζ,γ )= Z {W (s)W (s)}, пр> (0 <γ < 1)
Z
где:
V
оператор z -преобразования с запаздыванием,
параметр запаздывания, при условии
(0 < γ < 1)
Погрешность ° формируется, поскольку это обусловлено дискретностью процесса управления и равной разности выходных перемен-
ных непрерывной и дискретной систем
{уМд)
при одном и том же входном воздействии ^ , могут трактоваться как белый шум:
[”Т] = Х,А [пТ\,Хм = К] - ζΛ К];*м =
12 2
и _ квадрат параметров квантования по уровню в преобразователе и вычислителе,
т
- шаг квантования по времени,
M, N D' (z )
- порядки числителя и знаменателя передаточной функции
{M + N)qi 12
Bfz ) -δ o [nT ]
, выраженной относительно
знаменатель этой функции, вида
обобщенная дельта-функция, равная 1, при П — 0 , и 0 при П ^ 0
Выходные переменные непрерывной и дискретной систем в момент времени
t = (n + γ )T
определяются уравнениями:
(1)
ζ
где
Уд [("+у)т]=[(л+у-т)Т] {* [тТ]+επ lmT]}+Σ 9\in+у-m)тУм [mT]
m=0
h (t) g (t)
и - I
(3)
импульсные переходные функции непрерывной и дискретной систем,
H (s) = D (s)W(s) и G'(z, γ ) = D· (z)W* (z,γ )
a(t)
■ изображения ,
Рис. 1. Принципиальная схема замкнутой системы, с определением воздействий
Уравнения (2-3) относятся к случаю определения ошибки для разомкнутой системы. Поскольку замкнутая система может быть приведена к эквивалентно разомкнутой, ограничимся исследованием замкнутой.
В отношении входного воздействия Х (), предположим , что является стационарной случайной функцией с математическим ожиданием, равным нулю, или детерминированной функцией.
Примем, что заданы характеристики входной переменной, как ее корреляционная функция Kx (τ) , или сама переменная, при ее регулярности. [2]
Исследуем получение расчетных формул, позволяющих определить на основе указанных параметров данные квадратические характеристики погрешности:
(4)
ε[(η + У)Т] = ун[{п + у)т]-уд[(п + у)Т]
соответствует в переходном и установившемся режимах работы системы автоматического регулирования.
Определение дисперсии погрешности. Статистической характеристикой ошибки (4), является дисперсия:
Я[("+х)7']=м{£![(И + г)Г]} = Д,[(11+/)7-]-20,а[(« + у)Г]+0„[(Я+/)Г](<)
где:
п п
D.ı[{n + y)T] = llY,s[{^ + r-m)T]g[{n + y-mi)T]x{Kx[(m-m])T] + Kn[(m-m])T]] +
m—О Ш| =0
n n
+ΣΣ ^ [(n + Y - m)T]Φ [(n + γ - mx )T] K [(m - mx )T ]
m=0 ml=0
(n+/)T
(6)
°нд[{" + г)г]= I Ь[(п + У)Т-т]^а[(п + У-т{)Т]Кх[
O "h =0
г - m
(n+y)T(n+r)T
D„[(я+г)Г]- \ S +г)
T-T,
T]
o o
, (8)
Выражения (6) и (8) определяют дисперсии выходных переменных дискретной и непрерывной систем, а выражение (7) корреляционный
момент выходных переменных этих систем. Поскольку шум квантования можно считать не коррелированным с входным сигналом , то в
χ(ί) ε„(ή ε,Λί)
выражении (7) взаимные корреляционные функции процессов , 4 / и 4 приняты равными нулю. [3]
Д[(и+у)Г]
Находим изображение каждой из составляющих дисперсии (5) , на основании приведенных формул.
Ό„\(η+γ)Τ1
Тогда, изображение дисперсии *- -1, определяется формулой:
2А°д[(п + г)т]}=Дд{^г) = —
(9)
. F, (z),F-(z),F; (г). г . К, [,Т].К„ [νΓ];ν* 0
где:
Γ,, Γ2 eaT, eaaT; a > c a2 > c2
1 2 - контуры радиусов 1 1, 2 2,
c, c
- показатели роста функций
g(t ),û (t)
Модифицируем и вводим обозначения:
g*(z,y)= , v-(z,γ)=Α(ζ)=^
0)
КО) *w ’(ζ)
(10)
G'(z, γ ) F'(ζ,γ )
Положим, без потери мощности, что функции 4 7 и 4 у , имеют только простые полюсы. Обозначим их соответствен-
рі(і = \,2,...,кд) Pj(j = l,2,,kb) Г,
но через 4 7 и ^ . Вычислим контурные интервалы в выражении (9). Контур , охватывает
* G>.v) В
лишь полюсы функции , а - полюсы функции
остальных функций лежат вне этих контуров.
Основываясь на теории вычетов и выражения (1), примем:
V*(w,Y ) б w = 0 П
, оба контура охватывают полюсы в точке . Полюсы
К И - К„ (0) - χη FM (ζ)= Км (0)= χm
Тогда с учетом (9-10) находим:
f;(®)=K (о)
в формуле учтено, ЧТО ' · [4]
Исследуем и находим, что изображение
+1mV *(0, Y )V *(<», γ)
Д'нд (*»Г) _................ °ид [(п + г)т]
, корреляционного момента
(11)
определяется формулой:
i
xF* (zw~l, δ )άδ ]wrldw + j I wH* (w,γ - δ )Т (zw~\γ )ҒХ* (zw_1,1 - δ )d5 +1H* (w,1 + γ - δ )x
Γ 0
xG
(zw-\γ)Τ) (zwT1-δ )^δ ] w_1 ^}+ 2π 1)11h[(γ -δ )T]:
xjG* (w2,y )FX (ζ^_1,δ ')w ldwdb }
Γ,
3 ^ > Сз
где: - контур радиуса ,
c3 h (t)
- показатель роста функции .
γ = 0
Исследуем вариацию, при * , тогда формула модифицируется упрощением
γ
i
+* (w,δ )G (zw- )f; (zw~l$ ^Η>~ιάδ dw}
Γ3 0
Вычислив контурные интегралы в выражениях (12-13). Находим расчетные формулы для определения изображений Приведем и исследуем для выражения (13), обозначим и выразим:
/ \ QH б) */ \ Qh(z, Y) / ч L (s) „ , ч L*(z>y)
H(s>=ШH γ)=w·F(s)=мщ■F (s)=Μγ
тогда из (14) находим
(13)
ДндЫ)
(14)
(15)
qi (i = 1,2,3,..., kH ) H * (z, γ ) δ
где: 1 H - полюсы функции , с осреднением по .
Используя выражение (8) можно определить z - изображение дисперсии непрерывной системы (), при ^ ( + Y )Т .
Исследуем изменение дисперсии во времени при стационарном входном воздействии , определяемую формулой :
/ г
Dn (г) = 2J/?(г)|/7(г- г, )КХ (г, )drxdt
Для определения изображения (), примем теорему преобразования Лапласа об изображении произведения оригиналов.
Приняв теорему об изображении интеграла, из (16) находим:
[5]
(16)
(17)
Для нахождения интеграла (17) с помощью вычетов, дополним линию интегрирования слева дугой окружности бесконечного радиуса, на
Н (р )
Обозначив
которой значение под интегральной функции бесконечно мало. Получившийся контур охватывает лишь полюсы функции
α. (i = 1,2,3,..., kH )
полюсы данной функции через , при , и воспользовавшись обозначениями из (14) и выражения (17) находим:
(18)
Исследовав формулы , определяющие изображение составляющих дисперсии ошибки, возможно пользуясь обратными преобразованиями найти саму дисперсию ошибки (5):
D. [(»+r)r]= Z-; [Д], (z,r)}-2 z;'{д;ш +L-' {д„ (*)}L
=(n+r)7· ,
(19)
А . L
где: Y и L - операторы соответственно обратного z - преобразования с запаздыванием и обратного преобразования Лапласа. [4,5]
Определяем формулу для нахождения дисперсии ошибки в установившемся режиме:
D, [γT]= Hm D, [(и + γ )T]
Предполагая, что передаточные функции H (s ), G ‘(z, γ ),V *(z, γ )
, имеют полюсы , расположенные соответственно в s 7
левой полуплоскости переменной и внутри круга единичного радиуса плоскости переменной , тогда обе системы: непрерывная и дискретная - устойчивы. [6]
На основании теорем о конечном значении z - преобразования и преобразования Лапласа, находим что составляющие дисперсии
d, [(«+γ )т]
’ n
при , определяются соотношениями:
°л[УТ] = Ь™°д[{" + У)ТУ\}™{2-\)Д'д{2’Г)
°нд [УТ] = 1™ ■°чд [("+ У)Г] = Çm (z -1) Д'нд (z’У )
D„ [γΤ ] = Jim D„ \_(п+Г)Ґ] = Km(r-l)Z, (і)
Применив формулы для изображений составляющих дисперсии ошибки (11), (15) и (18) получаем выражение для дисперсии ошибки
D [γ t ]
(5) в установившемся режиме
Расчетная формула получится из указанных выражений после умножения их соответственно на
(z = !) (s = 0)
равенств и .
Применив выражения для дисперсии , находим дисперсию огибающей ошибки:
1
(z _ı) )
, с использованием
D, = fD, [γ T Yi
(t)
Определение квадратической погрешности. Пусть, предположим, что воздействие - регулярно.
П εп()= εΜ ()= О Д й
Примем, что v х х . Для оценки погрешности найдем ее суммарное квадратическое значение:
П п -у
Λ [("+ У)т] = Σε2 [im + г)т] = Σ {уИ [(■m + г)т]-Уд [(■m + у)Τ’]}'
m= О О
Изображение ошибки и ее суммарного квадратического значения определяются формулами:
E\z,y) = Zv{yH\(n+y)T']-yJl\(ri+Y)T'§=-G' (ζ,γ)Χ' {z)+Zv{H(s)X(s)}
К (zγ )= Zv {ε \_(n + γ )T]}= 2π .zz _ 1)[fE* (w,γ E* (zw-\γ)w-ldw
e 4 a > c
4 4 4
где: - контур радиуса ,
c ф ε ()
- показатель роста функции .
E * (z, γ )
Для простых полюсов функции , использовав обозначение :
E '(z, γ )= AE (z, γ ) / B'E (z )
!',(■ γ )=-LT
z _ i
Σ ae (Pi ’ γ)ae (zPi ’ γ) _i ^ ,n )r,* ( л
Σ B( )B ( -i) pi +E (i)E iύ)
i =i BE (Pi )BE (ZP, )
(20)
(21)
(22)
(23)
(24)
p_ (i = 1,2,..., к) E * (z, γ ) Be (p) [ Be (z)] μ=
где: - полюсы ; ,
J [γ t ]
С учетом этого соотношения и формулы (23) находим . [7]
Погрешность, вызванная эффектом квантования информации в преобразователе и ограниченностью разрядной сетки судового вычис
лителя , определяются дисперсией , изображение которой следует из формулы (11) при . Тогда, интегральная квадратическая ошибка, находится, как:
1
X
(t)= 0 L-(zp_')= K, (0)= 0
Χ ' ΤΛ РОТІ, ^ '
Jε = T f J, [γ T ]Ц
Заключение. Таким образом, полученные алгоритмы позволяют определить дисперсию погрешности и ее огибающей при случайных воздействиях , суммарную и интегральную квадратические ошибки при детерминированных воздействиях, в чем использованы для уточнения параметрических характеристик погрешности.
находим
Литература:
1. Долматов Б.М., Попов В.В. Информатика. Компьютерный практикум. - Новороссийск: МГА им. адм. Ф.Ф.Ушакова, 2010. - 86 с.
2. Демьянов В.В., Попов В.В. Научное осмысление опыта создания информационной сети ГМССБ на юге России. //Новороссийская государственная академия. Ростов-на -Дону, Российская академия транспорта/Новороссийск, 1999. - 639 с.
3. Скляревич А.Н. Операторские методы в статистической динамике автоматических систем. - М.: Наука, 2005. - 457 с.
4. Косякин А.А. Статистический анализ цифровых автоматических систем/ Многосвязные и инвариативные системы. Нелинейные и дискретные системы. - М.: Наука, 2008. - 439 с.
5. . Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972.- 496 с.
6. Стренг Г. Линейная алгебра и ее применение М.: Мир, 2009. - 456 с.
7. Демьянов В.В., Лицкевич А.П., Попов В.В. Проблемы обеспечения качества больших морских информационных систем связи. -Новороссийск: НГМА, 1997. - 210 с.
