Кручение призматических стержней, составленных из различных материалов Текст научной статьи по специальности «Физика»

Том ХЫУ

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

2013

№ 6

УДК 533.6.013.42

КРУЧЕНИЕ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ, СОСТАВЛЕННЫХ ИЗ РАЗЛИЧНЫХ МАТЕРИАЛОВ

Л. Л. ТЕПЕРИН, ЧАН ВАН ХЫНГ

В работе изложен оригинальный метод решения задачи Сен-Венана о кручении призматических стержней с использованием гидродинамической аналогии. Определяется жесткость на кручение стержней, составленных из различных материалов. Решение сводится к определению интенсивности источников и диполей, распределенных на внешнем контуре стержня и по границам, разделяющим материалы. Результаты численной реализации метода демонстрируются на примерах.

Ключевые слова: теория упругости, кручение призматических стержней, гидродинамическая аналогия.

Задача определения жесткости на кручение призматических стержней встречается в некоторых разделах машиностроения, например, при определении жесткости на кручение валов сложного поперечного сечения. В авиационной отрасли эта задача возникает при проектировании упругоподобных моделей летательных аппаратов для исследований в аэродинамических трубах [1 — 3].

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Следуя работе [4], рассмотрим постоянное по длине поперечное сечение составного стержня, образованное из -/V областей /)2, /)ъ ..., /)л-, соответствующих материалам с различными модулями сдвига (т2, ..., (7Л- (рис. 1). Обозначим через Ь0 внешний контур области /)0 всего поперечного сечения стержня, через Ц — контур области и через Ц — линию раздела смежных областей Д и .

В дальнейшем будем полагать, что линия раздела Ц смежных областей либо целиком лежит внутри поперечного сечения стержня Б0, либо пересекается с его контуром Ь0 под углом, отличным от нуля.

Поместим начало прямоугольной системы координат х, у, z в некоторой точке концевого сечения, направив ось z параллельно оси стержня. Рассмотрим напряженное состояние данного стержня при действии двух крутящих моментов М, приложенных к его торцам, вектор которых параллелен оси стержня. Введем компоненты напряжений и деформаций в области Д :

с

() сО)

), 4),

(/ = 1,2

ТЕПЕРИН Леонид Леонидович

кандидат технических наук, начальник отдела ЦАГИ

ЧАН ВАН ХЫНГ

студент ФАЛТ МФТИ

Рис. 1. Поперечное сечение призматического стержня, составленного из разных материалов

Положим далее, как и при кручении однородных стержней, что все компоненты напряже-

ния, за исключением ти и

и $ (I = 1, 2, ...,К),

равны нулю:

ст(0=ст(0=ст(;)=т(0=0, (/ = 1, 2, ..., Л').

(1)

Тогда уравнения равновесия запишутся так:

ат(г) с5т(г) ат(г) 5т(г) & & дх ду

(2)

а уравнения совместности, выраженные в компонентах напряжений, примут вид:

дх ду

= 2Щ, (1 = 1,2, Щ,

(3)

где 0 — угол закручивания на единицу длины стержня; 01 — модуль сдвига материала в области О] сечения стержня.

Из первых двух уравнений равновесия (2) следует, что компоненты напряжения т^} и тУ)

зависят только от х и у, т. е. они одинаковы во всех поперечных сечениях стержня.

Чтобы удовлетворить третьему из уравнений равновесия (2), введем функцию напряжений и (х, у) с помощью следующих соотношений:

т х)=едЫхА

ду

т(') оди (х,у)

Т у2 ~ 0

дх

(/ = 1, 2,...,Щ,

(4)

где и] (х, у) представляет функцию напряжений и (х, у) в области . Подставив выражения касательных напряжений т^} и тУ) из (4) в уравнения совместности (3), получим дифференци-

альные уравнения, которым должны удовлетворять функции напряжений и, (х, у) в каждой области Д :

1

Щ = -2О,, (5)

д 2 д 2

где А = —г- +--- — оператор Лапласа.

дх2 дУ2

Условие, что боковая поверхность свободна от воздействия внешних сил, записывается в виде:

ди dy ди dx --- +--= 0 на Ьо

ду ds дх ds

или

и (х, у ) = Со на Ьо, (6)

где с0 — некоторая константа, подлежащая определению в дальнейшем.

Из условия равновесия бесконечно малого элемента, находящегося в окрестности линии раздела Ь, смежных областей Д1 и Дj, имеем:

ди1 диj т

—- = —- на Ьу

дs дs 1

или

и = и, + Су на Ь, (7)

где Су — некоторая константа, подлежащая определению в дальнейшем.

Из условия непрерывности перемещений вдоль границ раздела материалов [2] получаем соотношение для нормальных производных функции напряжений и (х, у):

1 ди 1 ди,

---^ = ---у на Ь,,. (8)

О1 дп О, дп

Покажем теперь, что произвольные константы Со и с, можно принять равными нулю. Если функция и(х, у) удовлетворяет уравнению (5) и условиям (6) — (8), то функция и(х, у) + Со будет также удовлетворять этим условиям для любой константы Со. Кроме того, как видно из соотношения (4), значение этой константы не влияет на закон распределения напряжений в поперечных сечениях стержня. Поэтому она может быть принята равной нулю, и условие (6) теперь имеет следующий вид:

и(х, у) = о на Ьо. (9)

Подобные рассуждения можно провести и для констант с, . Поэтому во всех случаях на линиях раздела Ь, справедливы условия:

и, = и, на Ьу, (10)

т. е. и(х, у) во всей области поперечного сечения составного стержня есть непрерывная функция.

Таким образом, задача о кручении призматического стержня, составленного из различных материалов, сводится к определению непрерывной в области поперечного сечения стержня функции напряжений и(х, у), удовлетворяющей в соответствующих областях О, дифференциальному уравнению (5), граничным условиям (6) и (7) и условию разрыва ее нормальной производной (8) на линиях раздела Ьу смежных областей О, и :

Аи, = -2в,,

и ( х, у) = 0

и = и 1 ди,

з

1 ди

з

О; дп

°з дп

на Ь

о,

на Ь

Ч'

(11)

на Ь

V

2. ЖЕСТКОСТЬ ПРИ КРУЧЕНИИ СОСТАВНОГО СТЕРЖНЯ

Для крутящего момента М из условия равновесия части скручиваемого стержня, находящейся между торцевым (г = I) и произвольным сечением, на основании (4) имеем:

1=N

I— N |—

м = ЕЛ|_хт уг- Ут

Уг

,=1 А

1= N

dxdy = -8 ^ Ц ,=1 А

ди, ди,. х—L + у-

дх

ду

dxdy.

Причем интеграл распространяется на область О, поперечного сечения составного стержня, N — число таких областей. Произведя интегрирование по частям и применив формулу Грина — Остроградского, получим:

,=N

1=К

М = 29^||С/г-(х, у)с!Ыу-9УфЦ'.(х, ^)[хсоз(т:) +

¿=1 А г=1 А

где Ь, — контур, ограничивающий область Di, а п — внешняя нормаль к контуру Ь,. На частях контуров Ь,, образующих внешнюю границу сечения стержня, выполняется условие (9). По остальным частям этих контуров интегрирование производится дважды в противоположных направлениях (см. рис. 1), причем интегралы, взятые по этим частям контуров Ь,, вследствие

непрерывности и, (х, у) во всей области сечения стержня равны по величине и отличаются только знаками. Поэтому сумма контурных интегралов обращается в нуль и

М = С8,

, =N

где С = 2|| и(х, у)dxdy = 2^ Ци,- (х, у)dxdy — жесткость при кручении составного стержня.

Оо ,=1 О,

3. МЕТОД ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ АНАЛОГИИ

Поскольку функция напряжений и (х, у) удовлетворяет линейному дифференциальному

уравнению, ее решение можно представить в виде суммы частных решений [5]. Частными решениями уравнения Пуассона являются потенциалы гидродинамических особенностей, распределенных по сечению стержня, по его внешней границе и по внутренним контурам, разделяющим

материалы. В работе [6] методом гидродинамической аналогии была решена задача о кручении призматического стержня, составленного из однородного материала.

Чтобы исключить наличие особенностей между границами сечения, необходимо перейти к уравнению Лапласа. Введем новую функцию и (х, у):

и, (х у) = и (х у)-1 0, (х2 + у2)•

Тогда система уравнений (11) примет следующий вид:

Аи, = 0,

(( х, у) = 1О, ( х2 + у2 ) и, = и} +1 (0 - О )(х2 + у2 )

1 ди, _ 1 ди]

О, дп Одп

на Ь,

о,

на Ь,,

на Ь,

V

(12)

Из системы уравнений (12) следует, что функция и (х, у) удовлетворяет в соответствующих областях Д уравнению Лапласа, имеет ненулевое значение на внешнем контуре, разрыв значения и нормальной производной на внутренних контурах, разделяющих материалы.

Теперь функцию и (х, у) можно искать в виде суммы потенциалов гидродинамических особенностей, распределенных только по внешним и внутренним границам сечения. Внешний контур Ьо и границы материалов Ь^ разделим на малые отрезки, на которых расположим непрерывный слой источников с постоянной интенсивностью а, и контрольную точку (х1, ) в центре отрезка, в которой будут выполняться граничные условия. Потенциал источников ф, (х, у)

единичной интенсивности, непрерывно распределенных на отрезке шириной А с точностью до константы, имеет вид:

ф, (х, у) = -1 |х 1п (х2 + у2 ) - (х - А) 1п ((х - А)2 + у2 ) - 2у

М

х -А х

агс%--агс%—

у у у

Поскольку значение потенциала источника ф, (х, у) не имеет разрыва при переходе через

границу отрезка, а нормальная производная имеет, то на границе раздела материалов можно выполнить только одно граничное условие, связанное с разрывом нормальной производной. Чтобы выполнить второе граничное условие о разрыве значения функции и (х, у) на контуре раздела

материалов, необходимо использовать дополнительную особенность. Для этой цели хорошо подходит потенциал распределения на отрезке шириной А диполей с постоянной интенсивностью , который терпит разрыв значения и не терпит разрыв нормальной производной:

^ =

2л

Л

х х -А

агс%--агс%-

у у у

и

1

Чтобы удовлетворить третьему уравнению системы (12) на линиях раздела материалов, кроме слоя источников расположим еще особенности типа диполей, интенсивность которых заранее выбирается равной

Записав граничные условия, во всех контрольных точках, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно оставшихся неизвестных интенсивностей источников а, .

Решив данную систему, найдем интенсивности источников и получим возможность определить жесткость на кручение.

На основе разработанной методики была составлена программа и проведены расчеты призматических стержней с сечениями различной формы. На рис. 2 показаны расчеты геометрической жесткости на кручение призматического стержня, сечение которого состояло из квадрата с модулем на сдвиг Gj, внутри которого находился квадрат из другого материала с модулем на сдвиг G2. Параметр t на графике определял соотношение материалов в сечении, например, при t = 0 все сечение имеет модуль на сдвиг, равный G2, а при t = 0.5 — Gj. Результаты расчетов сравнивались с геометрической жесткостью на кручение, полученной методом конечного элемента (МКЭ), реализованным в программе ANSYS Structure (лицензия ЦАГИ № 501024). Модель МКЭ состояла из призматического стержня квадратного сечения с удлинением, равным 10, к концам которого прикладывались моменты на кручение противоположного знака. Жесткость на кручение определялась через относительный угол закручивания концевых сечений. Следует отметить хорошее согласование результатов, полученных различными методами.

На рис. 3 показан пример расчета жесткости на кручение призматического стержня, форма сечения которого напоминает профиль, внутри которого располагается прямоугольная вставка из другого материала. На графике по вертикали отложена геометрическая жесткость на кручение C/C0, отнесенная к жесткости на кручение в случае одинакового материала профиля и вставки.

4. ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Жесткость на кручение квадратной трубы

0.06-

0.02-

0.04-

0.08-

0.12-

0.14-

0.10-

G,

G

2

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5 t

Толщина трубы

Рис. 2. Жесткость на кручение призматического стержня квадратного сечения, составленного из двух различных материалов:

расчет по данному методу; • • • — расчет по методу МКЭ (ANSYS)

Рис. 3. Профиль крыла, составленный из двух различных материалов:

расчет по данному методу;

- расчет по методу МКЭ (ANSYS);

С0 — жесткость на кручения при G1 = G2

• • •

По горизонтали отложено отношение модуля на сдвиг профиля и вставки. Таким образом, при GjG2, стремящемся к бесконечности, получаем отношение жесткости на кручение прямоугольной вставки к жесткости на кручение сплошного профиля, а при GjG2, стремящемся к нулю, — отношение жесткости на кручение профиля с прямоугольной полостью к жесткости на кручение сплошного профиля, изготовленного из того же материала. Сравнение с расчетами по программе ANSYS Structure показывает хорошее соответствие результатов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Amiryants G. A., Ishmuratov F. Z. Multipurpose Modular Aerodynamic / aero-elastic model // IFASD. — Madrid. 2001.

2. Малютин В. А. О разработке многоцелевой аэроупругой модульной модели // Ученые записки ЦАГИ. 2009. Т. XL, № 3, с. 82 — 86.

3. Амирьянц Г. А., Вермель В. Д., Ишмуратов Ф. З., Кудряшов А. Б, Орлова О. А., Руденко Д. С. Проектирование упруго-подобной модели, изготавливаемой на станке с ЧПУ // Ученые записки ЦАГИ. 2012. Т. XLIII, № 3, с. 88 — 100.

4. Арутюнян Н. Х., Абрамян Б. Л. Кручение упругих тел. — М.: Физматлит,

1963.

5. Пархомовский Я. М. Метод «близкой» задачи и его применение к решению задачи Сен-Венана о кручении стержней // Ученые записки ЦАГИ. 1983. Т. XIV, № 6, с. 54 — 65.

6. Евстифеев В. В., Теперин Л. Л., Теперина Л. Н. Использование гидродинамической аналогии для определения геометрической жесткости и центра изгиба призматических стержней // ТВФ. 2011. Т. LXXXV, № 1 (702), с. 18 — 24.

Рукопись поступила 3/XII2012 г.