Кривые вращения галактик с учетом эффекта проекции и конечной ширины щели спектрографа Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 524.7-327

Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2012. Вып. 1

КРИВЫЕ ВРАЩЕНИЯ ГАЛАКТИК С УЧЕТОМ ЭФФЕКТА ПРОЕКЦИИ И КОНЕЧНОЙ ШИРИНЫ ЩЕЛИ СПЕКТРОГРАФА

К. В. Степанова

С.-Петербургский государственный университет, аспирант, kristina.legionarius@gmail.com

1. Введение. Кривые вращения дисковых галактик являются одним из главных инструментов для определения распределения массы, изучения и понимания динамики эволюции и формирования дисковых галактик. Скорости, составляющие данные кривые, обычно наблюдаются либо по газовой компоненте диска, либо по звездной. Скорость вращения звездного диска определяется по абсорбционным линиям звезд (например, H и К [1]). Скорости вращения газа оцениваются по доплеровскому смещению эмиссионных линий. В оптических наблюдениях обычно используются линии На, Hp, [Nil], [S4I], [OIII] и HI, СО— в радионаблюдениях [1, 2]. Оптические измерения вращения производятся с помощью спектрографа с длинной щелью или с помощью инструментов, которые дают двумерные поля скоростей [2]. Радионаблюдения газа также позволяют получить двумерную картину распределения лучевых скоростей [1].

В то же время кривые вращения сами представляют собой объект для исследования. На вид наблюдаемой кривой могут влиять несколько факторов: эффект проекции, эффект внутреннего поглощения, дисперсия скоростей [3]. Общая форма кривой вращения бывает различна даже для внешне похожих галактик. Как показывают наблюдения, кривые вращения в общем случае можно разделить на два типа. В первом случае они возрастают почти твердотельно в центральной области, после чего выходят на длинные плато или проходят через пологий максимум и медленно падают к периферии. Во втором случае на кривой выделяются отдельные локальные максимумы, которые в свою очередь могут быть обусловлены как наличием у галактики массивного компактного балджа, так и некруговыми движениями галактики [1].

Влияние эффекта проекции впервые количественно было рассмотрено А. В. За-совым и А. В. Хоперсковым [3] для галактик, диски которых видны с ребра. Они показали, что данный эффект сильно искажает ход кривой особенно для галактик, имеющих массивный компактный балдж.

Данная работа посвящается рассмотрению влияния эффекта проекции и конечной ширины щели спектрографа на вид наблюдаемой кривой вращения в зависимости от угла наклона диска галактики к лучу зрения.

2. Скорость вращения галактик с учетом эффекта проекции и конечной ширины щели спектрографа. Введем систему координат так, чтобы ось х совпала с главной осью галактики (главная ось — это линия, которая пересекает диск галактики по диаметру и перпендикулярна к лучу зрения), а ось у была направлена вдоль луча зрения. Ограничимся осесимметричной моделью дисков для галактик, наблюдаемых под произвольным углом к лучу зрения. Напомним, что данная мо© К. В. Степанова, 2012

дель подразумевает осесимметричное распределение скорости вращения диска V (г) и светимости в спектральной линии Б (г), используемой для измерения лучевых скоростей. Плотность вещества и светимость такого диска считаем зависящими только от расстояния до оси вращения диска г. Также введем предположение, что в пределах полутолщины галактики к скорость и плотность светящегося вещества не меняются, а за пределами полутолщины к плотность вещества считаем равной нулю.

Суть эффекта проекции заключается в том, что значение скорости для данного расстояния ж от центра галактики есть сумма спроецированных на луч зрения скоростей, взвешенных по удельной светимости.

Среднюю скорость, взвешенную по светимости вдоль луча зрения (наблюдаемую скорость), можно записать [3] как

¡3(г)У(г) ЫУ

л/х2 +

2

= --г—*—(1)

ь

/ 5(г)¿у

а

где

а = -л/Н2-х2, Ъ = л/К2 -х2. (2)

Формула (1) позволяет получить среднюю скорость вращения на данном расстоянии х от центра, взвешенную по удельной светимости, для галактик, диски которых наблюдаются с ребра. Под величиной Д в формуле (2) и далее подразумеваем радиус диска галактики. Для того чтобы переписать формулу (1) на случай расположения диска галактики под произвольным углом г (угол г — это угол между лучом зрения и плоскостью галактики) с учетом эффекта проекции и ненулевой толщины щели спектрографа, нужно рассмотреть две системы координат. Первая система координат (ж, у, г) такая, что ось х совпадает с главной осью галактики, у направлена вдоль луча зрения, а ось г перпендикулярна плоскости ж, у. Вторая система связана с галактикой (х',у',г'). Очевидно, что оси ж' и ж совпадают, т.е. ж' = ж, а оси у' и г' повернуты на угол г относительно у ш г соответственно.

Покажем, что учет конечной ширины щели спектрографа играет важную роль для далеких галактик. Пусть угловой размер щели спектрографа а равен 1", тогда из элементарных соображений, можно записать

а 3

*ё2=2В> (3)

где 5 — это отрезок, перпендикулярный линии наблюдения, проходящей через динамический центр галактики, и соответствующий размерам щели, а -О — расстояние до объекта. Пусть для определенности радиус спиральной галактики есть Д = 12 кпк, тогда, пользуясь оценками из фотометрии к/Ь (Е [1/10; 1/5] [4], где Ь — это масштаб экспоненциального распределения (в единицах радиуса соответственно к (Е [Д/40; Д/20], если характерный масштаб Ь = Д/4), получаем к £ [300; 600] пк. Исходя из формулы (3), видно, что если галактика расположена к нам достаточно близко, пусть, например, О = 1 Мпк, то несложно получить, что 3 « 5 пк. Совершенно ясно, чтобы данный эффект играл заметную роль, значение 5 должны быть порядка полутолщины галактики. Пусть для определенности 6 = 200 4- 600 пк соответственно в единицах радиуса 3 « 1/60 4- 1/20, если радиус Д положить равным 12 кпк, это означает, что

расстояние до галактик примерно 40 4-120 Мпк. Такие оценки соответствуют реальным значениям для далеких галактик, которые в последнее время часто являются предметом спектроскопических наблюдений (например, см. [5]).

Из изложенных выше соображений следует, что при наблюдении далеких галактик на выходе мы будем иметь для данного расстояния от центра галактики (ось х) значение скорости, взвешенной не по абсолютно тонкому лучу зрения (ось у), а по некоторой двумерной области, второе измерение которой соответствует высоте попавшей в щель спектрографа части галактики (ось z).

Прежде чем перейти к вычислению наблюдаемой скорости, нужно функции скорости, массы и светимости задать как функции от {x,y,z). Для этого сделаем соответствующую замену переменных:

у' = у eos i + z sin г, x'= x. (4)

Таким образом, мы перейдем от функций M(r'), S(r'), V{r') к функциям, зависящим от {x,y,z). Далее можно записать наблюдаемое значение скорости для конкретного расстояния от центра галактики:

х'

i f S(x',y')V(x',y')cosi—== dydz

Vs{x) = г Ух'2 + у'2У

ff S(x',y')dydz '

г

где Г — некая область интегрирования. Для того чтобы перейти от двойного интеграла к повторному, рассмотрим, что из себя представляет эта область. Запишем его пока в общем виде:

т b(z) х>

J dz f S(x',y')V(x',y')cosi—p dy Vs(x) = -7—-• (6)

m b{z)

f dz f S(x', y')dy

—m a(z)

Нужно заметить, что ж', у' в формулах (5), (6) вычисляются по формуле (4), а т и —т — это пределы интегрирования по оси z, подробнее о них мы поговорим в следующем параграфе.

3. Определение пределов интегрирования. Рассмотрим два случая, зависящих от угла наклона, полутолщины галактики и радиуса, точнее для tg i > h/R и, соответственно, для tg г < h/R. Для данного значения угла наклона i, радиуса галактики R и полутолщины h в зависимости от величины 6 щель спектрографа и плоскость (ж, у) будут вырезать из галактики трехмерную фигуру, состоящую из

— эллипсов, ограниченных с обеих сторон прямыми и эллипсов, ограниченных прямыми с одной стороны;

— эллипсов, ограниченных с обеих сторон прямыми

h

• при tg г > —,

— одних эллипсов;

— эллипсов и эллипсов, ограниченных прямыми с одной стороны

h

• при tg г < —.

Каждая из фигур состоит из одинаковых эллипсов; их общее уравнение можно записать так:

ж2 (y + ztgi)2 _

АВ2 ' 1 J

где А = R — это малая полуось эллипсов, а В = R/ cos г — соответственно большая полуось. Прежде, чем перейти к рассмотрению пределов интегрирования по у для каждого из выделенных нами случаев, скажем несколько слов о пределах интегрирования по z. Обозначим в общем виде как d и — d пределы изменения по г попавшей в щель спектрографа части галактики (см. рис. 1).

Рассмотрим для начала случай такой, что DB = 5/2. С другой стороны, DB = DA + АЕ>, очевидно, что АВ = h/cosi и DA = sin i(R — ABsini). Следовательно, 5/2 = DB = Rshii + hcosi. Совершенно ясно, что если галактика не полностью попала в щель, то 5/2 < DB = R sin г + h cos г, тогда пределы изменения по г попавшей в щель спектрографа части галактики суть [—d; d] = [—5/2; 5/2]. Если же галактика полностью попала в щель, то 5/2 > DB = R sin г + h cos г, поэтому пределы изменения по оси г нужно задавать так: [—d;d] = [—Rsini — h cos г; R sin г + h cos г].

Рис. 1. Определение пределов изменения по г попавшей в щель спектрографа части галактики.

Дело в том, что в общем случае при d > hcosi или —d< —hcosi эти пределы интегрирования будут зависеть от х.

Мы выяснили, что в зависимости от угла наклона галактики к лучу зрения, полутолщины галактики, ее радиуса, а также от ширины щели спектрографа и расстояния до рассматриваемого объекта щель спектрографа и плоскость (ж, у) будут вырезать из галактики некие фигуры четырех видов, состоящих из

1) эллипсов, ограниченных с обеих сторон прямыми;

2) эллипсов, ограниченных с обеих сторон прямыми и эллипсов, ограниченных прямыми с одной стороны;

3) одних эллипсов;

4) эллипсов и эллипсов, ограниченных прямыми с одной стороны.

Для фигур 1, 2 и 4 пределы интегрирования по z будут зависеть от ж, если выполняется следующее неравенство: d > hcosi (—d< —hcosi). Данное неравенство является необходимым и достаточным условием для существования зависимости пределов интегрирования то от х. Заметим, что —d и d — это обозначенные в общем виде пределы изменения по z попавшей в щель спектрографа части галактики. Таким образом, в самом общем случае для этих трех фигур можно записать следующие пределы интегрирования по z:

Если d > hcosi ( —d < —/icosг), то

R¿ - x¿ h

( ) = v eos-»-щпг (g)

v ' (ctgí +tgí) V ;

R2 - x2 h

-míx) = - v eos-»-ш (9)

v ; (ctgí + tg¿) V ;

иначе,

rri(x) = d, (10)

—rri(x) = —d. (11)

Для фигуры 3, состоящей из одних эллипсов, не может возникнуть такой ситуации, чтобы d > hcosi ( — d < —hcosi), поэтому для нее пределы интегрирования по z не будут зависеть от ж и будут равны d и —d. Для того чтобы получить наблюдаемую скорость, нам нужно интегрировать не только по z, но и по у. Пределы интегрирования по у, ранее мы их обозначили как a(z), b(z), нельзя обощить сразу на все четыре фигуры. Каждую нужно рассмотреть в отдельности. Ниже для каждой из четырех фигур, мы записываем соответствующие пределы интегрирования.

• Фигура 1: состоит из эллипсов, ограниченных с обеих сторон прямыми (см. рис. 2).

Для нижнего предела интегрирования по у области Г имеем если |ж| < \JR2 — ((z — h cos i)/sin г)2, то

h

a(z) = z ctg i--, (12)

sm«

иначе,

I г?2 _ „.2

(13)

Для верхнего предела интегрирования по у области Г имеем если |ж| < R2 — ((-г + /гсоэг)/йшг)2, то

h

b(z) = zctgi+ —, (14)

sm«

Рис. 2. Область интегрирования Г для фигуры, состоящей из эллипсов, ограниченных с обеих сторон прямыми.

иначе,

В2 -х2

Ь^) = \ -—-гЬёг. (15)

у сс^ г

• Фигура 2: состоит из эллипсов, ограниченных с обеих сторон прямыми и эллипсов, ограниченных прямыми с одной стороны (см. рис. 3).

Рис. 3. Область интегрирования Г для фигуры, состоящей из эллипсов, ограниченных с обеих сторон прямыми, и эллипсов, ограниченных прямыми с одной стороны.

Для данной фигуры область интегрирования Г нужно разбивать по г на три подобласти: Г = +Г2 + Г3. Эти три области определяются следующими условиями на координату г:

Г]_: при z > Rsini — h cos г, Г2: при \z\ < R sin i — /г cos г, Г3: при г < — i? sin г + heos i.

Для нижнего предела интегрирования по у области имеем если \х\ < у^Д2 — ((г — Нсоэг)/йшг)2, то

к

a(z) = zctgг--:—;, (16)

иначе,

/Д2 - ж2

а(г) = -\ -2~--(17)

у соэ2 г

Для верхнего предела интегрирования по у области имеем

Д2 - х2

Ъ{г) = \ - — ~гЬёг. (18)

у соэ2 г

Для нижнего и верхнего предела интегрирования по у области Г2 имеем пределы интегрирования аналогичные, как для области Г фигуры 1 (см. (12)—(15)). Для нижнего предела интегрирования по у области Гз имеем

/Д2 -х2

а(г) = -\ -(19)

у соэ2 г

Для верхнего предела интегрирования по у области Гз имеем если \х\ < у^Д2 — ((-г + Нсоэг)/йшг)2, то

Н

Ъ{г) = —, (20)

эшг

иначе,

Д2 -х2 у соэ^ г

• Фигура 3: состоит из одних эллипсов (см,, рис. 4)-

Для нижнего предела интегрирования по у области Г имеем

Д2 -х2

<г) = -\ -(22)

у соэ2 г

Для верхнего предела интегрирования по у области Г имеем

Д2 -х2

Ъ{г) = \ - — ~гЬёг. (23)

у соэ2 г

• Фигура 4: состоит из эллипсов и эллипсов, ограниченных прямыми с одной стороны (см. рис. 5).

В данном случае область интегрирования Г разбивается по г на три подобласти: Г = Гх + Г2 + Г3. Эти три области определяются следующими условиями на координату г:

Рис. 4• Область интегрирования Г для фигуры, состоящей из одних эллипсов.

z í

А ____—— - Г1 г— \ >м ъ

\ Г2 ___r\

\ У У

V \ ГЗ

Рис. 5. Область интегрирования Г для фигуры, состоящей из эллипсов и эллипсов, ограниченных прямыми с одной стороны.

Ti: при z > —Rsini + heos i Г2: при \z\ < — Rsini + heos i Г3: при z < Rsini — heos i.

Для нижнего и верхнего предела интегрирования по у области Ti имеем: пределы интегрирования аналогичные, как для области Ti фигуры 2 (см. (16)—(18)).

Для нижнего и верхнего предела интегрирования по у области Г 2 имеем: пределы интегрирования аналогичные, как для области Г фигуры 3 (см. (22), (23)).

Для нижнего и верхнего предела интегрирования по у области Г3 имеем: пределы интегрирования аналогичные, как для области Г3 фигуры 2 (см. (19)—(21)).

4. Влиянение конечной ширины щели на вид наблюдаемой кривой вращения с учетом эффекта проекции. Перейдем непосредственно к анализу наблюдаемых и теоретических кривых вращения (под теоретическими кривыми, будем подразумевать кривые, соответствующие круговой скорости) с учетом конечной ширины щели спектрографа. Из приведенных графиков (рис. 6) видно, что общая закономерность, как и в случае бесконечно тонкого луча зрения, сохраняется. Таким образом, с увеличением угла наклона г наблюдаемые кривые вращения стремятся

Рис. 6. Наблюдаемые и теоретические кривые вращения дисковых галактик, наклоненные к лучу зрения под разными углами г, с учетом ненулевой щели спектрографа: (а)—5 = 1/60; (Ь) — 5 = 1/20. На обоих графиках представлены наблюдаемые кривые вращения галактик, наклоненных к лучу зрения под углами: 1 — теоретическая кривая, 2 — г = 0°, 3 — г = 2°, 4 — г = 5°, 5 — 1 = 10°.

к кривой, соответствующей теоретической скорости, и стремятся тем быстрее, чем тоньше диск галактики. Зависимость же от величины 5 более сложная. Чем больше значение тем быстрее происходит стремление наблюдаемой кривой вращения к теоретической кривой. Эта тенденция сохраняется до некоторого значения 6, после которого наблюдаемые кривые начнут отдаляться от теоретической. Эта тенденция будет продолжаться пока вся галактика не попадет в щель, после чего зависимость от 5 пропадет.

Стремление к теоретической кривой вращения с учетом конечной ширины щели спектрографа происходит не намного быстрее, чем для бесконечно тонкого луча зрения. Поэтому можно заключить, что учет конечной ширины щели спектрографа даже для далеких галактик нецелесообразен.

Литература

1. Засов А. В. Физика Галактик. МГУ, 1993.

2. Sofue Y., Rubin V. Rotation Curves of Spiral Galaxies // Annual Review of Astronomy and Astrophysics. 2001. Vol. 39. R 137-174.

3. Засов А. В., Хоперское А. В. О форме кривых вращения галактик, наблюдаемых с ребра // Письма в Астрономический журнал. 2003. Т. 29. С. 497-507.

4. Решетников В. 77. Поверхностная фотометрия. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2003.

5. Шаляпина Л. В., Меркулова O.A., Яковлева В. А., Волков Е. В. 2Б-спектроскопия кандидатов в галактики с полярными кольцами. Пара галактик UGC 5600/09 // Письма в Астрономический журнал. 2007. Т. 33. С. 585-597.

Статья поступила в редакцию 26 октября 2011 г.