Критические случаи устойчивости в системах с импульсным воздействием Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.925.51

КРИТИЧЕСКИЕ СЛУЧАИ УСТОЙЧИВОСТИ В СИСТЕМАХ С ИМПУЛЬСНЫМ ВОЗДЕЙСТВИЕМ

© Анашкин О. В., Митько О. В.

Таврический национальный университет им. В.И. Вернадского

факультет математики и информатики

пр-т Вернадского, 4, г. Симферополь, 95007, Украина e-mail: [email protected]

Abstract. The problem of stability of the zero solution of a nonlinear system of ordinary differential equations with impulse perturbation at fixed moments in a critical case is considered. To study the problem we suggest a new approach based on construction of discontinuous Lyapunov functions. The system of the second order with a cubic nonlinearity is studied on stability by this new approach.

Введение

Прямой метод Ляпунова является эффективным инструментом исследования устойчивости динамических процессов самой разнообразной природы, в том числе, решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений с импульсным воздействием (импульсных систем). Проблема устойчивости решений рассматривалась уже в первой публикации, посвященной импульсным системам [1]. В монографии [2] были изложены основы метода функций Ляпунова для этого класса уравнений. Решения импульсных систем являются разрывными и для исследования их устойчивости естественно использовать разрывные по времени функции Ляпунова [3, 4]. Обратимость основных теорем прямого метода Ляпунова для импульсных систем в терминах разрывных вспомогательных функций обоснована в работах [6] - [10]. Однако подбор п одход я тце и функции Ляпунова, удовлетворяющей этим теоремам, часто оказывается чрезвычайно трудным. Поэтому получение новых теорем о достаточных условиях устойчивости, допускающих более широкий класс вспомогательных функций, является практически важным направлением исследований.

Теория устойчивости импульсных систем имеет много общего с классическими результатами по устойчивости решений обыкновенных дифференциальных уравнений. Для импульсных систем известен аналог теоремы об устойчивости по первому приближению и актуальна проблема исследования устойчивости в критических случаях. Теория критических случаев для систем с импульсным воздействием находится пока в начальной стадии разработки и нам известны единичные публикации на эту тематику, например, статьи В. И.Слынько с соавторами [11, 12].

В настоящей работе проведен анализ одного критического случая для системы уравнений второго порядка с кубической нелинейностью. Исследование проводится с помощью разрывной вспомогательной функции, удовлетворяющей условиям теорем об асимптотической устойчивости и неустойчивости, являющихся модификациями результатов из работ авторов [13, 14].

1. Постановка задачи

Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнении с импульсным воздействием в фиксированные моменты времени

х = f(Ь,х), Ь = ги,

(1)

Ах\г=тк = Зк(х),

где х Е Кга, 0 < т1 < т2 < ... — моменты импульсного воздействия, тк+1 — тк > 9 > 0, Ах\г=Тк = х(тк + 0) — х(тк — 0) — скачок решения х(Ь) в момент тк, к = 1, 2,.... Система имеет нулевое решение: f (Ь, 0) = Зк(0) = 0. Предполагается также, что функции f (Ь,х) и Зк(х) обеспечивают однозначную разрешимость начальной задачи. Используется обычное обозначение х(Ь) = х(Ь; Ь0,х0) для решения задачи Коши для системы (1) с начальным условием х(Ь0 + 0) = х0 (таким образом учитывается возможность того, что начальный момент совпадает с моментом импульсного воздействия). В теории импульсных систем традиционно предполагается непрерывность решений слева, т. е. х(Ь) = х(Ь — 0).

Обозначим через Вг С Кга открытый шар радиуса г с центром в нуле, Вг = {\х\ < г}. Здесь и далее \ • \ — норма в Кга.

Нулевое решение системы (1) назовем

- устойчивым, если для любых е > 0 и Ь0 > 0 найдется 8(е, Ь0) > 0 такое, что для любого х0 Е В$ х(Ь; Ь0,х0) Е В£ при всех Ь > Ь0;

- равномерно устойчивым, если для любого е > 0 найдется 8 > 0 такое, что для любых Ь0 > 0 и х0 Е В^ х(Ь; Ь0,х°) Е В£ при вс ех Ь > Ь0;

- равномерно притягивающим, если некоторого п > 0 и для любого е > 0 найдется а(е) > 0 такое, что для л юбых Ь0 > 0 и х0 Е Вп х(Ь; Ь0,х°) Е В£ при вс ех Ь > Ь0+а(е);

- равномерно асимптотически устойчивым, если оно является равномерно устойчивым и равномерно притягивающим.

Решение, не являющееся устойчивым, называется неустойчивым.

Обозначим через К «класс Хана» множество всех непрерывных строго воз~ растающих функций а: ^ а(0) = 0, и введем в рассмотрение множе-

оо

ство Т = и (тк, тк+1). Будем считать, что моменты импульсного воздействия тк к=1

распределены более или менее равномерно, а именно, пусть 0 < 91 < Tk+1 — Tk < 02, для некоторых положительных постоянных в1 < в2-

В дальнейшем существенную роль играет линеаризация системы (1) в нуле

y = A(t)y, t = rk,

(2)

Av\t=rk = Bk y,

где \f(t,y) — A(t)y\ = o(\y\) \Jk(y) — Bky\ = o(\y\) при \y\ М 0 равномерно по t > 0 и k = 1, 2,....

Пусть ф: [a,b] М Rra — кусочно-непрерывная на отрезке [a,b] С R функция, имеющая на нем не более конечного числа разрывов первого рода. Обозначим ||ф||[а,ь] = sup{^(t)\,t Е [a, b]} норму в пространстве KC([a,b]) всех таких функций.

Используя лемму Гронуолла, можно получить оценку роста нормы решения системы (1) на произвольном конечном отрезке [to,t0 + T\. \x(t; t0,x°)\ < \x°\Const, где Const зависит только от длины промежутка T. Оценку нормы разности решений систем (1) и (2) на отрезке [t0,t0 + T] можно получить при помощи теоремы 2.5 из [1, стр. 19] (теорема 4 в стр. 251):

\x(t; to,x0) — y(t; to,x°)\ < Ix — yH{t0,t0+T] = o(\x0\) при \x0\ М 0. (3)

При этом оценка равномерна относительно t0 > 0 и x0 из заданной окрестности нуля

T

2. Достаточные условия устойчивости

Введем в рассмотрение множества G = R+ х D и G = T х D, гДе D — некоторая окрестность нуля.

Будем говорить, что функция V: G М R, V: (t,x) М- V(t,x), принадлежит классу V1, если

1) функция V непрерывно дифференцируема на множестве G;

2) для всякого x из DD и k =1, 2,...

lim V(t,x) = V(rk,x)

t^Tk-0

и существует конечный предел

lim V (t,z) = V (rk + 0, x).

(t,z)^(rk +0,ж)

Следуя [3], будем предполагать, что правая часть f системы дифференциальных уравнений в (1) непрерывна на множестве (rk ,Tk+l] х D и для каждого x Е D существует предел

lim f (t,z),

(t,z)^(rk +0,ж)

k = 1, 2,.. .. Иными словами, мы допускаем, что правая часть f (t,x) дифференциального уравнения в (1) имеет по переменной t разрывы первого рода.

Используя априорные оценки вида (3), можно доказать следующие теоремы о достаточных условиях асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения системы с импульсным воздействием вида (1).

Теорема 1. Предположим, что для, некоторого 0 < h в области Gh = R х Bh С G существуют функции V Е Vi и Ф: Gh ^ R такие, что:

(i) a(|x|) < V(t,x) < b(\x\) для некоторых a,b Е K;

(ii) V < Ф(t,x) для (t,x) Е Gh;

(l)

(iii) существуют постоянные d > 1 и M > 0 такие,что

|Ф(t,x)\ < M\x\d, |Ф(t,x') - Ф(t,x'')| < Mrd-l\x' - x''\

для (t,x'), (t,x'') Е T х Br при всяком, r Е (0, h);

(iv) существуют постоянные T0 > 0 и ö0 > 0 такие,что для всех (t0,x°) из Gh при At > T0

t0+At

J Ф(^у(Ц t0,x0)) dt <-Ö0\x°\dAt, t0

где y(t; t0,x0) — реиление линеаризации (2);

(v) V (rk ,x + Jk (x)) - V (rk ,x) < 0, k =1, 2,...

Тогда нулевое реиление уравнения, (1) равномерно асимптотически устойчиво.

Областью положительности функции V: G ^ R, V(t, 0) = 0, назовем множество {V > 0} = {(t,x) Е G: V(t,x) > 0}. Будем говорить, что область {V > 0} примыкает к нулю, если при всяком t > 0 и сколь угодно малом р > 0 множество {V > 0}t = {x Е D: V(t,x) > 0} имеет открытое пересечение со сферой {|x| = р}.

Достаточные условия неустойчивости нулевого решения уравнения (1) мы также

V

из класса Vl.

Теорема 2 ([14]). Пусть существуют постоянные т > 0 К> 0 и функции V Е У\, Ф: [т, ж) х Бь ^ Ь Е К такие, что:

(!) функция V обладает примыкающей к нулю областью положительности {V > 0^ м V(Ь,х) < Ь(\х\) в области {V > 0};

(11) V (г,х) > Ф(Ь,х) в области Т х Бь;

(1)

(Ш) существуют постоянные ¿> 1 и М > 0 такие,что

\Ф(Ь,х)\ < М\х\а, \Ф(Ь,х') - Ф(г,х")\ < Мтл-1\х - х''\

для (Ь,х'), (Ь,х") Е Т х Бг при всяком г Е (0, К); (1у) существуют постоянные Т0 > 0 и > 0 такие,что для всех (Ь0,х°) из области положительности {V > 0} щи Аг > Т0

г0+Аг

У Ф(г,у(г; 10,х0)) ¿г > бо\х°\аАг, *0

где у (г; г0,х0) — реиление линеаризации (2); (у) V (тк ,х + Зк (х)) - V (тк ,х) > 0, к =1, 2,...

Тогда нулевое решение системы (1) неустойчиво.

3. Исследование одного критического случая устойчивости

Рассмотрим следующую систему уравнений второго порядка с импульсным воздействием

x i = \к xi + Xk (x), x 2 = Xk X2 + Xk (x), Tk <t < Tk+i,

(4)

xi(Tk + 0) = xi(Tk) exp(-ak-idk-i), x2(Tk + 0) = x2(Tk) exp(-ak-idk-i), к E Z, где \k = ak + i@k E C, ak, [3k E R Xk(x) = ak vxv, v — мультппндекс, akv E C, чер-

|v|=3

та над символом обозначает комплексное сопряжение, Tk = Tk-i+9k-i, 9k > const > 0, к E Z. Последовательности [Xk}, [9k}, {ak,v} являются р-периодическими для некоторого натурального р. В предельном случае р = 1 получим систему с постоянными параметрами. Предполагается, что рассматриваемая система эквивалентна ве-

xi x2

сопряжены.

Система линейного приближения имеет вид У1 = VI,

У2 = ти < Ь < ти+1,

(5)

У1(ти + 0) = у1(ти) ехр(—аи-19и-1),

У2(ти + 0) = У2(ти) ехр(—аи-19и-1), к Е Z,

и является устойчивой, но не асимптотически. Таким образом, в системе (4) наблюдается критичекий случай теории устойчивости.

Пусть тко-1 < Ь0 < тко. Отметим легко проверяемые непосредственным вычислением свойства решения у(Ь) = у(Ь; Ь0,у°) задачи Коши для линеаризации (5) с начальным условием у(Ь0 + 0) = При этом мы будем выписывать только выражения для первой проекции у1-, т-к- вторая проекция комплексно сопряженной. Во-первых, \у(тко + 0)\ = \у(Ь0)\СоивЬ. Во-вторых, для произвольного к > к0

У1(ти+1 + 0) = У1(ти+1) ехр(—аи9к) =

= У1(ти + 0) ехр(Хк9к) ехр(—аи9к) = уЛти + 0) ехр(%вк9к), (6)

следовательно

Ыти+1 + 0)\ = \у1(ти + 0)\ = • • • = Ытко + 0)\ = \у1(Ь0)\СоивЬ. В-третьих, из (6) вытекает равенство

У1(ти+2 + 0) = У1(ти+1 + 0) ехр(гвк+19к+1) = уЛти + 0) ехр[г(вк9к + вк+19к+1)], Продолжая вычисления, получим для произвольного к > к0

У1(тк+р+0) = у1(тк+0)ехр[1(вк9к+вк+19к+1+.. .+вк+р-19к+р-1)] = У1(тк+0) ехр(гО),

0 = № + №2 + ... + вР-19р-1 (7)

в силу периодичности последовательностей {вк} и {9к}. И вообще, для любого натурального в

У1(тк+рз + 0) = У1(тк + 0) ехр(1в0). (8)

В качестве вспомогательной функции, которая должна удовлетворять условиям одной из сформулированных выше теорем, возьмем первый интеграл линейного приближения (5):

V(Ь, х) = х1х2 ехр[—2ак(Ь — тк)] при тк <Ь < тк+1.

Как легко проверить, эта функция положительно определена, допускает бесконечно малый высшии предел 5 непрерывно дифференцируема в области и имеет по времени Ь разрывы первого рода в точках Ь = тк, а именно

V(тк + 0,х) = хх = \хх\2, V(тк,х) = Х1Х2 ехр(-2ак-\вк-1).

Таким образом, функция V принадлежит классу У\. Более того, для любого к

ДУ= V(Тк + 0,уехр(-ак-1 в-)) - V(тк,у) = 0,

(9)

поэтому V(Ь,у(Ь; Ь0,у0)) = V(Ь0,у°) при всех Ь > Ь0 и является «настоящим» первым интегралом линеаризации (5), сохраняя постоянное значение вдоль любой интегральной кривой линейной системы с импульсным воздействием (5) даже в моменты импульсного воздействия. Это замечательное свойство выбранного нами первого интеграла линеаризации (5) существенно используется в дальнейшем.

На интервале тк < Ь < тк+\

(4)

(Ь,х) = ехр[-2ак(Ь - тк^ ак>1/х^1 х^+1 + К.С. = Ф(Ь,х)

М=з

где К.С. — комплексно сопряженная часть выражения.

Пусть х(Ь) = х(Ь; Ь0,х°) — решение системы (4). Принимая во внимание равенство (9), получим

г

V(Ь,х(Ь)) = V(Ьо,х°) + ! Ф(Ь, х(Ь)) ¿Ь =

го

= V(Ьо,х°) + у Ф(Ь,у(Ь)) ¿Ь + у [Ф(Ь,х(Ь)) - Ф(Ь,у(Ь))] ¿Ь, (10)

го го

где у(Ь) = у(Ь; Ь0,х°) — решение линеаризации (5). Интеграл от Ф(Ь,у(Ь)) представим в следующем виде

г тко

У Ф(Ь,у(Ь)) ¿Ь = I Ф(Ь, у(Ь)) ¿Ь+

г0г0

тко~\-1 + рв тк() + 2+рв тк() + р+рв

I Ф(Ь, у(Ь)) ¿Ь + I Ф(Ь,у(Ь)) ¿Ь + ... + I Ф(Ь, у(Ь)) ¿Ь +

Тко+рв т"ко + 1+рз тко+р-1+рз

N

г

г

ь

+ I Ф(Ь,у(Ь)) СЬ. (11)

Тко+р+рМ

Оценим интеграл от одночлена

тк + 1+рв

I УV1 ехр[-2ак(Ь - гк+рз)] СЬ.

На данном интервале (тк+рз,тк+1+рз) с учетом (8) имеем следующую формулу для у1(Ь)'

Уг(г) = у\(тк+р8 + 0) ехр[Ак(Ь - тк+рз)] = У\(тк + 0) ехр(1вв) ехр[Ак(Ь - тк+рз)], (12)

Ключевую роль в дальнейших рассуждениях играет множитель ехр(гвв) (предполагается, что в = 0) в этом выражении для у\(Ь), зависящий от в. Легко проверить, что

тк + 1 + ря

I У? (Ь)у22+1(Ь)ехр[-2ак(Ь-Тк+рз)] сН = уV1 (тк+0)у?+1 (тк+0)Сехр[гв^1-и2-1)в],

тк+рв

где постоянная С те зависит от в. Поскольку при и1 - - 1 = 0

N

У^ ехр[1в(и1 - щ - 1)в]

вир

N ем

з=0

< Ж,

то на знак интеграла

ь

I Ф(Ь,у(Ь)) СЬ (13)

Ьо

влияют только одночлены с мультииндексом V, удовлетворяющим условию

V1 - - 1 = 0.

Таких в выражении для Ф(Ь, у(Ь)) на каждом интервале (тк,тк+1) только два:

ак,21У1(Ь-)у1(Ь) ехр[-2ак(Ь - тк)] = а^у^Ь)^ ехр[-2ак(Ь - тк)] и сопряженный ему.

ак,21

ак,21 = рк,21 ехр[1фк,21]. Учитывая представление (11), периодичность коэффициентов рассматриваемой системы, приходим к заключению, что знак интеграла (13)

определяет выражение

p-i

^ exp[2am9m] - 1

> yPm,2l-COS ф m,2l- v /

—^ rv

а.

m=l

При J = О будут выполнены все условия одной из сформулированных выше теорем об устойчивости. Нулевое решение системы (4) асимптотически устойчиво при J < О и неустойчиво при J > О.

В формуле (14) ат = О ш = 1,... ,p. Если ат = О для некоторого ш, то из вида решения (3) линеаризации следует, что соответствующее слагаемое в (14) будет иметь вид 29mpm,2l cos фт,21• Интересно отметить, что оно получается из выражения

exp[2am9m\ - 1

Pm,2l- cos фm,2l

am.

в пределе при am ^ О.

m

Заключение

В статье проведен анализ одного критического случая для системы уравнений второго порядка с кубической нелинейностью вида (4). Получена формула индекса устойчивости (14), позволяющая установить характер устойчивости нулевого решения непосредственно по параметрам правой части системы. Исследование проводится с помощью разрывной вспомогательной функции, удовлетворяющей условиям теорем об асимптотической устойчивости и неустойчивости, приведенных в настоящей работе. Используемый в работе подход применим и для получения аналогичного результата для общего случая, когда в правой части системы (4) имеются квадратичные слагаемые. Однако для обоснования требуется модификация теорем об устойчивости, формулируемых в настоящей статье. Этому будет посвящена отдельная работа.

список литературы

1. МильманВ.Д. Об устойчивости движения при наличии толчков / В. Д. Мильман, А. Д.Мышкис // Сиб. матем. журнал. - 1060. - Т.1, №2. - С. 233-237.

2. Самойленко А. М. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием / А. М. Самойленко, Н. А. Перестюк. — Киев, Вища школа, 1987. — 288 с.

3. Lakshmikantham V. Theory of impulsive differential equations / V. Lakshmikantham, D. D. Bainov, P. S. Simeonov // World Scientific, Singapure - New Jersey - London, 1989.

4. Bainov D. D. Systems with impulse effect: stability, theory and applications / D. D Bainov, P. S. Simeonov. - N.-Y., Halsted Press, 1989.

5. Импульсные дифференциальные уравнения с многозначной и разрывной правой частью / [Н.А.Перестюк, В.И.Плотников, А.М.Самойленко, Н.В.Скрипник]. — К.: Ин-т математики НАН Украины, 2007. - 428 с.

6. Игнатьев А. О. Метод функций Ляпунова в задачах устойчивости решений систем диффернци-альных уравнений с импульсным воздействием / А. О. Игнатьев // Матем. сборник. — 2003. — Т. 194, Ж10. - С.117-132.

7. ГладилинаР. И. О необходимых и достаточных условиях асимптотической устойчивости импульсных систем / Р. И. Гладилина, А. О. Игнатьев // Укр. матем. журнал. — 2003. — Т.55, №8. — С.1035-1043.

8. ГладилинаР. И. О необходимых и достаточных условиях устойчивости импульсных систем / Р. И. Гладилина, А. О. Игнатьев // Укр. матем. журнал. — 2003. — Т.55, №8. — С. 1035-1043.

9. Игнатьев А. О. Об асимптотической устойчивости и неустойчивости относительно части переменных решений систем с импульсным воздействием / А. О. Игнатьев // Сиб. матем. журнал. — 2008. - Т.49, №1. - С.125-133.

10. Игнатьев А. О. О существовании функции Ляпунова в виде квадратичной формы для линейных систем дифференциальных уравнений с импульсным воздействием / А. О. Игнатьев // Укр. матем. журнал. - 2010. - Т.62, №11. - С.1451-1458.

11. БабенкоС.В. Устойчивость движения нелинейных систем с импульсным воздействием в критических случаях / С. В. Бабенко, В. И. Слынько // Докл. НАН Украины — 2008. — №6. — С.46-52.

12. ДвирныйА. И. Устойчивость движения нелинейных систем с импульсным воздействием в критических случаях / А. И. Двирный, В. И. Слынько // Сиб. матем. журнал. — 2011. — Т.52, №1. — С.70-80.

13. Анашкин О. В. Прямой метод Ляпунова в задаче об устойчивости систем с импульсным воздействием/ О. В. Анашкин, Т. В.Довжик, О.В.Митько // Таврический вестник информатики и математики. - 2010. - №2. - С.9-16.

14. Анашкин О. В. Неустойчивость в системах с импульсным воздействием/ О. В. Анашкин, О. В. Митько // Ученые записки I IIV. серия физ.-мат. науки. - 2011. - Т. 24(63), №1. - С.125-131.

Статья поступила в редакцию 20.05.2011