Критерий Бернулли для установившегося плоскопараллельного течения вязкой несжимаемой жидкости Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 532.5.032

Г. Б. Сизых

Московский физико-технический институт (государственный университет)

Критерий Бернулли для установившегося плоскопараллельного течения вязкой несжимаемой

жидкости

Рассмотрено установившееся плоскопараллельное течение вязкой несжимаемой жидкости в потенциальном поле массовых сил. Доказано, что известное достаточное условие сохранения вдоль линий тока трехчлена Бернулли — равенство нулю градиента величины завихренности — является необходимым условием.

Ключевые слова: влияние вязкости, интеграл Бернулли, скорость переноса завихренности, теорема Бернулли, трехчлен Бернулли.

1. Введение

В работе [1] для установившихся плоскопараллельных течений вязкой несжимаемой жидкости был найден вектор U, вдоль векторных линий которого сохраняется трехчлен Бернулли. Общеизвестно [2], что в невязком случае роль такого вектора играет скорость жидкости, которая одновременно является скоростью переноса завихренности ш. Как и в

U

ренности. Таким образом, и в вязком, и в невязком случае в рассматриваемых течениях завихренность переносится вдоль линий постоянства трехчлена Бернулли. Позднее в работе [3] был получен аналогичный вектор для установившихся осесимметричных течений.

В известных точных решениях уравнений Навье-Стокса [2, 4] трехчлен Бернулли не сохраняется вдоль линий тока. Ван-Дайк обращает внимание, что во всех его решениях направление переноса завихренности, образовавшейся на поверхности тела, имеет поперечную составляющую [5]. С другой стороны, как было замечено в одном из примечаний редактора перевода монографии [6], трехчлен Бернулли может сохраняться в вязкой жидкости вдоль линий тока. Это возможно при равенстве нулю слагаемых с вязкостью в уравнениях Навье-Стокса (случай vAV = 0). Но только ли при этом условии трехчлен Бернулли сохраняется вдоль линий тока, является ли это условие необходимым? Может быть, существуют потоки, в которых vAV = 0, а трехчлен Бернулли сохраняется вдоль линий тока? Бэтчелор — автор упомянутой монографии — обсуждает необходимое условие теоремы Бернулли для вязкого течения и оставляет этот вопрос открытым. В настоящей работе данный вопрос решен для плоскопараллельного случая. Достаточное условие — равенство нулю слагаемых с вязкостью — оказалось и необходимым условием сохранения трехчлена Бернулли вдоль линий тока. При формулировке полученного критерия учитывалось следующее обстоятельство. Для скорости несжимаемой жидкости операторы лапласиан и ротор ротора отличаются только знаком. Поэтому при ненулевой вязкости условие равенства нулю слагаемых с вязкостью равносильно условию rot rotV = 0. И, следовательно, в плоскопараллельном случае равносильно равенству нулю градиента величины завихренности. Доказательство достаточного условия повторяет классическое доказательство теоремы Бернулли. Основная идея доказательства необходимости состоит в том, что условие сохранения трехчлена Бернулли вдоль линий тока для вязкого случая сводится к

U

2. Постановка задачи

Рассмотрим установившееся плоскопараллельное изотермическое течение ньютоновской вязкой несжимаемой жидкости в потенциальном поле массовых сил. Обозначим, как

обычно, V — вектор скорости, р — давление, р — плотность, П — потенциал массовых сил, V = 0 — кинематический коэффициент вязкости. Движение жидкости описывается уравнениями Навье-Стокса [2]:

(V ■УГУ = — — + VДV — УП, divV = 0.

Р

Требуется доказать теорему (критерий Бернулли).

Необходимым и достаточным условием сохранения трехчлена Бернулли р V2

—I—-—+ П вдоль линий тока в (открытой) области течения А0 является равенство Р 2

нулю градиента, величины завихренности |^| = |го1 V| (равенство нулю слагаемых с вязкостью в уравнениях Навье-Стокса).

3. Достаточность

Поскольку в плоскопараллельном случае вектор ш = rotV перпендикулярен плоскости течения, то из предположения о равенстве нулю градиента |w| в (открытой) области Ао следует, что

rot ш = 0.

Как и в невязком случае [2, 6], запишем уравнения Навье-Стокса в форме Громека-Ламба:

ш х V = —V

При условии rot ш = 0 первое уравнение упрощается:

ш х V = —V

— v rot ш, divV = 0.

Градиент трехчлена Бернулли перпендикулярен скорости. Поэтому трехчлен Бернулли сохраняет свое значение вдоль линии тока. Достаточность доказана.

4. Необходимость

Пусть в некоторой (открытой) области Ао течения трехчлен Бернулли может принимать разные значения на разных линиях тока, но вдоль каждой линии тока сохраняет свое значение. Выберем 1, ^ к — ортонормированную правую тройку векторов так, чтобы вектор к был нормален к плоскости течения. Допустим, что в области Ао есть (открытая) подобласть А\, во всех точках которой Уш = 0, где ш = ш ■ к = |^|.

Величина завихренности ш не может равняться нулю во всех точках этой подобласти, т.к. иначе градиент завихренности Уш равнялся бы нулю. Т.е. в области А\ существует точка, в которой ш = 0. Поэтому, в силу непрерывности ш и открытости А\, существует подобласть ^2 С А\, во всех точках ко торой ш = 0.

Далее, скорость не может быть равной нулю во всех точках А2, т.к. иначе величина завихренности ш равнялась бы нулю, что противоречит выбору Т.е. в области ^2 существует точка, в которой V = 0. Следовательно, в силу непрерывности V и открытости А2, существует подобласть А% С А2, во всех точках ко торой V = 0.

Ниже нам потребуется неравенство нулю вектора и = ш (V — VУ 1п |ш|), упомянутого во введении. Докажем существование подобласти А4 С А3, в которой этот вектор не равен нулю.

В подобласти А% величина завихренности ш не равна нулю. Во-первых, это означает существование 1п |ш|). Во-вторых, — что неравенство нулю рассматриваемого вектора равносильно условию

V = —иУ 1п М.

Допустим V = — vV ln |w| во всей подобласти A3. Тогда

ш = rotV = — и rot V ln |w| = 0,

чего в области Аз не может быть, т.к. Аз С Значит, в области Аз существует точка, в которой V = — VУ 1п |ш|. Поэтому, в силу непрерывности (V — уУ 1п |ш|) и открытости А3, существует подобласть А4 С Аз, во всех точках ко торой (V — V У 1п |ш|) = 0.

Итак, из допущения, что в области Ао есть (открытая) подобласть А\, во всех точках которой Уш = 0, последовало существование подобласти А4, во всех точках которой

Вплоть до получения противоречия, означающего неверность допущения, будем действовать в подобласти А4.

Второе из условий (1) позволяет записать уравнения Навье-Стокса в форме [1]

rot

Получим

rot (ш X (V — V У 1п И)} = ((V — V У 1п М) ■У) ш — (ш ■У)(V — V У 1п М) +

+ ш div(V — VУ 1п |ш|) — (V — VУ 1п |ш|) divш = 0.

Второе слагаемое равно нулю, т.к. в плоскопараллельном течении все производные по направлению ш равны нулю. Последнее слагаемое также равно нулю, поскольку div ш = 0. Поэтому

((V — V У 1п |ш|) ■У) ш + ш div(V — V У 1п |ш|) = 0. к — компонента этого векторного уравнения иолу чается заменой ш на ш:

((V — VУ 1п|ш|) ■У)ш + шdiv(V — VУ 1п|ш|) = 0,

Из уравнения (2) и из условия сохранения трехчлена Бернулли вдоль линий тока следует, что

Выберем в А4 какую-нибудь внутреннюю точку 0\. Введем систему естественных координат (в, п) с центром в точке 0\. Пусть е8 и ега — соответственно единичные касательный и нормальный к линии тока векторы; причем кратчайший поворот от е5 к еп происходит против часовой стрелки. Пусть Н3 и Нп — коэффициенты Лямэ этой ортогональной системы координат И- В координатах (в,п) уравнения (4), (3), (5) выглядят соответственно так:

Vw = 0, ш = 0, V = 0, ш (V — иV ln И) = 0.

(1)

v V2

ш х (V — vV ln И) = —V - + — +П ,

VP 2

divV = 0.

(2)

(3)

rot(a х b) = (b ■ V)a — (a ■ V)b + adiv b — b div a.

или

div {w (V — vV ln M)} = 0.

(4)

V х V ln |w| = 0.

(5)

(6)

d

Ts (H-V) = 0,

(7)

Заметим, что первое и последнее из условий (1) в координатах ( ,в,п) записываются соответственно так: = 0 и ш— — = 0.

Независимо от природы плоского течения справедливо дифференциальное равенство

9 ( 1 д к \ - д ( 1 9 нЛ дз \Hg9s / дп\Нпдп у .

Докажем это равенство. Пусть р = р(з,п) — угол поворота против часовой стрелки от 1 к е3, тогда

е5 = 1 008 р + j sin р, еп = —1 sinр + j 008 р.

Если г( в,п) — радиус-вектор точки с координатами (в,п), то

1 д , ч 1 д

е« = 1Г я~г(§,п) и е™ = ^~7Гг(8,n),

Н3 дз Нп дп

или

д д

—г(з ,п) = (1008 р + j sinр)Hs и — г (в ,п) = (—1 sinр + j 008р)Нп. Приравняем первое из двух последних выражений, продифференцированное по п, второму,

д д

относительно — р и — р, дают дп дв

д 1 д д 1 д двр Нпдп дпр Н3дз п'

р

Найдем левую часть (9). Уравнение (6) с учетом (7) дает

Формула для завихренности в системе координат (в, п) имеет вид [2]

1 д

“ = — <10>

Поэтому

" д2 , (ьп

Далее, из уравнения (7) следует, что

д— д

— = —У— 1п Нп. (12)

д д

С другой стороны, перепишем (10) в виде

д

— (Н3—) = —иН3Нп.

Или

д У д

—— = — у1п Н3 — шНп. (13)

дп дп

Необходимое условие совместности уравнений (12) и (13), а именно, равенство вторых

У

д2 / Н \ д д

—Ш1 Чж) {шН") - шН"н"= 0-

ТТ д2 (нп\

Исключим отсюда 0 0 1п ----- с помощью (11):

дздп \Н3)

д д

—Н3 + V— 1п |ш| + 1п Нп = 0.

д д

Продифференцируем последнее уравнение по п. Производная второго слагаемого равна нулю (см. (8)). Производная первого слагаемого входит в формулу (10). Поэтому

и =------1--— (—На) = —--— 1п Нп.

(ю) Н3Нпдп( 3) НпН3двдп п

Вместе с уравнением (11) это дает:

д2

Ч =0. (14)

двдп

Будем обозначать большими буквами 5 с индексом внизу или без индекса функции, зависящие только от 8, а буквами N — только от п. Эти же функции со штрихом будут обозначать

д

их производные. Кроме того, поскольку ш зависит только от в, обозначим ш' = —ш. С ис-

д

пользованием таких обозначений уравнения (14), (6) и (7) переписываются соответственно в виде

Н3 = Н^Щ, где = 0, так как Н3 = 0; (15)

ТТ

Щи — = Щ2; (16)

N = Нп—; (17)

а неравенства (1) принимают вид (см. замечание после формулы (8))

ш' = 0, и = 0, — = 0, N2 = 0. (18)

Поделим обе части (16) на ш (= 0) и продифференцируем по в:

АТ Н3 ш' (ш'\' ш' д (Нп'

М2и--2 =и\~1 + и~ 1п

Нп ш2 \ ш ) ш де \Н3

Продифференцируем последнее равенство попе учетом (8) и (11):

Н

Поделим это равенство на "2—— (см. (18)):

НП

(1п 1 "2|)'- дк. 1п( ж) =-

N2

Продифференцируем по в, поделим результат на Н3Нп и, использовав (11), получим

N2 _Нп ( 1д \

- 27 = Н~зш +ш\~н3 д~8Нп) .

Н

Подставим сюда отношение —— из (16) и найдем левую часть (9):

Н3

Теперь найдем правую часть (9). Выразим На из (16):

иш'

ня _ н„

NlШ — N2

Отсюда

дпНа _ (НгпдпНп) N1Ш—N2 — N"—N2)2№ — N2)• (20)

1 д

Получим выражение для----------------Нп, входящее в (20). Исключим На из уравнений (15) и

Нп дп

(16):

Н2 _ у" 1

Нп

Поэтому

N1ш — N2

1 д 1 д 1 д 1 д НП дпНп _ 2дп 1п(НП)_ — 2 дп ‘”^1 ш —~2| — 2 дп ‘"|№»'_

_ — 2( N1ш —N2) № ^ _ — 2дп 1п|ЛГо1-

1 д

Подставим это выражение для —т^Нп в (20):

Нп дп

д ( 1 д тт \ , д ( N3 3

\НЛ дП а) _иШдП\ (N1" — N2) — N2^( 1Ш — 2)/_

дп\Нпдп ) дп \ (N1ш — N2) 2(N1ш — ^)2

' ( N3 — ЛТ2) + 3 '.. „',2

ш \ - N2) — №ш — N2)2 + (Я,ш — N2)3 — "2) —

3 / лт».. ,,,У Q(п,ш)

г(N1'ш — N2')} _г/ш'-

2(NlШ — N2)^ 1 27 / (N1 ш -N2)3,

где Q(n, ш) — многочлен от ш степени не выше двух, с коэффициентами, зависящими от п.

Приравняем найденное только что выражение для правой части уравнения (9) выражению для левой части (формула (19)):

N2 ш' , Q(n, ш)

_ иш

2и ш2 (^ш — N2)3 ’

Из ш' _ 0 следует, ВО-ПврВЫХ, что функции ш0, ш1, ш2, ш3 и т.д. — линейно независимы и,

ш

^(^ш — N2)3 _ 2у2ш2Q(n, ш).

Зафиксируем п. Слева — многочлен с коэффициентом —N1 щи ш°. Справа — многочлен, имеющий нулевой коэффициент при ш°. Поэтому N _ 0, что противоречит последнему из условий (18).

К этому противоречию привело допущение, что в области А° есть (открытая) подобласть А1, во всех точках ко торой Уш _ 0, то есть это допущение неверно. Поэтому в любой окрестности любой точки области А° есть точка, в которой Уш _ 0. А это, в силу непрерывности Уш, означает, что Уш _ 0 во всей области А°. Необходимость доказана.

5. Следствия

Ниже употребляется словосочетание «влияние вязкости». Физически этот термин означает, что результирующая сил трения, действующих на элемент жидкости, не равна нулю. Математически — неравенство нулю вектора ^ДV.

1. Влияние вязкости всегда проявляется в виде непостоянства трехчлена Бернулли

Р л. V* „ "

—|------+ П вдоль линии тока.

Р 2

2. Ненулевая результирующая сил трения всегда имеет ненулевую составляющую вдоль скорости жидкости.

6. Заключительные замечания

Доказательство проведено при условии V _ 0. Это условие существенно, т.к. при V _ 0, и при постоянной, и при переменной по пространству завихренности трехчлен Бернулли сохраняется вдоль линий тока (классическая теорема Бернулли [2]). В этом случае из постоянства трехчлена Бернулли вдоль линий тока не следует равенство нулю градиента завихренности.

Доказательство существенным образом опирается на коммутативность смешанных частных производных, на существование и непрерывность некоторых частных производных. Все этапы доказательства будут обоснованы, если принять следующие требования к гладкости: компоненты скорости должны быть трижды непрерывно дифференцируемы-П

координат.

Случай сохранения трехчлена Бернулли вдоль линий тока не в (открытой) области, а только вдоль одной отдельной линии тока не рассмотрен.

Литература

1. Голубкин В.Н., Сизых Г.Б. О некоторых общих свойствах плоскопараллельных течений вязкой жидкости // Известия АН СССР. МЖГ. — 1987.— Л*8 3. — С. 176-177.

2. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. — М.: Наука, 1978.

3. Брутян М.А., Голубкин В.Н., Крапивский П.Л. Об уравнении Бернулли для осесимметричных течений вязкой жидкости // Уч. зап. ЦАГИ. — 1988. — Т. XIX. — № 2. — С. 98-100.

4. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. VI. Гидродинамика. — М.: Наука, 1988.

5. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкостей. — М.: Мир, 1967.

6. Бэтчелор Док.. Введение в динамику жидкости. — М.: Мир, 1973.

Поступим в редакцию 19.06.2012.