КРИТЕРіЙ АДЕКВАТНОСТі ЯК ОЦіНКА ЕФЕКТИВНОСТі ПРОЦЕСУ ПОБУДОВИ МОДЕЛі Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

-□ □-

Розглянуто процес побудови математичног моделi як технологiчног операци, ефективтсть яког оцне-на за утфшованим методом. Подат вирази нижньог границ ефективностi процесу формування математичног довтьног моделi, як слугуватимуть мiрою для nорiвняння гх адекватностi. Проведено моделювання процесу побудови математичног моделi за методом най-менших квадратiв та iз додатковими умовами

Ключовi слова: оцнка ефективностi, локальна мiра,

единий критерш адекватностi

□-□

Рассмотрен процесс построения математической модели как технологической операции, эффективность которой оценена унифицированным методом. Представлены выражения нижней границы эффективности процесса формирования произвольной математической модели, которые могут служить мерой для сравнения их адекватности. Проведено моделирование процесса построения математической модели просто методом наименьших квадратов и с дополнительными условиями

Ключевые слова: оценка эффективности, локальная

мера, единый критерий адекватности -□ □-

УДК 519.87:[517.951+517.5]

|DOI: 10.15587/1729-4061.2015.37204|

КРИТЕР1Й АДЕКВАТНОСТ1 ЯК ОЦ1НКА ЕФЕКТИВНОСТ1 ПРОЦЕСУ ПОБУДОВИ МОДЕЛ1

О. М. Трунов

Кандидат техшчних наук, доктор фтософи, доцент, перший проректор Чорноморський державний ушверситет iM. Петра Могили вул. 68 Десантнимв, 10, м. МиколаТв, УкраТна, 54003 E-mail: ant@kma.mk.ua

1. Вступ

Загально ввдомо, що якiсть сформовано! математич-но1 моделi об'екту е визначальною в математичному програмувант, управлiннi складними об'ектами та автоматизованими системами, автоматизованому про-ектуванш та управлiннi [1, 2]. Формування моделi за рахунок встановлення та використання фiзичних зако-номiрностей разом iз використанням практичних даних е шструментом для и побудови у тому числi за допомо-гою апроксимацп. Таким чином, етап побудови моделi та доведення и адекватностi е невiд'емною частиною усiх дослiджень. Вiдтворення явищ, моделювання процеав та аналiз результатiв таких чисельних експерименпв завжди Грунтуеться на впевненосп у правомiрностi ви-бору абстрактних припущень та дiевостi застосування критерпв, за допомогою яких, у свою чергу, доводять достовiрнiсть та точшсть отриманих результатiв та правильность висновкiв. Адекватнiсть, як поняття за сво1м визначенням, мае таке призначення, але його застосу-вання до практичного аналiзу стримуеться вiдсутнiстю единого виразу як мiри, яка б дозволяла юльюсно ощ-нювати альтернативи рiзних стратегiй. Останне робить задачу обгрунтування, виводу единого виразу оцiнки адекватносп - актуальною, оскiльки реалiзацiя пошуку оптимальних рiшень, шляхом аналiзу рiзних управлш-ських стратегiй для автоматизованих технолопчних систем, здiйснюеться тшьки шляхом моделювання.

2. Аналiз лкературних даних та постановка проблеми юльюсно! оцiнки адекватностi

Бiльшiсть робгг присвячених пошуку загальних закономiрностей добору критерпв встановлення адек-

ватностi використовуе для цього рiзнi поняття [1-4] та способи юльюсного вимiру [4-9], а також рiзнi мiри близькостi [10-11]. Одним iз поширених способiв побудови моделi у виглядi функцш однiеi або декiлькох змiнних е апроксимащя [5, 7-9, 12-16]. Такий процес умовно подшяеться на два етапи: доведення виду функцп та знаходження и параметрiв - констант за даними практичних спостережень або спещально по-ставленого експерименту, що попередньо оброблено. Для пошуку набору констант у бшьшосп роби ви-користовуеться метод найменших квадратiв [14-15]. Однак, як показано у роботах [5-9, 11-13, 16-20] для тдвищення ввдповвдност поведшки моделi, особливо це дощльно для динамiчних моделей [14, 11-13, 16-20], ефективним е застосування двох титв умов. Перша з яких, забезпечуе безпосередне и виконання у окремих фжсованих точках, а друга наближення тим чи шшим способом на окремш множинi точок, що дае новi переваги такому тдходу у порiвняннi з простим методом найменших квадраив [11, 14-15]. Крiм того, за допомогою кожно! iз цих умов подаеться одразу декшька характеристик адекватности що суттево ускладнюе вибiр практично! реалiзацii процесу апроксимацii, у силу ввдсутносп единого способу вимiру адекватность Таким чином, застосування одразу деюлькох характеристик властивостей, що характеризують адек-ватшсть моделi у статичному сташ або Г! змiни у чаа [12, 13], а шакше кажучи вiдсутнiсть едино! комплексно! характеристики [11, 17-19] е головною перешкодою обгрунтування виду моделi та и юльюсно! реалiзацii шляхом апроксимацп i тому е головною не розв'яза-ною проблемою, що тдлягае розв'язку. Разом з тим, досвщ отриманий пiд час розв'язку спорщнених задач керування та пошуку единого методу формування критерiю оцiнки ефективностi технолопчного процесу

за умов деюлькох факторiв впливу [11, 19], розв'язку диференщальних та штегральних рiвнянь [20], ре-курентного розкладу у ряди Тейлора [11, 19], ггера-цшних методiв розв'язку рiвнянь [22], побудови бази знань, дозволяе поставити метою даного дослiдження: сформувати метод побудови единого виразу ощнки адекватност як оцiнку ефективностi технолопчного процесу формування математично'1 моделi.

3. Мета та задачi дослщження

Метою дослщження е побудова единого виразу ощнки адекватности що дозволяе враховувати деюль-ка факторiв впливу та запропонувати вирази для 1х розрахунку.

Для досягнення поставлено! мети розв'язувалися таю задача

- обгрунтування закону, що встановлюе юльюс-ний зв'язок мiж адекватнiстю та окремими критерiями якими прийнято 11 характеризувати;

- юльюсного моделювання та порiвняльного аналiзу здатност вiдносноi величини середньо квадратично! похибки, що ощнено мiрою за величину яко! обрано максимально можливе значення функцп на ш-тервалi та вiдносноi максимально можливо! похибки, що визначеш за локальними мiрами;

- формування рекомендацiй по визначенню фак-торiв та виразiв для розрахунку результуючо'1 адек-ватностi у випадку аналiзу поведiнки моделi та 11 похщних.

4. Постановка задачi про оцiнку нижньо! границi величини адекватност

Припустимо, що ефективнiсть е неперервною фь зичною величиною, яка визначаеться деюлькома не-залежними факторами i е 1х функцiею. Спираючись на загально вiдомi свiтогляднi постулати, головним твердженням яких е:

- при нульовому результат реалiзацii технологи 11 ефективнiсть - нульова;

- при нульовiй ймовiрностi реалiзацii операцii ефективнiсть теж - нульова;

- при нульових значеннях кожного з факторiв впливу ефектившсть - нульова.

На пiдставi цих тверджень розклад у ряд Маклоре-на буде подано у лшшному наближенш:

е=х .

Х Э xi

xi

= 0

£ эе А х, = X , Эх,

х,

= 0

х, =

С =

X дЕ

Х Эх,

у

Х Эх,

х,

=0

N N

£8 ,х, = СХ 8,х, ;

х,

=0

ЭЕ Эх,

; 8, = -

х,

=0

С

Скориставшись геометричною нерiвнiстю оцiнимо нижню границю ефективностi

N N

Е = С£8,х, > СП( х,)

8,.

Розглянемо процес творення модел^ як один з ви-дiв технологiчних процесiв. За таких умов ощнювати його ефектившсть необхщно враховуючи загально вь домi фактори, що за своею суттю визначають адекват-нiсть моделi до об'екту. Рiвень та ступiнь адекватност оцiнюеться за трьома основними показниками з групи:

- достовiрнiсть;

- точшсть та повнота;

- глибина та суттевкть.

Забезпечення достовiрностi вихщно'1 iнформацii про об'ект здiйснюеться шляхом збору практичних даних, або шляхом безпосереднього планування та проведення експерименту з об'ектом [2]. В ходi остан-нього, отримуються експериментальш даннi. Iснуючi методи статистично'1 обробки та ощнки приладно'1 та методично'1 похибки, визначення закошв розподiлу, математичного очiкування, дисперси та довiрчих ш-тервалiв дозволяють отримати шформащю за якою ощнюеться достовiрнiсть вiдповiдно до першого критерж адекватностi. Далi будемо покладати, що вихщш даннi про об'ект шнують, закон розподiлу встановлено, математичне очжування як функцiя головних параметрiв, дисперия та довiрчi iнтервали визначенi. Цей процес передуе процесу формування моделi i е вихiдним. Поставимо за мету обгрунтувати методологiю забезпечення адекватности як методоло-гiю забезпечення вщповщност усiм п'яти критерiям. Роздiлимо в« величини на тi, що е величинами безу-мовного виконання, тобто таю, що приймають задане значення та таю, що е величинами не безумовного виконання, тобто таю, що мiнiмiзують або максимiзу-ють. Осюльки результатом процесу побудови моделi е досягнуте значення середньоквадратично'1 похибки або модуля вщносно'1 похибки, яке мiнiмiзуеться то у силу вимоги однозначного тлумачення показника ефективноси, як фактор введемо обернену 1й величину. що визначае ефектившсть процесу. Спочатку по-дамо вираз ефективност для одно факторно'1 моделi за умов апроксимаци даних для похiдноi порядку к запишемо:

Е =

1

í V

о

Р (1 + к),

(1)

F(x,

V

де позначено Е - ефектившсть, F(x,||A||) - формаль зований запис моделi вiд фактору х та параметрiв, що умовно позначено матрицею ||А||, F(x,||A||) - величина найбiльшого значення моделi, а о - середньо квадратичне ввдхилення моделi вiд експерименталь-них значень, Р - довiрча ймовiрнiсть яка задаеться як результат виконання технологи моделювання або ощнюеться за результатом ощнки величини довiрчого штервалу.

Тепер подамо вираз ефективносп за умов визначення коефвденпв матрищ ||А|| для експериментальних даних про поведiнку похiдних:

E=(i+kmax) Iх-j=1

2Pj,

(2)

V

F(j)(x,

де позначено kmax порядок старшо'1 похiдноï, що апрок-симуеться, F(j)(x,||A||). - найбшыше значення похщ-но!, що апроксимуетыся, а Gj - ïï середньоквадратична похибка та також Pj - довiрча ймовiрнiсты ïï апроксимаци.

Також важливо визначити ефективнiсты для ба-гатофакторноï моделi, що враховуе одразу п'яты вла-стивостей, як визначаюты адекватнiсты тобто також визначаюты глибину, повноту та суттевiсты. Для такого випадку нижня границя ефективност може бути ощ-нена виразом

1+ kjima

E = I

j=i

9F(j)(X,||A||)

2Pj I (l+k

7(j)(X^AII)j„

Nü

dXi

N NimaxF(X,

де позначено N - загалыне число факторiв, що впли-ваюты на фiзичну величину, Nmax - кiлыкiсты факторiв, що буде враховано математичною моделлю, F(X,||A) -формалiзований запис модел^ що будуетыся, X -N компонентний вектор факторiв, якi визначаюты поведшку моделi, |A|| - матриця констант, що тд-лягаюты визначенню пiд час формування моделi, F(X,||A||) , F(j)(X,||A||) - найбiлышi значення фiзич-ноï величини та ïï похiдноï вiдповiдно, що описуеты-ся моделлю, а Gj - середне квадратичне ввдхилення значены похiдноï порядку j фiзичноï величини, Pj -довiрча ймовiрнiсты, того факту, що довiрчий штер-вал накривае значення похiдноï порядку j фiзичноï

чиною сумнiвного розряду, а значиты загалына ефек-тившсты суттево збiлышуетыся, оскiлыки за цих умов похибка е меншою за середныоквадратичну. Крiм того, слiд зазначити, що у цыому випадку - коли забезпечу-етыся умова виконання рiвностi незалежно вiд виду норми довiрча ймовiрнiсты набувае свого найбшышого значення - одиницi.

5. Моделювання процесу формування модел^ розрахунок адекватност та обговорення результатiв

Припустимо, що отримано даш, якi описуюты од-но-факторну залежнiсты. Розглянемо процес формування ïï моделi з використанням апроксимаци функцп i похiдних рiзного порядку та ïx моментiв з одночасним визначенням ефективность Данi, що для одинадця-ти точок X (колонка 2) та вщповщних значены фiзичноï величини y, що вико-ристовуватимутыся як виxiднi та даш про ïï поxiднi подано у колонках 2-5 табл. 1 ввдповвдно. Нижнш iндекс m позначае належшсты до величин якi розрахова-но за моделлю, а для квадрата похибки нижш iндекси позначаюты належнiсты до фiзичноï величини або ïï похщних для яких вона роз-рахована, даш про значення, яю отримано за моделлю та квадрат абсолютноï похибки подаш у колонках 6-11. Для визначення вiдносноï середныоквадратичноï похибки взято максималыне значення вiдповiдноï величини або ïï поxiдноï. Моделы обрано у виглядi:

A Xi

-,(3)

y = [a1,a2,a3]

величини, kji

максималыний порядок похщно!,

що обрано i3 загального числа ii значень для кожного фактору i3 перелiку врахованих NjiImx , як найбiльша величина kjimax = sup{kji,i = 1,Nmax} .

Останнiм часом продемонстровано [11,12], що процес побудови моделi е бiльш ефективним нiж розра-хунки за виразами (1)-(3), якщо використовуються для оцiнки достовiрностi рiзнi види мiр, або якщо його сформульовано, як задачу багато критерiальноi апроксимаци [11], або як задача багато критерiальноi вден-тифжаци [20], або як задача керування за максимумом адекватност [12, 18-20] або мжмумом вiдхилення вiд поведшки еталонноi моделi.

M 1+ kjima

E = I I

m=1 j=1

1

Gmj

F(mj)(X,

ч 2Pmj

Ni max j .

I (1+ kmjimax)

Nm

Для пошуку констант обрано метод найменших квадратiв. Отриманi апроксимацiею самоï функцiï величини трыох констант матриц HA], якi визначенш за методом найменших квадратiв, маюты значення:

a1 = 105.7193776; a2 = -105.7193776; a3 = 1.570345734.

Резулытати аналiзу даних табл. 1 свщчаты, що моделы константи яко'1 розраxованi за методом найменших квадрапв не задоволыняе крайовим умовам. Незважаю-чи на те, що апроксимащя поxiдниx не здiйснюваласы, але похвдш отриманi прямим диференцiюванням виразу моделi описуюты якiсно ïx поведшку. Вщносна середныо квадратична похибка для фiзичноï величини мае наступш значення

9F(j)(X,||A||)

Э

Axi

xi

N NmimaxF(j)(X,||A|)jr

, (4)

де m - позначае поточний номер норми, що визначае точнiсты, а M - позначено юлыюсты норм, що одно-часно використовуютыся при побудовi моделi. Слщ зазначити, якщо норма використовуетыся як параметр безумовного виконання, то ïï похибка визначена вели-

Оусер ymax G

y ,

= 0.058541894; ^ = 0.224897095;

^ = 0.6689285.

y''

1

Аналiз 1х величин засвiдчуe 1х зростання, що де-монструе погiршення здатност виразiв, якi отриманнi прямим диференщюванням моделi описувати поведш-ку похвдних фiзичноi величини iз збiльшенням порядку похвдноь Загальний розрахунок значень величини критерж адекватностi Ej для похiдноi порядку ] за виразом (1) засвщчуе також зменшення адекватносп виразу похiдних

Е0 = 185.6828614;

Е1 = 25.1633036;

Е2 = 4.266455403.

Результуюче значення Е отримаемо за виразом (2) Е = 599.0599949.

Розглянемо ще один з шших пiдходiв до побу-дови моделi за даними про поведшку фiзичноi величини та И першоi i другоi похiдноi, як визначено по кiнцевих приростах у сусщшх точках та подано у табл. 1.

Не змшюючи вид моделi поставимо задачу про мтмум суми квадратiв вiдхилень, яку доповнимо двома крайовими умовами про рiвнiсть нулю значень у точках початку та на кшщ штервалу, тобто:

Ут (Х) = а1х2 + а2х2 + ^

N 2

т1П Е(у - х2 + а2х2 + а3 ) ,

Ут (0) = 0,

Ут (1)= 0. (5)

Розв'язком системи (5) буде:

£у,(х2 - х,) а1 = V21-;

Е(х4 - 2x3 + х2)

1=1

а2 = -а!, а3 = 0;

Ут(х)=а1(х2 -1)

Розрахунок константи дае значення а1 = 97.94539. Даннi розрахунюв за цим пiдходом, який одночасно реалiзуе декiлька умов мiнiмiзацii суми квадрапв по-хибки та двох крайових умов подаш у табл. 2.

Ввдносна середньо квадратична похибка для фiзич-но' величини мае наступш значення

Таблиця 1

Порiвняльнi даннi про властивостi об'екту та модели константи якоТ визначенi методом найменших квадратiв

х У dy dx d2y dx2 Ут (4 ( ^ ) т (°2к ах (а2У 1 1 ^ т Иа'У ах2

1 0 0 -50 -601.776 1.570 2.4659 -95.1474 2038.291 211.4388 661318.2

2 0.1 -5 -110.178 601.221 -7.944 8.6694 -74.0036 1308.561 211.4388 151930.2

3 0.2 -16.017 -50.0555 200.222 -15.344 0.4529 -52.8597 7.863475 211.4388 125.8156

4 0.3 -21.023 -30.0333 200.222 -20.630 0.1541 -31.7158 2.830851 211.4388 125.8156

5 0.4 -24.026 -10.0111 200.222 -23.802 0.0503 -10.5719 0.314539 211.4388 125.8156

6 0.5 -25.027 10.0111 200.222 -24.859 0.0283 10.57194 0.314539 211.4388 125.8156

7 0.6 -24.026 30.0333 200.222 -23.802 0.0503 31.71581 2.830851 211.4388 125.8156

8 0.7 -21.023 50.0555 601.221 -20.630 0.1541 52.85969 7.863475 211.4388 151930.2

9 0.8 -16.017 110.177 -601.776 -15.344 0.4529 74.00356 1308.561 211.4388 661318.2

10 0.9 -5 50 601.221 -7.944 8.6694 95.14744 2038.291 211.4388 151930.2

11 1 0 110.122 200.222 1.570 2.4659 116.2913 38.05922 211.4388 125.8156

0.0585 0.224897 0.668928

Таблиця 2

Порiвняльнi даннi про властивостi об'екту та модели константи якоТ задовольняють крайовим умовам та визначеж

методом найменших квадралв

х У ¿У ах а2У ах2 Ут И ¿У ах И* а2У ах2 Иа'У ах2

1 0 0 -50 -601.776 0 0 -97.9454 2298.76 195.8908 636272.3

2 0.1 -5 -110.178 601.221 -8.81509 14.55487 -78.3563 1012.59 195.8908 164292.6

3 0.2 -16.0178 -50.0555 200.222 -15.6713 0.120061 -58.7672 75.8943 195.8908 18.75947

4 0.3 -21.0233 -30.0333 200.222 -20.5685 0.206823 -39.1782 83.6283 195.8908 18.75947

5 0.4 -24.0266 -10.0111 200.222 -23.5069 0.270136 -19.5891 91.7376 195.8908 18.75947

6 0.5 -25.0278 10.0111 200.222 -24.4863 0.293117 0 100.222 195.8908 18.75947

7 0.6 -24.0266 30.0333 200.222 -23.5069 0.270136 19.58908 109.081 195.8908 18.75947

8 0.7 -21.0233 50.0555 601.221 -20.5685 0.206823 39.17816 118.316 195.8908 164292.6

9 0.8 -16.0178 110.1776 -601.776 -15.6713 0.120061 58.76723 2643.02 195.8908 636272.3

10 0.9 -5 50 601.221 -8.81509 14.55487 78.35631 804.080 195.8908 164292.6

11 1 0 110.1221 200.222 0 0 97.94539 148.272 195.8908 18.75947

-0.06811 0.23676 0.666358

- = 0.068111179;

- = 0.236768578;

= 0.666358082.

Ут

Оу

У',

Оу

У''

Загальний розрахунок значень величини критерт адекватностi Ej для похщно! порядку ] за виразом (1) засввдчуе зменшення адекватностi виразу похвдних, що вiдповiдаe погiршенню 1х точност

Е0 = 176.365252;

Е1 = 29.18983814;

Е2 = 5.527843511

Результуюче значення адекватностi Е отримаемо за виразом (2) Е = 578.4083568.

Слщ зазначити,

Данi про величини середньо квадратичт та ввд-ност похибки, довiрчу ймовiрнiсть та адекватшсть, що розраховано за середньою вщносною похибкою (6) зiбранi та подан у табл. 3.

Аналiз цих даних свщчить, що задовольняю-чи крайовим умовам та забезпечуючи по точкове зменшення вiдносноi похибки приводить до покра-щення адекватностi, а також i величин показникiв адекватностi як для самоi фiзичноi величини так i ii похiдних першого та другого порядку вщповщно, що у свою чергу вщдзеркалюе результуючий показник адекватность

Таким чином, на пiдставi аналiзу результатiв роз-рахункiв показникiв та порiвняння значень адекват-ностi, що розраховуються з використанням значень вщносних середньо квадратичних похибок або серед-нiх значень максимально можливих похибок обираемо для розрахунюв адекватностi пльки середнi значення максимально можливих похибок, осюльки у такому випадку показники адекватносп е бiльш чутливi до поведшки моделi у кожнiй точщ.

модель | (о )у (О )ау ах (о )а2у ах2 ( !)у (8) аУ ( к) ¿1 ах2 Р Ее Е1 Е2 Е

1 0.058541 0.224897 0.668928 415.2745 0.521908 0.6959791 0.6363 3.690Е-06 2.3362 1.3137 10.949

2 0.06811 0.236769 0.666358 0.152496 0.490215 0.43667 0.8181 35.182892 3.4046 4.2908 128.63

що довiрча ймовiр-нiсть зросла з Р = 0.636363636 до Р = 0.818181818.

Порiвняння зна-чень середньо ква-дратичних вщхи-лень, вiдносних се-редньо квадратич-них похибок, серед-нiх значень максимально можливих похибок свщчить, що врахування крайових умов покращуе отриману модель. Останнш висновок також тдтверджуе збiльшення величин показ-ниюв адекватностi. Однак, загальний показник адекват-ностi дае протилежнi результати. Причина та^ розбiж-ностi висновкiв полягае у тому, що дослвдник аналiзуючи мимо волi проводить порiвняння ввдхилення 8 по точкам, а в показниках закладено збiжнiсть у середньому. Лжввдащя такого протирiччя досягаеться введенням не единоi мiри F(j)(X,||A||) для iнтервалу визначення, а використання и значення у данiй точщ або введення локальноi мiри для кожного iз станiв об'екту [10]. Таким чином, вирази для критерт адекватносп перепишуться

Таблиця 3

Порiвняння характеристик двох способiв побудови моделей

6. Висновки

Е=(1+и!

j=1

1

(6)

8 j

^'(х, А

1. Кiлькiсне визначення нижньоi гранищ ефектив-ностi процесу формування математичноi моделi може слугувати мiрою для порiвняння '¿х адекватностi.

2. Використання вщносних змiнних з единою мiрою, що е найбiльшим значенням величини змшшл на iнтервалi робить ощнку адекватностi не чутливою до точкових стрибюв а у деяких випадках призводить до хибних висновюв при порiвняннi моделей.

3. Використання вщносних змiнних з локальною мiрою у кожнш точцi збiльшуе чутливiсть ощнки до будь яких точкових вщхилень моделi та вiдповiдае якiсним и змiнам при зменшеннi вiдносних вщхилень, як за показником адекватностi похщно', так i результу-ючого показника при апроксимацп не тiльки фiзичноi величини, а й ii похщних.

j/

М 1 + kjlm.

е=: :

т=1 j=1

ЭF(j)(X,

V

кщ.тах)

Nm

Эх

Ах,

F(j)(x, А|

N ^¡^Р^Х,

j/

де 8 позначено абсолютну похибку.

Лиература

1. Коган, Б. Я. Общие вопросы моделирования и моделирование с помощью вычислительных машин, Теория и методы математического моделирования [Текст] / Б. Я. Коган, И. М. Тетельбаум. - Издательство "Наука", Москва, 1978. - 13 с.

2. Климов, У. Н. Формирование математических моделей как сложный много уровневый процес, Теория и методы математического моделирования [Текст] / У. Н. Климов. - Издательство "Наука", Москва, 1978. - С. 14-16.

О

1

3. Кондратенко, Ю. П. Применение методов осредняющих операторов к исследованию нестационарных объектов Теория и методы математического моделирования [Текст] / Ю. П. Кондратенко, А. Н. Трунов. - Издательство "Наука", Москва, 1978. - С. 123-124.

4. Trounov, A. N. Mathematical aspects of image recognition [Text] / A. N. Trounov // Proc. Of International tecnology 90, Szezecin, Poland, 1990. - P. 479-493.

5. Попов, Б. А. Приближение функций для технических приложений [Текст] / Б. А. Попов, Г. С. Теслер. - К.: Наук. думка, 1980. - 352 с.

6. Попов, Б. А., Малачивский П. С. Наилучшие чебышевские приближения суммой многочлена и нелинейных функций [Текст] / Б. А. Попов, П. С. Малачивский. - Препр./АН УССР Физико-мех. ин-т им. Г. В. Карпенко. - 1984. - № 85. - С. 70 с.

7. Воробель, Р. А. Равномерное приближение экспоненциальными и степенными выражениями с условием [Текст] / Р. А. Во-робель, Б. А. Попов // Алгоритмы и программы для вычисления функций на ЭЦВМ. - 1981. - Вып. 5, Ч. 1. - С. 158-170.

8. Попов, Б. А. Равномерное приближение сплайнами [Текст] / Б. А. Попов. - К.: Наук. думка, 1989. - 272 с.

9. Бейкер, Дж. Аппроксимации Паде [Текст] / Дж. Бейкер, П. Грейвс-Моррис; пер. с англ. - М.: Мир, 1986. - 502 с.

10. Trunov, O. M. Rozvitok metodiv ocinki efektivnosti sistem upravlinnja robotizovanimi kompleksami u glibokovodnih tehnologijah [Text] / O. M. Trunov // Vestnik HNTU. -2013. - Vol. 1, Issue 46. - P. 328-337.

11. Трунов, О. М. Рекурентна апроксимащя у задачах моделювання та проектування [Текст]: монографiя/ О. М. Трунов. -Миколшв, 2012. - 270 с.

12. Гроп, Д. Методы идентификации систем [Текст] / Д. Гроп. - М.: Мир, 1979. - 302 с.

13. Козеев, А. А. Методы аппроксимации выходных координат нелинейных систем управления [Текст] / А. А. Козеев // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. - 1979. - № 3. - С. 194-199.

14. Батунер, Л. М. Математические методы в химической технике [Текст] / Л. М. Батунер, М. Е. Позин. - Изд. Химия, Ленинградское отделение, 1968. - 823 с.

15. Хемминг, Р. В. Численые методы [Текст] / Р. В. Хемминг. - Изд. "Наука" Москва, 1972. - 400 с.

16. Корнейчук, Н. П. Аппроксимация с ограничениями [Текст] / Н. П. Корнейчук, А. А. Лигун, В. В. Доронин. - Киев: Наукова думка, 1982. - 252 с.

17. Трунов, О. М. Адекватшсть моделi як задача багатокритер1ально'1 щентифшацп [Текст] / О. М. Трунов // Научно-технический журнал. Авиационно-космическая техника и технология. - 2007. - № 7 (43). - С. 178-182.

18. ^bayashi, Y. On the use exponential function in approximation of elliptic integrals [Text] / Y. ^bayashi, M. Ohkita, M. Inoue // Mathematics and Computers in Simulation. - 1979. - Vol. 21, Issue 2. - P. 226-230. doi: 10.1016/0378-4754(79)90138-1

19. Trunov, A. N. The formation of unified method of technological process effectiveness evolution [Text] / A. N. Trunov // Problemy informacijnyh tehnologij. - 2014. - Vol. 1, Issue 14. - P. 104-108.

20. Дзядик, В. К. Аппроксимационные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений [Текст] / В. К. Дзя-дик. - Киев: Наукова думка, 1988. - 304 с.

21. Литвин, О. М. Класична формула Тейлора, узагальнення та застосування [Текст] / О. М. Литвин, В. Л. Рвачов. - Кшв: Наук. думка, 1973. - 122 с.

22. Трауб, Дж. Итерационные методы решения уравнений [Текст] / Дж. Трауб; пер. с англ. - М.: Мир, 1985. - 264 с.

23. Теслер, Г. С. Построение базы знаний на основе порождающих алгоритмов [Текст] / Г. С. Теслер. - Разработка и внедрение цифровых вычислительных комплексов и систем распределенной обработки данных. Сб. научн. трудов. - Киев: Ин-т кибернетики АН УССР, 1986. - С. 21-27.