CC BY
21
УДК 519.22 Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2019. Т. 6 (64). Вып. 2
МБС 62Р03, 62020
Критерии согласия, основанные
на характеризации логистического распределения*
Я. Ю. Никитин, И. А. Рагозин
Санкт-Петербургский государственный университет,
Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7—9
Для цитирования: Никитин Я. Ю., Рагозин И. А. Критерии согласия, основанные на характеризации логистического распределения // Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия. 2019. Т. 6(64). Вып. 2. С. 241-252. https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2019.206
Логистическое семейство распределений принадлежит к числу важных семейств в теории вероятностей и математической статистике. Тем не менее, для проверки сложной гипотезы о принадлежности выборки логистическому семейству с неизвестным сдвигом против альтернатив общего вида критерии согласия почти не изучены. Разрабатываются два новых критерия согласия, интегральный критерий и критерий типа Колмогорова, основанные на недавней характеризации логистического семейства, принадлежащей Ху и Лину. Обсуждаются асимптотические свойства построенных критериев и вычисляется их бахадуровская асимптотическая эффективность для ряда естественных альтернатив.
Ключевые слова: характеризация распределений, логистическое распределение, асимптотическая эффективность, большие уклонения, информация Кульбака — Лей-блера.
1. Введение. Настоящая работа посвящена критериям согласия для логистического семейства распределений. В дальнейшем под стандартной логистической функцией распределения (ф. р.) Ь и ее плотностью I мы будем понимать
Ь(х) = ех/(ех + 1) и 1(х) = ех/(ех + 1)2, х € К. (1)
Несмотря на важность и популярность логистических семейств распределения (см., например, справочник [1], посвященный исключительно логистическому семейству), критерии согласия для него мало изучены. Примером очень редких публикаций на эту тему может служить статья Стивенса [2], в которой применяется известный подход Дурбина, основанный на сходимости эмпирических процессов с оцениваемыми параметрами.
В последние годы растущую популярность приобретает проверка гипотез согласия, основанная на характеризации распределений, см. обзорную статью [3]. В ней описано множество критериев экспоненциальности, нормальности и равномерности, основанных на характеризациях этих семейств распределений, причем многие из них удобны для использования на практике и имеют высокую асимптотическую эффективность. Причина этого, возможно, в скрытых свойствах распределений, выраженных именно в характеризационных терминах. Однако никаких критериев согласия
* Работа выполнена при поддержке гранта СПбГУ—ННИО 6.65.37.2017. (¡5 Санкт-Петербургский государственный университет, 2019
для проверки сложной гипотезы о логистичности семейства распределений, основанных на характеризациях, до настоящего времени не было известно. В недавних тезисах [4] обсуждается лишь простая гипотеза о стандартной логистичности.
Целью данной работы является построение и асимптотический анализ двух критериев согласия для логистического семейства со сдвигом, основанных на недавно полученной характеризации Ху и Лина [5], описываемой ниже. Первый — критерий интегрального типа, второй является вариантом критерия Колмогорова.
Известные характеризации логистического закона довольно немногочисленны. Представление о них дают статьи [6] и [7]. В недавней публикации тайваньских математиков Ху и Лина [5, теор. 4] приведена новая характеризация логистического распределения, простейшим частным случаем которой (при п = 2 и к = 1) является следующее утверждение, использующее «случайные экспоненциальные сдвиги».
Теорема 1. Пусть X и У — независимые одинаково распределенные случайные величины с непрерывной ф. р. Г, а 2 — независимая от X и У случайная величина со стандартным экспоненциальным распределением. Тогда X и шт(Х, У) + 2 одинаково распределены тогда и только тогда, когда Г является ф. р. логистического семейства со сдвигом с плотностью 1(х + в), в € К, где плотность I указана в (1).
Следует отметить, что этому результату предшествовала работа [8], в которой была получена характеризация стандартного логистического распределения, т. е. при в = 0, причем при дополнительных условиях на Г.
Теорему 1 мы и положим в основу построения критериев для проверки сложной гипотезы о принадлежности семейству логистических распределений со сдвигом.
2. Построение статистик. Пусть Х1,...,Хп — независимые одинаково распределенные наблюдения с ф.р. Г. Используя теорему 1, будем проверять сложную гипотезу согласия Но, согласно которой Г есть ф.р. логистического закона (1) против альтернативы Н\, состоящей в том, что гипотеза Но не выполняется.
Обозначим через Гп(Ь) обычную эмпирическую ф.р., а именно
п
Гп(г) = п-1^IX <г}, г е к.
г=1
Теперь рассмотрим и -эмпирическую ф.р. [9]
ип(г) = (сП))-1 I{шт(х4,х,-) <*}, г е к,
1<г<3<п
а также еще одну и -эмпирическую ф. р., отвечающую сдвигу на экспоненциальную величину:
сю сю
ип(г) = 1йп(г-8)е-Ч8=(С2пу1 ! 1{тш{Хг,Хо) <t-s}e-sds =
о 1<»<^'<п о
= (с2)-1 Е (1 - )-4)) I{шт(Хг,Х-) <*} .
1<г<3<п
Введем две статистики: интегральную статистику
сю
ьип =У (Гп(г) - ип(г)) ¿к(г) (2)
-с
и статистику типа Колмогорова
KUn =sup |Fn(t) — Un(t)l (3)
t
которые могут служить для проверки Ho против Hi. По теореме Гливенко — Кан-телли для U-эмпирических функций [9] выражение Fn(t) — Un(t) ввиду рассматриваемой характеризации стремится п. н. к нулю равномерно по t, поэтому статистики LUn и KUn при основной гипотезе должны быть малы. Этот факт и используется для проверки гипотезы Ho.
3. Эффективность по Бахадуру. Одна из целей данной работы — асимптотическое сравнение построенных статистик на основе понятия бахадуровской эффективности, которая представляется наиболее удобным средством для сравнения статистик, не являющихся асимптотически нормальными. Поэтому ниже мы сжато изложим основные факты теории Бахадура [10, 11]. Мерой асимптотической эффективности последовательности статистик {Tn} в этой теории является точный наклон ст(0), описывающий скорость экспоненциального убывания достигаемого уровня последовательности статистик при альтернативе. Сформулируем фундаментальную теорему Бахадура [10, 12]. Будем считать, что распределение наблюдений Pg определяется параметром из параметрического множества в, причем нулевая гипотеза Ho состоит в том, что 0 е во С в, а альтернатива Hi состоит в том, что
0 е в1 =в \ во.
Теорема 2. Пусть последовательность статистик {Tn} удовлетворяет следующим условиям:
1) Tn ^ b(0) по Pg-вероятности, 0 е в1; где —ж < b(0) < ж, и
2) lim n— i ln Pg(Tn > а) = —k(a) для любого 0 е в0 и любых а из некоторого
n^w
открытого интервала I, где функция k непрерывна на I, причем {b(0),0 е в1} С I.
Тогда при всех 0 е в1 точный наклон ст(0) существует и вычисляется по формуле
ст (0) = 2k(b(0)).
Теперь определим расстояние Кульбака — Лейблера K(0) [10, 12] между альтернативой и нулевой гипотезой Ho. Так как в нашем случае гипотеза Ho сложная, то для альтернативной плотности f (x, 0) величина K(0) определяется следующим образом:
w
К(в) = М [ In ?}X,e\f(x,e)dx. (4)
w veR J l(x + v) v ' w
— w
Верхняя граница для точного наклона дается, как известно [10, 12], величиной 2K(0). Поэтому естественно определить локальную бахадуровскую эффективность последовательности {Tn}, как это обычно принято, формулой
4. Вычисление информации Кульбака — Лейблера. Сначала опишем альтернативы fi(x, 0),x е R, i = 1, 2, 3, которые мы будем рассматривать в этой работе:
1) альтернатива масштаба с плотностью
е9+хвв = (1 + ^)2.
2) альтернатива гиперболического косинуса с плотностью
1
3) синус-альтернатива в духе работы [13] с функцией распределения при малых в
Г3(х,в) = Ь(х) - ввт(2п£(х))
и плотностью
/3(х,в) = /(х) - 2пвсов(2п£(х))/(х).
Все эти альтернативы при в = 0 переходят в логистическое распределение.
Для рассматриваемых альтернатив несложно показать, что инфимум в формуле (4) достигается при V = 0. Тогда при естественных условиях регулярности [10, §4], выполняющихся для рассматриваемых семейств плотностей, справедливо следующее соотношение [10]:
К (в) ~ ПрИ о ->■ 0,
где I(0) —информация Фишера в нуле для альтернативной плотности /(х, в), которая равна
СЮ
/ (х, 0)|2
1 (0) = /
/ (х, 0)
-¿х.
Поэтому формула для локальной бахадуровской эффективности в (5) преобразуется следующим образом:
"^Й» (6>
Теперь найдем поведение К^ (в), = 1, 2, 3, для наших трех альтернатив при в ^ 0. Используя таблицы интегралов или численное интегрирование, получаем
с
в2 Г ех(ех + х +1 - хех)2 , л2
К1 (в)--/ ——Т ^-—г1х = 0.7150... -б»2,
и 7 2 У (1 + ех)4
с
СЮ
А ; 2 У 4(ех + 1)2
— ОО
б»2 7 4Лхсов2(2^т^) „ „
К3(в) ~ у I -(1 + ^)2 ^ = * в = 9'8696 • • • ' в ■
— ОО
5. Интегральная статистика и ее свойства. Вернемся к изучению интегральной статистики, определенной в (2). Рассмотрим вспомогательную функцию
д(х, у, г) = (1 - I {шш(х, у) < г] , х,у,г € К.
Статистика Ьип асимптотически эквивалентна и -статистике степени 3 с центрированным ядром
Ф(х, у>г) = \- \ (9(х, у; + д{у, х) + д(х, у)) • (7)
Найдем проекцию этого ядра:
/11 2 *(*) = е(Ф(х,у, г)\г = г) = Е^-~ -д(х,У;г) - -д(х,р,У)
= -| (¿Ы-е*) + * 1п(е« + 1) - \ 1п2(е« + 1) + ^±1) , (8)
где дилогарифм Эйлера Ы2 определяется формулой Ы>2(г) = — ^ Л, г £ С.
Теперь вычислим дисперсию проекции. С помощью численного интегрирования получаем
Д2 = ЕФ2(Х) =
АС/ 1 7рх + 1 \ 2 рх
= 9 У (^-еЖ)+-1п(еЖ + 1)-21п (еЖ + 1)+4(^ТТ)) (ТТ^ =
— то
4
= - • 0.00439 ...» 0.00195. 9
Таким образом, ядро Ф невырождено, а тогда по теореме Хёффдинга [9] при п ^ <х имеем
^ кг /п пд2\
V^LUn 4tV(0,9Д2) .
Так как ядро Ф не только невырождено и центрировано, но и ограничено, то мы можем воспользоваться результатами о больших уклонениях U-статистик из работы [15].
Теорема 2. При t > 0
lim n-1 ln P(LUn >t) = h(t),
где h —некоторая непрерывная функция такая, что h(t) ~ — 18*д2 при t —> 0.
Теперь мы можем вычислить локальный бахадуровский наклон нашей последовательности статистик, опираясь на теоремы 1 и 2. Ясно, что
ПРИ
Для широкого класса невырожденных U-статистик асимптотика Ь^и (в) при в ^ 0 уже вычислена в [16]. Сформулированные там условия регулярности ND выполнены
для рассматриваемых альтернатив, поэтому можно написать соотношение
сю
Ььи(в) - 3 ! Ф(х)/'(х, 0)^х • в, в ^ 0, (9)
— с
где /(х, в) —альтернативная плотность. Пользуясь этой формулой, получим следующее выражение для локального бахадуровского наклона:
сьи(в) - Л"2 Ф(х)/(х, 0)йх^ в2, в ^ 0. (10)
Переходим к вычислению локальных эффективностей для трех указанных выше альтернатив.
5.1. Альтернатива масштаба. Используя формулы (9) и (10), получим следующее соотношение для локального бахадуровского наклона:
сьи (в; /1) - 1.1970 ... • в2.
Следовательно, по формуле (6) локальная бахадуровская эффективность равна
е/^/^Иш^)^ 1-1970--^ 0.837. -1-1 и ' в-,о 2К1(в) 1.4299...
5.2. Альтернатива гиперболического косинуса. Вычислим локальный бахадуровский наклон, используя формулы (9) и (10):
сьи (в,/2) - 0.1371... • в2.
Следовательно, по формуле (6) локальная бахадуровская эффективность равна
-1-1 и ' в-,о 2К2{д) 0.2716...
5.3. Синус-альтернатива. По формулам (9) и (10) получим следующее соотношение для локального бахадуровского наклона:
сьи (в,/з) - 14.978 ... • в2.
Следовательно, по формуле (6) локальная бахадуровская эффективность равна
-1-1 и' в^о 2К3(в) 19.739...
Таблица локальных бахадуровских эффективностей для интегрального критерия будет приведена ниже вместе с эффективностями для критерия Колмогорова.
6. Статистика типа Колмогорова. Рассмотрим теперь критерий типа Колмогорова, основанный на статистике Кип из формулы (3). Предельное распределение статистики (3) неизвестно, и для нахождения критических значений следует рассчитывать на результаты моделирования.
2
Эту статистику можно рассматривать как супремум по £ семейства модулей и-статистик с ядрами
Фг(Х,У;г)= (1 - ())1{шт(Х,У) <г]-
- ^ (1{х < ¿} + /{У < ¿}), £ е Р. (и)
Эти ядра ограничены и в силу рассматриваемой характеризации центрированы. Чтобы применить результат о больших уклонениях для таких и -статистик, вычислим проекцию ядра. После обширных вычислений получаем
*i(s,t) = E (Ф1(Х,У; t)|Y = s)
1 2
= Е {(1 - ет[п^-*)1{тт(Х, s) < t}} - ^ (Р(Х <t)+ I{s < t}) =
emin(s,t)(1 + e-t) _ ^ in(Sit) + I{s < t}(l - es(l + 2е~*))
1 + emin(s,t) v J 2(1 + es) 2(1 + et)'
Теперь найдем функцию дисперсии A^t) := EXФ2(Х, t) рассматриваемого семейства ядер как функцию от t. После громоздких вычислений, которые мы опускаем, получаем, что
2 = e3t + 8e2t + 8е* - 4(е* + 1)(е* + 2) 1п(е* + 1)
lU 4e2i(ei + I)2
Теперь остается вычислить ее супремум. Для удобства обозначим et за новую переменную у, и вычислим супремум следующей функции при y > 0:
, , У3 + 8 у2 + 8 у- 4 {у + 1)(у + 2) ln(y + 1)
т{у) =-i^TT?-•
С помощью Wolfram Mathematica находим, что супремум этой функции достигается при у = 1.3846..., и равен 0.02322... Для исходной функции супремум останется тем же, и достигается он в точке t = ln у = 0.3255 ... Итак,
A2 = sup AI (t) = 0.02322 ...
teR
Поскольку семейство ядер центрировано и ограничено, мы можем применить при справедливости Ho теорему о больших уклонениях для U-эмпирических статистик Колмогорова [17], что приводит к следующему соотношению. Теорема 3. При z > 0
lim n-1 ln P {KUn > z} = w(z),
где w — некоторая непрерывная функция на Р+; для которой w(z) ~ — z —> 0.
Опираясь на теорему 3, аналогично формуле (10), можно получить следующее выражение для локального бахадуровского наклона статистики типа Колмогорова [14]:
cku(ö) = A-2 sup If *i(x; t)f'(x, 0)dx I • в2. (12)
teR \ J I
et
Вычислим теперь для этой статистики эффективности для рассматриваемых альтернатив.
6.1. Альтернатива масштаба. Используя формулу (12), получим следующее соотношение для локального бахадуровского наклона:
ieR V1 + e ' e J
При помощи Wolfram Mathematica находим, что супремум достигается в точке t = 0.7713 ... и равен 0.01170 ... Таким образом, бахадуровский наклон удовлетворяет соотношению
cKU,i(0) - 0.5033 ... • в2, в ^ 0,
и, подставляя в формулу (6), получаем, что локальная бахадуровская эффективность равна
cKU 1(в) 0.5033... еНкиЛ = lim 2Ывув2 = YÄ2№~. " °-352'
Получившаяся эффективность существенно меньше эффективности интегральной статистики для той же альтернативы, что типично для статистик Колмогорова [12].
6.2. Альтернатива гиперболического косинуса. При вычислении локального бахадуровского наклона используем формулу (12):
cKU,f2
_ ((2L«2(—i) — In2(t+l))(l+t) + 2t(2 —lnt—t lnt)+ln(t+l)(t+t2 + 2t lnt —2)\ 2 2
4Aiî(Î+I) ; •
При помощи Wolfram Mathematica получаем, что супремум достигается в точке t « 2.2933 ... и равен 0.00118 ... Следовательно, бахадуровский наклон равен
cKu,f2 ~ 0.0509 ... • 02,
и, подставляя в формулу (6), получаем, что локальная бахадуровская эффективность равна
Pff _ 0-0509...
Gf ÎKU'h ¿То 2 KM'О2 0.2716... ~ 0Л874-
6.3. Синус-альтернатива. По формуле (12) получим следующее соотношение для локального бахадуровского наклона:
cKU,f3 = Д-2 sup z-1 ((1 - z)(Si(2n(1 - z)) - Si(2n)))2 02,
ze[0,i]
x , ( )
где Si(x
) = I ^T~dt- ПРИ
помощи Wolfram Mathematica получаем, что супремум
0
достигается в точке z ~ 0.324 ... и равен примерно 0.3669 ..., так что бахадуровский наклон равен
cKU,f3 (0) - 15.801... • 02.
Мы получаем, что по формуле (6) локальная бахадуровская эффективность равна
JJкu„t3 2К3(в) 19.739...
В этом случае эффективность больше, чем в случае интегральной статистики, что происходит довольно редко.
7. Условия локальной асимптотической оптимальности. В этом разделе мы выясним условия локальной асимптотической оптимальности по Бахадуру для последовательностей статистик Ьип и Кип, то есть опишем структуру альтернатив, при которых статистика имеет максимальную локальную эффективность. Это выполняется при следующем условии [12, 16]:
ст(в) - 2К(в) при в ^ 0.
Пусть /(х, в) —альтернативная плотность в точке в. Предположим, что выполнены следующие условия регулярности:
(I 1в
= / / ,в„, „ в, (13)
У (/'(х, 0))2е—х(1 + вх)2ах< ж. (14)
— ТО
Выведем условия оптимальности для плотностей, удовлетворяющих условиям (13) и (14).
7.1. Интегральная статистика. Сначала рассмотрим интегральную статистику Ьип с ядром Ф(х,у, г) из (7) и проекцией Ф(£) из (8). Воспользуемся асимптотикой для Ъьи(в) из (9) и выпишем выражение для локальной бахадуровской эффективности:
I / Ф(х)/(х, 0)^х) I / Ф(х)/(х, 0)^х)
\ —то / \ —то» /
е}}ьи =
д2/(0) (7 (7
\ — со
Локальная асимптотическая оптимальность по Бахадуру статистики Ьип означает, что выражение в правой части равно 1. Из неравенства Коши — Буняковско-го — Шварца следует, что это выполняется тогда и только тогда, когда /' (х, 0) = С1 Ф(х)/(х), для некоторой константы С > 0. Распределения, для которых функция /' (х, 0) имеет такой вид, образуют область локальной асимптотической оптимальности (ЛАО), в классе функций удовлетворяющих условиям (13), (14).
Простейшим примером альтернативной плотности из этого класса может служить «подправленная» логистическая плотность
/(х, в) = /(х) (1 - вФ(х)) (при малых в). Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2019. Т. 6(64). Вып. 2 249
— то
— то
7.2. Статистика типа Колмогорова. Теперь мы рассмотрим статистику типа Колмогорова с семейством ядер Фх(ж,у;£) из (11) и проекцией £) из § 6. С помощью формулы (12) для бахадуровского наклона получаем следующее выражение для локальной бахадуровской эффективности (ср. с [14]):
sup / t)f (x,0)dx sup / ^(x;t)f(x,0)dx
eI IKU = -
Д2/(0) / oo
supl / í-2(x;t)/(x)dx • / Щ
tER — w 1
Мы снова применим неравенство Коши — Буняковского — Шварца ко всей дроби и получим, что effKU равно 1 тогда и только тогда, когда fg(ж,0) = t0)1(x)
для to = argsupAl(t) и некоторой константы C2 > 0. Альтернативные плотности
tER
такого вида образуют область ЛАО в рассматриваемом классе. Простейшим примером может служить плотность
f (ж, 0) = /(ж) (1 + 0Ф1(ж, t0)) (при малых 0).
8. Заключение. Мы построили два новых критерия согласия для логистического семейства со сдвигом, основанные на характеризации, использующей случайные экспоненциальные сдвиги. Для соответствующих статистик найдена логарифмическая асимптотика вероятностей больших уклонений при нулевой гипотезе и вычислена локальная бахадуровскую эффективность для ряда подходящих альтернатив.
Для сравнения локальных бахадуровских эффективностей построенных критериев соберем их в таблицу.
Локальные бахадуровские эффективности для LUn и DUn
2
2
Альтернатива LUn DUn
/1 0.837 0.353
/2 0.505 0.187
/з 0.759 0.800
В большинстве случаев интегральный критерий превосходит по локальной бахадуровской эффективности критерий типа Колмогорова, кроме случая /3, где оба критерия показывают довольно высокие значения эффективности. Стоит отметить, что интегральный критерий дает высокую эффективность для альтернативы масштаба /1, в то время, как колмогоровский критерий значительно уступает ему в этом случае. Выше для каждого из критериев были построены специальные альтернативы, при которых данный критерий оказывается локально оптимальным в бахадуровском смысле.
Литература
1. Balakrishnan N. Handbook of the logistic distribution. CRC Press, 1991.
2. Stephens M. A. Tests of fit for the logistic distribution based on the empirical distribution function // Biometrika. 1979. Vol.66, N3. P. 591-595.
3. Nikitin Y. Y. Tests based on characterizations, and their efficiencies: a survey // Acta et Com-mentationes Universitatis Tartuensis de Mathematica. 2017. Vol.21, N1. P. 3—24.
4. Volkova K. Yu. New tests for the logistic distribution based on the functionals of U-empirical process // Abstracts of 12th Intern. Vilnius Conf. on Prob. and Math. Stat., Vilnius, Vtex, 2018. P. 297.
5. Chin-Yuan Hu, Gwo Dong Lin. Characterizations of the logistic and related distributions // Journ. of Mathem. Anal. and Appl. 2018. Vol.463, N1. P. 79-92.
6. Galambos J. Characterizations // In: Balakrishnan N. Handbook of the logistic distribution. CRC Press, 1991. P. 169-188.
7. Lin G.D., Hu C. Y. On characterizations of the logistic distribution // Journ. Statist. Plann. Infer. 2008. Vol. 138, N4. P. 1147-1156.
8. Ahsanullah M., Yanev G. P., Onica C. Characterizations of Logistic Distribution Through Order Statistics with Independent Exponential Shifts // Stochastics and Quality Control. 2011. Vol.27, N 1. P. 85-96.
9. Королюк В. С., Боровских Ю. В. Теория U-статистик. Киев: Наукова думка, 1989.
10. Bahadur R. R. Some limit theorems in statistics. Philadelphia: SIAM, 1971.
11. Bahadur R. R. Stochastic comparison of tests // Ann. Math. Stat. 1960. Vol.31, N2. P. 276-295.
12. Никитин Я. Ю. Асимптотическая эффективность непараметрических статистических критериев. М.: Наука, 1995.
13. Ley C., Paindaveine D. Le Cam optimal tests for symmetry against Ferreira and Steel's general skewed distributions // Journal of Nonparametric Statistics. 2009. Vol. 21, N 8. P. 943-967.
14. Nikitin Ya. Yu., Volkova K. Yu. Efficiency of Exponentiality Tests Based on a Special Property of Exponential Distribution // Mathematical Methods of Statistics. 2016. Vol. 25, N 1. P. 54-66.
15. Nikitin Ya. Yu., Ponikarov E. V. Rough large deviation asymptotics of Chernoff type for von Mises functionals and U-statistics // Proc. of St. Petersburg Math. Soc. 1999. Vol.7. P. 124-167. Engl. transl. in AMS Transl., ser. 2, 2001. Vol.203. P. 107-146.
16. Nikitin Ya. Yu., Peaucelle I. Efficiency and local optimality of distribution-free tests based on U- and V-statistics // Metron. 2004. Vol. LXII. P. 185-200.
17. Nikitin Ya. Yu. Large deviations of U-empirical Kolmogorov-Smirnov tests, and their efficiency // J. Nonpar. Stat. 2010. Vol.22, N5. P. 649-668.
Статья поступила в редакцию 16 ноября 2018 г.;
после доработки 16 ноября 2018 г.; рекомендована в печать 20 декабря 2018 г.
Контактная информация:
Никитин Яков Юрьевич — д-р физ.-мат. наук; y.nikitin@spbu.ru Рагозин Илья Андреевич — научный сотрудник; ragza@yandex.ru
Goodness-of-fit tests based on a characterization of logistic distribution
Ya. Yu. Nikitin, I. A. Ragozin
St. Petersburg State University, Universitetskaya nab., 7-9, St. Petersburg, 199034, Russian Federation
For citation: Nikitin Ya. Yu., Ragozin I. A. Goodness-of-fit tests based on a characterization of logistic distribution. Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy, 2019, vol. 6(64), issue 2, pp. 241-252. https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2019.206 (In Russian)
The logistic family of distributions belongs to the class of important families in Probability and Statistics. However, the goodness-of-fit tests for the composite hypothesis of belonging to the logistic family with unknown location parameter against the general alternatives are almost unexplored. We propose two new goodness-of-fit tests: the integral and Kolmogorov-type, based on the recent characterization of logistic family by Hu and Lin. We discuss asymptotic properties of new tests and calculate their Bahadur efficiency for natural alternatives.
Keywords: characterization of distributions, logistic distribution, asymptotic efficiency, large deviations, Kullback — Leibler information.
References
1. Balakrishnan N., Handbook of the logistic distribution (CRC Press, 1991).
2. Stephens M.A., "Tests of fit for the logistic distribution based on the empirical distribution function", Biometrika 66(3), 591-595 (1979).
3. Nikitin Y.Y., "Tests based on characterizations, and their efficiencies: a survey", Acta et Com-mentationes Universitatis Tartuensis de Mathematica 21(1), 3-24 (2017).
4. Volkova K. Yu., "New tests for the logistic distribution based on the functionals of U-empirical process", Abstracts of 12th Intern. Vilnius Conf. on Prob. and Math. Stat., Vilnius, Vtex, 297 (2018).
5. Chin-Yuan Hu, Gwo Dong Lin, "Characterizations of the logistic and related distributions", Journ. of Ma,them. Anal. and Appl. 463(1), 79-92 (2018).
6. Galambos J., Characterizations, in: Balakrishnan N., Handbook of the logistic distribution, 169-188 (CRC Press, 1991).
7. Lin G.D., Hu C.Y., "On characterizations of the logistic distribution", Journ. Statist. Plann. Infer. 138 (4), 1147-1156 (2008).
8. Ahsanullah M., Yanev G. P., Onica C., "Characterizations of Logistic Distribution Through Order Statistics with Independent Exponential Shifts", Stochastics and Quality Control 27 (1), 85-96 (2011).
9. Korolyuk V. S., Borovskich Y. V., Theory of U-statistics (Springer Science & Business Media, 2013).
10. Bahadur R. R., Some limit theorems in statistics (Philadelphia, SIAM, 1971).
11. Bahadur R. R., "Stochastic comparison of tests", Ann. Math. Stat. 31(2), 276-295 (1960).
12. Nikitin Y., Asymptotic efficiency of nonparametric tests (Cambridge University Press, NY, 1995; 2nd ed., paperback, 2009).
13. Ley C., Paindaveine D., "Le Cam optimal tests for symmetry against Ferreira and Steel's general skewed distributions", Journal of Nonparametric Statistics 21 (8), 943-967 (2009).
14. Nikitin Ya. Yu., Volkova K. Yu., "Efficiency of Exponentiality Tests Based on a Special Property of Exponential Distribution", Mathematical Methods of Statistics 25 (1), 54-66 (2016).
15. Nikitin Ya. Yu., Ponikarov E.V., "Rough large deviation asymptotics of Chernoff type for von Mises functionals and U-statistics", AMS Transl., ser.2 203, 107-146 (2001).
16. Nikitin Ya. Yu., Peaucelle I., "Efficiency and local optimality of distribution-free tests based on U- and V-statistics", Metron LXII, 185-200 (2004).
17. Nikitin Ya. Yu., "Large deviations of U-empirical Kolmogorov-Smirnov tests, and their efficiency", J. Nonpar. Stat. 22 (5), 649-668 (2010).
Received: November 16, 2018 Revised: November 16, 2018 Accepted: December 20, 2018
A u t h o r's i n f o r m a t i o n:
Yakov Yu. Nikitin — y.nikitin@spbu.ru, Ilya A. Rogozin — ragza@yandex.ru
