CC BY
27
т
ШВ. А. Гречкин, С. С. Коновалов _Критерии эффективности алгоритмов обработки информации в многокритериальных...
1ЕШШИЕ НИШ
КРИТЕРИИ ЭФФЕКТИВНОСТИ АЛГОРИТМОВ ОБРАБОТКИ ИНФОРМАЦИИ В МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХ СИСТЕМАХ ПОДДЕРЖКИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ*
В. А. Гречкин, С. С. Коновалов
THE EFFECTIVENESS CRITERIA OF INFORMATION PROCESSING ALGORITHMS IN MULTI-CRITERIA SYSTEMS OF DECISION-MAKING SUPPORT
Grechkin V. A., Konovalov S. S.
The criteria effectiveness criteria of intellectual algorithms for solving information processing problems in multi-criteria decision-making systems are considered, the type of viewed effectiveness criteria extremes are determined.
Key words: decision-making, information processing, intellectual algorithms, effectiveness criteria.
Рассматриваются критерии эффективности интеллектуальных алгоритмов решения задач обработки информации в многокритериальных системах принятия решений, определяется вид экстремумов рассмотренных критериев эффективности.
Ключевые слова: принятие решений, обработка информации, интеллектуальные алгоритмы, критерии эффективности.
УДК 519.6
В [1] рассмотрены алгоритмы решения прикладных задач обработки информации. Сравнение эффективности указанных алгоритмов не является тривиальным ввиду мно-гокритериальности рассматриваемых задач. Для корректного сравнения алгоритмов требуется разработать систему критериев эффективности. В данной работе производится анализ критериев эффективности алгоритмов решения задач обработки информации, исследуется их применимость на практике, определяется вид их экстремумов.
Определим основные понятия многокритериальной оптимизации в соответствии с [2, 3, 4]. Пусть X - некоторое множество т-мерного евклидова пространства Ет. На X е Ет определена вектор-функция
ях) = (ад,х),- , ^ (х)), С1) принимающая значения в п-мерном пространстве Я". Требуется найти х0 е X, доставляющее минимум одновременно всем х), ^2(х),* ,¥" (х). Данную задачу будем называть многокритериальной задачей; вектор-функцию (1) будем называть векторной целевой функцией (ВЦФ); множество
х е Е , на котором определена векторная целевая функция (1), - множеством допустимых решений (МДР); функции Е1(х), ^2(х),* ,¥п (х) - критериями.
'Исследования выполнены в рамках реализации ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России».
Математическую постановку многокритериальной задачи можно записать в следующем виде: F(x) = Fx), F>(x),' , Fn (x)) ® min,
x e X.
Если требуется найти x0 e X, доставляющее максимум одновременно всем F1(x),F2(x),* ,Fn(x), то в символическом
виде такую оптимизационную задачу будем записывать следующим образом: F(x) = (FJ(x),F,(x),' ,Fn(x)) ® max, (3)
тл (3)
x e X.
Чтобы сузить множество, на котором следует искать оптимум задачи (2) или (3), в X выделяют так называемое паретовское множество (ПМ) точек. Элемент x e X называется паретовским оптимумом (ПО) в задаче (2), если X не содержит такого элемента x , для которого одновременно выполняются неравенства:
Fv (х) < Fv (~), V = 1,2,',n, (4) причем хотя бы одно их этих неравенств выполняется строго.
Множество всех паретовских оптиму-мов в задаче (2) составляет паретовское множество (ПМ). На X различают доминируемые, недоминируемые решения, слабые паретовские множества (СПМ).
Рассмотрим систему оценок методов решения многокритериальных оптимизационных задач, включающую в себя такие показатели, как время нахождения решения и качество получаемых решений. При оценке временных показателей методов применяют следующие подходы [5]:
- оценка временных затрат вычислительного устройства K1;
- оценка размера исследованной области.
Критерий оценки временных затрат вычислительного устройства K1 имеет важное практическое значение среди существующих оценок временных затрат. На значения критерия влияют такие факторы, как: производительность вычислительного устройства, программный язык реализации метода и
другие характеристики вычислительной системы. В связи с этим исследование методов решения многокритериальных задач с использованием критерия оценки временных затрат проводят на эквивалентных вычислительных устройствах с использованием однородных тестовых примеров (библиотек).
Критерий оценки размера исследованной области многокритериального пространства [6] определяется следующим образом. Пусть X0 ={х1,х2,* ,хк } - ПМ, полученное в результате выполнения метода решения многокритериальной оптимизационной задачи. Каждому решению из X0 поставлено в соответствие множество многогранников Р = {р1, р2,* , рк }, образованных пересечением гиперплоскостей, выходящих из , I = 1, к . В случае двухкрите-риальной задачи с ВЦФ
F(х) = (F1(х), х)) каждый pi, I = 1, к образует прямоугольник, заданный точками (О, 0) и (хг),F2(хг)), i = \к. Область критериального пространства, ограниченная объединением многогранников Р, характеризует оценку размера исследованной области. Существенным недостатком данного критерия является трудность реализации вычисления значений критерия для задач с числом ЦФ более двух.
Оценка качества решений многокритериальных задач является сложной задачей, что обусловлено многокритериальной природой решений и целями многокритериальной оптимизации [7]:
- минимизация расстояния между оцениваемым ПМ и некоторым оптимальным ПМ;
- равномерное распределение решений в критериальном пространстве;
- максимизация критериального пространства, занимаемого элементами ПМ.
В соответствии с целями многокритериальной оптимизации выделяют следующие качественные критерии оценки методов решения многокритериальных оптимизационных задач [8, 9, 10]:
- критерии оценки выявленных точных решений К2;
- критерии оценки функций превосходства К3;
- критерии оценки граничных значений ЦФ К 4 ;
- критерии оценки расстояния до оптимального ПМ К5;
- критерии оценки распределения решений К6;
- критерии оценки протяженности решений К7.
Для некоторого оптимального ПМА, полученного точными методами решений, представляется возможным провести качественное сравнение методов по критерию
К2 следующим образом. Пусть X - паре-товское множество, полученное в результате применения исследуемого метода, а X-
известное оптимальное ПМ. Под оптимальным паретовским множеством понимается множество точных решений или «наилучшее» из известных паретовское множество решений. Тогда
K 2( Xopt, X ) =
\XoPt ^ X
(5)
X
opt
т. е. описанный критерий выражает число решений X , точно совпавших с решениями X р. Т. к. для задач большой размерности
неизвестно соответствующее X (, применение критерия К2 затруднительно.
Если паретовское множество X неизвестно, то возможно сравнить результаты применения методов по группе критериев К3, К4, К5. В работе [6] предложен критерий оценки качества решений К3, который показывает, что результат применения одного метода лучше по сравнению с другим.
Пусть X и X - два ПМ, качество решений которых необходимо сравнить. Критерий К3 определяется следующим образом:
K 3( X', X") =
е X ;$x
е X : x
X
.(6)
В [9] предлагается оценивать качество решений с использованием верхних и нижних границ значений целевых функций. Верхние и нижние границы ЦФ определяются через идеальное x1 и худшее решение xN. Для значений ВЦФ
F(x) = (F (x), F2 (x),* , Fn (x)), определенных на X, значения x1 и xN определяются как x'k = min Fk (x), k = 1, N и
xeX
x'N = max Fk (x), k = 1, N . Критерий оценки
xeX
качества решений K4 является выражением результата сравнения идеальных (худших) решений оцениваемых ПМ.
В [5, 11] для оценки качества получаемых решений использован критерий, выражающий меру расстояния от оцениваемого ПМ до некоторого множества опорных решений. В роли такого множества выступает некоторое оптимальное множество Xopt ,
идеальное (худшее) решение. Для вычисления расстояния между оцениваемыми множествами вводят метрику и соответствующие скалярные функции: взвешенную линейную скалярную функцию sl и взвешенную Чебышевскую скалярную функцию s¥. Для x е X , x е X и вектора Л = (Aj, 12,* , Ak), Ai > 0, i = 1,k взвешенная линейная скалярная функция имеет вид
' k ö
Si ( x\ x,,, Л) = -1 £ Ai (x"1~ xi)
i=1
(7)
/
Если производится вычисление расстояния между оцениваемым множеством и
множеством, образованным идеальным ре*
шением х , то
x
s,(x, x\Л) = -| X1.-(x* - x')
=-S1.-x*+E1.x' =
(8)
= const + Vl x' = Vl x '. ^^^ l l ^^^ l l
i=i i=i Оценка расстояния между исследуемыми множествами взвешенной Чебышевской скалярной функцией производится следующим образом:
s¥ (x', x", Л) = max (x, - xi)}. (9)
Указанные меры оценки расстояний не учитывают структуру исследуемых множеств, значения оценок могут значительно варьироваться в зависимости от границ значений критериев и характера распределения решений в критериальном пространстве.
Критерий K5 [5] учитывает перечисленные недостатки рассмотренных скалярных функций. Для идеального решения x , ПМ X и множества весовых векторов Ys критерий K5 определяется согласно выражению
X s¥( x\X, Л)
K 5( x*, X, Л) =-
Ys
(10)
где s¥( x *, X, Л) = min (x, x *, Л)},
xeX
Ys = {Л-i,Л2,- ,Ля}, ^ ^
Lj = (1j,12,» , 1k), 1 ,> 0, i = IX j = Vn | , l = 0k }
Например, для k = 3 и l = 3 множество Л будет образовано векторами:
{(0,0,1), (0,1/3,2/3) (0,2/3,1/3) (0,1,0)
(1/3,0,2/3) (13,13,13), (1/3,2/3,0) (2/3,0,1/3) (2/3,1/3,0) (1,0,0)}.
Иногда при сравнительном исследовании ПМ необходимо выбрать метод с необходимой степенью локализации решений в критериальном пространстве. Для оценки пространственных характеристик, сравни-
ваемых ПМ и доставляющих их методов, применяют следующие критерии [10]: критерий оценки распределения решений К6 и критерий оценки протяженности решений
ПМ К7 .
Для ПМ X , заданного О > 0 критерий К6 определяется согласно выражению
K6(X) = X|{x" e X;||x' -x"|| > a}. (11)
XLey1 1
Запись х — х || здесь обозначает одну
из скалярных функций (линейная, Чебыше-ва), заданных в соответствующей метрике. Значения критерия распределения решений
К6 лежат в интервале [0, |Х|], а сам критерий определяет число О областей в X . Для заданного О наибольшее значение критерия XI выражает наилучшее распределение решений в критериальном пространстве, т. е. ни для одного решения х е X не существует других решений, находящихся на расстоянии О.
Для ПМ X критерий К7 определяется следующим образом:
K 7( X) = £ max{
X
(12)
Для оценки протяженности ПМ в критериальном пространстве критерий К7 использует максимальные значения по каждой из целевых функций. В случае двух ЦФ критерий К 8 эквивалентен расстоянию между двумя «внешними» решениями.
С точки зрения полноты представления информации о покрытии множеством решений критериального пространства используют критерий К8 , который выражается как мощность ПМ X , т. е.
К8 = X. (13)
Критерий К8 является аналогом критерия оценки размера исследованной области многокритериального пространства [6], однако отражает качественные показатели ПМ X .
1=1
1=1
1=1
Актуальным является вопрос определения вида экстремума рассмотренных критериев оценки решений и выявления среди них наиболее «важных». Решение данного вопроса определяет выбор метода решения оптимизационной задачи. Критерий К1 является критерием на минимум, т. к. получение решения необходимо осуществить с минимальными временными затратами. Для выявления вида экстремума критериев К 2, К 3, К 4, К 5, К 6 оцениваемого метода решения задачи необходимо рассмотреть соответствующее ПМ X из соображений целесообразности, т. е. соответствия множества X «идеальному множеству» решений X1, полученного в результате применения «идеального метода».
При решении оптимизационной задачи необходимо выбирать такой метод, у которого статистически определенное количество точно найденных решений множества X1 больше, т. е. «более точный» метод. Таким образом, критерий К2 является критерием на максимум. При прочих равных условиях предпочтителен тот метод, у которого статистически определенное расстояние до множества X1 меньше, выражением данной меры является критерий К5 . Таким образом, критерий К5 является критерием
на минимум.
На практике лицу, принимающему решение, необходимо представить группы решений, ВЦФ которых отличаются незначительно, а ВЦФ групп решений отличаются существенно. При прочих равных условиях необходимо выбирать тот метод, у которого статистически определенное число групп решений больше, а также больше статистически определенное расстояние между максимально удаленными группами решений. Таким образом, критерии К6 , К7 являются критериями на максимум.
Критерий К8 является критерием на максимум, т. к. в противном случае значение критерия К8 равно единице и лицо, прини-
мающее решение, исключается из процесса принятия решения. Таким образом, критерий вида К8 является критерием на максимум.
Отметим, что ограниченность использования критерия К1 обусловлена возрастанием вычислительных возможностей и разнородностью вычислительных систем. Нахождение точных решений для некоторых классов задач «небольшой» размерности не может быть осуществлено за приемлемое время никаким методом, что определяет ограниченность использования критерия К2. Также для лица, принимающего решение, выбор среди большого числа решений является сложной задачей, что определяет ограниченность использования критериев К6, К8.
Напротив, критерии К5, К7 вычислимы, чувствительны к изменению параметров исследуемой системы. Физический смысл критериев К5 , К7 определяется расположением решений в критериальном пространстве: близость решений к наилучшему решению и протяженность решений в критериальном пространстве соответственно. Значения критериев К5, К7 не зависят от используемых вычислительных систем. Для лица, принимающего решение, выбор лучших решений по критериям К5 , К7 является естественным выражением его предпочтений. Таким образом, для исследования методов решения многокритериальных задач в качестве основных могут использоваться критерии К5, К7, а критерии К1, К2, К6, К8 могут являться дополнительными и позволять производить уточняющую оценку эффективности алгоритмов решения задач обработки информации в многокритериальных системах поддержки принятия решений.
ЛИТЕРАТУРА
1. Гречкин В. А. Интеллектуальные алгоритмы обработки информации в многокритериальных системах поддержки принятия решений // Вестник СГУ. - 2010. - № 70(5). -C. 10-14.
2. Ногин В. Д. Принятие решений в многокритериальной среде: количественный подход. -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 176 с.
3. Liu Y. M. Multiobjective Optimisation and Control. - Baldock.: Research studies press ltd., 2004. - 330 p.
4. Подиновский В. В., Ногин В. Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. - М.: Наука, 1982. - 256 с.
5. Jaszkiewicz A. A comparative study of multiple-objective metaheuristics on the bi-objective set coveringproblem and Pareto memetic algorithm: Working paper RA-003/01 // Poznan University of Technology. - Poznan, 2001. - 23 p.
6. Zitzler E., Thiele L. Multiobjective evolutionary algorithms: a comparative case study and the strength pareto evolutionary algorithm // IEEE Transactions on Evolutionary Computation. -1999. - № 3. - P. 257-271.
7. Deb K. Multi-Objective Optimization Using Evolutionary Algorithms. - New York: John Wiley, 2001. - 244 p.
8. Landa S. An Introduction to Multiobjective Metaheuristics for Scheduling and Timetabling // Multiple Objective Metaheuristics (Paris, 2-4.11.2002). - 2002. - P. 1-39.
9. Ehrgott M., Gandibleux X. Approximative solution methods for multiobjective combinatorial optimization // TOP. - 2004. - Vol. 12 (1). -P. 1-90.
10. Zitzler E. Comparison of multiobjective evolutionary algorithms: empirical results // Evolutionary computation. - 2000. - 8 (2). - P. 172195.
11. Hansen M. Evaluating the quality of approximations to the non-dominated set // IMM Technical report IMM-REP. - 1998. - 7 March.
Об авторах
Гречкин Виктор Алексеевич, ГОУ ВПО «Ставропольский государственный университет», кандидат физико-математических наук, доцент кафедры организации и технологии защиты информации. Сфера научных интересов - моделирование социально-экономических процессов и систем, дискретная математика и математическая кибернетика, проектирование и моделирование информационных систем и процессов. grek @ stavsu.ru
Коновалов Сергей Сергеевич, ГОУ ВПО
«Ставропольский государственный университет», аспирант 3 года обучения, специальность «Методы и системы защиты информации, информационная безопасность». Сфера научных интересов - моделирование технических процессов, интеллектуальные системы защиты информации.
konoval ov@ stavsu. ru
