CC BY
25
2007
НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Аэромеханика и прочность
№ 119
УДК 629.7: 681.5.015
КРИТЕРИАЛЬНОЕ ЗАМЕЩЕНИЕ В ИССЛЕДОВАНИЯХ
А.В. ПОЛТАВСКИЙ
Статья представлена доктором технических наук, профессором Шапкиным В.С.
Предложен подход к выбору решений при исследованиях системы на основе критериального замещения.
Разработка методов и моделей принятия решений (в заданных предпочтениях) является важной и актуальной проблемой. Математическая теория и общая методология принятия решений относятся к наиболее интенсивно развивающимся в настоящее время направлениям системного анализа. Принятие решений является сложным творческим процессом, носящим итеративный характер. В этом процессе следует выделить следующие основные элементы:
- выдвижение целей (задач);
- поиск альтернативных способов их достижения;
- логику выбора альтернатив;
- обоснование показателей и критериев выбора;
- анализ решений (анализ возможных последствий (исходов) принимаемых решений);
При этом в результате анализа решений могут быть модифицированы или отвергнуты первоначально выдвинутые цели, найдены новые альтернативы, изменена логика выбора. При разработке и использовании математических моделей принятия решений, например моделей математического программирования, когда альтернативы представляют собой множество допустимых решений (континуум) и оптимальное решение соответствует экстремуму целевой функции, вопрос об анализе последствий как таковых и не ставится. Определенная увлеченность математическими моделями принятия решений оставляет за сценой собственно анализ решений. А он особенно важен для слабо структурированных проблем, когда трудно или почти невозможно использовать чисто математические модели и решение и его качество определяются интуицией человека.
Предполагаемый подход состоит в следующем. Всякое возможное действие, отвечающее той или иной альтернативе, порождает последствия, характеризуемые определенным набором некоторых свойств, показателей или критериев. Выбирается та альтернатива, последствия которой обладают наиболее предпочтительным набором выделенных свойств. Поэтому в конечном итоге анализ решений выступает в качестве необходимого элемента в процессе принятия решений.
Принимаемые показатели, характеристики, свойства или, иначе говоря, используемые критерии могут быть и количественными и качественными. В основном, теория принятия решений базируется для количественных показателей (критериев). Если цель и какие-либо из показателей имеют качественный характер, то имеет смысл вводить критерии (показатели) - "заместители", значения которых позволяли бы в достаточной степени адекватно описать изменение качественного критерия. Так, например, рассматривая систему с беспилотными летательными аппаратами (БЛА), производится замена качественной цели (и соответствующего качественного критерия) - "уменьшить" потери БЛА в процессе транспортировки груза в заданный район -количественным критерием (количественной целью) - "увеличить вероятность успешного старта, навигации и преодоления противовоздушной обороны (ПВО) противника".
Если используются функции эффективности, когда компоненты векторов детерминированы, то в качестве критерия выступает условие максимизации этой функции (при наложенных
дополнительных ограничениях), т. е. в этом случае задача поиска лучшей альтернативы сводится к задаче математического программирования.
В случае использования функции эффективности, когда компоненты являются случайными переменными, делается допущение, что наилучшей является альтернатива, обладающая максимальным значением математического ожидания полезности возможных результатов. Поэтому, естественно, всегда остается открытым вопрос, который нужно решать каждый раз в конкретной ситуации. Здесь укажем, что в определенных ситуациях более пригодной может оказаться логика выбора, основанная на максимизации гарантированного результата, а не среднего ожидаемого результата.
Количественные оценки средних значений полезности сравниваемых альтернатив, несомненно, представляют значительный интерес при использовании принципа гарантированного результата.
Причинно-следственные связи между альтернативными действиями и показателями, характеризующими их последствия, а также взаимосвязи между показателями устанавливаются в результате построения соответствующих моделей, в том числе и имитационных.
При построении функции эффективности следует исходить из взаимной независимости критериев с точки зрения предпочтительности их возможных значений. Степень взаимной независимости и условия взаимной компенсации (замещения) одних критериев другими приводят к различным классам функции эффективности: аддитивным, мультикативным, полилинейным. Допущения, связанные с ограничениями относительно взаимной независимости критериев, не сколько сужают область применимости полученных результатов, но тем не менее для достаточно широкого круга задач такие допущения оказываются вполне приемлемыми.
Кроме того, в этих случаях значительно упрощаются как процедуры построения самих функции эффективности, так и методы проверки оправданности использования функции эффективности подобного вида.
Созданные в настоящее время математические модели и имеющиеся ЭВМ позволяют проводить многовариантную проработку планов. В связи с этим предварительный анализ возможных вариантов и отсев тех из них, которые являются неудовлетворительными не формализуемых в этих моделях, соображений и критериев, представляется целесообразным проводить с использованием квантификации предпочтений. Заметим, что многомерные функции эффективности особенно удобно применять при анализе и выборе решений, работая с ЭВМ в диалоговом режиме.
Также следует отметить, что анализ сложных проблем связан с обработкой большого объема информации. Методы многомерной эффективности позволяют учесть присущую анализируемым решениям неопределенность, оказываются также удобными с точки зрения структуризации и агрегирования информации, т. к. глубокое изучение проблемы влечет за собой подробную детализацию, что, в свою очередь, ведет к быстрому разрастанию объема данных, относящихся к проблеме. С другой стороны, сокращая объем "рабочей информации", агрегирование вносит дополнительную неопределенность. В результате появляются два вида неопределенности: первый вид связан с возможностью осуществления на рассматриваемом отрезке времени неконтролируемых событий, второй - с неопределенностью, вносимой в результате агрегирования данных.
Исследования возможности взаимной компенсации значений различных критериев или, иначе говоря, возможности "замещения по эффективности" является актуальными. В математической формулировке (постановке задачи) это выглядит следующим образом: обозначим через а допустимую альтернативу и через А множество всех допустимых альтернатив. Каждому действию а из А поставим в соответствие т числовых показателей 1ца), ..., 1ш (а).
Можно считать, что т показателей 11 , ..., 1т отображают каждое а из А в точку т-мерного пространства исходов (последствий) действий, как показано на рис. 1.
Рис. 1. Отображение действий в последствиях (исходы)
Очевидно, что во всякой точке (J1, J2, ..., Jm) пространства последствий невозможно непосредственно сравнивать величины Ji и Jj при i ^j, ибо в большинстве случаев это было бы просто бессмысленно, поскольку критерии Ji и Jj могут измеряться в совершенно разных единицах.
Задача состоит в таком выборе а из А, чтобы получить в наибольшей мере устраивающий результат J1(a), ..., Jm (a). Поэтому нужна такая функция оценки, которая сводила бы совокупность J1(a), ..., Jm(a) в скалярный показатель предпочтительности. В другой формулировке это равносильно заданию скалярной функции J (J1, J2, ., Jm) > J(J/1, Jr2, ., Jrm) ü ^ (J1, J2, ., Jm) > (J/1, J/2, ., J/m), где символ > означает "не менее предпочтителен, чем".
Функцию J() назовем функцией эффективности при выборе альтернатив. Теория исследования операций предполагает ряд способов формирования единого критерия Jko из набора частных критериев Ji с оценкой свойств этих способов. Приведем два характерных примера таких способов:
Способ 1. Критерий J = Jko является взвешенной суммой частных критериев Ji:
m
Jko = s li Ji . (1)
i =1
Неравнозначность частных критериев Ji можно отразить выбором весовых коэффициентов 1i, что позволяет с помощью этого критерия формулировать разные цели операции (существует методика так называемых экспертных оценок этих коэффициентов).
Общим свойством критерия (1) является то, что в оптимальных решениях возможно достижение высокого значения Jko в ущерб какому-то частному критерию Ji, Поэтому критерий типа взвешенной суммы используется там, где в число ограничений включены ограничения на каждый из выходных параметров.
Способ 2. Критерий Jko является минимальным из частных критериев Ji:
Jko = min Ji . (2)
1< i < m
Так следует поступать, когда Ji представляет собой запас в выполнении некоторых известных ограничений на параметр yi, т.е. Ji = yi/(yiO ) - 1. При этом Jko является минимальным
из запасов, т. е. запасом в выполнении всей совокупности ограничений на выходные параметры. Целью операции будет максимизация минимального запаса. Использование этого критерия оправдано в условиях неопределенности некоторых параметров, поскольку оптимальное в смысле данного критерия решение лучше всего гарантирует выполнение заданных ограничений на выходные параметры при возможных колебаниях значений неопределенных параметров. Свойством этого критерия будет тенденция к равномерной степени достижения целей по каждому частному критерию. Тут невозможно улучшение результата операции в целом в ущерб какому-то
одному критерию или, наоборот, за счет какого-то рекордного критерия. Чтобы придать этому способу необходимую гибкость, используем его модификацию в виде:
Jko = min li Ji . (3)
1< i < m
Изменяя 1i, можно получить математическую формулировку самых разнообразных целей.
Метод введения ограничений на выходные параметры в функцию эффективности (непосредственно в критерий) позволяет решать задачу оптимизации, в которой ограничения на выходные параметры можно не учитывать (они учитываются автоматически), что облегчает построение алгоритма оптимизации.
Идея преобразования задачи оптимизации с ограничениями в задачу оптимизации без ограничений путем изменения целевой функции (критерия) является основой целой группы методов, называемых методами штрафных функций (функции потерь).
Так, на начальной стадии проектирования системы управления комплексами БЛА задача оптимизации состоит в выборе функции потерь в виде:
£1(Y,tk) - функция потерь (ошибка) в конце управления системой;
£2 (Y,U,t) - функция потерь в каждый момент времени (текущие потери), которые учитывают в критерии
Jko = l1(Y,tk) + |£2(Y,U,x)dx . (4)
( t )
Очередной этап в принятии решений, может включать в задачу оптимизации функцию потерь
^ 11 = 0;
£(У,Ут) =
11 = 0,
где I - величина (число) потерь (штраф);
YT - вектор требуемых параметров у;;
0 - событие, обеспечивающее близость Y и YT при М ограничениях, критерием задачи оптимизации является максимум (минимум) вероятности свершения события 0
Jko = max (min)P(0). (5)
Событие 0 - сложное событие, которое может быть произведением, суммой нескольких событий или их комбинаций (0 = Z0i ; 0 = n0i). Например, для комплекса БЛА критерий (5) в целом может быть максимум вероятности поражения цели, условием оптимальности системы прицеливания и наведения ракет может быть минимум средней квадратической ошибки или максимум попадания в район цели, для оптимальной системы обнаружения - минимум ошибки обнаружения цели, или минимум ошибки обнаружения цели при заданной вероятности ложной тревоги ( критерий Неймана - Пирсона). Как правило, при параметрической оптимизации системы пользуются произведением, при оптимизации решений - суммой, в ряде случаев встречается и смешанная оптимизация событий.
В следующие этапы оптимизации системы производят очередную замену критериев-показателей ( замену, векторное дополнение или уменьшение ) исходя из смысла решаемой задачи m - го этапа. В традиционном виде критерий можно представить в v -й структурной форме
J(v)ko = j(v)(Y,YT,U,t), v =1, I . (6)
Для оптимизации поведения системы как динамического объекта управления в s-й структуре в виде.
Y(t) = Z(s)( Y, U, Ny; t ), Y(to) = Yo; s = 1,S, (7)
где С(8)( У, и, Ку, 1 ) = Л(%)ф(8) У, 1 + Б(8)(У, 1)И(0 + Б00^)^);
£ ^У, 1, Б(в)(У, 1), Б ^(УД) - заданные нелинейные дифференцируемые функции;
У0 - случайный вектор начального состояния системы;
Ку(1;) - п - мерный векторный центрированный белый шум;
И(1) - г - мерный вектор управления ( г < п ); управление организуется на основании наблюдения вектора состояния или его части
2(1) = С(8)(У, 1) + ад, (8)
где К2(1) - вектор центрированного белого гауссова шума, не связанный с Ку(1) и У0(1).
Предложенный метод критериального замещения позволяет проводить последовательные и рациональные действия в альтернативах исследуемой ( или создаваемой) системы по "выбранным" показателям качества (рис. 2, стрелками обозначены альтернативные действия при принятии решений создаваемого или исследуемого образца).
J(2)ko ¡4 J(l0)ko ~
1 \v. \ N !
J(3)ko k \ N \ \ J(l)ko >:
' \ 1
\ !
J(n)ko J(l+l)k r
J(r)ko
J(s)
.-V
J(w)ko
Рис. 2. Схема, обозначающая альтернативные действия при принятии решений создаваемого или исследуемого образца
ЛИТЕРАТУРА
1. Гладков Д.И. Оптимизация систем неградиентным случайным поиском.- М.: Энергоатомиздат, 1984.
2. Вентцель Е.С. Исследование операций. - М.: Советское радио, 1972.
3. Пугачев В.С., Казаков И.Е., Евланов Л.Г. Основы статистической теории автоматических систем.- М.: Машиностроение, 1974.
4. Нейман Дж. Два прорыва в теории выбора статистических решений. - М.: Математика, 1964.
5. Растригин Л.А. Статистические методы поиска.- М.: Наука, 1964.
CRETIRION SUBSTITON IN RESEARCH
Poltavskiy A.V.
An approach is offered for decision making in research based on criterion substitution.
Сведения об авторе
Полтавский Александр Васильевич, 1957 г.р., окончил КВВАИУ (1980), кандидат технических наук, доцент МГПУ, автор 50 научных работ, область научных интересов - моделирование и безопасность полетов ЛА.
