CC BY
8Ракетно-космические двигатели, энергетические установки и системы терморегулирования летательных аппаратов
УДК 519.2
Е. В. Колтунова, С. В. Ковалев
Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Россия, Красноярск
КРИТЕРИАЛЬНАЯ ОЦЕНКА ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ПРИ ОПРЕДЕЛЕНИИ НАДЕЖНОСТИ РАКЕТНЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ
Надежность ракетного двигателя формируется при проектировании изделия, обеспечивается в производстве и поддерживается в эксплуатации. Проектная надежность - это надежность, полученная в процессе расчетов и уточненная испытаниями при отработке двигателя.
Результаты испытаний жидкостного ракетного двигателя (ЖРД) подлежат статистической обработке, которая сводится к оценке числовых характеристик функций распределения случайных величин - показателей надежности. Для этого используют известные законы распределения: закон равномерной плотности, экспоненциальный закон, нормальный закон распределения (распределение Гаусса) и др. Однако использование этих законов без доказательств допустимости не всегда правомерно. Для оценки допустимости служат критерии согласия: критерий с2-Пирсона, Колмогорова, Смирнова, Стьюдента и др. Ограничимся описанием критериев Пирсона и Колмогорова [3].
Наиболее распространенным является критерий, введенный К. Пирсоном (с2 - критерий Пирсона) [1]. Рассмотрим этот критерий. Для этого разобьем множество значений случайной величины X на г интервалов 51, 52, ..., Sг без общих точек. Пусть р, - вероятность того, что величина X принадлежит интервалу щ - количество величин из числа наблюдаемых Х2, ..., Хп, принадлежащих интервалу 5,-. За меру Б отклонения эмпирической функции распределения (х) от теоретической ^теор(х) принимают величину
с2=X
("г - ПРг)
nPi
Полностью определенное гипотетическое теоретическое распределение встречается на практике довольно редко. Гораздо чаще теоретическое распределение ^теор(х; 01, ..., 0,) содержит некоторые неизвестные параметры 01, ..., 0,, значение которых приходится оценивать по выборке. В результате критерий Пирсона будет иметь вид
2 = ^ [ щ - пр, (б!,..., 9, )]2
с ¿1 пр, (9!,..., 9,) .
Однако воспользоваться теоремой Пирсона в этом случае уже нельзя, поскольку значения 01, ..., 0, неизвестны. Если же в приведенном выражении величины 01, ..., 0, заменить их оценками по выборке, то величины р,(01, ..., 0к) уже будут случайными величинами, поэтому и в этом случае применять теорему Пирсона нельзя.
Отметим, что критерий Пирсона применяется только при достаточно больших выборках (пх > 50) и достаточно больших частотах (п, > 5). Если послед-
нее условие не выполняется для какого-либо интервала вариационного ряда, то его объединяют с соседним интервалом, соответственно, уменьшая общее число интервалов.
Недостатком критерия с2 является то, что группировка данных приводит к некоторой потере информации. Кроме того, остается еще вопрос о выборе числа интервалов и длине самих интервалов. Однако критерий с2 имеет и некоторые достоинства: при его применении нет необходимости учитывать точные значения наблюдений. Несомненным преимуществом этого критерия является его универсальность. В частности, он применяется при проверке гипотезы о независимости двух случайных величин, гипотезы о равенстве параметров двух биномиальных распределений и многих других распределений [2].
Кроме критерия с2 можно применять и другие методы проверки гипотез о распределениях. Например, критерий Колмогорова, основанный на предельном распределении величины:
Dn = sup| Fn (x)- F (x)|.
Очевидно, что Dn - случайная величина, поскольку ее значение зависит от объекта Fn (x). Если гипотеза H0 справедлива и n ® ¥, то Fn(x) ® F(x) при любом x. Поэтому естественно, что при этих условиях Dn ® 0. Если же гипотеза H0 неверна, то F" (x) ® G(x) и F Ф G,
а потому sup |F" (x) - F(x)| ® sup |G(x) - F(x)| Ф 0.
Теорема Колмогорова: если функция распределения F(x) непрерывна, то при n ® ¥
P(sf"Dn < x) ® K(x) =
X (-1)'
k=-¥
о
e 2k2x2 при x >0,
при x < 0.
При практической реализации критерия Колмогорова сначала по выборке составляют вариационный ряд х1, х2, ..., хп. Затем находят значения F(xi) и определяют значение статистики Бп по формуле
Dn = max
1<i< n
F (x) -
2i -1 2n
2n'
Наконец, сравнивают полученное
значение
= 4п • Бп с критическим значением Хкрит для заданного уровня значимости а и принимают или от-
1„
Решетневскце чтения
вергают гипотезу. Для вычисления Dn по сгруппированному вариационному ряду лучше использовать формулу
Dn = max
l£i £n
i - F (x), F (x) - i-l n n
Следует оговорить, что этот критерий можно применять только в случае, когда гипотетическое распределение F(x) полностью известно заранее, т.е. когда известен не только вид функции распределения, но и все входящие в нее параметры. Обычно из теоретических соображений известен только общий вид функции F(x), а входящие в нее числовые параметры определяются по данному статистическому материалу. При применении критерия Пирсона это обстоятельство учитывается соответствующим уменьшением числа
степеней свободы распределения с . Критерий Колмогорова такого согласования не предусматривает, поэтому в подобных случаях он может дать завышенное значение.
Таким образом, критерий Колмогорова имеет наиболее широкое применение в практике проведения испытаний ЖРД на надежность.
Библиографические ссылки
1. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М. : Высш. шк., 2003.
2. Виленкин Н. Я. Комбинаторика. М. : Наука, 1969.
3. Коломенцев А. И., Краев М. В., Назаров В. П. Испытание и обеспечение надежности. Красноярск, 2006.
E. V. Koltunova, S. V. Kovalev Siberian State Aerospace University named after academician M.F. Reshetnev, Russia, Krasnoyarsk
CRITERIA ASSESSMENT OF RANDOM VARIABLE DISTRIBUTION FUNCTION
The liquid rocket engine is a complicated expensive product consisting of separate knots, units and their elements. Reliability of the engine is formed at design, provided in production and supported in operation. Design reliability is the reliability received in the course of calculations and specified by tests in the course of operational development.
© Колтунова Е. В., Ковалев С. В., 2012
УДК 621.45-181.4:629.78
Е. М. Краева
Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Россия, Красноярск
РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ СПУТНОГО ПОТОКА ПРИ ОБТЕКАНИИ ПРОФИЛЯ ЛОПАТКИ
С учетом конструктивных особенностей профиля лопатки решетки центробежного рабочего колеса выполнен гидродинамический расчет параметров спутного потока вязкой жидкости.
Входные кромки лопаток рабочего колеса (РК) центробежного насоса (ЦБН) оказывают подтормаживающее действие на поток, а следовательно, и его формирование. Пограничные слои, образующиеся на поверхностях входной кромки, не только управляются потоком, но и оказывают на него обратное влияние
через толщину вытеснения о и потери импульса о . Для определения этого влияния рассмотрим составляющие сил, действующих на входную кромку лопатки, и их удельный вклад в баланс потерь энергии при течении вязкой жидкости в рабочей решетке ЦБН.
Ламинарный пограничный слой, образовавшийся на входной кромке лопатки величиной 5ь затем стекает к тыльной поверхности и распространяется по длине канала аналогично плоскому спутному потоку (см. рисунок). Ламинарное спутное течение, как пра-
вило, неустойчиво, так как в нем профили скоростей имеют точку перегиба, и поэтому оно переходит в турбулентное [1; 2].
Анализ фотографий и визуализация течений по тыльной стороне лопатки РК ЦБН позволили уточнить картину течения с созданием расчетной модели, позволяющей оценить границы спутного потока и учесть его влияние в общем балансе потерь энергии.
При течении вязкой жидкости за входной кромкой лопатки образовавшийся ламинарный пограничный
слой при обтекании уступа величиной ст1 = р
срывается с поверхности профиля (точка К на рисунке). За точкой отрыва распространяется зона спутного потока вдоль тыльной стороны лопатки. Граница расширяющейся спутной струи и толщина зоны сме-
