КРАЙНИЕ ТОЧКИ ВПОЛНЕ ВЫПУКЛОЙ СТРУКТУРЫ СОСТОЯНИЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 16. № 3 (2024). С. 111-117.

УДК 519.2—531.19

КРАЙНИЕ ТОЧКИ ВПОЛНЕ ВЫПУКЛОЙ СТРУКТУРЫ СОСТОЯНИЙ

с.г. ХАЛИУЛЛИН

Аннотация. Хорошо известно, что множество состояний определённой квантовоме-ханической системы является замкнутым с точки зрения онерационнохх) подхода, если мы хотим образовывать смеси состояний или выпуклые комбинации. То есть, если si и S2 являются состояниями, то так же и Asi + (1 — X)S2, где 0 < А < 1, должны быть состояниями. Мы можем определить выпуклую комбинацию элементов в линейном пространстве, но, к сожалению, в общем случае линейное пространство является искусственным для множества состояний и не имеет физическохх) смысла, но операция формирования смесей состояний имеет естественный смысл. По этой причине будет дано абстрактное определение смесей, которое не зависит от понятия линейности. Мы будем называть это пространство выпуклой структурой.

В работе будут рассмотрены пространства состояний, пространства обобщённых состояний, в которых выделяются чистые состояния, задаются операции и эффекты, ассоциированные с операциями.

Также мы рассмотрим ультрапроизведения последовательностей этих структур, операций и эффектов.

Ключевые слова: Обобщённые состояния, выпуклая структура, операция, ультрапроизведения.

Mathematics Subject Classification: 81Qxx+46M07

1 Введение

Разные авторы дают различные определения состояния или пространства состояний. Например, у Сигала состояние по определению есть действительная функция на множестве охрани-ченных наблюдаемых, которая обладает некоторыми свойствами. С точки зрения Дж. Макки (fl|), это определение допускает слишком mhoí'o состояний, поскольку не каждое состояние в смысле Сигала ставит в соответствие каждой ограниченной наблюдаемой некоторое распределение вероятностей. Состояния Сигала это все пределы таких состояний, которые действительно ставят в соответствие каждой наблюдаемой вероятностное распределение. В применениях такие идеальные «предельные состояния» часто бывают удобными.

С другой стороны, состояние определяется как некоторая функция, действующая из структуры событий на единичный отрезок (С. Гаддер [2|). При этом значение этой функции интерпретируется как вероятность того, что некоторое событие произойдёт в текущем состоянии.

Наконец, пространство состояний задаётся аксиоматически, при этом оно является выпуклой структурой и даже полным метрическим пространством. В статье рассмотрены пространства состояний и обобщённых состояний.

Такие различные определения состояний делают исследования более гибкими.

S.G. kiialiullin, Extreme points for a total convex structure of states.

© Халиуллин С.Г. 2024.

Работа выполнена за счет средств Программы стратегического академического лидерства Казанского (Приволжского) федерального университета («ПРИОРИТЕТ-2030»).

Поступила 1 ноября 2023 г.

В работе также исследуются различные подходы к понятию операции в пространстве состояний (см. [2|, [3]), чистые операции и эффекты, ассоциированные с операциями.

Работа посвящена определению и исследованию ультрапроизведений абстрактных пространств состояний. Показано, что вполне выпуклые структуры состояний устойчивы относительно ультрапроизведений. Также рассмотрены ультрапроизведения последовательности операций, при этом доказано, что ультрапроизведение чистых состояний в общем случае не является чистой операцией.

Напомним вначале некоторые определения.

Определение 2.1 (см., например, S. Gudder, [ ]). Пусть £ — непустое множество, S — множество функций из £ на единичный инт,ервал [0,1]. Пара, (£, S) называется структурой событий, если выполняются следующие две аксиомы:

А1. Если s(a) = s(b) для, каждого s £ S, то а = Ъ;

А2. Если а1,а2,... £ £ удовлетворяют условию s(ai) + s(aj) ^ 1, г = j для каждого s £ S, то существует такой элемент Ъ £ £, чт,о

для, каждого 8 € 5.

Исследование свойств структур событий и их ультрапроизведений можно найти в работе [6].

Определение 2.2 (см., например, Б. Gudder, [ ]). Пусть (£,Б) является структурой событий. Будем, называть элементы множества £ событиями, а элементы множества Б — состояниями. Множество состояний Б называется выпуклой, структурой, если оно обладает следующими двумя свойствами:

1. для любых положительных чисел Х\, Х2,..., \п, таких, чт,о = 1, и, любых состо-

яний в1, в2,..., вп существует единственный элемент

2. (Аь ...,Хп; в, в,..., в) = в.

Определённое таким образом состояние (А^ Х2,..., Хп; 81,з2,..., 8п) называется смесью состояний 81, 82,..., 8п. Для смесей двух состояний мы будем использовать более простое обозначение (X, 1 — X; = (X; 8, ¿). Состояние 8 € 5 называется чистым, если оно не может быть записано в виде 8 = (X; Ь1, ¿2) для некоторых ¿1 = ¿2.

Введём в выпуклой структуре 5 понятие расстояния. Близость состояний 8 и £ может быть измерена путём сравнения смесей (X; $1,5) и (X; ¿1,£) с другими состояниями.

Определение 2.3. Функцию расстояния а (в, ¿) для двух состояний € в определим следующим образом: если существуют два, состояния € в такие, что выполняется условие, (X; «1,«) = (X; то

в противном случае, = 1/2.

В общем случае эта функция не является метрикой.

Определение 2.4. Выпуклая структура в называется а-выпуклой структурой, если выполняются, следующие условия:

1. Если вп € в и о(8п, 8т) = 0, то существует единственное состояние в € в,

2. Понятие смеси состояний. Предварительные сведения

s(b) + s(a\) + s(a2) + .... = 1

(Ai,A2 ,... ,Xn; si,s2,... ,sn) £ S;

a(s, t) = inf {0 < A < 1 : (A; sb s) = (A; ti, t)} ;

такое, что o(sn, s) = 0.

2. Если Xi > 0, ^¿=1 = 1, tl,t2, ■ ■ ■ £ S и

то а(зп, вт) = 0.

Таким образом, мы можем рассматривать смеси бесконечного (счётного) числа состояний.

Определение 2.5. Отображение f : 5 ^ К называется аффинным функционалом, если

п

/((АЬ А2, . . . , Ап; , в2,..., вп)) = Хг/(вг)

г=1

для любого набора состояний в1,..., в п и положительных чисел А1,...,Ап, для которых

£1=1 А* = 1.

Заметим, что множество аффинных функционалов Б * является линейным пространством относительно поточечных операций. Зададим «нулевой» и «единичный» аффинные функционалы: 0(з ) = 0 е(в) = 1 Для всех € 5. Определим па Б * отношение частичного порядка: / ^ д ^ /(в) ^ д(,в) для всех € 5. Фупкцион ал / € Б * называется эффектом, если 0 ^ / ^ е. Множество эффектов обозначим Е ( 5). Оно образует выпуклое подмножество линейного пространства 5*.

Определение 2.6. Вполне выпуклая структура — это а-выпуклая структура, обладающая следующим, свойством: если f(в) = /(¿) для каждого эффекта f, то в =

Смысл введения последнего определения состоит в том, что оно не выполняется в некоторых квантовых системах (см. В. Мю1шк [7]). Хорошо известно (см. [2|), что если выполнено определение , то а является метрикой, а пространство (5, а) становится полным метрическим пространством.

Крайние точки выпуклого подмножества Е(5) линейного пространства 5* называются предложениями. Множество предложений V(5) С 5* наследует порядок 5* и поэтому является частично

0е

Теперь мы наделим 5 * слабой *-топологией. Это естественная топология для 5*, поскольку в этой топологии последовательность эффектов /п сходится к эффекту / тогда и только тогда, когда /п(,в) ^ /( в) для каждого состояния в, п ^ ж.

Пусть 5 — выпуклая структура, мы определим множество 5+ = {(а, в) : а ^ 0,5 € 5}. Положим (а, в) = (/, ¿), если а = /3 = 0 и в = и (0,«) = (0, ¿) = 0 для всех € 5. Если 5 — множество состояний, то мы будем называть 5+ множеством обобщённых состояний. Далее определим выпуклую структуру на 5+, полагая:

( А1, А2,..., Ап; (а1, в1),..., (ап, вп)) = ( ^ А1а1,( ^А1а.1—,..., „ ^^—; «1,..., О ) .

\£г=1Агаг £г=1Агаг I)

Здесь мы идентифицируем элемент вида (1, 8) € 5+ как элемент 8 € 5. Точно также, как в случае пространства состояний 5, пространство обобщённых состояний можно рассматривать как полное метрическое пространство.

Обозначим через 5+ множество аффинных функционалов на 5+. Известно ([ ]), что если f € 5*, то существует единственное расширение / € 5+, и если / € 5+, то /((а,«)) = а/(«) для всех (а, в) € 5+. В частности, существует единственное расширение единичного функционала е € 5+ и е((а, в)) = а.

Определение 2.7. Операцией называется аффинное отображение Р : 5+ ^ удовлетворяющее. условию

е(Р(ад)) < е(т) (2.1)

для всех т = (а, в) € 5+, 0 ^ а ^ 1.

Отметим здесь, что операция описывает изменение состояния, связанное с некоторым внешним воздействием, и операция сохраняет смеси состояний. Если Р — такая операция, что для

(а, г) €5+, Р((а, г)) = (а',1?),

то она может быть рассмотрена как отображение, состоящее из двух частей: а ^ а', t ^ t'. Часть t ^ t' представляет собой «искажение состояния», а а ^ а1 — «степень ослабления состояния», вызванную воздействием. Для s Е S будем интерпретировать e(F(s)) как вероятность передачи состояния s, обусловленную операцией F.

Для операции F определим линейное отображение F* : ^ как

(F *f )(w) = f (F (w))

для каждого f Е S*, w Е S+.

С каждой операцией F свяжем её эффект, определяемый как

f = F *(e)IS.

Поскольку e(F(s)) = (F*e)(s) = f (s) для каждого s Е S, эффект f определяет только вероятность передачи состояния. Таким образом, сама операция содержит больше информации, чем соответствующий её эффект.

Так же, как и в случае обычных состояний, вводится понятие крайних точек (чистых состояний) в пространстве обобщённых состояний S+.

Определение 2.8. Операция называется чистой, если она преобразует чистые состояния в чистые состояния.

Пример 2.1. Пусть Н — комплексное сепарабельное гильбертово пространство, и S — множество операторов плотности на Н. В этом случае S представляет собой а-выпуклую структуру (см. [ Рассмотрим множество ограниченных самосопряжённых операторов А на, Н, удовлетворяющих условию 0 ^ А ^ I. Положим e = I. Определим эффект

A(s) = Tr(As).

Известно (I. Namioka, Е. Davies, [ \), что такие эффекты описывают все эффекты на S,

АА Обобщённое состояние w = (a, s) Е S+ задаётся здесь как оператор as, 0 < а ^ 1, s Е S. Таким, образом, класс S+ можно рассматривать как класс операторов с положительным следом,. В этом, случае

e(w) = Tr (w) = aTr(s).

Подойдем теперь к концепции операции под несколько иным углом зрения.

Определение 2.9 ([ ]). Пусть Si и S2 — пространства состояний в гильбертовых пространствах Hi и Н2 (конечномерных или бесконечномерных), являющиеся а-выпуклыми структурами соответственно. Операция на Si определяется как положительное линейное отображение Т : Si ^ S2, удовлетворяющее условию

e2(T(s)) < ei(s) или (Tr(T(s)) < Tr(s))

для всех s Е Si, гд e ei — единиц а, в Si, e2 — единиц а, в S2.

Если T является чистой операцией, то структура этой операции хорошо известна ([ ]), а именно, представляется в одной из следующих форм:

Т (s) = BsB*, Т(s) = Tr(sB)^ ><

где В : Hi ^ Н2 линейный ограниченный оператор, ф Е Н2. В последнем случае операция Т является вырожденной, то есть отображение Т переводит все состояния s Е Si в одно-единственное состояние в ^определяемое век тором ф Е Н2■ В этих случаях чистая операция обладает свойством e2(T(s)) = ei(s), или, другими словами, чистая операция сохраняет эффект.

3 у/штрапризведепия вно 111е выи n к [ ы x структур

Определение 3.1. Пусть ( Sn,an) — последовательность вполне выпуклых структур, U — нетривиальный ультрафильтр в множестве натуральных чисел Ш. Рассмотрим 1 Sn — декартово произведение последовательности ( Sn) и введём, в нём отношение эквивалентности, полагая

( sn) ~ (tn) & liman(sn, tn) = 0.

Множество всех классов эквивалентности 1 Sn, определённые этим соотношением, мм будем, называть ультрапроизведением последовательности ( Sn) и обозначать Su = (Sn)u-В ультрапроизведении ( Sn)u естественным образом введём, метрику ju, полагая

ju(s, t) = liman(sn, tn), t = (tn)u, s = (sn)u,

и эффекты,

fu(s) = lim fn(sn), fn eE(Sn), S = (sn)u.

Пара, ( Su ,au) называется ультрапроизведением последовательности вполне выпуклых структур.

Теорема 3.1. Пусть ( Sn,an)n^i — последовательность вполне выпуклых структур, U — нетривиальный ультрафильтр в множестве натуральных чисел Ш. Тогда, ультрапроизведение (Su ,Ju) является вполне выпуклой, структурой.

Доказательство. Покажем, что ультрапроизведение сохраняет структуру вполне вьшуклох'о пространства.

Смеси состояний вводятся естественным образом: для любых положительных чисел А1, Х2,..., Хт, таких, что J^™ 1 Xi = 1, и любых состояний (sjl)u, (,..., (s*n)u положим

(Al, . . . , Xm; (Sn)U, (S1n)u, . . . , ( S™)u) = (ХЪ . . . , Xm; S^ S2^ . . . , SU Е SU.

При этом очевидно, что (Х1,..., Xm; (sn)u, (sn)u,..., (sn)u) = (sn)u-Рассмотрим далее такую последовательность (()fc^b что

lim ju((skn)u, (Ou)=0.

Тогда для любого e > 0 существует такой элемент U Е U, существует N Е N чт0 Для всех п Е U и для всех k > N, т > N выполнено an(s1^, s™) < е. Тогда для всех п Е U существует такое состояние sn, что lim^^ an(Sn, sn) = 0. Следовательно,

lim ju((Sn)u, (sn)u) = 0.

( (

рой. Из определения ультрапроизведения ( Sn)u и эффекта на нём непосредственно следует, что (Su ,au) является вполне выпуклой структурой. □

Обозначим через a метрику в S+ Поскольkv (S+, J) является полной выпуклой структурой относительно этой метрики, определение ультрапроизведения последовательности пространств обобщённых состояний совпадает с предыдущим определением. Заметим, что в этом случае

SU + = S+U = (®+)и х SU, где (R+ )и = {( an)u : ап ^ 0, supraara < те}.

Теорема 3.2. Пусть ( Sn+,an)n^1 — последовательность пространств обобщённых состояний, U — нетривиальный ультрафильтр в множестве на,туральных чисел Ш. Тогда, ультрапроизведение ( Su+,Ju) является вполне выпуклой, структурой.

Доказательство. Следует из теоремы 3.1. □

Определение 3.2. Пусть заданы две ■последовательности пространств состоянии (Sn 2)п^1 и (Sn^n^, Являющихся вполне выпуклыми структурами, Тп : Sn2 ^ Sn2 — опера,ции, U — нетривиальный ультрафильтр в множестве натуральных чисел N. Ультрапроизведение последовательности операций (Тп) определим как от,обра,жение Tu : S^2 ^ S^2, где

Tu (8$) = (Tn(sP))v, 8% = (sW )U .

Легко видеть, что ультрапроизведение последовательности операций является операцией. Естественно встает вопрос: будет ли ультрапроизведение последовательности чистых операций чистой операцией? Оказывается, что в общем случае ответ отрицательный. Это показывает следующий контрпример. Построим такие две последовательности пространств состояний и последовательность чистых операций, что ультрапроизведение последних не является чистой операцией.

Пусть Sn2 — множество Нп2 -квазиинвариантных вероятностных мер, заданных на измеримом пространстве (Q«2, Х^12) = (R, #(R)), где Нп2 = {х £ R : 1x1 < те} п £ N. Хорошо известно, что гауссовсие меры являются Нп -квазиинвариантными и эргодичными относительно сдвигов на элементы Нп2, а, значит, (см., например, [5]), являются крайними точ ками в множестве Нп2-квазиинвариантных мер, то есть, в множестве Sn \ п £ N. Пар а (Х^12, Sn2) является структурой событий (см., например, [6]), при этом Sn2 является вполне выпуклой структурой, п £ N.

(22 (22 -r—r

Пусть далее Sn 2 — множество Нп -квазиинвариантных вероятноетных мер = Пßk,

ßk £ Sn2, заданных на измеримом про странстве (Qn2, Хп2) = (Rra, <B(Rra)), п £ N, где (22

Нп 2 = {хп £ Rra : \\хп\\ < те} п £ N. При этом гауссовские меры также являются крайни-

(22 (22 (22 (22

ми точками Sn2 поскольку они Н(2 -эргодпчн ы, п £ N Пар а (Хп2, Sn2) является структурой

(22

событий, Sn является вполне выпуклой структурой, п £ N. Рассмотрим чистую операцию Тп : Sn2 ^

Sf(2•) полагая Tn(ßn) = ßn,

где ßn — гауссовская мера из б*!12 с параметрами N(0,/лп — гауссовская мера из Sn2 с параметрами N(0,1п), 1п — единичная матрица, (п £ N).

Далее рассмотрим ультрапроизведения последовательностей двух структур событий (Х^12, б*!12)n^i (22 (22

(Х

п , Sn )п^1 относительно нетривиального ультрафильтра U на множестве натуральных чи-N

S™ = {М(12 : М(12(-) = limMn(-)j, S(j22 = {р$2 : Mi)2(-) = limßn(-)}

(подробнее см. f ]). Тогда мера ß1^2 является (Нп2)и-квазиинвариантной, где

Нп2 = {хп £ R : sup Ixnl < те},

п

(22 (Ü(22 \

мера является (Нп )и-квазпинвариантноп,

Нп2 = {хп £ R™ : sup \\хп\\ < те}.

п

Мера ß^) является также и (Д^^и-эргодической, следовательно, крайней точкой множества

о(12 (22 - - о(22 (Ü (22 \

Ь^ , то мера не является крайней точкой Ь^ , поскольку не является (Нп )и-эргодическои (см. [51).

Зададим операцию Tu : (Sn2)u ^ (Sn2)u, полагая Tu (■) = l imu Tn(-)- Тогда ультрапроизведение чистых операций

Tu (ßi2) = lim Tn(ßn) = lim ßn = ß%2

не является чистой операцией. Сформулируем результат.

Теорема 3.3. Существуют такие две последовательности пространств состояний и последовательность чистых операций, что ультрапроизведение последних не является чистой операцией.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Дж. Макки. Лекции по математическим основам квантовой механики. М.: Редакция литературы по математическим наукам (1965).

2. S. Gudder. Stochastic Methods in Quantum, Mechanics. Dover Publications (2014).

3. E.B. Davies. Quantum Theory of Open Systems, Academic Press, London (1976).

4. I. Namioka. Partially ordered linear topological spaces. Mem. Amer. Math. Soc. 24 (1957).

5. D.H. Mushtari, S.G. Haliullin. Linear spaces with a probability meassure, ultraproducts and contiguity 11 Lobachevskii J Math. 35:2, 138-146 (2014).

6. S.G. Haliullin. Ultraproducts of quantum, mechanical system,s // Ufa Math. J. 14:2, 94-100 (2022).

7. B. Mielnik. Generalized quantum mechanics // Commun. Math. Phvs. 37, 221-256 (1974).

Самигулла Гарифуллович Халиуллин, Казанский федеральный университет, ул. Кремлевская, 35, 420008, г. Казань, Россия E-mail: Samig.Haliullin@kpfu.ru