Кратные интегральные преобразования и линейные комбинации функций Уиттекера, Макдональда и Бесселя Текст научной статьи по специальности «Математика»

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ЛИНЕЙНЫЕ КОМБИНАЦИИ ФУНКЦИЙ УИТТЕКЕРА, МАКДОНАЛЬДА И БЕССЕЛЯ1

А. И. Нижников, И. А. Шилин

Аннотация. С помощью билинейных функционалов, заданных в виде двойного интеграла на паре пространств представления двумерной группы Лоренца, получены новые функциональные соотношения в виде линейных комбинаций функций Уиттекера первого и второго рода, а также функций Макдональда и модифицированных функций Бесселя.

Ключевые слова: функции Уиттекера, функции Макдональда, модифицированные функции Бесселя, интегральные преобразования.

Summary. New functional relations for Whittaker, Macdonald and modified, Bessel functions are obtained via some integral transforms defined on a pair of 2-dimensional Lorentz group representation spaces. All these relations are linear combinations of above functions.

Keywords: Whittaker functions, Macdonald functions, modified Bessel functions, integral transformations.

1 Введение. В работах [1] и [2] были использованы интегральные преобразования, инвариантные относительно представления псевдоортогональной группы, для вывода соотношений, содержащих функции Лежандра. В работе [3] вводятся билинейные функционалы D,-, i 6 {1,2,3}, заданные на паре пространств представления группы S0(2.1). В этой работе установлены условия для ядер этих функционалов, при которых, во-первых, сохраняется инвариантность относительно представления группы 50(2.1) и, во-вторых, выполняется равенство D, = D, при различных г и j. В этой же работе с помощью функционалов D, выводятся некоторые функциональные соотношения между функциями Уиттекера и вычисляется сумма ряда, содержащего гипергеометрические функции Гаусса и сходящегося к функции Уиттекера. Настоящая статья является дополнением к работе [3].

Под D, мы понимаем интеграл j J k(x, .г) и(х) v{x) cir di.

в котором 7j : Xq + Х\ = 1, 72 : — I, мера da^ = di инвариантна относительно группы exp[K(ei3 + еЯ] + eS2 — <-'•>?,) (в случае г = 1) или группы cxpfEft'u + ел)] (в случае i — 2), а вид сужений ядра А- на ji к -¡ и 72 х уо подробно рассмотрен

1 Работа выполнена в рамках Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009 - 2013 годы, проект МК 568-Р30.

227

в [3]. Функции и и V принадлежат пространству 'Э„ [3]. В настоящей статье в качестве и используется функция /\(х) = (.г,) I Хг)" ехр А е К, а в качестве ■■■-функция , "" ; :: - , ; ^ '.""'.

2. Вычисление О^/л ¡рЛ\ и 0-.(/л /л+). Теорема 1. При | ¡. . 1

Доказательство. Интеграл

+00 i

Di (/д, fp,+) = 2Сг I J (у- z)~2a~2 (1 - 1 +

dy ds

—Ot -1

после замены t :=y — z принимает вид

Интеграл /i вычисляется по формуле

228

где 0 < rea < 1 [4, 2.5.4.14]. Интеграл Ii после замены w := z + 1 вычисляется по формуле

в которой reo:,/? > 0 [4, 3.3.6.1]. Остается воспользоваться формулой

= e-í ^ ( * - р, + 2j/ + 1 Теорема 2. Яри | ¡. ■

0а</А,Л,+) = Г(<г + 1 - ip) r(ff + 1 + iр) [Сгл ■ 2~" х

□

Доказательство. С помощью замены Ь ^ интеграл

приводится к виду

/5 к

Интегралы /3 и /5 вычисляются соответственно по формулам

где ге1/ > 0. гс[(г/ - 1)о] < -\шЬ\ [4, 2.5.47.15], и

+оо

/

сой Ьх Лх 2" ~

с11!'с:с сГ(^)

229

где гс(/ус) > (¡т Ь [4, 2.5.47.6].

Замена и := 1:-1ж (; + 1 преобразует интеграл 1\ в интеграл

2

П =

= 2(Т+1 е~1Х I (2 - и)"т-1-'1р е'А" с1и.

который вычисляется по формуле, указанной выше. Интеграл после замены 1! принимает вид

Оба интеграла в этом равенстве после несложных преобразований вычисляются по формуле

которая выполняется, в частности, при гса > 0. | arg у | < тг, res = 0, ге(а + т) < 2 [4, 2.3.2.3]. Выразив в этом равенстве функции вырожденные гипергеометрические функции через функции Уиттекера получим

230

X Mift_ff_i(—2iA) + (—I)"1 Г(—2сг — 1)(—2iA)]| Воспользовавшись теперь формулами

[5,8.3.4.2] и ^ ^

[5, 8.3.4.4] и учтя, что

В(-^ ± ip,2<r + 1) M±ip, + Г(-2ст - 1) х

завершаем доказательство. □

3. Функциональные соотношения (в виде линейных комбинаций) между функциями Уиттекера Мр,, и И,,,,.

Теорема 3. При I :; .; . 1

При этом

где

231

Доказательство. Утверждение получается из двух предыдущих теорем. Числа и можно найти из каких-нибудь двух «начальныхусловий», то есть записав настоящую теорему 3 для двух различных пар (А, р] - например, для (1,0) и (— 1, 0) - и решив получившуюся систему линейных уравнений. □

4. Функциональное соотношение (в виде линейной комбинации) для модифицированных функций Бесселя и функций Макдональда.

Теорема 4. При — 1 < ге а < — \

Доказательство. Это утверждение следует из теоремы 3, если положить в ней р = 0 и затем выразить функции Уиттекера первого и второго рода через модифицированную функцию Бесселя и функцию Макдональда соответственно по формулам

232

2.

3.

СПИСОК ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ

Шилин И. А., Вестяк В. А. Интегральные представления функций Лежандра, возникающие при преобразовании Пуассона // Электронный журнал «Труды МАИ». - 2010. - Вып. 40. Shilin I. A., Nizhnikov A. I. Some formulas for Legendre functions induced by the Poisson transform //Acta Polytechnica. - 2011. - Вып. 51. - No. 1. - P. 70-73.

Шилин II. А. Двойные SO(2.1 [-инвариантные интегралы и формулы для функций Уиттекера // Известия вузов: Математика. - 2012.

Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. - М.: Наука, 1981.

Виленкин Н. Я. Специальные функции и теория представлений групп. - М.: Наука, 1991. ■