Кратные биномиальные структуры в задаче аппроксимации динамических цепей, содержащих звено чистого запаздывания Текст научной статьи по специальности «Математика»

список литературы

1. Смагин В. А., Парамонов И. Ю. Оценивание количества информационной работы вычислительной сети // Изв. вузов. Приборостроение. 2012. Т. 55, № 12. С. 16—20.

2. Лавров Р. О., Парамонов И. Ю., Смагин В. А., Харин В. Н. Модели надежности программного обеспечения средств измерений. СПб: ВКА им. А. Ф. Можайского, 2013. 90 с.

3. Smagin V. A. Nanotechnology. The basis for the creation of new high-reliability elements // Automatic Control and Computer Sciences. 2008. Vol. 42. N 2. P. 109—111.

4. Смагин В. А. Новые вопросы теории эксплуатации. СПб: ВКА им. А. Ф. Можайского, 2010. 127 с.

5. Смагин В. А., Филимонихин Г. В. О моделировании случайных процессов на основе гипердельтного распределения // АВТ. 1990. № 5. С. 25—31.

6. Хорошевский В. Г. Инженерный анализ функционирования вычислительных машин и систем. М.: Радио и связь, 1987. 256 с.

7. Cohen D. All the World's a Net // New Scientist. 2002. Apr. P. 22—29.

8. Moffat J. Complexity theory and network centric warfare // CCRP Publ. Ser.: Information Age Transformation Series. 2002. 201 p.

Сведения об авторах

Иван Юрьевич Парамонов — канд. техн. наук; Военно-космическая академия им. А. Ф. Можайско-

го, Санкт-Петербург; докторант; E-mail: [email protected] Владимир Александрович Смагин — д-р техн. наук, профессор; Военно-космическая академия им. А. Ф. Можайского, кафедра метрологического обеспечения, Санкт-Петербург; E-mail: [email protected]

Рекомендована отделом Поступила в редакцию

перспектив развития АСУ и связи 18.06.13 г.

ВКА им. А. Ф. Можайского

УДК 62.50

Н. А. Дударенко, Н. А. Полинова, М. В. Сержантова, А. В. Ушаков

КРАТНЫЕ БИНОМИАЛЬНЫЕ СТРУКТУРЫ В ЗАДАЧЕ АППРОКСИМАЦИИ ДИНАМИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ, СОДЕРЖАЩИХ ЗВЕНО ЧИСТОГО ЗАПАЗДЫВАНИЯ

Рассматривается проблема аппроксимации динамических цепей со звеном чистого запаздывания. Предложено решение, основанное на применении кратных биномиальных структур в задаче аппроксимации динамических цепей. Задача решается относительно класса аппроксимационных процедур в функциональном пространстве.

Ключевые слова: динамическая цепь со звеном чистого запаздывания, аппроксимация, кратные биномиальные структуры, функциональное пространство.

Введение. Постановка задачи. Реальные физические объекты в неупрощенном модельном представлении являются нелинейными и характеризуются задержками при передаче сигналов от одного физического компонента к другому. При модельном представлении физических объектов, вследствие ограниченных технологических возможностей аналитических и расчетных процедур, отмеченные факторы часто игнорируют. Однако существуют ситуации, когда игнорирование факта наличия временных задержек

может способствовать неадекватности модельных представлений физическим процессам [1—4]. Эта системная ситуация рассматривается в настоящей статье. Стимулом к началу исследований стало то обстоятельство, что основные результаты по анализу и синтезу систем с элементами задержки получены, как правило, частотными методами [1—4]. Инструментарий метода пространства состояний [5—6] пока не позволяет структурно представлять элементы задержки. Таким образом, современный аппарат анализа и синтеза систем управления, обеспечивающий решение многих „тонких" проблем теории и практики, в настоящее время не может быть применен для исследования указанного класса объектов и систем.

Конструктивным способом исследования проблемы анализа и синтеза систем с элементами задержки с использованием алгоритмической среды метода пространства состояний является аппроксимационный подход. При этом, по мнению авторов настоящей статьи, вместо непосредственной аппроксимации звена чистого запаздывания [7] следует решать задачу аппроксимации отклика динамической цепи „звено чистого запаздывания — типовое динамическое звено" как элемента функционального пространства в экспоненциальном функциональном базисе [8].

Сравнительный анализ методов аппроксимации звена чистого запаздывания. Введем предварительно следующие определения.

Определение 1. Под звеном чистого запаздывания (ЗЧЗ) с постоянной запаздывания т понимается звено, отклик которого Ич з (t) на единичное внешнее воздействие

g (t) = 1( t) представляется в форме

¿ч.з (t) = 1(t-т) . (1)

Если воспользоваться представлением (1) и осуществить переход в область комплексной переменной s, то можно дать альтернативное определение ЗЧЗ.

Определение 2. Под звеном чистого запаздывания с постоянной запаздывания т понимается звено, передаточная функция Фчз (s) „вход—выход" которого имеет вид

фч.з(s) = Уч.з(s Vg (s) = exp(-Ts) . (2)

Все методы [3, 4, 7] аппроксимации ЗЧЗ строятся по схеме: формирование аналитической аппроксимации Фчз (s) в виде передаточной функции Фачз (s) — контроль успешной аппроксимации по невязке откликов \чз (t) = h{t, Фачз (s)} и Ичз (t) = 1(t -т) .

Сравнительный анализ ограничим выборкой методов, основанных на разложении экспоненты exp(Ts) в усеченный ряд Тейлора; аппроксимации функции Фчз (s) представлением

Паде различных порядков; аппроксимации функции Фчз (s) биномиальной передаточной

функцией (s +1) v. Для краткости, аппроксимирующий элемент будем именовать аппрок-

симантом, а аппроксимируемый — оригиналом.

Прежде чем сравнивать выбранные методы аппроксимации, укажем предельные свойства передаточной функции Фч з (s) (2) оригинала:

lim {ФЧз (s) = exp(-Ts)} = 1, (3)

lim {Фчз (s) = exp(-Ts)} = 0. (4)

s^<x>

1. Аппроксимант в виде усеченного ряда Тейлора представления экспоненты:

-1-1

exp(-xs) = [exp(xs)] 1 =

1 + 1(0 )) (Ts )

i=1

1 + Ts + (2)-1 (Ts) + (6)1 (Ts) +... + (v ) (Ts)

-1

4-1

-1

(5)

Предельные свойства аппроксиманта (5)

- -1-1

1 + ¿((1 )) Т У

i=1

Нш

5^-0

= 1, lim

s^<x>

1 + Z((i )!)-1 (Ts)

i=1

-1

= 0

совпадают со свойствами (3), (4).

Значения задержки т как функции т = т(Т,у) постоянной времени Т и числа V, зафиксированной на уровне 0,05 переходной функции аппроксиманта (5), сведены в табл. 1

Таблица 1

v 1 2 3 4 5 6

x 0,05137" 0,2437 0,4117 0,5347 0,62167 0,6867

При у=4 аппроксимант (5) в оболочке "81шиНпк" имеет в процессе установления переходной функции тринадцать полуколебаний; при у=5, у=6 и выше переходные функции становятся расходящимися.

2. Аппроксимант с использованием представления Паде первого порядка:

ехр(-т5) = = 1/[(2 + т5)/(2 - т5)] =

2 + xs

= 1/

1 + xs

+ (2 )-1 (is )2 +(4 )-1 (xs )3 +(8)-1 (is )4 +(16 )-1 (xs )5 +(32 )-1 (xs )6

(6)

Предельные свойства аппроксиманта (6)

lim ((2 - xs)/(2 + xs)) = 1, lim ((2 - xs)/(2 + xs)) = -1

отличаются от предельных свойств (3), (4) оригинала, что порождает сомнение в целесообразности использования аппроксиманта (6).

Аппроксимант с использованием представления Паде второго порядка:

exp( - xs) =

x2s2 - 6xs +12 i2s2 + 6xs +12

= 1

1 + xs + (2)-1 (xs )2 + (6 )-1 (xs )3 + (24)-1 (xs )4 + (168)-1 (xs )5 + (5040)-1 (xs )6 +..."

(7)

Предельные свойства аппроксиманта (7)

Нш

5^-0

x s - 6xs +12 vx2 s2 + 6xs +12 J

= 1, lim

s^<x>

( 2 2s ,

x s - 6xs +12 vx2 s2 + 6xs +12 J

=1

также отличаются от предельных свойств (3), (4) оригинала, что порождает сомнение в целесообразности использования аппроксиманта (7).

3. Аппроксимант с биномиальной передаточной функцией (БПФ):

Т+1)-у = 1 [т )у + су т )у-1 + с2у (Т5 )у-2 + ...+су-2 т )2 + су— Т) +1]. (8)

Предельные свойства аппроксиманта (8)

(1/(5 + 1)у) = 1, 11ш (1/(5 + 1)у) = 0

Нш

5^0 V

совпадают с предельными свойствами (3), (4) оригинала, что обусловливает целесообразность использования аппроксиманта (8) и исследования его аппроксимирующих свойств.

На рис. 1 приведены кривые откликов аппроксиманта (8) на единичное внешнее воздействие. Анализ полученных кривых послужил экспериментальной основой для расчета сведенных в табл. 2 значений задержки т = arg\Ьач з ((t) = 0,05 J и длительности переходного процесса tn = arg \Ьачз (t) = 0,95 J а также отношения tu/т как функций tu = tu (T, v),

т = т(Т, v) постоянной времени Т и порядка v.

h(t) 1

0,8

0,6

0,4

0,2

10

20

30 40

Рис. 1

50

60

70 t, с

Таблица 2

0

V 1 2 3 4 5 6 10 20 40

X 0,0513Т 0,35Т 0,82Т 1,36Т 1,95Т 2,6Т 5,4Т 13,25Т 30,15Т

tn 3Т 4,75Т 6,3Т 7,76Т 9,16Т 10,52Т 15,71Т 27,9Т 51Т

tj X 58,48 13,57 7,68 5,7 4,7 4,04 2,91 2,1 1,69

Основной результат. Рассмотрим решение задачи аппроксимации отклика оригинала на единичное внешнее воздействие. Эта задача решается применительно к оригиналу в виде динамической цепи (ДЦ), составленной их последовательного соединения звена чистого запаздывания и апериодического звена первого порядка с постоянной времени Тп .

Сконструируем функциональное пространство (ФП) Lp (7фгде Тф = {t: 0 < t < т + 5Тап ] — интервал времени формирования ФП; р — индекс нормы ||ф(^)||p элемента ф^) ФП, удовлетворяющий условию

Р = arg

hit )|| p =

ГТф ЛУр

j kit)p dt

V 0

Р = 1, 2, ю .

ставление

Норма ||ф(7)| с индексом р = ю в силу предельного перехода р ^ю получает пред-

ф(' )L=ma* k(t \\.

В этом случае задача решается с помощью аппроксиманта, сформированного в виде последовательного соединения типового динамического звена с БПФ и апериодического звена первого порядка с постоянной времени Тш . Параметры {у, Т) аппроксиманта определяются в

результате процедуры минимизации нормы ||е (Vневязки откликов оригинала Идц (V) и аппроксиманта й(/) на единичное ступенчатое воздействие g (V) = 1() :

{v, Т } = argmin {|| е ()L=| |ЛДЦ ()-h ( )

v,T v

}

(9)

где Ад.ц (t) = h {t, Фдд (s) = exp(-is) (Tans +1)-1}, h (t) = h {t, Ф„.з (s) = (Ts + l)-v (Tans +1)-1} .

В табл. 3 приведены результаты оценки параметров {v, Т} аппроксиманта для

IIе (t )||

= min

T ,v

hд.ц (t )-h (t )

-1

и задания оригинала с передаточной функцией

Ф дц (^ ) = ехр(-^) (^ +1) . Нетрудно видеть, что приведенные результаты, полученные для значений Тш = 1 и т = 1, могут быть пересчитаны с использованием теоремы об изменении масштаба для любых сочетаний Т и т .

Таблица 3

v 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 18 22 26 27

T, с 0,65 0,4 0,29 0,23 0,19 0,16 0,14 0,12 0,11 0,091 0,072 0,059 0,048 0,0405 0,039

l|e(t)|| 0,15 0,13 0,113 0,105 0,095 0,09 0,085 0,082 0,078 0,07 0,064 0,062 0,056 0,0515 0,05

На рис. 2 приведены кривые откликов кдц (V) и к(V), а также кривая их невязки е() = кдц(¿)-к(¿), характеризуемая значением нормы ||е(¿)||ю = 0,05, которое достигается согласно табл. 3 при параметрах аппроксиманта V =27 и Т = 0,039 с.

/7Д Ц(0. Ш), е(0 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 -0,2

0 1 2 3 4 V, с

Рис. 2

Рис. 3 визуализирует данные, приведенные в табл. 3.

!|е(0|| 0,16

0,14

0,12

0,1

0,08

0,06

0,04

0 5 10 15 20 25 30 V

Рис. 3

Заключение. Возможности использования метода пространства состояний при исследовании динамических систем, содержащих звено чистого запаздывания, могут быть сущест-

венно расширены, если предложенную процедуру аппроксимации распространить на динамическую цепь с типовыми звеньями типа „интегратор" и „колебательное звено".

Статья подготовлена по результатам работы, выполненной при поддержке Министерства образования и науки РФ, проект № 14.Z50.31.0031, и государственной финансовой поддержке ведущих университетов РФ (субсидия 074 — U01).

список литературы

1. Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического регулирования. СПб: Изд-во „Профессия", 2003.

2. Янушевский Р. Т. Управление объектами с запаздыванием. М.: Машиностроение, 1978. 416 с.

3. Гудвин Г. К., Гребе С. Ф., Сальгадо М. Э. Проектирование систем управления. М.: Бином, Лаборатория знаний, 2004.

4. Дорф Р., Бишоп Р. Современные системы управления: Пер. с англ. М.: Лаборатория базовых знаний, 2004.

5. Заде Л., Дезоер Ч. Теория линейных систем: Пер. с англ. М.: Наука, 1970.

6. Дударенко Н. А., Слита О. В., Ушаков А. В. Математические основы современной теории управления: аппарат метода пространства состояний: Учеб. пособие / Под ред. А. В. Ушакова. СПб: СПбГУ ИТМО, 2008. 323 с.

7. Громов Ю. Ю., Земской Н. А. Системы автоматического управления с запаздыванием. Тамбов: Изд-во ТГТУ, 2007.

8. Френкс Л. Теория сигналов / Пер с англ.; Под ред. Д. Е. Вакмана. М.: Сов. радио, 1974.

Сведения об авторах

Наталия Александровна Дударенко — канд. техн. наук, доцент; Университет ИТМО, кафедра систем

управления и информатики, Санкт-Петербург; E-mail: [email protected] Нина Александровна Полинова — студентка; Университет ИТМО, кафедра систем управления и ин-

форматики, Санкт-Петербург; E-mail: [email protected] Майя Вячеславовна Сержантова — канд. техн. наук; Университет ИТМО, кафедра систем управления

и информатики, Санкт-Петербург; доцент; E-mail: [email protected] Анатолий Владимирович Ушаков — д-р техн. наук, профессор; Университет ИТМО, кафедра систем

управления и информатики, Санкт-Петербург; E-mail: [email protected]

Рекомендована кафедрой Поступила в редакцию

систем управления и информатики 13.12.12 г.