Научная статья на тему 'Краевая задача с нелокальными условиями по временной переменной для ультрапараболических уравнений'

Краевая задача с нелокальными условиями по временной переменной для ультрапараболических уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
49
10
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Область наук
Ключевые слова
УЛЬТРАПАРАБОЛИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ / НЕЛОКАЛЬНОЕ УСЛОВИЕ / РЕГУЛЯРНОЕ РЕШЕНИЕ / СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ / ULTRAPARABOLIC EQUATION / NONLOCAL CONDITION / REGULAR SOLUTION / EXISTENCE / UNIQUENESS

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Лукина Галина Александровна

Для ультрапараболических уравнений исследуется краевая задача с заданием нелокальных условий по временной переменной. Доказывается теорема разрешимости в классах регулярных решений.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Boundary value problem with nonlocal conditions with respect to the time variable for the ultraparabolic equations

The boundary value problem with nonlocal conditions with respect to the time variable for the ultraparabolic equations is investigated. We prove the existence and uniqueness theorem in the class of regular solutions.

Текст научной работы на тему «Краевая задача с нелокальными условиями по временной переменной для ультрапараболических уравнений»

УДК 517.946

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА С НЕЛОКАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ ПО ВРЕМЕННОЙ

ПЕРЕМЕННОЙ ДЛЯ УЛЬТРАПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ*)

Г, А. Лукина

Исследование разрешимости нелокальных краевых задач для параболических уравнений привлекает в последнее время внимание многих авторов (см. [1-6]). Краевые задачи с нелокальными условиями наиболее общего вида и(х,0) = Би + «о(ж), где Б — некоторый линейный оператор, исследованы А. II. Кожановым [7] для линейных параболических уравнений, М. В. Уваровой [8] для эволюционных уравнений. В настоящей работе исследуется краевая задача для ультрапараболических уравнений с нелокальными условиями по одной из временных переменных. Ранее такие задачи не рассматривались.

Пусть Л — ограниченная область пространства М" с границей Г, я = о х (0,т) х (0,Т2), 0 < т < + го, 0 < Т2 < + го, С= П х (0,Т2), Б = дП х (0,Т) х (0, Т2). Далее, пусть с(х, ¿,т), /(х,Ь,т) — заданные функции, определенные при х € О, £ € [0, Т\], г € [0, Т2], А — оператор Лапласа по переменным х, • • •, хп, Б — линейный оператор, ставящий в соответствие функции ^(ж, т) функцию (Б-у)(х, т), точные условия на который указаны ниже.

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и

науки Российской Федерации (код проекта № 02.740.11.0609).

©2012 Лукина Г. А.

Краевая задача. Найти функцию и(х,Ь, т), являющуюся в <3 решением уравнения

иг + ит — Д и + с(х, Ь, т)и = /(х, Ь, т) (1) и такую, что для нее выполняются условия

и(х, 0, т) = Ви + ио(х, т), х € О, т € (О, Т), (2)

и(х,Ь,0) = 0, х еП, Ь е(0,Т), (3)

и(х,*,т)|5 = О, Ь е(0,Т), т е(0,Т2). (4)

Обозначим для краткости

у0 = №), у =

нормы в пространствах У — стандартные нормы в анизотропном соболевском пространстве.

Теорема. Пусть

с(х,г,т) е с(х,г,т) > с0 > о при (х,г,т) е п х [0,11] х [о,т2],

(5)

и пусть оператор В имеет вид В и = + В и гДе В> В — линейные операторы, определенные на пространстве Уд, для которых выполняются условия:

ЦВН1 (6)

п

ЦВ2и||

(7)

¿=1

д

——(Ви) = Вги^ + В2их. + Вз^м, дх (8)

11В3 .¿и11|2(С) ^ Ь (НиНь<»(0 ,Т1;Ь2(С)) +

д

— (Ви) = В1ит + В2ит + В3и,

дт (9)

НВзи1И2(с) < ь+ 1МИ2№));

Бу = 0 при ж £ Г, т £ (О, Т2) для любой функции у(х, Ь,т) £ Уо такой, что для нее выполняются условия (4),

д

— (Ву) = О при х £ Л, т = Т2 для любой у(х, т) £ У, дт

Бу = О при ж £ Л, т = О для любой у(х,

2&! <1, Ъ2< 1, Ъ3 < с0; (11)

/(х,1,т) £ ЫЯ), /т(х,Ь,т) £ имь (12)

ид(х,т) £ Ш^О), щ(х,0) = О, щт(х,Т2) = О при х £Л,

ио(х,т) = 0 прих £ Г, т £(0,Т2). (13)

Тогда краевая задача (1)-(4) имеет решение и(х,Ь,т), ирниадле-У

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Разрешимость рассматриваемой краевой задачи для уравнения (1) докажем, используя метод регуляризации.

Пусть £ — фиксированное положительное число. Рассмотрим краевую задачу с параметром £ найти функцию и(х,Ь,т), являющуюся в Я решением уравнения

-£итт + щ + ит — А и + с{х, Ь, т)и = /(х, Ь, т) (14е)

и такую, что для нее выполняются условия (2)—(4) и условие

ит(х,Ь,Т2) = 0, х £Л£(0,Т). (15)

Разрешимость задачи (14е), (2)-(4), (15) при фиксированном £ в пространстве У известна [7]. Для предельного перехода при £ ^ О

£

их наличие. Индекс £ у решений задачи (14е), (2)—(4), (15) временно опустим.

Рассмотрим равенство

г

[—£итт + и£ + ит — Au+с(x,£,т)u]udxdтd£ = J J/(х,^,т)иЗ,хЗ;тЗ£, ос ос

откуда, интегрируя по частям, используя указанные выше граничные и начальные условия для функции и(х, Ь,т) и условие (5), применяя

В

неравенству

1

г п г

J и2(х, Ь, т) ¿х^т + £ ^ J иТ ¿х^т^ + ^^ J ! и^

с ос ¿=1 о с

г г

+ с$ J J и2 <1хс1тсМ; + — J ! и2(х, Т2) ¿хсМ;

о с

о п

< (1 + г?)

(В\и)2 (1х<1т + !(В2и)2 (1х<1т 2 ^^ У ио(хтт)

I ¡и" йхйтй^ + I I (1х(1тс1£,

о с

о с

в котором ¿1, ¿2 — произвольные положительные числа. Учитывая условия (6), (7), получаем

1

г п г

J и2(х, Ь, т) ¿х^т + £ ^ J иТ ¿х^тй^ + ^^ J ! и^.

с ос ¿=1 о с

г г

+ с$ J J и2 <1хс1тсМ; + — J ! и2(х,^,Т2) ¿хсМ;

с

о п

<(1 + С

б1\та1тах / и2(х, Ь, т) ¿х^т + Ы > / и2, ¿х^Ыт

о<г<т У ^ У Х

¿=1Ч

+ J «о(ж, г) <1х<1т

63 J и ¿х^Ыт

с

9 г 4

I I и2 <1Х(],тс1,£ + I I /2 <1Х(],тс1,

с

с

Поскольку t произвольно, из предыдущего неравенства следует "1

— (l + S?)bi vrai max / u2(x,t,r) dxdr + e / ui dxdtdr

v J o<t<T J j

g Q

+ (1 — 62) ^^ J ii2Xi dxdtdr + ^co — 63 —J u2 dxdtdr

i=1 Q Q

T

+ — / / u2(x,t,T-}) dxdt ^ — ( 1+79 ) / uq(x, r) dxdr-\—/ f2 dxdtdr.

2 7 7 2\di/J Щ J

on G Q

- -

Фиксируя числа fa = (¿¡- — f)2, ¿2 = (CP2 3 )2, нетрудно получить оценку

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

vrai max / u2 (x, t, r) dxdr + e uT dxdtdr

o<t<T 7 J

G Q

+ ^^ j u2x. dxdtdr + j u2 dxdtdr ^ Mi (16)

i=1 Q Q

с постоянной Mi, определяемой лишь функциями c(x,t,r), f{x,t,r), щ (x, г), а также числами bi, b2, Ьз.

На следующем шаге рассмотрим равенство t

-J f[-euTT + щ + uT — Д ^ ф, e, r)u](Au +^ ^

0 G

t

= — j j f(Au + uTT) dxdrdÇ, 0 G

которое интегрированием по частям можно преобразовать к виду

1 f 1 V—-л I"

/ г) dxdr — ^ / u2Xi{x, 0, г) dxdr

i=1 G i=1 G

— t — t

+ j j ulÀx, T2) dxde + (e + 1) j j u2iT dxdrdÇ

г

+ J !(Аи)2 ¿хс1тс1^ + — J и2 (ж, т) ¿хс1т — — J и2 (ж, 0, т) ¿хс1т

с с с

г г г

— J J иТ (х, 0) + £ У J иТТ dxdтd^ ^ J J с(х, т)иТ ¿х^т^^

сс г г

Ф^д^^— ууст (х,е,^иит ^

сс г г г

J ! /Аudxdтd£+У J /ТиТ dxdтd^^У J/(х, С, 0)иТ(х,£, 0)dxd£.

сс

Используя условия (5)-(9), неравенство Юнга, и оценку (16), а также

В

п п г

^ ¿ J и2х. (ж, г, т) <1х<1т + ^ ¿ У J и2х. (ж, Т2) (¿ж^

¿ с ¿

п г г

+ (е + 1) J ! и2х.т <1хс1тсМ; + J !(Дм)2 ¿хс1тс1^ + — J и\(х,Ь,т) (ксйт

¿ с с с

г г г

+ — У У иТ (х, С, 0) dxd£ + £ У У иТТ dxdтd£ + со J J иТ dxdтd£

сс

<(1+|)еУ к*«*.)2++^

¿с

9 9 г

1 + у) У[(в1мт)2 + (52мт)2 + с£Ыт + у У У(Д«)2

сс г

—тах[с2(ж, t,т)] + — I / м2 <1х¿тй^ Н--тах[с2 (ж, г)]

2«5 д 2дд ц

с

9 г г г

-77- / / (Аи)2 ¿хс1т(к; + —/ / /2 Зх<1т<1^ + I I и^ <1Х(],тс1,£

26

о с

т

о с

о с

г 9 г

+ У У + у J ! и2т(х,£, 0)с£ес^

6 о с о п

г

7 о п

в котором ¿2, ] = 3, 7, — произвольные положительные числа, , ^2 — величины, конечные в силу условий теоремы и оценки (16). С учетом условий (6), (7) имеем

2 53 J т) + 2 J ! ^хсМ;

¿=1 с ¿=1 о п

" г г

(е + 1) 53 J ! их.т3х<1т<1^+ ! J(Дм)2 ¿хс1тс1£ + — J и\(х,Ь,т) (ксйт

о с

о с г

с

1

+ 2 < Г!

г г г

«Т (х, 0) dxd£ + £ J ! иТт dxdтd£ + со J ^ и2т dxdтd£

сс

6

4 Ь1Уга1тах5^ / и2х.(х,Ь,т) ¿хс1т + Ъ2 (Аи)2 ¿х<Мс1т ¿=1 с ц

/ «X. dxdtdт

¿=1

1 + 1

Ътугш тах / «Т(х, Ь, т) dxdт о<г<т .! с

Ъ2 / и^Т dxdtdт + / «Т dxdtdт

¿=1

^ I I (Аи)2 (1хдЫт

с

тах[с2(ж, т)1 + — [ [ и2 ¿хс1тс1£ + тах [с2 (ж, т)1

2<5| <э 2 У У Т 2(5| д

с

г

9 г г г

-77- / / (Аи)2 ¿хс1т(к; + —/ / /2 (1хс1тс1£ + i i и^ <1х(],т(],£

с

2 ' ' ~т

с

с

г 9 г

J J /г^^т^ + у J ! и2т(х,£, 0) ¿хс1£

с

г

¿У У /^^о)^^.

7 о п

В силу произвольности Ь из предыдущего неравенства следует

-1 + ^ 6:

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

\-rai тах > /и2, (х, Ь, т) dxdт

¿с

Т

о п

£ + 1-(1 + |)Ь2

/ и^.Т dxdtdт

(Ди)2 dxdtdт

- 1 +

Т

\-rai тах / иТ (х, Ь, т) dxdт

о<г<т .! с

1 г2

иТ(х, Ь, 0) dxdt + £ у иТТ dxdtdт о П Ч

м2 <1хЛ(1т ^ —^ тах[с2 (ж, г)] 2й5 Ч

—тах [с2 (ж, т)1 Н--^ [ /2 <1хсМс1т

Щ я Щ 1

я

Т

+ 7779 / /г (1х(И(1т + —^ / / ¡2(х,г,0)с1хЖ.

Щ ] Щ ] ]

о п

Отсюда очевидным образом вытекает оценка (е + 1) j u2X.T dxdtdr + j(Au)2 dxdtdr + £ j uTT dxdtdr ^ M2 (17)

Я Я Я

с постоянной М2, определяемой лишь функциями с(х^,т), $(х^,т), щ(х, т), а также числами Ь±, Ь2, 63. Последняя оценка

J и1 dxdtdт < М3 (18)

Я

вытекает из доказанных неравенств (16) и (17). Окончательная оценка имеет вид

и

vrai max / u2 (x.t.r) dxdr + е / uT dxdtdr + у / uX dxdtdr

J J T ^J 2

G Q Q

+ j u2 dxdtdr + (е + 1) j u2XiT dxdtdr + j (Au)2 dxdtdr Q г=1 Q Q

+ uTT dxdtdr + j ut dxdtdr ^ M)- (19)

QQ

Априорной оценки (19) вполне достаточно для перехода в семействе решений задачи (14е), (2)-(4), (15) к пределу при е ^0. Предельная функция u(x,t,r) будет решением краевой задачи (1)-(4), принадлежащим пространству Vq.

Теорема доказана.

Замечание 1. Примерами операторов, к которым применима доказанная теорема, являются

т

[хЛк,т), Ви = I Ь(х^,т)и(х,

к=1

m у

Bu = ak(x,r)u(x,tk,r), Bu = / b(x,t,r)u(x,t,r) dt,

1—1

0

Bu = / h(x,t,r)u(x,t,r)dxdr dt.

G

Здесь х, т), к = 1,...,ш, &(х,Ь, т), т) — заданные ограни-

ченные функции, имеющие ограниченные производные. Выполнение условий (6)-(11) для этих операторов обеспечивается условиями малости для функций х, т), к = 1, .. ., ш, Ь(х, Ь, т), ^(х, Ь, т).

Замечание 2. Аналогично можно исследовать разрешимость нелокальной краевой задачи для ультрапараболических уравнений (1) с условиями (2), (3) и с заменой условия (4) условием

1. Керефов А. А. Нелокальные граничные задачи для параболических уравнений // Дифференц. уравнения. 1979. Т. 5, № 1. С. 74-78.

2. C'babrowski J. On nonlocal problems for parabolic equations // Nagoya Math. J. 1984. V. 93. P. 109-131.

3. Cbabrowski J. On the nonlocal problem with a functional for parabolic equation // Funkc. Ekvacioj. Ser. Int. 1984. N 27. P. 101-123.

4. Шелухин В. В. Задача со средними по времени данными для нелинейных параболических уравнений // Сиб. мат. журн. 1991. Т. 32, № 2. С. 154-165.

5. Шелухин В. В. Нелокальные по времени задачи для уравнений гидродинамики и вариационные принципы / Дис. ... д-ра физ.-мат. наук. Новосибирск, 1992.

6. Либерман Г. М. Нелокальные задачи для квазилинейных параболических уравнений / Нелинейные задачи математической физики и смежные вопросы: В честь акад. О. А. Ладыженской. Новосибирск, 2002. Т. 1. С. 233-254.

7. Кожанов А. И. Нелокальная по времени краевая задача для линейных параболических уравнений // Сиб. журн. индустр. математики. 2004. Т. 7, № 1.

8. Уварова М. В. О некоторых нелокальных краевых задачах для эволюционных уравнений // Мат. тр. 2010. Т. 13, № 2. С. 179-207.

второй или третьей краевой задачи.

ЛИТЕРАТУРА

С. 51-60.

г. Мирный

1 февраля 2012 г.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.