КРАЕВАЯ ЗАДАЧА НА ПОЛУОСИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ДРОБНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ КАПУТО Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические заметки СВФУ Апрель—июнь, 2023. Том 30, № 2

УДК 517.95

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА НА ПОЛУОСИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ДРОБНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ КАПУТО И. Е. Егоров, Е. Д. Федотов

Аннотация. Рассмотрена однозначная разрешимость краевой задачи на полуоси для обыкновенного дифференциального уравнения высокого порядка с дробной производной Капуто и постоянными коэффициентами в классе ограниченных функций, где порядок дробной производной Капуто лежит на промежутке (0, 1). Высокие порядки дробной производной получаются путем композиции дробных производных Капуто. Дробная производная Капуто при целых порядках совпадает с классическим понятием производной, при этом рассматриваемая задача становится классической краевой задачей на полуоси для обыкновенного дифференциального уравнения высокого порядка. Для рассматриваемого уравнения построена фундаментальная система решений в классе ограниченных функций. Получены условия типа Лопатинского для граничных операторов, при которых краевая задача однозначно разрешима в классе ограниченных функций.

Б01: 10.25587/8УРи.2023.49.50.003 Ключевые слова: производная Капуто, краевая задача, решение, оценка.

1. Введение

Теория краевых задач для классических обыкновенных дифференциальных уравнений развивается во многих работах [1-4]. Интерес к исследованию краевых задач для дифференциальных уравнений с дробной производной вызван их применениями в прикладных задачах физики, механики, химии и др., в которых дробные производные описывают наиболее адекватно различные процессы с памятью и наследственными свойствами [5-15].

Похожие постановки задач рассматривались в [16-22]. Однако во всех этих работах в случае производных Капуто дифференциальные уравнения рассматриваются только в классе неограниченных функций. В [23] рассматриваются различные краевые постановки, но не исследуются ограниченные решения. В

Работа И. Е. Егорова (разд. 1, 2) выполнена при поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации (грант № Р8И.0-2020-0006), работа Е. Д. Федотова (разд. 3) выполнена при поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации, соглашение от 02.02.2022 № 075-02-2022-881.

© 2023 Егоров И. Е., Федотов Е. Д.

данной работе рассматривается краевая задача на полуоси Ь > 0 для однородного обыкновенного дифференциального уравнения высокого порядка с производной Капуто и постоянными коэффициентами. Получены условия Лопатинского для граничных операторов [4], при которых краевая задача однозначно разрешима в классе ограниченных и абсолютно непрерывных функций.

2. Предварительные сведения

2.1. Дробные интеграл и производные. Как известно, существует большое количество разных определений дробных производных, являющихся обобщением производных целого порядка. В данной работе будем использовать определение дробной производной Капуто [5-15] при а € (0,1).

Производная Капуто определена следующей формулой:

= "€(0,1),

где — дробный интеграл Римана — Лиувилля, определяемый формулой

<

0

2.2. Функция Миттаг-Леффлера. Пусть 0 < а < 2 и ап/2 < м < тш(ап, п). Введем обозначения

С- = {г | м < | а^(г)| < п}, С+ = {г || а^(г)| < м}-

Функция Миттаг-Леффлера определена следующим рядом [5-7]:

^ к

= акУ

при этом Еа(г) = Еад(г).

При |г| ^ го и г € С+ имеем следующую асимптотику:

1 * г-к Ы') = -Ещ^+ои-»,.

Также при 0 <а< 2, в € К существуют такие С1, С2, С3 > 0, что [7]

С

\Еаф{г)\ < Сг( 1 + |г|)(1-«/"ехр(Ке(г1/«)) + * е С+,

Рассмотрим производные функции Миттаг-Леффлера:

й „ , ч й ^ гк ^ кгк-1 — ^ кгк

(1)

<1г^Т{0 + ак) ^ Г(/3 + ак) * ^ Г(/3 + ак)

Их можно получить в другой записи:

^ кг1"-1 (к + \)гк _ 1 ^ (ак + а + 13- \)гк - (¡3 - \)гк

к—0 к—0 к—0

= ^-(Еаф+а-1(г) - (¡3 - 1)Еаф+а).

Объединяя оценку (1) для обеих записей -^Еаф(г), получим

izEa'ß{z)

C

<z-r-pj, о < а < 2, z£C~.

1 + |z|2

Аналогичную оценку получим и для n-й производной:

dn

-—Еа ß(z) dzn а'РК '

- 1 + ' °<а<2.

3. Постановка задачи и разрешимость краевой задачи

Рассмотрим дробно-дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами

m

Pm(doat) = ^ак(do°t)k, 0 <а< 1, k=0

при этом am = 1. Предположим, что уравнение Pm (А) = 0 не имеет корней таких, что | arg А| = па/2. Введем множества

C- = {z : па/2 < | argz| < п}, C+ = {z : | arg z| < па/2}.

Обозначим через А- корни уравнения Pm (А) = 0 такие, что А € C-, и через А+ — такие, что А € C+. Определим полиномы

m-n

L-(А) = П(А - А-), Ь+(А)=Д(А - А+),

k=1 k=1

при этом в случае n = m полагаем L+(A) = 1. Рассмотрим краевую задачу вида

Pm (d0t)u = 0, t > 0, bj (d0t)u|t=o = ф,, j = 1,... ,n, sup |u(t)| < те, (2)

t>0

где bj (d0t) _ дифференциальные операторы порядка m3- < m — 1. Также предполагаем, что многочлены bj (А) линейно независимы.

Решение ищем в классе функций, ограниченных на полуоси и таких, что

u G C ([0, те]), (d0t)su G C ([0, те]), s = 1,...,m, d \ s

— | и G C((0, те]), s = 1, .. . ,m. dt

Представим многочлены bj (А) в виде

bj (А) = qj (А)Ь-(А) + j (А), (3)

где д; (А) и в; (А) — многочлены и при этом степень последнего не превышает п — 1. Пусть в;(А) = вз! + в^А + ■ ■ ■ + взпАп-1. Введем матрицу

( в1,1 в1,2

B

вм

вп-1,1 вп -1,2 • • • вп-1,п V вп,1 вп ,2 • • • вп,п

Далее полагаем, что граничные операторы удовлетворяют условию Лопатин-ского

В = 0. (4)

Лемма 1. Пусть А; — корень уравнения Рт(А) = 0 с кратностью т;- < т. Тогда функция

Uk(t) = ( ^ ) ВДО

0 < k < TOj - 1,

А=А,-

является решением уравнения

Pm (d0t)u = 0.

Доказательство. Имеем

Pm (dSt)Ea (Ata ) = Pm (A)Ea (Ata ). Дифференцируя данное равенство по А, получаем

(£) Еа(ХП = ±Cl Pm(A) Ea(Xta).

Пологая в последнем равенстве А = Aj, будем иметь

Pm (dgt)ufc(t) =0, t > 0,

так как

ж I р-(л>

= 0, 0 < s < k < mj - 1.

А=А,-

Лемма доказана.

Лемма 2. Последовательность

Uk{t) = ( ж) Еа{хп

j = 0, ...,TOfe — 1, k =1,...,p,

А= Ak

линеино независима.

Доказательство. Пусть для некоторых постоянных Скз- имеет место равенство

Р / ^ \ з

ЕЕ^Ы адо =о-

к—1 ;—0 4

А=А&

Применив к нему преобразование Лапласа по получим [22]

р тк-1

ЕЕ

к=1 j=0

1

I ,, 1 в

j 5«-1

-А

= 0.

А=А к

Преобразование Лапласа для функции Миттаг-Леффлера можно получить суммированием почленного преобразования Лапласа ряда, которым определена данная функция. Избавимся от ва-1 в числителе и далее произведем замену = у:

р т-к-1

Е Е ^ (-

к=1 j=0

й V 1 ^ у-а

= 0.

А=А к

Проведем обратное преобразование Лапласа по у:

Р тк—1

0 = ЕЕ Ск,

к=1 j=0

Аж

А=А

Е<

,А к х

к к=1

Е

j=0

Из последнего видно, что равенство выполняется, только если все Ск^ = 0. Лемма доказана.

Теорема 1. Краевая задача (2) имеет единственное решение при любых фj тогда и только тогда, когда bj линейно независимы, т. е. выполнено (4).

Доказательство. Если и(4) — решение уравнения Рт(¿0)и = 0 и |и(4)| < го при 4 > 0, то и(4) будет также решением уравнения

Ь-(^)и(;) = 0. (5)

Действительно, поскольку Рт(А) = Ь-(А)Ь+ (А) и Ь-(А) взаимно прост с Ь+(А)

то

и(4) = £ ски- (4) + Е <ки+ (4) = и- (4) + и+ (4),

к=1

к=1

где и- (4) — фундаментальная система решений (5), а и+(4) соответственно для

Ь+(3&)и(*) = 0.

В качестве фундаментальной системы решений уравнения (5) можно взять систему

1

<А

Еа (А4 а)

] = 0,... ,ток - 1,

А=А-

где Ток — кратность корня А- и то1 + то2 + ■ ■ ■ + тор = п. Аналогично можно выбрать и+(4) для Ь+(с0)и(£) = 0, — кратность корня А+ и + + ■ ■ ■ + = то — п.

Учитывая, что А- € С-, а также соответствующие оценки для функции Миттаг-Леффлера, заключаем, что |и-(4)| < го при 4 > 0. С другой стороны, |и+(4)| ^ го при 4 ^ го. Поэтому если и(4) — ограниченное решение уравнения

з

и

к

Рт(¿0)и = 0, то ¿к = 0, т. е. и(4) = и-(4). Учитывая вышесказанное, заключаем, что решение краевой задачи (2) при /(4) = 0 сводится к нахождению решения краевой задачи

М^)« = 0, 4 > 0, (дю)Ч=о = Ф^, ^ = 1,..., п.

Эта задача эквивалентна следующей задаче:

с^и(£) = Аи(*), 4 > 0, Ви(^=о = Ф,

где

А =

0

0

1

0

0

1

_ 1 ...

I 01,

01,:

В

0п-1,1 0п-1,2 V 0п,1 0и,2

01,г

вп-1

Дпл

Ф=

( ф1

Фп-1 V Фп

и элементы а- , вад являются коэффициентами многочленов

п п п

Ь-(А) = П(А - А-) = £а--А--", А(А) =£в^"-1.

к=1

¿=0

)п-1

¿=1

(6)

(7)

Также и(4) = (и(4), ..., (30°) «(¿)).

Решение задачи (6) можно записать в виде и(4) = (А4а)с, и при этом В с = Ф. Однозначная разрешимость с при любых ф^- соответствует линейной независимости в^, или же det(B) = 0.

Теорема 2. Если выполнено условие Лопатинского (4), то краевая задача (2) однозначно разрешима при любых ф^-, j = 1,..., п, и справедлива оценка

к*)1 < с у; ф1

^1

¿=1

(8)

где с > 0 не зависит от ф1,..., фп.

Доказательство. В силу теоремы 1 из условия Лопатинского следует единственность решения краевой задачи (2). Пусть — элементы обратной матрицы Лопатинского В-1 и а- определены в (7), причем а- = 1. Введем полиномы

к п

¿-(А)=Е а--Ак-', к = 0,...,п - 1, N (А) =53 Ьк' ^(А), j = 1,...,п.

¿=о

к=1

Тогда решение краевой задачи (2) имеет вид

2пг

Ь-(А)

1

контур Г содержит все А- и лежит внутри С- . В силу теоремы Коши имеем

Pm(dSt)u(t) ЕЕ Еа(\Г)Ь+(\Щ(\) dX = О

Выполнение краевых условий следует из равенств [4]

Используя п. 2 и оценивая контурный интеграл в (9), получаем оценку (8). Теорема доказана.

Благодарность. Авторы выражают глубокую благодарность рецензентам за ряд полезных замечаний и рекомендации.

1. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Физматлит, 2009.

2. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1970.

3. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970.

4. Демиденко Г. В., Успенский С. В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной. Новосибирск: Науч. кн., 1998.

5. Oldham K. B., Spanier J. The fractional calculus. New York: Acad. Press, 1974.

6. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987.

7. Podlubny I. Fractional differential equations. San Diego: Acad. Press, 1999.

8. Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003.

9. Псху А. В. Уравнения в частных производных дробного порядка. М.: Наука, 2005.

10. Мамчуев М. О. Краевые задачи для уравнений и систем уравнений с частными производными дробного порядка. Нальчик: Изд-во КБНЦ РАН, 2013.

11. Caputo M. Linear models of dissipation whose Q is almost frequency independent // Ann. Geofis. 1966. V. 19. P. 383-393.

12. Марзан С. А. Нелинейное дифференциальное уравнение дробного порядка с дробной производной Капуто в пространстве непрерывных функций // Тр. Ин-та математики НАН Беларуси. Минск, 2004. Т. 12, № 2. С. 99-103.

13. KilbasA. A., Marzan S. A. Cauchy problem for differential equation with Caputo derivative // Fract. Calc. Appl. Anal. 2004. V. 7, N 3. P. 297-321.

14. Kilbas A. A. New trends on fractional integral and differential equations // Тр. геометрического семинара. Казанский гос. ун-т. Уч. зап. Сер. физ.-мат. науки. 2005. Т. 147, № 1.

15. Gomoyunov M. I. On representation formulas for solutions of linear differential equations with Caputo fractional derivatives // Fractional Calc. Appl. Anal. 2020. V. 23, N 4. P.1141-1160. https://doi.org/10.1515/fca-2020-0058.

16. Atanackovic T., Dolicanin D., Pilipovic S., Stankovic B. Cauchy problems for some classes of linear fractional differential equations // Fract. Calc. Appl. Anal. 2014. V. 17, N 4. P. 10391059. DOI: 10.2478/s13540-014-0213-1.

17. Bonilla B., Rivero M., Trujillo J. J. On systems of linear fractional differential equations with constant coefficients // Appl. Math. Comput. 2007. V. 187, N 1. 68?78. DOI: 10.1016/j.amc. 2006.08.104.

18. Chikriy A. A., Matichin I. I. Presentation of solutions of linear systems with fractional derivatives in the sense of Riemann-Liouville, Caputo and Miller-Ross //J. Autom. Inf. Sci. 2008. V. 40, N 6. P. 1-11. DOI: 10.1615/JAutomatInfScien.v40.i6.10.

ЛИТЕРАТУРА

С. 72-106.

19. Diethelm K. The analysis of fractional differential equations. An application-oriented exposition using differential operators of Caputo type. Berlin: Springer-Verl., 2010. (Lect. Notes Math.; V. 2004).

20. Duan J. A generalization of the Mittag-Leffler function and solution of system of fractional differential equations // Adv. Differ. Equ. 2018. Art. no. 239. DOI: 10.1186/s13662-018-1693-9.

21. Idczak D., Kamocki R. On the existence and uniqueness and formula for the solution or R-L fractional Cauchy problem in Rn // Fract. Calc. Appl. Anal. 2011. V. 14, N 4. P. 538-553. DOI: 10.2478/s13540-011-0033-5.

22. Bateman Manuscript Project. Higher Transcendental Functions (H. Bateman, A. Erdelyi, ed.). V. 3. New York: McGraw-Hill, 2006.

23. Ahmad B., Henderson J., Luca R. Boundary value problems for fractional differential equations and systems. Hackensack, NJ: World Sci., 2021 (Trends Abstract Appl. Anal.; V. 9).

Поступила в редакцию 15 февраля 2022 г. После доработки 2 .мая 2023 г. Принята к публикации 29 мая 2023 г.

Егоров Иван Егорович

Научно-исследовательский институт математики СВФУ, ул. Кулаковского, 48, Якутск 677000 ivanegorov51@mail.ru Федотов Егор Дмитриевич Якутское отделение Регионального научно-образовательного математического центра «Дальневосточный центр математических исследований» ул. Белинского, 58, Якутск 677891 egorfedotov2011@gmail.com

Математические заметки СВФУ Апрель—июнь, 2023. Том 30, № 2

UDC 517.95

A BOUNDARY VALUE PROBLEM ON THE SEMI-AXIS FOR AN ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATION WITH A FRACTIONAL CAPUTO DERIVATIVE I. E. Egorov and E. D. Fedotov

Abstract: The paper considers the unique solvability of a boundary value problem on the semiaxis for a higher-order ordinary differential equation with a fractional Caputo derivative and constant coefficients in the class of bounded functions, where the order of the fractional Caputo derivative lies in the interval (0, 1). Higher orders of the fractional derivative are obtained by composing fractional Caputo derivatives. A special case of the fractional Caputo derivative for integer orders of the derivative coincides with the classical concept of the derivative and the problem under consideration becomes a classical boundary value problem on the half-axis for a higher-order ordinary differential equation. For the equation under consideration, a fundamental system of solutions in the class of bounded functions is constructed. Conditions of the Lopatinsky type for boundary operators are obtained under which the boundary value problem is uniquely solvable in the class of bounded functions.

DOI: 10.25587/SVFU.2023.49.50.003 Keywords: Caputo derivative, boundary value problem, solution, estimate.

REFERENCES

1. Petrovsky I. G., Lectures on the Theory of Ordinary Differential Equations [in Russian], Fizmatlit, Moscow (2009)

2. Pontryagin L. S., Ordinary Differential Equations [in Russian], Nauka, Moscow (1970).

3. Hartman F., Ordinary Differential Equations [in Russian], Mir, Moscow (1970).

4. Demidenko G. V. and Uspensky S. V., Equations and Systems That Are Not Resolved with Respect to the Highest Derivative [in Russian], Nauchn. Kniga, Novosibirsk (1998).

5. Oldham K. B. and Spanier J., The Fractional Calculus, Acad. Press, New York (1974).

6. Samko S. G., Kilbas A. A., and Marichev O.I. , Fractional Integrals and Derivatives and Some of Their Applications [in Russian], Nauka i Tekhnika, Minsk (1987).

7. Podlubny I., Fractional Differential Equations, Acad. Press, San Diego (1999).

8. Nakhushev A. M., Fractional Calculus and Its Applications [in Russian], Fizmatlit, Moscow (2003).

9. Pskhu A. V., Equations in Partial Derivatives of Fractional Order [in Russian], Nauka, Moscow (2005).

10. Mamchuev M. O., Boundary Value Problems for Equations and Systems of Equations with Partial Derivatives of Fractional Order [in Russian], Izdat. KBNTs RAN, Nalchik (2013).

11. Caputo M., "Linear models of dissipation whose Q is almost frequency independent," Ann. Geofis., 19, 383-393 (1966).

12. Marzan S. A., "Nonlinear differential equation of fractional order with fractional Caputo derivative in the space of continuous functions," Tr. Inst. Mat. NAN Belarusi, Minsk, 12, No. 2, 99-103 (2004).

© 2023 I. E. Egorov, E. D. Fedotov

13. Kilbas A. A and Marzan S. A., "Cauchy problem for differential equation with Caputo derivative," Fract. Calc. Appl. Anal., 7, No. 3, 297-321 (2004).

14. Kilbas A. A., "New trends on fractional integral and differential equations," Uch. Zap. Kazan. Gos. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki, 147, No. 1, 72-106 (2005).

15. Gomoyunov M. I., "On representation formulas for solutions of linear differential equations with Caputo fractional derivatives," Fract. Calc. Appl. Anal., 23, No. 4, 1141-1160 (2020).

16. Atanackovic T., Dolicanin D., Pilipovic S., and Stankovic B., "Cauchy problems for some classes of linear fractional differential equations," Fract. Calc. Appl. Anal., 17, No. 4, 10391059 (2014).

17. Bonilla B., Rivero M., and Trujillo J. J., "On systems of linear fractional differential equations with constant coefficients," Appl. Math. Comput., 187, No. 1, 68-78 (2007).

18. Chikriy A. A. and Matichin I. I., "Presentation of solutions of linear systems with fractional derivatives in the sense of Riemann-Liouville, Caputo and Miller-Ross," J. Autom. Inf. Sci., 40, No. 6, 1-11 (2008).

19. Diethelm K., The Analysis of Fractional Differential Equations, An Application-Oriented Exposition Using Differential Operators of Caputo Type, Springer, Berlin (2010) (Lect. Notes Math.; vol. 2004).

20. Duan J., "A generalization of the Mittag-Leffler function and solution of system of fractional differential equations," Adv. Differ. Equ., Article No. 239 (2018).

21. Idczak D. and Kamocki R., "On the existence and uniqueness and formula for the solution or R-L fractional Cauchy problem in Rn," Fract. Calc. Appl. Anal., 14, No. 4, 538-553 (2011).

22. Bateman Manuscript Project, Higher Transcendental Functions (H. Bateman and A. Erdelyi, ed.), vol. 3, McGraw-Hill, New York (1953).

23. Ahmad B., Henderson J., and Luca R., Boundary Value Problems for Fractional Differential Equations and Systems, World Sci., Hackensack, NJ (2021) (Trends Abstract Appl. Anal.; vol. 9).

Submitted February 15, 2022 Revised May 2, 2023 Accepted May 29, 2023

Ivan E. Egorov

Ammosov North-Eastern Federal University, Scientific Research Institute of Mathematics, 58 Belinsky Street, Yakutsk 677891, Russia ivanegorov51@mail.ru

Egor D. Fedotov

Yakutsk Branch of the Regional Scientific and Educational Mathematical Center "Far Eastern Center of Mathematical Research," 48 Kulakovsky Street, Yakutsk 677000, Russia egorfedotov2011@gmail.com