КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА С МЕНЯЮЩИМСЯ НАПРАВЛЕНИЕМ ВРЕМЕНИ В ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ ЧАСТИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Кумышев Р.М. старший преподаватель кафедра дифференциальных уравнений МФ ФГБОУ ВПО «Кабардино-Балкарский государственный

университет им. Х.М. Бербекова» Россия, г. Нальчик Kumyshev Radion Muzarinovich senior lecturer at the Departament of differential Equations MF, КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА С МЕНЯЮЩИМСЯ НАПРАВЛЕНИЕМ ВРЕМЕНИ В ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ ЧАСТИ Аннотация: Исследована краевая задача для гиперболо-параболического уравнения второго порядка. Вопрос разрешимости редуцирован к исследованию разрешимости интегрального уравнения Фредгольма второго рода.

Ключевые слова: уравнение смешанного типа, регулярное решение, функциональные соотношения, функция Грина,задача Дарбу, задача Коши.

При математическом моделировании нефтяных пластов, фильтрации грунтовых вод, переноса тепла и массы в объекте, имеющего сложное строение, электрических колебаний в проводах, движения жидкости в канале, окруженной пористой средой, распространения электромагнитных полей и установившихся волн в стратифицированной жидкости, занимающей неограниченную область, приводят к необходимости исследования краевых задач для смешанных уравнений гиперболо-параболического типа. Так, например, при разработке нефтяных месторождений применяется математическая модель многофазной фильтрации флюидов, состоящих из трёх отдельных фаз: нефть, вода и газ, описываемая дифференциальным уравнением с частными производными,

которое гиперболического типа, если капиллярное давление P 0 и

a w - - где w - насыщенность для водной

л ¿Рс/Ж„ < 0

параболического типа при с' №

фазы [1].

Как известно [2], задача об электрических колебаниях в различных линиях связи приводит к решению телеграфного уравнения

КЪии + {ЯК + 8Ь)и1 + Я5и = ихх , (01)

где К - емкость проводника, Ь - самоиндукция, Я - сопротивление С

проводника, - утечка тока, отнесённая к единице длины.

Если в уравнении (0.1) пренебречь сопротивлением Я и утечкой тока

С

в землю, что может быть при передаче по воздушным цветным цепям

и.. = 1/ {КЬ )ихх

связи, то оно сводится к следующему волновому уравнению " \ / хх. С другой стороны, если самоиндукция Ь по сравнению с сопротивлением Я

настолько мала, что ею можно пренебречь, что может быть при передаче по

„ и + S / KU = 1/(RL )u

кабелю, то t v ' xx.

Распространение установившихся волн в стратифицированной

жидкости, занимающей неограниченную область, описывается уравнением

[3] Uzz = {®20/®2 - yVxx + Uyy), (0.2)

где ш2 = V2^' S _ частота Вейсяля-Брента, ® - частота

установившихся колебаний, $ =const ^2, S _ ускорение свободного падения.

Формирование температурного поля в системе, состоящей из ограниченного и полуограниченного стержней с различными теплофизическими свойствами и теплоизолированной боковой поверхностью, перенос теплоты в ограниченном стержне описывается

уравнением теплопроводности Ut aiUxx, а в полубесконечном -

гиперболическим уравнением cq Utt +1/ a2Ut = Uxx, где ai, a2 -

С

коэффициенты температуропроводности, q - скорость распространения теплоты[4]. При определённых физических допущениях одномерное движение почвенной влаги, с учётом гравитационных сил, описывается

д

Ut =J-\D(uК ]- k(и)x

нелинейным уравнением параболического типа [5] дх

и(х, t) х t k(и)

, где v ' / - влажность в точке х почвогрунта в момент времени 1; v ' -

коэффициент влагопроводности при влажности и; D(u) - коэффициент диффузитивности. В [6] было установлено, что движение почвенной влаги происходит с конечной скоростью и, стало быть, носит волновой характер.

В связи с изложенным возникает необходимость поиска корректно поставленных краевых задач, сформулированных одновременно для гиперболического и параболического уравнений, т.е. для смешанных уравнений гиперболо-параболического типа.

Аннотация: Исследована краевая задача для гиперболо-параболического уравнения второго порядка. Вопрос разрешимости редуцирован к исследованию разрешимости интегрального уравнения Фредгольма второго рода.

Ключевые слова: уравнение смешанного типа, функциональные соотношения, функция Грина, смешанно-параболическое уравнение, задача Дарбу, задача Коши.

Пусть ^=^ Q и

\u -signx• ut,t > 0,

m ...

tl u_ -utt,t < 0, ^^

xx tf>

к AA0(x = -1), BB0(x = 1)

^ - область, ограниченная отрезками 04 y 04 y и

A0B0 (t = h = const), AB(t = 0) отрезками характеристик уравнения (1), ^ -

область, ограниченная характеристиками

^ m+2 ^ m+2

AC: x---(-t)^ =-1, BC : x + -^(-t)^ =1

m + 2 m + 2

уравнения (1) и отрезком AB(t = 0).

При t >0 уравнение (1) - смешанно-параболическое уравнение с

Q+=Q+n{x > 0} Л прямым ходом времени в 1 и обратным ходом времени в

Q+ =Q+n{x < 0}

ЗАДАЧА: Найти регулярное в

Q = Q+uQ- \ {x = 0}

решение уравнения

(1) со свойствами:

1) u(x,t) 6 C(Q) n C1(Q);

2) Ut (x,0) при x и x ^1 может обращаться в бесконечность интегрируемого порядка;

3) u( x,t) удовлетворяет краевым условиям

u(-1, t) = < (t), u(1, t) = < (t), 0 < t < h, (2)

u( x h) = <(x) <-1(h) = (h (-1) -1 < x < 0, (3)

u(x,t) AC = ^(x), -1 < x < 0, ^(-1) = < (0). (4)

о к uxx -ut =0

В области 1 для уравнения xx t рассмотрим следующую задачу:

u(1, t) = < (t), ux (0, t) = (P0 (t), u( x,0) = r( x),

r u„ + ut =0

а в области 2 для уравнения xx t задачу:

u(-1, t) = <-1(t), U(X, h) = (h (xX ux (0, t) = <0(t)-

Используя функцию Грина смешанной краевой задачи (5), решения

задач (5) и (6) можно представить в виде :

t 1 t u+ (x,t)= fG+| <0(r)dr + fG +1 r(£)d£- fGtl=1 <<(r)dr,

J =0 J Г=0 J ь

(5)

(6)

0 *=0 0 0 r=0 0 Ь 'x=+0'

h

u2+ (xt) = -f G<0 (r)dr - f G\=< <Ph + f (-1 (r)dr.

t -1 t

Полагая в (7) и (8) x ^ 0, для определения функций т( x) и <0 , получим:

(7)

(8)

h

0

ГG +Ь=0 ГG +к=0 ГО+Ь=1 (рх(г1^ =

• х=+0 • х=+0 • 'х=+0

Л 0 к

-ГG"Ь=0 рй(г№п- ГG\=к (Рн ГG~\s=-l(-l(n)d^,

^ х=-0 * х=-0 * х=-0

г к 1

Г О +Ь=0 рй(г№п + Г О "Ь=0 рй(г№п + Г О +\л=0 Т(£Щ =

Х=+0 1—1—

х=-0

^ I х=-0 1 v-_n 1

7=к х=-0

г к=1

х=+0

При г ^ +0 из области получаем соотношения:

Г' (ж) - у(х) = 0, г(1) = Р (0), ж > 0,

г" (ж) + v(x) = 0, г(-1) = р-1 (0), х < 0. Решения этих задач можно записать соответственно в виде:

х 1

г(х) = Г (х - г>(г)Л + хГ (г - 1>(г)Л + р (0), Vx е (0,1), -1 -1 1 1

г(х) = Г (х - г)у(г)dг - х| (г + 1)у(г)dг + р_х (0), Vx е (-1,0).

(9)

(10) (11)

Выражения (10) и (11) - есть функциональные соотношения между и( х,0) = г(х) и щ (х,0) _ ^(х), принесенные на г = 0 из области параболичности

уравнения (1).

и(х,0) = г(х), щ (х,0) = v(x), -1 < х < 1

Решение задачи Коши

для уравнения (1) в области , допускает представление

2 1 и(х, г) = 2 т+2 > Г г

2

т+2

х +-- (-) 2 у

+

Г 2 ! т+2 1

т + 2,

^ /

V

х + -

т + 2 2

т + 2

где

Г(2р)

Г2(Р)

>2 =

т +

2 !

т+2

Г(2 - 2р)

т+2

(-)~ у

р = -

(1 - У2 Г dy + (1 - У2 У *У,

(12)

т

Г 2(1 -ГУ ' 2(т + 2)

Удовлетворив полученное решение Дарбу задачи Коши условию (4), после элементарных преобразований находим:

¥

_1! >1(х+1)1-2р|г(^)(1 + ^)р-1(х-лу-1 ал-у2Jv(^)(l+Ф-р(х-г,)-раг,.

V 2

После обращения уравнения (13), получим:

(13)

0

0

к

0

0

х

2

г(х) =5тж(1 -Р)(1+х^^ Г(1-л) ^ ^ Л

б1П ж(1 - Р) у2 1-р —

( Л-1 ^

2

V 2 У

+ 51П Ж(1 Р) ^ (1 + ху-р — Г (х - Л) Р (1 + Л)2Р-1 —Л Г Ф)(1 + 5)-р (Л - 5)-р —8 = ж уг —х ^ Д

х) + (х).

Отсюда, с учетом свойств гипергеометрической функции, после некоторых преобразований (х) будем иметь:

2

гш + 2Л — х

г(х) = (1 - 2Р)81п ж(1 -Р) тИ т+2 Г (х - 8)-2Р V(s)—s + лух А

4

+ 81п ж(1 -Р) (1 + х)!-р — Г (1 + л)2Р-1 (х - л)-Р ^Щ —л.

Ж1 —х - V 2 у (14)

Представление (14) - есть функциональное соотношение между т(х) и К*) принесенное из гиперболической части на прямую г =0(-1 < х < 1). Исключая т(х) из (10), (11) и (15) соответственно, получим:

х 1 х

Г (х - г )у(г)— + х Г (г - 1)у(г)— = к Г (х - г) ~2Р у (г )— + Ф (г), х е (0,1) -1 -1 -1 (15)

где Ф1(*) и Ф 2(*) известные функции,

1 1 х

Г (х - г)у(г)—г - х Г (г + 1)у(г)—г = к Г (х - г)-2Р у(г)—г + Ф2 (г), х е (-1,0) х -1 -1 . (16)

Далее, обращая (16) и (17) как уравнения Абеля, в результате

последовательного ряда преобразований окончательно получаем:

1

у(х) -Л0 Г N(х, л)у(л)—л = Ф(х)

Г . (17)

т.е. имеем интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода, где

N (х, л) = Л-)1В + Я(л -1) —

( ' /) (х + 1)1-2р (/ ^ (8 + 1)1-2Р

я(х, - резольвента ядра (х 8) , а и Ф(х) - заданные константа и функция. Разрешимость уравнения (17) в классе искомых функций будет следовать из следующего принципа экстремума:

Положительный максимум (отрицательный минимум) решения задачи (1)-(4) в ^ может достигаться на тех участках границы области , где решение задано.

Использованные источники:

1. Азиз Х., Септари Э. Математическое моделирование пластиковых систем. -М.: Неуря, 1982. -С.407.

2. Вебстер А., Сеге Г. Дифференциальные уравнения в частных производных математической физики. -М.-Л.: ГТТИ, 1993. -Ч1. -С.283.

3. Габов С.А., Светиков А.Г. Задачи динамики стратифицированных

V 4 У

л;

х

жидкостей. -М.: Наука, 1986. -С.287.

4. Шашков А.Г. Системно структурный анализ процесса теплообмена и его применение. -М.: Энергоатомиздание, 1983. -С.279.

5. Любовь Б.Я. Диффузионные процессы в неоднородных твердых средах. -М.: Наука,1981. -С.295.

6. Бубнов В.А., Соловьев И.А. Об использовании гиперболического уравнения в теории теплопроводности //Инженерно-физический журнал, 1977. Т.33. -№6. - С. 1131-1135.

Куразова Д.А. ассистент

кафедра «Статистики и информационные системы в экономике»

Чеченский государственный университет

Россия, г. Грозный ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ СТРАХОВОГО РЫНКА В РОССИИ

Аннотация: Статья посвящена теоретическим основам страхования в современной России. Рынок страховых услуг тесно связан с экономикой страны, и роль страхования возрастает. В данной статье рассматриваются проблемы и перспективы развития современного российского рынка страхования. В настоящее время на рынке страховых услуг существует большое количество проблем, от которых зависит стабильность будущего России.

Ключевые слова: страхование, страховые услуги, страховая премия, страховщики, страхователи.

Kurasova D. A.,

assistant of the Department "Statistics and information systems in еconomics

Bechen state University Russia, Grozny.

PROSPECTS OF INSURANCE MARKET DEVELOPMENT IN

RUSSIA

Abstract: the Article is devoted to theoretical bases of insurance in modern Russia. The insurance market is closely linked to the country's economy, and the role of insurance increases. This article discusses problems and prospects of development of the modern Russian insurance market. Currently on the market of insurance services there are many issues that affect the future stability of Russia.

Keywords: insurance, insurance services, insurance premium, insurers, policyholders.

В соответствии с Федеральным законом от 27.11.1992 N4015-1 (ред. от 13.07.2015) «Об организации страхового дела в Российский Федерации», страхование - это отношения по защите интересов физических и юридических лиц, при наступлении определенных страховых случаев за счет денежных фондов, формируемых страховщиками из уплаченных страховых