КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА В НЕЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические заметки СВФУ Апрель—июнь, 2020. Том 27, № 2

УДК517.95

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА В НЕЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ Р. Г. Зайнуллин, З. Ю. Фазуллин

Аннотация. Излагается применение метода разложения по собственным функциям самосопряженного дифференциального оператора к решению одной нестационарной задачи теплообмена с фазовым переходом на примере процесса промерзания некоторой сплошной среды. Получено приближенно-аналитическое решение задачи в неавтомодельной постановке при специальных начальных условиях. Решение задачи начинается с ее преобразования к области с неподвижными границами, затем для решения преобразованной задачи строится конечное интегральное преобразование с неизвестным ядром, нахождение которого связано с постановкой и решением соответствующей спектральной задачи через вырожденные гипергеометрические функции. Находятся собственные значения и собственные функции, а также формула обращения для введенного интегрального преобразования, что позволяет выписать аналитическое решение задачи. В ходе решения задачи устанавливается параболический закон движения границы раздела двух фаз. Задачи подобного типа возникают при математическом моделировании процессов теплообмена в строительстве, особенно в районах вечной мерзлоты, в нефтегазодобыче при бурении и эксплуатации скважин, в металлургии и т.д.

DOI: 10.25587/SVFU.2020.72.83.001

Ключевые слова: фазовый переход, свободные границы, движущиеся границы, задача Стефана, конечные интегральные преобразования, вырожденные гипергеометрические функции, возмущенный дифференциальный оператор.

Введение

Краевые задачи для уравнений параболического типа в нецилиндрических областях за последние годы приобретают все большее значение как в теоретических, так и в прикладных разделах физики и математики. Количество работ, посвященных решению подобных задач, за последние годы стало заметно увеличиваться [1—10]. Аналитический подход при решении краевых задач теплообмена в системах со свободными границами относится к числу труднейших проблем в современной аналитической теории математической физики. Вследствие зависимости положения характеристического раздела области от времени к этому классу задач неприменимы классические методы дифференциальных уравнений в частных производных. Так, оставаясь в рамках этих методов, не удается согласовать решение уравнения теплопроводности с движением границы фазового перехода [11]. Поиск подходов в плане получения аналитического

© 2020 Зайнуллин Р. Г., Фазуллин З. Ю.

решения таких задач продолжается и, более того, находится в самом начале пути. С этой точки зрения данная работа актуальна по существу и содержит научную новизну — развитие теории интегральных преобразований на основе вырожденных гипергеометрических функций.

Суть метода решения изучаемой задачи состоит в том, что в результате перехода в неподвижную систему координат из подвижной с помощью соответствующих преобразований задача преобразуется к классическому случаю с фиксированной границей, но в ней появляются переменные коэффициенты. В последнем случае становится возможным применение метода конечных интегральных преобразований, ядра которых находятся через постановку и решение соответствующей спектральной задачи. Собственные функции выражаются через вырожденные гипергеометрические функции (ВГГФ). Способ нахождения собственных значений основан на теории возмущений дифференциального оператора [12-14] и отличается от способа, используемого в работе [15], приводящего к слишком громоздким вычислениям при получении числовых результатов. Кроме того, в данной работе приводится вывод формул нормирующих множителей для собственных функций. Используемый метод, в конечном счете, приводит к получению формулы обращения, что позволяет выписать аналитическое решение задачи и рассмотреть ряд частных случаев.

1. Постановка задачи

Рассмотрим применение метода вырожденных гипергеометрических преобразований, разработанного в [16,17], к процессу теплообмена с фазовым переходом при затвердевании некоторой сплошной среды под действием стержневого источника холода. В начальный момент времени среда обладает постоянной температурой to > 0 при r > a£о. Стержень обладает температурой te < 0. Образуются зоны промерзания (к = 1) и охлаждения (к = 2), и граница фазового перехода с течением времени продвигается внутрь среды. Математическую модель этого процесса для одномерной схемы в полярных координатах можно представить в виде

1 dtk(r, т) _ дНк(г, т) 1 dtk(r, т) _

а2 QT Qr 2 r Qr ’

r Є Dk(r) : D1(t) = {° < r < £i (r)}, D2(t) = {£i(r) < r < £2(t)};

(1.1)

Здесь ak и Ak в Dk (r), a — щейся фазы,

ti(r,0) = ( 1 - — ) te

r> 0 £i(+0) = £o > 0 £2(t) = a£i(r^ a> 1;

r — £o

t2(r,0) = ----^-t0; (1.2)

(a - 1)£o

ti(°,r)= te, tk(£i(r), r) = 0, t2 (£2 (r ),t )= to; (1.3)

л dtiiti(т),т) Л <9і2(£і(т),т) rf^i(r)

Ai--------------A2------7.----- — crv—- . (1.4)

or or dr

— коэффициенты температуропроводности и теплопроводности

- скрытая теплота кристаллизации, а v — плотность образую-

a — безразмерный параметр теплового влияния [18]. Условие

£2(т) = a£i (т), a > 1, принято на основании данных многократных наблюдений, проводимых в мерзлотной лаборатории Института мерзлотоведения АН СССР под руководством Н. А. Цитовича [18]. Это объясняется тем, что среда обладает настолько большим тепловым сопротивлением, что влияние источника холода, имеющего конечную температуру, за конечный промежуток времени практически не может распространяться на бесконечно большое расстояние. В частности, из опыта замораживания грунтов установлено, что влияние температуры мерзлой части среды становится практически неуловимым на расстоянии, равном 4-5 толщины промерзания. Точность определения £2(т) и £і(т) обусловлена точностью измерения температуры (±0, 2°С). Для проверки предположения о линейной зависимости между толщиной промерзания £і (т) и расстоянием влияния £2(т) источника холода в период 1938-1950 гг. были осуществлены натурные наблюдения и проведены специальные опыты. Из результатов наблюдений следует весьма важный вывод, заключающийся в том, что отношение расстояния влияния источника холода к толщине промерзания примерно одинаково и колеблется в небольших пределах (3-5).

Предполагаем, что tk(r, т) и £і(т) являются решениями задачи (1.1)—(1.4) для всех 0 < т < Т < ж, если

tk{r,r) Є C2(Dk(T))nC°(Dk(T)), gradtfe(r,r) Є С°(Ок{т)), £і(т) Є С\0,Т).

2. Нахождение собственных функций и закона движения свободной границы

Используя подстановку

r = уЫт )

и вводя вспомогательные функции

Тк(у,т) = ^(уЫт),т) -

(1 - y)te при к = 1, узуt0 при к = 2,

сведем задачу (1.1)—(1.3) к решению уравнения

Є(т)

дТк(У,т) _ д2тк (У,т)

= ак-

+ [Ыт)Шу + f

ак \ дТк(у,т)

дт ду2 \1'>ц y'’1v /а у J ду

іе(£і(т)£[(т)у + ^) при к = 1,

2

(6 (ТЖ (Т)У + у) при к = 2

с однородными краевыми условиями

Tk(У, 0) = 0,

Ті(0,т) = Тк (1,т) = Т2(а,т) =0.

(2.1)

(2.2)

(2.3)

(2.4)

(2.5)

Решение задачи (2.3)—(2.5) отыскиваем, используя метод конечных инте-

гральных преобразований по у:

У2

Uk (т> т) = J Тк (у,т)Рк {у)Кк (у,7) d,y, (2-6)

У1

где уі=0, У2=1 (k=1) и yi = 1, у2 = a (k=2), с априори неизвестным ядром, полагая, что постулируемые ниже свойства преобразования (2.6) имеют место равномерно относительно т. Ядра Кк (у, 7) преобразования (2.6) являются решениями уравнений

(ытЖ(т)у + Рк(у)кк(у ,7)

+ мкл Рк (у)Кк (у,7 ) = 0 (2.7)

при однородных граничных условиях

Кі(0,7) = Кк(1,7 ) = K2(a,7)=0, (2.8)

где рк(y) — величина, не зависящая от у. При этом преобразованное уравнение не будет содержать интегральных членов.

В дальнейшем будем пользоваться формальными равенствами

Кк(у,1 ) = Кк, Y (y), РІ (7) = Рік, Y, ик (7,т ) = икл (т),

в которых переменная 7 принимает натуральные значения, что связано с условиями существования разложения решения задачи (2.3)—(2.5) по собственным функциям Кк,7(у), соответствующим собственным значениям рк 7. Для обеспечения условий, позволяющих получить это разложение, на уравнения (2.7) накладываем требование самосопряженности. Уравнения (2.7) преобразуются в самосопряженные, если

акРкІУ) = (V(T)£iУ + ^ Рк(у)-

Полагая, что 2£і(т)£1 (т) = Л2, получаем весовую функцию

= у ехр(/3ку2)

с точностью до произвольного множителя и устанавливаем характер зависимости положения свободной границы от времени

Т

Й(т) = J Л = Л2т + £2.

о

Параметр Л подлежит определению через условие (1.4). Он определяется характером положения и движения свободной границы и является функцией теплофизических характеристик и краевых условий.

Рк(у) = у ехр

(Л2Г V 2ак

д- \Pk(y)Kk(yrf)\ _ _д

ак ду2 <9у

После наложения требования самосопряженности уравнение (2.7) можно представить в виде

2

д_

ду

Рк Ы

дКкп(у)

ду

+

Mfc,7

Як

Рк(у)Кк,7 Ы = о

при однородных граничных условиях

Ki,Y (0) = Kk,Y (1) = K2,Y (a) = 0. Уравнение (2.9) при необходимости можно привести к виду

(2.9)

(2.10)

&Ккл{у)

{2РкУ+1у) —IГ1 + (^f) КкМу) = °- (2Л1)

+ 1 2(Зку Н I --д'"" +

дУ2 \ у) оу

Задача (2.9), (2.10) есть задача Штурма — Лиувилля. Подстановками

Kk,j(y) =ukn(z)exp(-z), z={t^J = РкУ2 уравнения (2.7) приводятся к вырожденным гипергеометрическим:

д ukn{z) | /1 ^duk^(z) h _ /_л___п h _____1 Mfe,7

Z- ^ о “Ь (1 ZJ q _ ^k,‘j'UJk,‘j\Z) 0, 1

dz2 ' ^ ~7 dz

с однородными граничными условиями

u1,Y (0) uk,Y (вк ) u2,y (в2а ) 0

Подстановкой

Кк,7(у) = vk,7(y) exp [~^{fiky2 + In у) при f3k = А- уравнение (2.11) приводится к виду

Д

(2.12)

(2.13)

~vkn(y)+ [(Рку)2+ 2f3k - (2у) 2]vk}1{y) = fkM.\ Vk (у) (2.14)

\ Як J

;,7\а/ 1 1\ику) і "гк \“У) \ ^ j uk:y V

с однородными граничными условиями

Ui,t (0) = Vk,^ (1) = U2i7 (я) = 0.

(2.15)

Решая задачу (2.12), (2.13), находим собственные функции задачи (2.9), (2.10), ортонормированные с весом Рк(у), которые имеют вид

Ki,Y(у) = C-YF(bi,Y, 1; z) exp(-z), K2,y(у) = C2,^AF(62,7, 1; z) exp(-z);

(2.16)

нормирующие множители Ck 1 определяются формулами

1 ^ Rn

Ci27 = ~2bi,7F(bh7 + l,2;/3i)exp(-/3i) ^(bi,7)„Si,„^.2 ■

n=1 (n,)

Cf,7 — 2^2,7 I ^(^2,7 + 1, 2, /З2) —

в2 b2,7 Г (b2,7 )

2

p

^2(2ф(1 +п)+ ф{Ъ2п + п) - \п 132)(Ь2,'1)пП-0^ - ро

п=0

exp( 02)

{ ^ вп Ж вп p

q X^(&2^)n^2’n7^f)2 “ q° 'l2^b2^nS2’n7^2a2n + ффТ~

n=l ^ ' n=l ^ ^ ,

oo

lln A”(n!)2 1 Г(Ь2,7)

^[(2ф(1 + n) + ф(Ь2,1 + n) - 1п(в2а2))(^(Ь2,7 + n)

п=0

вп p

- 2-0(62,7) + 4)](^2л), L®2"1 “ wl A + n) + 0(^2,7 +

(n!) 1 (b2,7) n=o

0 n

- ln/32)(0(62,7 + n) - 20(62,7) + адЬг^п^з

в которых

n— l

Sk,n = ]T

1

Sn = E

1

bk,Y + m 62,7 + n + m

q = ^(62,7, 1; 02a2), p = F (62,7, 1; 02a2);

P0 = F(b2,Y1; 02), qo = G(b2,Y, 1; 020

кроме того,

AF(62,7, 1; z) = G(b2,Y, 1; 02a2)F(62,7, 1; z) - F(62,7, 1; 02a2)G(b2,7, 1; z),

где

G(b2,Y, 1; z)

1

Г(Ь2,„)

^[2ф(1 + n) + ф(62,„

п=0

+ n) - ln z](b2,v)r

(n!)

!)2 ’

п

z

F(bk,Y, 1; z) — вырожденная гипергеометрическая функция, F(bk,Y) — гамма-функция, ф(62,7) — пси-функция [19-22].

В дальнейшем изложении предполагаем, что собственные функции нормированы.

3. Определение собственных значений

Нетривиальные решения изучаемой задачи возможны лишь при значениях Mk,7, удовлетворяющих характеристическим уравнениям

F (bi,7, 1; 0i) = O, AF (62,7, 1; 02) = 0, (3.1)

AF (62,y , 1; 02y2) = g(62,y , 1; 02a2)F (62,y , 1; 02y2)

- F(62,7, 1; 02a2)G(b2,Y, 1; 02y2).

Уравнение (2.14) есть уравнение Штурма — Лиувилля с потенциалом (возмущением) Pk = (0ky)2 + 20k. Соответствующее уравнение с невозмущенным

дифференциальным оператором приводится к виду

2

<7Ы + ( ( ^ ) + 4^2 КлЫ = О,

au

1

которое является частным случаем уравнения [19]

(у) + А2 -

V2 - 1/4 у2

vk,Y (У) = 0

при v = 0 и Л = ^7, откуда следует, что решениями задачи (2.14), (2.15) при Pk = 0 являются ортонормированные собственные функции [19]

«1,7 = VvJo \~^~у) ’ v2>7 = VyJo \~^у)

с соответствующими собственными числами

a2

Ml,7 Jl,7^1) М2,7 J2,7 ^ j Т ^ ^ ■

В данном случае Jo(x) — функция Бесселя первого рода нулевого порядка, а jk,Y — корни уравнений

Jo

М 1,7 ai

о,

Jo

М 2,7

a2

0

(нули функций Бесселя).

Для нахождения собственных значений возмущенного дифференциального оператора, порожденного краевой задачей (2.14), (2.15), воспользуемся методом, разработанным в [12,13]. Исходя из результатов этих работ, нетрудно установить, что собственные числа возмущенного дифференциального оператора вычисляются по следующим формулам:

_ ^1’7^2 (Pli4,7>«1,7) + 'Мт!

(^аг) = ('j2’7/a')2 + (P2^2-7’ + ^(т),

(3.2)

причем для Sk('j) справедливы оценки

1

|4(т)| < (27~ 1)«71 _д > Г7 = 2^|М,7+1 + MJ, &=1,2,

^7 _ I Г,2

2||Pk

< 1, IIP1II =

Mk, Y+1 Mk,Y

\

1

/ Pi2dy, ||P,|| =

\

P22 dy.

a

Отметим, что эти оценки имеют место при 0 < ві < 7,901, 0 < в2 < 1,050. Соответствующие вычисления для скалярных произведений в формулах (3.2)

приводят к следующим выражениям: 1

(Pivii7,v1i7) = J [(/31У)2 + 2f31}yJ$(jlily)dy = ^/Зі + 1(і - 2j12)pfj Ji(jlj7),

a

(P2V2,y , V2,Y ) = J [(в2У)2 + 2в2ІУ^о ((Л,7/й)у)

= [a2Ji2(j2,7) - J02(j2,7/а) - J0(j2,7/a)] [З2

+ ^{a2(a2 - Щ2)Ji(j2,7) - J2(j2,7/a) - J02(j2,7/a)

+ 2j2,7[J1(j2,7/a) — j2,7 J0(j2,7)]J1(j2,7/а)}в2 •

Тогда формулы (3.2) принимают следующий вид:

^1,7 с ■ \2

—= (л, 7) +

а1

.,2 / ■ \ 2

М2,7 _ / Д7

/Зі + 7 (1 - Tg— І /З2

2

j 1,7

Ji (j1, y ) + ^1(y);

Й2

+

А

2

7

+ і «2 «2 - - А — - 4 —

2

. лр -д7з»р

j2,7 L Vа/ Vа

]Ьі+Й2(7)-

(3.3)

4. Вывод формулы для нормирующих множителей

Выведем формулу для вычисления нормирующего множителя при собственной функции в зоне промерзания. Наша цель состоит в вычислении следующего интеграла:

1

Cl,7 = J уР2 ^Ьі,7, /Зіу2^ exp(-/3iy2) dy

с использованием свойств уравнения (2.11) задачи Штурма — Лиувилля. Полагая, что

K1,Y(у) = pF(b1,Y, 1; в1У2) exp(—в1у2), с помощью уравнения (2.11) запишем систему двух уравнений

_9_

ду

д_

ду

exP(—в1у2)у

ЭЛ(ЬМ,1;АУ2)

ду

f о 21 <9F(bij,l;/3iy2)"

exp -/Зіу у------^-------

ду

— 4в1&м exp(—^1у2)уЛ (Ьм,1; в1У2) = 0,

— 4в1&1,^ exp(— вґу2)уР(b1,j, 1; в1у2) = 0,

22

где ,1 i и ,1 j — два различных положительных корня первого из характеристических уравнений (3.1) для уравнения (2.9). Умножая обе части второго

2

а

уравнения на F(bi7, 1;P1y2), а первого — на F(bij, 1;Piy2), и вычитая по частям второе уравнение из первого, получим соотношение с полной производной в правой части:

д (

(bi,j ~ Ьм)4/3іехр(-/3іу2)у^(Ьм, 1; /3iy2)F(biti, 1; /Зіу2) = — |ехр(-/3іу2)у

X

дд

F{bi,i, l; I3iy2) — F(b1j, l;/3iy2) - F(bhj, 1; /Зі y2) — F(bhl, 1; /Зі у2)

Интегрируя обе части этого равенства в пределах границ зоны промерзания, получим

1

J yF(bi,i, 1; eiy2)F(bi,j, 1; віу2) exp(-^iy2) dy =

exp(-/3i)

2(bij — biti)f3i

x [bi,jF(bi,i, 1; ei)F(bi,j +1, 2; ft) - ft,,F(bM + 1,2; ft)F(ft,, + 1,1; ft)].

Пусть bi,i = bij7, тогда F(bij7, 1;ft) = 0, что следует из (3.1). Совершая предельный переход при bi j ^ bij7, получаем

J yF2 ^Ьі,7,|; fty2^ exp(-fty2) Зу

= —F(bi^11; /Зі).

_9

' cfti7

Зная, как выражается символ Похгаммера через гамма-функцию [20], найдем его производную по параметру bij7:

^-(Ьі,7)п =

dbi?7

+ ftr(ft,7) — Г(Ь1і7 + п)Г'(Ьіі7)

г 2(bi,Y)

Г/(bi,7 + п)Г(bi,Y) — (bi,Y)пГ(bi,Y)г/(bi,7) _ і І ^ \ui,Y 1 'V х VL'i,7v

------------- — (ftft)

г 2(bi,Y)

Ar'fft^ + n) Iftftft \Г(Ьі,7+?г) Г(Ьі,7)

(bi,7)„[Ф(bii7 + n) - Ф(bi,7)] = (bi,7)n ^2

1

k + bi,Y

k=0

В последнем равенстве использовано соотношение для пси-функции [20]. Тогда

°о /п-1 1 \

1 7І7ІИ ^2

д

db

i?7

F (bi,7, 1; 0i) = £ ]T

m + bi.

n=i \m=0

и выражение для C2 Y в формуле (2.16) становится очевидным. Таким же способом вычисляется нормирующий множитель в зоне охлаждения, который определяется интегралом

a

Cfi7 = JyAF2(b2,7, 1; fty2) exp(-fty2) dy.

i

n— i

Полагая

K2,Y Ы = C^AF (b2,Y, 1; Р2У2) exp(-^2 y2),

с помощью уравнения (2.11) запишем систему двух уравнений

д_

ду

д_

ду

exp(-^2У )У

^ dAF(b2,i, 1; в2У2)

dy

- 4^2bM exp(-^2y2)yAF(b2,i, 1; в2У2)

exp(-^2y )y

2, OAF(b2,j, 1; в2y2)

dy

- 4^2 j exp(-^2y )y AF(b2,j, 1; в2У )

0;

0,

22

где м2 i и м2 j — два различных положительных корня второго из характеристических уравнений (3.1) для уравнения (2.9). Умножая обе части второго уравнения на AF(b2, i, 1; в2У2), а первого — на AF(b2 j, 1; в2У2) и вычитая по частям второе уравнение из первого, получим соотношение с полной производной в правой части:

(b2j - b2 ,і)4ві exp(-^2y2)yAF(b2,i, 1; ^y2)AF(b2j, 1; в2У2)

— <{ exp(-/32y2)y

d

AF(62y, 1; /32y2) —AF(62j, 1; /32y2)

d

—AF(62jJ-, 1; ^y2) —AF(62j1, 1; /32y2)

Интегрируя обе части этого равенства в пределах границ зоны охлаждения, с учетом того, что вообще AF(b2 ,Y, 1; в2а2) = 0, получим

yAF(b2,і, 1; ^2y2)AF(b2j, 1; в2У2) exp(-^iy2) dy

exp(-/32)

4(b2,j — b2,i)/32

d

AF(b2,j, l;ft)x-AF(b2|i, 1;/32y2)y=i

dy

d

— AF(62j, 1; /Зі) —AF(62y, 1; /32y2)j,= i

Пусть bi,i = b1j7, тогда AF(b2j7, 1;в2) = 0, что следует из (3.1). Совершая предельный переход при b2 j ^ b2,Y, получаем

J y2AF2(b2,7, 1; ^2y2)exp(-^2y2) dy

— _2^2’7! ?F(^2,7 + 1> 2; /32) - —- P

e2b2,Y Г (b2,7 )

E(2^(1+n)

n=0

+ "0(^2,7 + «) -ln/32)(627)„n—A— -p0

(n!)2

exp(-/32)^—AF(62j7, l;/32).

1

a

Выражения для p и q даны в предыдущем пункте. Вычисляя последнюю производную, получаем формулу (2.16) для нахождения С|7 .

5. Построение температурного поля

Преобразованием (2.6) задача (2.3)—(2.5) приводится к виду

Hk,Y

дик,~,(т) ( дц7

где

H

1,7

C

1,7

дт

1 2 - (3

І1(т)

Uk,r (0) = 0

Uk,~jiT) — ~t2[ \ !

£(т)!

у Л F ( 2’^’ l^1) + o-r-f7, (—,forj0,; —, 1; /?г

(5.1)

(5.2)

H

to

~C2,y • < G(b2,Y, 1; в2®2)

2,Y — ^ ^ 1-'2,y ' v-rVIy2,Y!

л2

35

^ ’ ^2, Y ? 2 5 ^ ?

F ^ 21 ^2,7> 21 ^ ^ И2 ^o>F ^ 21 ^2,y, 2 1 ^ /^2И

F (&2,y , 1; в2а2)

“ F( 2’ 2’1;

3 тЕ

'2

+

Г (b 2,y )

X 53 (a2fe+1 “ ^ (1п/3 “ 2fc+ 1 “ 2^1 + к) ~ ^b+

n=0 ^ ^ '

+ 2a2k+1 lrn

(h ,7)fc /З2

(l)k fc!(2fc + 1)

F(|, Ьц7; f, 1; /3fe), F(A; Ьц7; |, 1; /3&) — обобщенные гипергеометрические функции [20].

V 2 ’ > 2 ’ ’ ’ V 2 ’ > 2 ’

[20].

Решение задачи (5.1), ( 5.2) получается в виде

UtMT) = Imrp І(Ш)

de

dy.

Осуществив преобразования, обратные (2.6), и учитывая (2.1), (2.2), для распределения температурных полей получим следующие формулы:

tk,Y (x, т) ^ ^ Uk,y(т)Kk,y

Y=1

, f (! - flfFyК при A: = 1,

Ш) при к = 2.

Функции в J6fci7(^рт)) в (5-3) определяются формулами (2.16) и выражаются через комбинации вырожденных гипергеометрических функций [22].

Из условия Стефана (1.4) получаем соотношение для нахождения параметра Л:

t

e

2

Е

Y=1

AiUi,y (т)

дК і,7(1) ду

А2 U2,y(т)

дК2л{1)

ду

А 2^0

a — 1

— А1 te

При т=0 получим

= — va

2 ( А2 to

1 — a

- Ахtf

(5.4)

С учетом того, что параметр Л не зависит от времени т, решение задачи (5.1), (5,2) принимает вид

тг / \ _

Uk,j(T) — _ 2

Є

мк,7 l\Л2т + СО

г \2

^ Л J

1

Это решение соответствует случаю, когда т ^ 0 и т ^ ж. При т ^ ж для нахождения параметра Л из условия (1.7) получается следующее соотношение:

Е

7=1 -

Л Н2,7 дК2,7 (1) л H2,y дКх,^ (1)

^2 о------7------Ai

*?7 '

МІ)7

_V7;

<9y

В данном случае при т ^ ж решение (5.3) стремится к виду

ЯЙ7 / ^ \ I и-т-^1Гр, при к = 1

Y =1

Агіо

a1

— A1te

-ту A2. 2

, , ( х \ > і приА:

feX,T fe’7 Uv^J при/г = 2.

(5.5)

Представлением найденных значений Л и мк Y в (5.3) завершается решение поставленной задачи. В решении (5.3) присутствуют экспоненты с отрицательными показателями, что видно из формул (2.16), по которым можно судить о скорости сходимости рядов.

6. Анализ полученного решения

При решении задачи (2.12), (2.13), а значит, и (2.7), (2.8) собственные функции определяются из однородных граничных условий вида (2.13), причем в первом из этих условий используется требование ограниченности решения задачи при z ^ 0. При этом свойства ортогональности собственных функций и вещественности собственных значений основываются на свойстве самосопряженности дифференциального оператора L уравнения (2.9) для класса функций, имеющих непрерывную вторую производную в промежутке (yx,y2):

У2

J (fLg - gLf) dy = °,

причем

д

LKk^iy) =

Рк (У)

дКк,7(у)

dv

Самосопряженные дифференциальные формы Lf и Lg удовлетворяют тождеству Лагранжа [23]:

f Lg - gLf = [pw(g,f)]',

W (g,f ) =

gf

g' f

(g,f) є c2[yi,y2].

где

J\ fLg - gLf) dy = pW(g,f )|»2. y 1

Если функции f и g удовлетворяют однородным граничным условиям (2.10), то оператор L будет самосопряженным за счет того, что

W (g,f )|У1 =0.

Из теории задачи Штурма — Лиувилля [24-26] следует, что ряды (5.3) сходятся в среднем равномерно по т, если интеграл

[Tk(у,т)]2Pk(y) dy < то

равномерно ограничен относительно т. Сходимость в среднем означает, что

У2 Г n Т 2

lim

n—юо

Tk(y,T) -Yj Uk,j (т)Kk,7 (y)

7=1

pk(y)dy = 0,

(6.1)

т. е. ортонормированная с весом pk (y) система собственных функций Kk,7(y) является полной [26] в рассматриваемом классе функций, которому принадлежит Tk(y,т). Необходимым условием полноты системы функций Kk,7 (y) является свойство замкнутости [26] этой системы, для которой выполняется равенство Парсеваля:

т )Pk (y) dy = ^2 СІ7 иІ7 (т), л,— 1

доказываемое с помощью условия (6.1).

Если функция Tk(y, т) удовлетворяет сформулированным требованиям, то формула (5.3) представляет обратное преобразование. Из единственности разложения (5.3) следует взаимно однозначное соответствие между функциями Tk(y^) и Uk(у,т). Поэтому, решив преобразованную задачу, как следствие получаем решение исходной задачи.

Выводы и заключения

1. Методом разложения по собственным функциям самосопряженного дифференциального оператора получено приближенно-аналитическое решение нестационарной одномерной задачи теплообмена с фазовым переходом в полярных координатах по радиальной схеме. Метод основан на конечных интегральных преобразованиях с ядром, нахождение которого связано с постановкой и решением соответствующей спектральной задачи через ВГГФ. Установлено, что свободная граница движется по параболическому закону.

2. Метод нахождения собственных значений соответствующей спектральной задачи связан с теорией возмущений дифференциального оператора, они

выражаются через функции Бесселя. Безразмерный параметр Дъ , присутствующий в выражениях для собственных значений, зависит от краевых условий и теплофизических характеристик среды, а также характеризует положение и скорость движения свободной границы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Аксенов Б. Г., Карякин Ю. Е. Численное моделирование одномерных многофронтовых задач Стефана // Вестн. ТюмГУ. Физ.-мат. моделир. Нефть, газ, энергетика. 2017. Т. 3, № 3. С. 8-16.

2. Vasilyev V. I., Vasilyeva M. V., Sirditov I. K., Stepanov S. P., Tseeva A. N. Мathematical modeling of temperature regime of soils of foundation on permafrost // Vestn. Mosk. Gos. Tekh. Univ. im. N. E. Baumana. Estestv. Nauki. 2017. N 1. P. 142-159.

3. Арутунян Р. В. Интегральные уравнения задачи Стефана и их приложение при моделировании оттаивания грунта // Наука и образование. 2015. № 10. С. 419-437.

4. Gornov V. F., Stepanov S. P., Vasilyeva M. V. et al. Mathematical modeling of heat transfer problems in the permafrost // AIP Conf. Proc. AIP, 2014. V. 1629. P. 424-431.

5. Аксенов Б. Г., Карякина С. В. Задача Стефана как предельный случай задачи о фазовом переходе в спектре температур // Вестн. ТюмГУ. Физ.-мат. науки. Информатика. 2013. № 7. С. 133-140.

6. Alghalith M. A new stopping time model: A solution to a free-boundary problem // J. Optim. Theory Appl. 2012. V. 152, N 1. P. 265-270.

7. Чернов И. А. Классическое решение одномерной параболической краевой задачи с нелинейными граничными условиями и подвижной границей // Дифференц. уравнения. 2010. Т. 46, № 7. С. 1044-1052.

8. Dancer E. N., Yihong Du. A uniqueness theorem for a free boundary problem // Proc. Amer. Math. Soc. 2006. V. 134, N 11. P. 3223-3230.

9. Borisovich A., Friedman A. Symmetry-breaking bifurcations for free boundary problems // Indiana Univ. Math. J. 2005. V. 54, N 3. P. 927-947.

10. Baconneau O., Lunardi A. Smooth solutions to a class of free boundary parabolic problems // Trans. Amer. Math. Soc. 2004. V. 356, N 3. P. 987-1007.

11. Карташов Э. М. Аналитические методы решения краевых задач нестационарной теплопроводности в области с движущимися границами // Изв. РАН. Сер. Энергетика. 1999. № 5. С. 3-34.

12. Садовничий В. А., Дубровский В. В. Замечание об одном новом методе вычисления собственных значений и собственных функций дискретных операторов // Тр. семинара им. И. Г. Петровского. М.: МГУ, 1994. Вып. 17. С. 244-248.

13. Кадченко С. И. Метод регуляризованных следов // Вестн. ЮУрГУ. Сер. Мат. моделирование и программирование. 2009. № 37. С. 4-23.

14. Зайнуллин Р. Г., Фазуллин З. Ю. Описание температурных полей процесса теплообмена с фазовым переходом // Успехи соврем. науки. Физ.-мат. науки. 2016. № 7. С. 82-91.

15. Зайнуллин Р. Г. Об одном аналитическом подходе к решению одномерной задачи переноса тепла со свободными границами // Изв. вузов. Математика. 2008. № 2. С. 24-31.

16. Шафеев М. Н. Решение одной плоской задачи Стефана методом ВГГП // Инж.-физ. журн. 1978. Т. 34, № 4. С. 713-722.

17. Шафеев М. Н. Решение одной нелинейной задачи методом ВГГП // Изв. вузов. Математика. 1980. № 12. С. 73-75.

18. Хакимов Р. Х. Замораживание грунтов в строительных целях. М.: Госстройиздат, 1962.

19. Абрамович М. А., Стиган И. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами. М.: Наука, 1979.

20. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Дополнительные главы. М.: Наука, 1986.

21. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Специальные функции. М.: Наука, 1983.

22. Слейтер Л. Д. Вырожденные гипергеометрические функции. М.: Изд-во ВЦ АН СССР, 1968.

23. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972.

24. Коддингтон Е. А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Изд-во иностр. лит., 1958.

25. Кошляков Н. С., Глинер Э. Б., Смирнов М. М. Уравнения в частных производных математической физики. М.: Высш. школа, 1970.

26. Никифоров А. Ф., Уваров В. Б. Специальные функции математической физики. М.: Наука, 1984.

Поступила в редакцию 8 октября 2019 г.

После доработки 11 февраля 2020 г.

Принята к публикации 30 апреля 2020 г.

Зайнуллин Рифат Гильметдинович

Уфимский государственный авиационный технический университет, ул. Карла Маркса, 12, Уфа 450008 zaynulin_r. g@mail. ru

Фазуллин Зиганур Юсупович Башкирский государственный университет, ул. Заки Валиди, 32, Уфа 450076, Башкортостан fazullinzu@mail.ru

Математические заметки СВФУ Апрель—июнь, 2020. Том 27, № 2

UDC 517.95

A BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR A PARABOLIC-TYPE EQUATION IN A NON-CYLINDRICAL DOMAIN R. G. Zaynullin and Z. Y. Fazullin

Abstract: We present an application of the method of the eigenfunction decomposition of a self-adjoint differential operator to the solution of a non-stationary heat transfer problem with phase transition with the freezing process in a continuous medium as an example. An approximate analytical solution of the problem in a non-automodel formulation under special initial conditions is obtained. The solution of the problem starts with its conversion to a region with fixed boundaries. Then, for the solution of the transformed problem, we construct a finite integral transform with unknown core, finding of which is associated with formulation and solution of corresponding spectral problems using the degenerate hypergeometric functions. We find the eigenvalues and eigenfunctions, as well as an inversion formula for the introduced integral transform, which allows us to obtain an analytical solution to the problem and consider a number of special cases. While solving the problem, we establish the parabolic law of motion of the interface between the two phases. Problems of this type arise in the mathematical modeling of heat transfer processes in construction, especially in the permafrost areas, in oil and gas production during drilling and operation of wells, in metallurgy, etc.

DOI: 10.25587/SVFU.2020.72.83.001

Keywords: phase transition, free boundaries, moving boundaries, Stefan problem, finite integral transforms, degenerate hypergeometric functions, perturbed differential operator.

REFERENCES

1. Aksenov B. G. and Karyakin Yu. E., “Numerical simulation of one-dimensional multi-front Stefan problems [in Russian],” Vestn. Tyumen. Gos. Univ., Fiz.-Mat. Modelir., 3, No. 3, 8—16 (2017).

2. Vasilyev V. I., Vasilyeva M. V., Sirditov I. K., Stepanov S. P., and Tseeva A. N., “Mathematical modeling of temperature regime of soils of foundation on permafrost,” Vestn. Mosk. Gos. Tekh. Univ. im. N. E. Baumana, Estestv. Nauki No. 1, 142-159 (2017).

3. Arutunyan R. V., “Integral equations of the Stefan problem and their application in modeling soil thawing [in Russian],” Nauka i Obrazovanie, Mosk. Gos. Tekh. Univ. im. N. E. Baumana, Electron. J., No. 10, 419-437 (2015).

4. Gornov V. F., Stepanov S. P., Vasilyeva M. V., et al., “Mathematical modeling of heat transfer problems in the permafrost,” AIP Conf. Proc., 1629, pp. 424-431, AIP (2014).

© 2020 R. G. Zaynullin, Z. Y. Fazullin

5. Aksenov B. G. and Karyakina S. V., “Stefan problem as a limiting case of the problem of phase transition in the temperature spectrum [in Russian],” Vestn. Tyumen. Gos. Univ., Fiz.-Mat. Nauki, Inform., No. 7, 133-140 (2013).

6. Alghalith M., “A new stopping time model: A solution to a free-boundary problem,” J. Optim. Theory Appl., 152, No. 1, 265-270 (2012).

7. Chernov I. A., “Classical solution of one-dimensional parabolic boundary value problem with nonlinear boundary conditions and moving boundary [in Russian],” Differ. Equ., 46, No. 7, 1044-1052 (2010).

8. Dancer E. N. and Yihong Du, “A uniqueness theorem for a free-boundary problem,” Proc. Amer. Math. Soc., 134, No. 11, 3223-3230 (2006).

9. Borisovich A. and Friedman A., “Symmetry-breaking bifurcations for free boundary problems,” Indiana Univ. Math. J., 54, No. 3, 927-947 (2005).

10. Baconneau O. and Lunardi A., “Smooth solutions to a class of free boundary parabolic problems,” Trans. Amer. Math. Soc., 356, No. 3, 987-1007 (2004).

11. Kartashov E. M., “Analytical methods for solving boundary value problems of unsteady thermal conductivity in a region with moving boundaries [in Russian],” Izv. Ross. Akad. Nauk, Ser. Energetika, No. 5, 3-34 (1999).

12. Sadovnichy V. A. and Dubrovsky V. V., “Remark on a new method of calculation of eigenvalues and eigenfunctions for discrete operators,” J. Math. Sci., New York, 75, No. 3, 17701772 (1995).

13. Kadchenko S. I., “The method of regularized traces [in Russian],” Vestn. Yuzhno-Ural. Gos. Univ., Ser. Mat. Model. Program., No. 37 4-23 (2009).

14. Zaynullin R. G. and Fazullin Z. Y., “Description of temperature fields of heat transfer process with phase transition [in Russian],” Uspekhi Sovremen. Nauki, Fiz.-Mat. Nauki, No. 7, 82-91 (2016).

15. Zaynullin R. G., “On an analitycal approach to solving one-dimensional heat transfer problem with free boundaries [in Russian],” Izv. Vuzov, Mat., No. 2, 24-31 (2008).

16. Shafeev M. N., “Solution of one plane Stefan problem by WGGP [in Russian],” Inzh.-Fiz. Zhurn., 34, No. 4, 713-722 (1978).

17. Shafeev M. N., “The solution of one nonlinear problem by the method of WGHP [in Russian],” Izv. Vuzov, Mat., No. 12, 73-75 (1980).

18. Khakimov R. H., Freezing of Soils for Construction Purposes [in Russian], Gosstroiizdat, Moscow (1962).

19. Abramovich M. A. and Stigan I., Handbook of Special Functions with Formulas, Graphs and Tables [in Russian], Nauka, Moscow (1979).

20. Prudnikov A. P., Brychkov Yu. A., and Marichev O. I., Integrals and Series, Additional Chapters [in Russian], Nauka, Moscow (1986).

21. Prudnikov A. P., Brychkov Yu. A., and Marichev O. I., Integrals and Series, Special Functions [in Russian], Nauka, Moscow (1983).

22. Slater L. D., Degenerate Hypergeometric Functions [in Russian], Izdat. Vychisl. Tsentra Akad. Nauk SSSR, Moscow (1968).

23. Tikhonov A. N. and Samarskii A. A., Equations of Mathematical Physics [in Russian], Nauka, Moscow (1972).

24. Coddington E. A. and Levinson N., Theory of Ordinary Differential Equations [in Russian], Izdat. Inostr. Lit., Moscow (1958).

25. Koshlyakov N. S., Gleaner E. B., and Smirnov M. M., Partial Differential Equations of Mathematical Physics [in Russian], Vysshaya Shkola, Moscow (1970).

26. Nikiforov A. F. and Uvarov V. B., Special Functions of Mathematical Physics [in Russian], Nauka, Moscow (1984).

Submitted October 8, 2019 Revised February 11, 2020 Accepted April 30, 2020

Rifat G. Zaynullin

Ufa State Aviation Technical University,

12 Karl Marx Street, Ufa 450008, Russia fazullinzu@mail.ru

Ziganur Y. Fazullin Bashkir State University,

32 Zaki Validi Street, Ufa 450076, Russia fazullinzu@mail.ru