CC BY
48А. В. Юров КОСМОЛОГИЯ СУДНОГО ДНЯ
1. Введение
Космология считается одновременно самой романтичной и в то же время самой непрактичной из всех наук. Космолог не занимается разработкой новых типов полупроводников, использование которых может привести к новому рывку в области высоких технологий, он не развивает методы интегрирования уравнений газодинамики, что важно для построения новых ракетных двигателей или уточнения метеорологических прогнозов. Космолог не разрабатывает ионные ловушки, алгоритмы квантовых вычислений. Не занимается проблемой термоядерного синтеза и поиском альтернативных источников энергии. Словом, космолог изучает настолько фундаментальные вопросы, что об их практическом приложении говорить вообще не приходится.
Даже деятельность астрономов, людей традиционно далеких от «повседневных проблем», и та выглядит более «земной». В самом деле, именно астрономы наблюдают за движением искусственных спутников Земли, проводящих важные геофизические наблюдения из космоса и обеспечивающих возможность дальней связи. Астрономы должны предупредить нас о возможности падения на Землю крупного астероида, способного нанести существенный ущерб (вплоть до полного уничтожения) человеческой цивилизации. Маловероятность этого события не отменяет необходимости «постоянной службы неба». Наконец, изучение новых и сверхновых звезд совместно с наблюдениями за поверхностью Солнца (с одновременной разработкой математических моделей, описывающих многообразие процессов, происходящих под поверхностью Солнца) призвано привести нас в состояние «боевой готовности» при первых проявлениях того, что Солнце готовится стать новой1.
1 Не ясно, однако, что бы мы стали делать, если бы астрономы предупредили, что Солнце собирается не сегодня-завтра - взорваться! Правда, те же астрономы утверждают,
43
В отличие от астрономов, космологи исследует вселенную на максимально больших расстояниях. Их интересует то, что происходило 15 млрд лет назад и что произойдет через, по крайней мере, такой же промежуток времени. Их не интересует что-то меньшее, чем 200 Мпс. Изучая раннюю вселенную, космологи поняли, что им необходима физика очень больших энергий (1017 - 1019 ГэВ), которые, вероятно, никогда не будут доступны в лаборатории. Интересно отметить, что последний аргумент в пользу кажущейся «непрактичности» космологии ряд авторов пытаются обратить в свою противоположность. Дело в том, что область столь высоких энергий представляет особый интерес для специалистов по теории струн. Уже давно было очевидно, что построить теорию ранней Вселенной можно, только используя физику элементарных частиц, однако принципиальным моментом, изменившим статус космологии, стало осознание того, что верно и обратное! А именно построить удовлетворительную теорию элементарных частиц, можно лишь используя космологию. Считается, что описание элементарных частиц возможно в рамках теории струн, но большая часть новых явлений, предсказываемых теорией струн (или ее низкоэнергетическими приближениями), происходит при энергетических масштабах, заведомо недоступных современному экспериментатору. С другой стороны, энергии порядка 1019 ГэВ имели место в ранней вселенной, примерно 15 млрд лет назад, причем формирование современной крупномасштабной структуры вселенной сильно зависит от деталей процессов, протекавших в первые доли секунды после Большого взрыва, которые, в свою очередь, определяются теорией струн. Таким образом, астрономические наблюдения (особенно за реликтовым фоном) оказываются единственным известным на сегодня способом экспериментального тестирования, пригодным для специалистов, работающих в теории струн. Тем не менее исследования в области теории струн сами по себе весьма далеки от практических применений, и неизвестно, изменится ли когда-нибудь это положение вещей.
Все вышесказанное свидетельствует о кажущейся «непрактичности» космологии как физической дисциплины. Цель данной работы - опровержение этого утверждения. Мы попытаемся показать, что справедливо прямо обратное суждение: космология является самой практической из всех наук, поскольку, как мы увидим, приводит к выводам, весьма актуальным не только для космологов, но и для всех людей, в том числе далеких от науки. Мы покажем, что если так называемая стандартная космологическая модель (СКМ), о которой иногда говорят как о «космологическом коркодан-се», верна, то человеческой цивилизации осталось существовать гораздо меньше, чем это принято думать! Насколько меньше? Речь идет не о миллионах или тысячах лет, а о столетиях или даже, при наиболее экзотичном
что мы можем спать спокойно, по крайней мере, ближайшие несколько миллиардов лет. Так что деятельность астрономов достаточно практична - они обеспечивают нам спокойный сон.
44
варианте, десятилетиях! Вероятно, читатель подумает, что авторы занимаются мистификацией. Каким образом изучение вселенной как целого может привести к таким выводам? Поразительно, но может. Именно этой теме посвящена данная работа. Отметим, что предсказания о грядущем «конце света», сделанные на основе чисто статистических аргументов, давно и оживленно обсуждаются в литературе. Появился специальный термин: Аргумент Судного дня (в подлиннике Doomsday argument [Carter, 1983; Leslie, 1990; Gott, 1993; Nielsen, 1989]). Аргумент Doomsday не использовал космологических соображений и подвергался обширной критике. Наиболее ясно эта позиция изложена в статье Олума [Olum, 2002]. Мы, однако, покажем, что критика Олума несправедлива, если принять во внимание СКМ. Более точно, используя аргументацию Олума в рамках «космологического коркоданса», мы неизбежно приходим к справедливости Аргумента Doomsday. Другими словами, Кен Олум доказал справедливость Аргумента Судного дня, хотя и написал свою работу с целью опровержения последнего!
Работа организована следующим образом: во втором разделе мы обсуждаем Аргумент Судного дня и решение, предложенное Олумом для устранения последнего. В третьем разделе мы показываем, что правило подсчета частот в мультиверсе отличается от того, которое использовалось в [Olum, 2002] для решения парадокса Doomsday и, напротив, приводит к справедливости Аргумента Судного дня. В четвертом разделе, используя данные математической демографии и методы, развитые выше, мы оцениваем время наступления «конца света». Даже грубые вычисления свидетельствуют о том, что «конец света» должен наступить в течение ближайших десятилетий. Трудно счесть такое заключение чем-то непрактичным, не так ли?
2. Аргумент Doomsday
В своей классической постановке Аргумент Doomsday выглядит следующим образом: пусть pS и pL - вероятности того, что человеческая цивилизация (раса) будет существовать соответственно «недолго» и «долго». Срок существования - не определяется. Все, что нам надо знать, - это то, что в первом случае человечество исчезнет, набрав в «общей сумме» NS когда-либо живших людей, а во втором - NL, причем NL >> NS. Разумеется, эта картина может показаться чрезвычайно упрощенной. Наверное, возможно множество вариантов развития человечества, и нелепо все сводить к двум возможностям. Тем не менее в качестве некоей усредненной картины ее использовать можно. Современный уровень знаний не позволяет вычислить числа pS и pL = 1- pS, но этого и не требуется. Более того, можно даже принять оптимистичный взгляд на вещи и считать, что величина pL по крайней мере не меньше величины pS. Это не изменит конечного ре-
45
зультата. Нас будет интересовать условная вероятность р (8|К), которая равна вероятности того, что «я» живу в короткоживущей цивилизации, при условии, что я К-й рожденный человек. Конечно, определить величину N - затруднительно, поскольку непонятно кого считать первым человеком. Но в принципе ясно, что какое бы соглашение относительно первого человека ни было принято, в рамках его число N будет определено.
Пусть p (N|S) и p (N|L) условные вероятности того, что я N-й рожденный человек в, соответственно, короткоживущей и долгоживущей расах. Очевидно p (N|S)/p (N|L) = NL/NS. Используя формулу Байеса, находим результат, так как NS/NL << 1. Таким образом, условная вероятность найти себя в короткоживущей расе неожиданно оказывается порядка единицы! Это и есть знаменитый Аргумент Doomsday.
A. Аргумент Doomsday содержит внутреннее противоречие. Представим себе, что несколько десятков тысяч лет назад численность народонаселения составляла в общей сумме (вместе с умершими) 1000 человек. Предположим, что эти люди - фаталисты, уверенные, что грядет конец света, и оценивают общее число всех людей своей расы, вплоть до этого конца в 106. Как мы знаем, сейчас число всех когда-либо живших людей составляет около 60 млрд человек1. Примем, что pS = pl = 0,5. Тогда формула (1) дает
p(S|JV) - 1 - ^10 4 = 0,9999833 (2)
Другими словами, фактически со 100%-ной гарантией эти люди должны были оказаться правы в своих апокалиптических ожиданиях. Вероятность же текущего положения дел (на начало XXI в.) составила бы лишь 0,000017. Тем не менее, как мы знаем, именно это практически невероятное состояние человечества имеет место. Таким образом, древние люди совершили бы огромную ошибку, полагаясь на формулу (1). Но тогда почему мы должны доверять этой формуле?
B. Аргумент Doomsday дает заведомо неправильный ответ. Здравый смысл подсказывает, что вероятность p (S|N) должна быть равна просто pS. Очевидно, где-то имеется ошибка в вычислениях.
Кен Олум утверждает, что знает где. Вот его рассуждения: для нахождения условной вероятности p (S|N) мы перемножили два числа (опуская нормировочный множитель):
46
1 В пятом разделе мы поясним, откуда берется это число.
p (S|N) ~ ps p (N|S), (3)
тогда как правильное выражение имеет вид
p (S|N) ~ ps p (N|S)Ns. (4)
Вводя в (4) нормировочный множитель, имеем
WCIjVl -_PSP(X\S}NS___р,___гб1
ц 1 ' iwtwiSí^+ftptwiDJí. p3 + p„ p> w
Ответ получается разумным, но почему нам следует использовать предписание (4), а не (3)? Согласно Олуму, для правильного вычисления p (S|N) необходимо перемножить три вероятности: вероятность того, что мы находимся в короткоживущей цивилизации (p S), условную вероятность того, что я N-й человек (p (N|S)), и p (NS|I) - условную вероятность того, что я нахожусь в короткоживущей цивилизации, при условии, что «я есть». Последнее выглядит странно и нуждается в пояснении. Суть дела в том, что сам факт моего существования служит аргументом в пользу того, что я нахожусь в долгоживущей цивилизации, насчитывающей большое число людей. Другими словами, вероятность p (NS|I) должна быть пропорциональна полному числу людей - NS. Для того чтобы сделать этот вопрос максимально ясным, рассмотрим (вслед за Кен Олумом) следующую гипотетическую игровую ситуацию. Пусть некое высшее существо (Олум называет ее богиней) имеет в запасе отель, содержащий 109 одноместных номеров и такое же число людей (одним из которых являюсь я). Богиня бросает монету и в зависимости от того, что выпадает - «орел» или «решка», реализует следующую стратегию.
Стратегия 1.
1.1. Если выпадает «орел», то богиня случайным образом расселяет всех 109 человек по номерам.
1.2. Если выпадает «решка», то богиня случайным образом выбирает 10 человек и наугад расселяет их по первым 10 номерам.
Предположим, что я обнаружил, что нахожусь в одном из первых 10 номеров. С какой вероятностью у богини выпал «орел»? Или иначе, какова вероятность того, что отель полон людей? Эти вопросы имеют прямое отношение к Аргументу Doomsday. В самом деле, результат, полученный по формуле (1), можно объяснить и так: если человечество будет существовать очень долго и полное число всех людей (NL) будет очень велико, то кажется весьма маловероятным найти себя в малой доле людей, живущих у истока цивилизации. Однако мы находим себя в нем, значит, полное число всех когда-либо живших людей, людей, живущих сейчас, и тех, кто будет жить после, не должно быть очень велико. Формула (1) просто дает количественное основание этой идеи. Аналогично в мысленном эксперименте Кен Олума кажется весьма маловероятным, что отель полон, коль скоро мы нашли себя уже в первой десятке номеров. Однако это ин-
47
туитивно очевидное заключение оказывается неверным. Назовем группу людей, которых богиня будет расселять по номерам реферируемой группой. Теперь предположим, что монета упала «орлом». В этом случае с вероятностью единицы я окажусь в реферируемой группе. Вероятность же того, что богиня поместит меня в один из первых десяти номеров, составит 10-8. Перемножая эти независимые вероятности, я получаю вероятность попасть в первые десять номеров при выпадении «орла», равной 10-8. Если же монета упадет «решкой», то мои шансы попасть в реферируемую группу составят десять к миллиарду, зато вероятность того, что я окажусь в первой десятке номеров, равна, очевидно, 1. Перемножая эти числа, получаем ту же вероятность 10-8, что и при выпадении монеты «орлом». Заметим, что вероятность моего попадания в реферируемую группу и есть величина p (NS| I) (или p (NS|I)). Отношение этих вероятностей в первом и втором случаях составляет один к 10-8, т.е. равно отношению числа членов в реферируемых группах: 109 к 10. Именно поэтому p (NS|I) ~ NS, а p (NL|I) ~ NL. Таким образом, вероятность моего попадания в номер, скажем, 7 не зависит от числа людей в отеле и составляет, очевидно, 10- . В свою очередь это означает, что вероятности выпадения монеты «орлом» или «решкой» равны, а значит, вероятность того, что отель полон, равна 1/2, т.е., возвращаясь к Аргументу Doomsday, p (S|N) = pS. Таким образом, парадокс Судного дня кажется решенным. Но не все так просто!
3. Мультиверс и Doomsday
Свою известную работу [Tegmark, 2003] Макс Тегмарк начинает вопросом, обращенным к читателю: существуют ли другие копии Вас, читающие эти же строки, но принявшие решение оставить чтение, не дойдя до конца данного предложения, тогда как Вы все-таки дочитали его? Люди, живущие на планете, называемой Землей, с горами, среди которых есть Гималаи, с растущими городами (среди которых есть Лондон и Москва)? Люди, живущие в Солнечной системе, содержащей еще восемь планет? Жизнь этих людей совпадает с Вашей во всех отношениях, до того мгновения1, когда Вы приняли решение дочитать первое предложение до конца, решение, свидетельствующее, что Ваша жизнь и жизни этих «копий» стали различаться? Хотя эта картина выглядит странной и невозможной, тем не менее именно ее предсказывает простейшая и наиболее популярная сегодня космологическая модель, причем, согласно этой модели, вышеупомянутые персоны живут в галактике, находящейся приблизительно на расстоянии 10 в степени 1029 метров от нас. Собственно, для обоснования того, что дело обстоит именно так, достаточно принять два обстоятельства: (1) вселенная пространственно бесконечна и (2) она однородно заполнена
1 Внимание! Это место центрально для понимания данной статьи.
48
веществом. Существование вашего alter ego является простым следствием (или предсказанием) так называемой модели конкорданс (concordance), которая находится в согласии со всеми известными астрономическими наблюдениями, расчетами и компьютерными симуляциями. Наибольшее расстояние, которое в принципе можно наблюдать, составляет примерно 14-15 млрд световых лет, поскольку столько лет назад произошел Большой взрыв, послуживший началом нашей вселенной. В сантиметрах это примерно 1028, и сфера с таким радиусом, в центре которой находимся мы, определяет так называемую видимую вселенную, иначе называемую хабб-ловским объемом. Аналогично вселенная одного из Ваших вышеупомянутых двойников имеет такой же размер, с центром в другой точке и не имеет никакого физического контакта с нашей вселенной. Наша наблюдаемая вселенная оказывается лишь малой частью колоссальной структуры, называемой мультиверсом. Представление о мультиверсе может показаться метафизическим, однако становится все более и более ясным, что существование мультиверса, вытекающее из базовых, по-видимому, неопровержимых физических принципов, может быть эмпирически протестировано или фальсифицировано по Попперу1.
Вернемся к нашим удаленным двойникам. Если пространство бесконечно и распределение материи достаточно однородно на больших масштабах, то даже самые маловероятные события должны где-то происходить. Недавно Дон Пэйдж показал даже, что если полный четырехмерный объем вселенной превышаетe в степени 1050 см в четвертой степени, то начинают доминировать события с вероятностью, равной спонтанному возникновению наблюдателя-человека [Page, 2005]! На этом фоне уже не удивляет то, что в бесконечной вселенной есть бесконечно много других населенных планет, включая планеты, населенные людьми, обладающими той же внешностью, именем и памятью, что и Вы. Это проистекает из того, что существует множество других областей, того же размера, что и наш хаббловский объем, в которых реализуются все возможные сценарии развития событий! Еще раз подчеркнем, что это является неизбежным следствием простейшей и наиболее общепризнанной современной космологической модели. Действительно, пока все известные наблюдения достаточно уверенно свидетельствуют о том, что мы живем в плоской вселенной, которая, как это следует из уравнений Эйнштейна, ДОЛЖНА быть бесконечной. Колоссальный успех инфляционной космологии служит веским основанием верить, что вселенная и в самом деле бесконечна и плоска, чему, кстати, нас и учили в школе!
Что касается однородности, то наблюдения показывают, что отклонения от средней величины массы, заключенной в сфере радиуса 1023 м, составляет менее 1%, а в сфере радиуса 1027 м отклонение не превышает 0,001%!
1 В настоящее время вопрос ставится даже не о том, существует мультиверс или нет, а, скорее, о том, сколько уровней он допускает.
49
Таким образом, современные наблюдения однозначно утверждают, что вселенная продолжается и за пределы нашего хаббловского объема, причем там она по-прежнему заполнена галактиками, звездами и планетами.
Есть несколько способов того, как получить отсюда вышеупомянутую «сюрреалистическую» картину вселенной, заполненной нашими двойниками. Первый способ основан на гипотезе эргодичности. Как известно, физическая задача определяется уравнениями динамики и начальными условиями. Согласно современным представлениями начальные условия в ранней вселенной, приведшие к наблюдаемой структуре космоса, были фиксированы квантовыми флуктуа-циями во время инфляции. Эти флуктуации порождают флуктуации в плотности, которые оказываются эргодически случайными полями. Эргодичность означает, что если вообразить ансамбль вселенных (точнее, хаббловских объемов) со случайно распределенными начальными условиями, то вероятностное распределение исходов в данном объеме совпадает с распределением, полученным случайным выбором объема из всех возможных. Другими словами, при наличии эргодичности все, что может в принципе произойти, на самом деле где-то происходит.
Более изящен второй способ, предложенный Виленкиным [Garriga, Vilenkin, 2005] и использующий так называемое ограничение Бекенштей-на. Суть его сводится к следующему: количество квантовых состояний внутри некоторого объема не может превышать площадь этого объема, умноженную на некоторую постоянную. Строгий вывод ограничения Бе-кенштейна дается в рамках квантовой теории поля. Однако можно легко (но нестрого!) пояснить, откуда берется это ограничение [Tipler, 2001].
Рассмотрим квантовую, одномерную (для простоты) систему. Неразличимые квантовые состояния лежат в ячейках, меньших, чем произведение неопределенности координаты на неопределенность импульса, поэтому общее число различных квантовых состояний получается делением всего фазового объема на размер такой ячейки. Так как, в соответствии с принципом неопределенности Гейзенберга, размер последней не может быть меньше постоянной Планка, размер полного числа квантовых состояний N не может быть больше фазового объема PR (где P - импульс, а R - координата), деленного на постоянную Планка. На следующем шаге надо вспомнить, что в релятивистской теории импульс P всегда меньше (либо равен - для безмассовых полей) энергии E, деленной на скорость света. Но энергия пропорциональна массе, а значит, число возможных состояний не больше некоторой константы, умноженной на размер исследуемого объема R и на его массу. Наконец, следует учесть, что масса объема при заданном R не может быть сколь угодно велика, ее максимально допустимое значение пропорционально R, поскольку при больших массах начнется гравитационный коллапс. Окончательно получаем, что число допустимых, физически различимых квантовых состояний меньше, чем
50
Ограничение Бекенштейна позволяет понять, откуда берутся «двойники». В силу этого ограничения число начальных условий Nh, приводящих к разным динамическим конфигурациям в заданном хаббловском объеме, - конечно. В [Garriga, Vilenkin, 2001] приведена оценка: Nh ~ e в степени 10244! Это, безусловно, колоссальное, но КОНЕЧНОЕ число. Таким образом, число всех возможных «историй» внутри данного хабблов-ского объема - конечно, тогда как число всех хаббловских объемом в бесконечной (ибо плоской) вселенной - бесконечно. Это означает, что если начать перебирать хаббловские объемы один за другим, то рано или поздно мы переберем все объемы с разными историями, после чего начнутся повторения. Другими словами, все возможные истории, все, что могло произойти в нашем мире, но почему-то не произошло, - где-то происходит. Кроме того, существует бесконечно много одинаковых миров, буквально совпадающих с нашим, а также миров, лишь чуть-чуть отличающихся от нашего, и т.д. Грубые оценки показывают, что ближайшие к вам ваши же двойники находятся на расстоянии примерно 10 в степени 1029 м от вас. На расстоянии 10 в степени 1091 м располагается сфера радиусом 100 световых лет, такая, что для всех ее обитателей в течение 100 ближайших лет все произойдет в точности как у нас вплоть до 2100 г. Наконец, на расстоянии 10 в степени 10113 м должен располагаться ближайший хаббловский объем, полностью идентичный нашему.
Как мы видим, все эти объемы лежат за пределами нашего горизонта событий, поэтому, согласно СТО, невозможна причинная связь с нашими «двойниками». Тем не менее наличие мультиверса тестируемо [Stoeger, 2007; Weinberg, 2005; Aguirre, 2005]. Примером такого теста является проблема космологической константы, решенная в [Vilenkin, 2001]. Как мы сейчас покажем, существует другая, поразительная возможность проверить гипотезу мультиверса, используя Аргумент Doomsday! Одним из интересных следствий описанной картины является то, что если наличествует множество «вас» с одинаковой памятью и прошлой жизнью, но с разным будущим, то вы в принципе не способны вычислить ваше будущее даже при условии, что вся полная история космоса вам известна! Происходит это потому, что нет никакого способа определить, какая из этих «копий» действительно «вы». Лучшее, что можно сделать, - это вычислить вероятность того или иного события, используя базовое предположение о том, что вы - типичный наблюдатель. Такая методика широко практикуется в современной космологии и лежит в основе вычислений с использованием так называемого антропного принципа1. Рассмотрим теперь наблюдателя, скажем меня, который остановился между двумя дверями 1 и 2 и принимает решение, в какую из них зайти. Если я выберу дверь 1, то можно не сомневаться, что за пределами расстояния 10 в степени 1029 м (но не даль-
1 Именно используя этот принцип, удалось решить упомянутую проблему космологической постоянной в [8].
51
ше чем 10 в степени 1091 м) находится хаббловский объем, содержащий моего двойника, выбравшего дверь 2. Получается забавная картина: выбор той или иной двери эквивалентен «выбору» того или иного хаббловского объема. Разумеется, на самом деле я нахожусь лишь в одном объеме, но поскольку не знаю в каком, то две картины: (1) я живу в одном хабблов-ском объеме и (2) я умею «переходить» (правда, спонтанно и неуправляемо) из одного объема в другой - эквивалентны. На самом деле это простое следствие того, что различия между хаббловскими объемами порождены различиями в начальных условиях, в частности флуктуациями в ранней вселенной, которые, как уже говорилось, обладают свойством эргодичности. Повторим, что вследствие эргодичности вероятностное распределение исходов в данном хаббловском объеме совпадает с распределением, полученным случайным выбором объема из всех возможных. Применительно ко мне это означает, что я могу, если хочется, считать себя «случайно блуждающим странником по хаббловским объемам». Вспомним пример Тегмарка, с которого мы начали этот раздел: некоторые из вас бросили сейчас читать эту работы, придя к заключению, что все это просто чепуха, не заслуживающая внимания. Однако должны существовать хаббловские объемы, в которых Вы не поддались этому порыву и решили дочитать до конца (автор надеется, что находится в одном из таких хаббловских объемов). Теперь рассмотрим ситуацию за долю секунды до того, как решение было принято. После принятия решения Ваша жизнь и жизнь двойника стали различаться. Вы могли принять решение не читать, но могли принять решение и дочитать. Приняв то или иное решение, Вы определили, в каком именно хаббловском объеме находитесь. Но не будет логической ошибки сказать, что, приняв то или иное решение, Вы «перешли» в тот или иной объем! Например, Вы не стали читать и, разумеется, остались в том объеме, где и были. Но Ваш более отзывчивый двойник теперь находится на расстоянии 10 в степени 1029 м от Вас. Можно, конечно, сказать, что он всегда там был, но, с другой стороны, до того, как решение было принято, Вы оба были одним и тем же лицом! Не существовало способа отличить Вас друг от друга, значит, Вы были не просто двойниками! Вы были ОДНИМ И ТЕМ ЖЕ ЧЕЛОВЕКОМ. А раз так, то ситуация выбора может быть непротиворечиво описана следующим образом: сделав выбор, я нахожу себя в другом хаббловском объеме, не в том, в котором находился ДО выбора. Все физические процессы, которые я наблюдаю вокруг, будут выглядеть одинаково вне зависимости от того, странствую ли я при каждом выборе по хаббловским объемам или нахожусь в одном из них. Вероятно, это утверждение покажется тривиальным одним и неверным другим. Для этих вторых мы приведем дополнительные аргументы в пользу того, что мы можем считаться «случайно блуждающими странникамим по хаббловским объемам», несмотря на то что находимся лишь в одном из них, в следующем разделе.
52
Но, скажет критик, даже если это верно, то поскольку два способа описания моей эволюции в мультиверсе (т.е. я странствую или все время нахожусь в одном объеме) физически неразличимы, то в чем разница? Разница в том, что теперь Аргумент Doomsday оказывается верным!
Для того чтобы понять это, рассмотрим второй сценарий игры, тоже описанный Кен Олумом.
Стратегия 2.
2.1. Если выпадает «орел», то богиня случайным образом расселяет всех 109 человек (и меня, разумеется) по номерам.
2.2. Если выпадает «решка», то богиня обязательно выбирает меня и еще девять человек (а их - случайным образом) и наугад расселяет их по первым 10 номерам.
Отличие стратегии 2 от стратегии 1 в том, что я со 100%-ной гарантией являюсь членом реферируемой группы вне зависимости от того, как упадет монета. Первую стратегию Олум назвал симметричной, а вторую -асимметричной (я оказываюсь выделенным). Проанализируем асимметричную игру на тех же условиях: я обнаруживаю себя в номере 7. Пусть монета упала «орлом». Так как я знаю, что я непременно член реферируемой группы, то вероятность моего попадание в первую десятку номеров составит 10-8. Если же монета упала «решкой», то я с вероятностью 1 попадаю в первую десятку. Другими словами, вероятность моего попадания в седьмой номер в случае полного отеля составляет один к миллиарду, а в случае «почти пустого» - один к десяти. Обнаружив себя в седьмом номере, я могу быть уверен, что в отеле вместе со мной проживают только 10 человек. Другими словами, в этом случае работает предписание (3), а не (4), а значит, формула (1) оказывается верной. Причина этого очевидна - если я в любом случае попадаю в реферируемую группу, то условные вероятностиp (N|I) равны единице.
Осталось понять, что наша жизнь в мультиверсе сходна со стратегией 2, а не стратегией 1. Это почти очевидно: во-первых, мы должны исключить из рассмотрения хаббловские объемы где нас нет, по той причине, что я непременно существую в других объемах и осознаю себя в них прямо сейчас. Во-вторых, коль скоро при каждом выборе я могу считать себя попадающим в соответствующий хаббловский объем, то ситуация ничем не отличается от ситуации, где мое местонахождение определяется монетой богини. В обоих случаях ситуация случайна и находится вне моего контроля. Я не знаю, в каком хаббловском объеме окажусь в следующий момент (или, если угодно, не знаю, что произойдет в моем объеме в следующий момент), но точно знаю, что в одном из них окажусь обязательно. В этом смысле я могу считать себя выделенным. А это означает, что в мультиверсе Аргумент Doomsday - действует!
В силу необычности и важности этого заключения повторим его еще раз, но применительно к Аргументу Судного дня. Я знаю, что я N-й человек. Также я знаю, что это сейчас осознает множество моих двойников, обла-
53
дающих той же памятью и видящих то же, что и я. Я не знаю, который из этих двойников «я». Часть из них живет в долгоживущей цивилизации, находясь у самого ее истока. Вторая часть живет в короткоживущей цивилизации и не занимает особого положения. Я могу оказаться любым из них, ибо они реально существуют. На что мне надо поставить: на то, что я оказался одним из избранных, стоящих у самого начала будущей «космической империи», или на то, что я живу в заурядной цивилизации, число людей в которой никогда не увеличится на порядки? Очевидно, что при таком раскладе несравненно более вероятен второй вариант.
Нам осталось ответить на приводимое выше первое возражение против Аргумента Doomsday, утверждающего его противоречивый характер: почему древние люди пришли бы к абсолютно неправильному заключению о будущем (2)? Напомним: древние люди, о которых речь шла во втором разделе, с вероятностью 0,999 983 должны были столкнуться с Судным днем до начала XXI в. Тем не менее они дожили до наших дней, породив нас, хотя вероятность этого была лишь 0,000 017. Как же так? Очень просто: в Мультиверсе существовало множество копий этих людей, сделавших это предсказание. Из них 99,9983% действительно имели несчастье исчезнуть в результате Судного дня и лишь 0,0017% уцелели. И это естественно, ибо Аргумент Doomsday носит статистический характер. Кому-то ДОЛЖНО было повезти, поскольку в Мультиверсе происходит все, что возможно (см. сноску 5). И поскольку я являюсь потомком этих людей, для меня вероятность существования этой крохотной доли счастливчиков, выигравших в лотерею жизни и смерти, равна 100%. Ситуация здесь та же самая, что и с «удачливым сперматозоидом»: допустим, что появление данной персоны зависит от того, оплодотворит ли ДАННЫЙ сперматозоид (один из 10 млрд) яйцеклетку. Очевидно, шансы появления чрезвычайно малы и составляют 10-10, т.е. при обычном раскладе ими можно пренебречь, если только ВЫ не эта персона. С ее же точки зрения это событие должно было непременно случиться (т.е. с вероятностью единица), иначе бы она вообще не думала на эту тему! Конечно, указанная персона могла бы сказать, что ее могло и не быть, и прийти к тому же заключению, что и сторонний наблюдатель. Однако это неверно в Мультиверсе, в котором происходят все события, разрешенные законами физики. В Мультиверсе обязательно найдется хаббловский объем, в котором именно этот сперматозоид оплодотворит яйцеклетку, а значит, появление этой персоны неизбежно. Далее, очевидно, что только появившись на свет (и, вероятно, окончив университет), персона будет способна задаться вопросом о вероятностном распределении, приведшем к ее существованию. Отсюда действительно, как ни странно, следует, что с точки зрения данной персоны вероятность ее появления равна 100%! Это не ошибка, не суждение задним числом и не обман. Именно это обстоятельство позволяет обосновать использование асимметричной стратегии каждым отдельным наблюдателем, применение которой неизбежно приводит к справедливости Аргумента Doomsday.
54
4. Когда наступит конец света?
Для того чтобы использовать (1), нужны какие-то оценки для условных вероятностей и общего числа всех людей. «Проще» всего с величиной N5. Мы примем ее равной общему числу всех людей, когда-либо живших (и живущих сейчас) на Земле. Следует сказать, что даже эта величина нам неизвестна. Разброс составляет от 40 до 100 млрд! Например, Форстер [ТоегзХег, 1961] использует эмпирическую формулу
' " (7)
где N (1) - общее число людей, живущих в момент времени 1, которое, в свою очередь, отсчитывается от Рождества Христова. При этом С = 179, а Т = 2027. В свою очередь, Хорнер [Ноегпег, 1975] предлагает другие величины для параметров, входящих в (7): С = 200, Т = 2025. Обе оценки очень неплохо согласовывались с общими демографическими данными, полученными разными способами, однако после 2000 г. появляются расхождения. Например, по Форстеру N (2002) ~ 7,2 х 109 человек, а по Хорнеру N (2002) ~ 8,7 х 109. Вместе с тем, по официальным данным, количество народонаселения на Земле в 2002 г. только перевалило за 6 млрд и составило N (2002) ~ 6,2 х 109 человек. Это означает необходимость модификации (7).
Однако мы можем использовать (7) для вычисления среднего числа когда-либо живших на Земле людей. Для этого необходимо проинтегрировать N (1) от некоторого начального момента X 1 до, скажем, 2000 г. и разделить на среднюю продолжительность жизни т. Оценки для т варьируются от т = 22 года (в прошлом) до т = 42 года в наше время. Подчеркнем, что физический (или демографический) смысл величины т таков: это среднее время смены поколений, и его можно лишь условно считать средним временем жизни. Реальное время жизни человека немного (а в развитых странах - намного) больше этого числа. Тем не менее в качестве первого приближения будем использовать эти оценки.
Полагая т = 42 года, X 1 = - 104 лет и интегрируя (7), получаем N^1 = 26 х 109 человек для модели Форстера и = 29 х 109 для модели Хорнера. Выбор т = 22 года фактически удваивает эти величины. Если же выбрать X 1 = 10-5 лет от Р.Х., то число когда-либо живших людей оценится в 35 млрд человек при т = 42 года или 70 млрд при т = 22. Оценка Хорнера дает несколько большее значение. Мы не будем анализировать эти, в общем, не тривиальные проблемы, а остановимся на оценке в 60 млрд человек: N3 = 6 х 107.
Значительно сложнее обстоит дело с величиной N1,. Ситуация здесь следующая: очевидно (7) не работает при приближении к X = Т, а значит, эта формула должна быть модифицирована. Приближение к особой точке приводит к так называемому демографическому переходу, феноменологи-
55
ческую теорию которого развивает Капица [Капица, 1996]. Отсылая заинтересованного читателя к этому обзору за подробностями, мы ограничимся выводами (не бесспорными, но это все, что у нас пока есть). Согласно Капице, точка демографического перехода отвечает 2007 г. После этого от двух от пяти десятилетий режим роста будет выходить на стационарную кривую, отвечающую максимальной численности N„0 в 15 млрд человек, причем режим будет уже устойчивым и неизменным. Эту картину и примем для оценки
Прежде всего положим в (1) р8 = рь и запишем N = N5 (1 + х). Величина х определяется из простого уравнения
Смысл этого соотношения прост: в установившемся режиме с постоянным числом живущих людей N„0 общее количество живших за время t равно произведению N0, на количество поколений, сменившихся за это время. Выражая х из (8) и подставляя в (1), получаем
где мы ввели обозначение р (т; вместо р (8|Ы). Для величины т сохраним значение в 42 года. Численные результаты выглядят следующим образом: при К„, = 15 х 109 человек вероятность «конца света» р (1) = р (42; ^ 15 х 109) составляет р (20) = 0,52, р (100) = 0,62, р (200) = 0,69, р (1344) = 0,9. Время измеряется в годах. Другими словами, шансы неблагоприятного развития событий в ближайшие 40-70 лет составляют 52%, а в ближайшие 1400 лет -90% (мы учли, что стационарный режим наступит через 20-50 лет). Если принять N0, = 50х109, то оценки изменятся: р (20) = 0,58, р (100) = 0,74, р (200) = 0,83, р (403) = 0,9. То есть при таком раскладе у нас мало шансов просуществовать еще 500 лет!
В приведенных оценках существенно использовалось предположение ря= рь
Однако верно ли оно? И можем ли мы как-то оценить эти числа при нынешнем развитии науки об обществе? Поразительно, но оказывается, это можно сделать, опять-таки используя космологию!
В своей работе Кен Олум [01ит, 2004] показал, что непосредственное применение антропного принципа (АП) может приводить к некоторым загадочным последствиям. Суть предположений, лежащих в основе АП, заключается в следующем: мы являемся заурядными обитателями заурядного хаббловского объема. Другими словами, таких, как мы, в Мультивер-се - большинство. Именно поэтому мы находим себя в данной цивилизации, в данной галактике: коль скоро «таких, как мы» большинство, то и вероятнее всего найти себя именно в такой цивилизации, обитающей око-
х х 60 х 10-
(8)
7
(0)
56
ло такой звезды, как Солнце, вращающейся вокруг центра гигантской спиральной галактики. Например, почему мы не нашли себя на планете, обращающейся вокруг одной из звезд, одной из карликовых галактик? Ведь карликовых галактик больше, чем гигантских? Ответ таков: большая часть звезд сконцентрирована именно в гигантских галактиках, а значит, шансы найти себя на подходящей планете выше именно в такой галактике.
Другим интересным примером является упомянутый выше демографический переход. Почему мы нашли себя именно в это экстраординарное время? Оказывается, ответ примерно такой же, как и со звездами в карликовых галактиках. Дело в том, что хотя демографический переход происходит практически мгновенно, в масштабах развития человечества, но его переживает примерно 10% от всех живущих! Действительно, нынешняя численность населения составляет более 6 млрд, тогда как за несколько тысяч прошедших лет набирается около 60 млрд. Другими словами, такой плотности населения, как сейчас, еще никогда не было; никогда еще такое количество людей не жили на Земле одновременно, поэтому шансы найти себя именно сейчас весьма велики.
Но у всего есть и обратная сторона. Поскольку в Мультиверсе реализуется все, что может реализоваться, то наверняка существуют хабблов-ские объемы, в которых человечество заселило нашу Галактику, а может, и наблюдаемый космос. Может показаться, что таких областей будет очень мало, поскольку заселение космоса представляет утопически сложную задачу. Но это совсем не так! Как подробно описал Фрэнк Типлер [Т1р1ег, 1994], используя технологии, ЛИШЬ НЕМНОГО превосходящие те, которыми мы сейчас обладаем, человечество может колонизировать галактику примерно за 600 тыс. лет! Для этого необходимо использовать саморазмножающиеся зонды фон Неймана, создание которых станет реальным благодаря прогрессу в нанотехнологии. Предварительные прикидки показывают, что такой зонд будет стоить около 4 млн долл., причем большая часть стоимости уйдет на создание антиводорода (его необходимо 3,6 миллиграмма, при наличии 1,6 кг жидкого водорода). Полезная нагрузка составит 100 г, а развиваемая скорость будет составлять 10% от скорости света. Такой зонд мог бы быть запущен прямо сейчас, если бы у нас были необходимые компьютерные технологии, компьютеры атомных размеров и молекулярные универсальные конструкторы (типа автомата фон Неймана, состоящего всего из 29 элементов!). Такие технологии, вероятно, будут доступны нам до 2030 г. и уж никак не позже 2050 г.
Вообще, трудности, которые обычно имеют в виду, когда говорят о межзвездных путешествиях, фактически исчезают, если мы не собираемся запускать в космос людей. Межзвездный зонд, использующий не экзотическое антивещество, а обычный солнечный парус (правда, необходимы линза Френеля с 1 млрд км в диаметре и лазер мощностью 250 мегаватт) будет стоить (вместе с линзой, состоящей из тонкой петли на орбите вокруг Солнца, и лазером) примерно 260 млрд долл., т.е. в пять раз дороже
57
лунной программы Apollo и В ДВА РАЗА ДЕШЕВЛЕ суммы, которую американцы намереваются потратить на полет к Марсу! Зонд массой 100 г способен нести информацию до 1024 бит, т.е. эквивалентную населению города, если учесть, что для симуляции человеческого разума и его окружения достаточно 1024 бит. Кроме того, зонд в принципе может синтезировать оплодотворенные яйцеклетки любого вида, в том числе - человека (именно на реализацию таких возможностей в перспективе нацелен проект Геном Человека).
Все сказанное имеет одну цель: показать, что процесс колонизации людьми галактики может начаться уже в этом столетии и, вероятно, в первой его половине. Неясно, надо ли это делать (Типлер доказывает, что надо и даже - необходимо), но это возможно. Это уже не фантастика. Если стоимость материалов будет падать относительно доходов, как последние 150 лет, то зонд стоимостью 260 млрд долл. будет эквивалентен для людей будущего (живущих через 400 лет) зонду стоимостью 80 млн сегодня. Другими словами, запуск таких зондов будет вполне доступен даже частным лицам, обладающим соответствующими средствами. Что уж говорить о зондах, использующих антиводород и стоящих всего 4 млн (тут не требуется ни мегаваттного лазера, ни огромной линзы Френеля)!
Таким образом, возможность заселения Галактики - совершенно реальна и может начаться в ближайшие 50 лет. Поэтому не видно оснований, почему многие обитатели других хаббловских объемом это не сделали. В Галактике 1011 звезд. Предположим, следуя Олуму, что лишь 1% этих звезд имеет планеты, пригодные для колонизации. Тогда общее число людей, живущих в такой «Галактической империи», составит по крайней мере nL= 6 х 1018 человек, т.е. в миллиард раз больше, чем нынешнее население Земли nS= 6 х 109 человек. Пусть лишь 10% всех цивилизаций становятся на такой путь развития. Даже в этом случае подавляющее число людей в Мультиверсе должно жить в таких «Галактических империях», подобно тому, как большинство звезд находится в гигантских галактиках, несмотря на то что карликовых галактик - больше. Почему же мы не находимся в такой империи? Это и есть парадокс Кен Олума, который необходимо разрешить.
Очевидно, не все так просто с освоением галактик людьми, и это означает, что вероятность таких «Галактических империй» весьма мала. Легко понять, что эта вероятность не может превышать 10-8, иначе мы бы уже были в одной из таких империй1. Другие возможности (например, заселение других галактик или построение Сферы Дайсона) приводят к еще более катастрофическим результатам. Таким образом, существуют какие-то
1 Вероятно, некоторые читатели упрекнут автора в излишней привязанности к сюжетам типа «Звездных войн». Но читатель должен помнить, что в Мультиверсе реализуются ВСЕ возможности, а значит, где-то ДЕЙСТВИТЕЛЬНО есть «Галактические империи», если их существование разрешено законами физики.
58
причины, которые настолько серьезны, что с вероятностью 1 к миллиарду не позволяют человечеству заселить Галактику, а еще точнее, достичь численности nL = 6 х 1018. Это неплохо увязывается с Аргументом Doomsday, который является темой данной работы (Кен Олум не использовал Аргумент Doomsday для объяснения своего парадокса, поскольку считал, что этот аргумент неверен. Но мы уже показали, что он ошибся). Для нас интересно, что, используя результат Олума, можно попробовать оценить вероятности pS и pL.
В простейшем случае можно рассуждать так: пусть в Мультиверсе имеется v цивилизаций нашего типа, т.е. в которых сейчас проживает n S = 6 х 109 человек, и ц человеческих же цивилизаций, в которых сейчас проживает nL человек, причем nL > nS. Мы должны с подавляющей вероятностью найти себя там, где находимся (антропный принцип), а это означает, что должно с «хорошим запасом» выполняться неравенство:
V ря П. _,
- = ^ > (10) ц pL ns
Что значит с хорошим запасом? Это означает, что левая часть неравенства (10) должна по крайней мере на порядок превосходить правую. Теперь допустим, что nL= 3 nS, что должно произойти в течение ближайших 30 лет. Используя (1), находим:
=-1-,sr- =-^-= 2 = 0,974
1 к 1 ' 1 I "я Ns 1 J__-Ил_ 77
^ 30(JVs+3ns)
где мы считали NS ~ 60 х 109 человек. Таким образом, при справедливости сделанных приближений вероятность Doomsday в течение ближайших 30 лет практически равна единице! Мы приняли отношение nL к nS за 3, потому что, согласно Капице, предельное значение численности народонаселения, к которому мы должны перейти, миновав демографический переход, составляет как раз 15 млрд (мы взяли 18, но это не меняет сути дела). Таким образом, космология предсказывает «конец света» в течение ближайших десятилетий! Подчеркнем, что для получения количественных (хотя и очень грубых) оценок нам понадобилось два свойства Мультиверса: (i) то, что в нем вообще действует Аргумент Doomsday, т.е. верна формула (1), и (ii) то, что в Мультиверсе можно использовать ан-тропный принцип, т.е. постулат о том, что мы вместе со своим окружением являемся типичными (т.е. наиболее распространенными) наблюдателями.
59
5. Заключение
Резюмируя, можно заключить, что концепция Мультиверса вместе с антропным принципом приводит к следующей картине: каждый человек с максимальной вероятностью находит себя вблизи максимального количества людей. При этом существенным является, если так можно сказать, «личностный характер» этого утверждения.
Аргумент Судного дня верен, но верен для каждого наблюдателя в отдельности. Другими словами, в космическом Мультиверсе каждый человек так же одинок, как и в Мультиверсе Эверетта. В каждый момент своего времени он должен считать себя выделенным1.
Из сказанного вытекает вполне практическое следствие: в Мульти-версе следует применять способ подсчета частот, отличный от способа, использованного Олумом в [01ит, 2002]. Этот способ, однако, показывает, что нас ждет (каждого в отдельности) Судный день и будет он весьма скоро. Приведенные численные оценки, конечно, не следует воспринимать слишком серьезно, однако даже эти весьма грубые прикидки показывают, что речь идет о десятках лет. Вряд ли более утонченный расчет, основанный, скажем, на решении стохастического уравнения, описывающего наши «случайные блуждания по хаббловским объемам», изменит эти результаты на порядки, так что будущее нас ждет непростое. Кто-нибудь еще хочет сказать, что космология не практичная наука?
Список литературы
Капица С.П. Общая теория роста человечества. - М.: Наука, 1999. - 136 с.
Капица С.П. Феноменологическая теория роста населения Земли // Успехи физических наук. - М., 1996. - Т. 166, № 1. - С. 63-79.
Aguirre A. On making predictions in a multiverse: conundrums, dangers, and coincidences. -2005. - Mode of access: http://arxiv.org/abs/astro-ph/0506519 (Дата обращения: 11.11.14.)
Carter В. The anthropic principle and its implications for biological evolution // Philosophical transactions of the Royal Society of London. - L., 1983. - Vol. 310, N 1512. - P. 347-363.
Foerster H. von, Mora P.M., Amiot L. W. Doomsday: Friday, 13 November, A.D. // Science. - L., 1960. - Vol. 132. - P. 1291-1295.
Garriga J., Vilenkin A. Many worlds in one // Physical review D. - Lancaster, 2001. - Vol. 64, N 4. -С. 043511.
Gott J.R.. Implications of the copernican principle for our future prospects // Nature. - L., 1993. -Vol. 363. - P. 315-319.
Hoerner S.J. von. Population explosion and interstellar expansion // Journal of the British interplanetary society. - Wallasey, Cheshire, 1975. - Vol. 28. - P. 691-712.
1 Некоторые наверняка предпочтут сказать - «избранным», но это будет логическая ошибка. Во-первых, «кем избранный»?. Во-вторых, получается, что каждый «избран», что противоречит сути слова «избранный». Хотя это не более чем выбор термина. Авторам могут сказать, что также нелепо употреблять термин «выделенный».
60
Leslie J. Risking the world's end // Interchange. - Dordrecht, 1990. - Vol. 21, N 1. - P. 49-58.
Leslie J. The end of the world: the science and ethics of human extinction. - L.; N.Y.: Routledge, 1996. - vii, 310 p.
Nielsen H.B. Random dynamics and relations between the number of fermion generations and the fine structure constants // Acta Physica Polonica. B. - Cracow, 1989. - Vol. 20. - P. 427^-68
Olum K.D. Conflict between anthropic reasoning and observation // Analysis. - Oxford, 2004. -Vol. 64, N 1. - P. 1-8.
Olum K.D. The doomsday argument and the number of possible observers // The Philosophical Quarterly. - Oxford, 2002. - Vol. 52, N 207. - P. 164-184.
Page D.N. The lifetime of the universe. - 2005. - Mode of access: http://arxiv.org/abs/hep-th/0510003 (Дата обращения: 11.11.14.)
Stoeger W.R. Retroduction, multiverse hypotheses and their testability: a talk given at the symposium «Multiverse and String Theory: Toward Ultimate Explanations in Cosmology», 1921 March 2005, Stanford Univ. - (Архив автора.)
Tegmark M. Parallel universes // Scientific American. - N.Y., 2003. - May. - P. 41-51.
TiplerF.J. Genesis: how the universe begun according to standard model particle physics. - 2001. -Mode of access: http://arxiv.org/abs/astro-ph/0111520 (Дата обращения: 11.11.14.)
Tipler F.J. The physics of immortality: modern cosmology, God, and the resurrection of the dead. -N.Y.: Doubleday, 1994. - xxi, 527 p.
Vilenkin A. Cosmological constant problems and their solutions: talks given at «The dark Universe» (Space Telescope Institute) and PASC0S-2001 in April 2001. - [S.l., 2001].
Weinberg S. Living in the multiverse: opening talk at the symposium «Expectations of a final theory» 2 September 2005, Trinity College, Cambridge. - (Архив автора.)
61
