CC BY
32Функцию f (z, t) логично определить как гидростатическое давление,
которое действует в жидкости помимо динамического, и которое зависит лишь от уровня подъёма жидкости, т.е. от координаты z (и неявным образом от t).
Заключение
Описанный в работе метод является лишь первым приближением к решению системы уравнений (1)-(3). Главная трудность состоит в том, что в эту систему входят дифференциальные уравнения разных порядков, а уравнение (3) является к тому же нелинейным. В дальнейшем будут рассмотрены методы аппроксимации, обеспечивающие большую точность данных уравнений, и методы решения, подходящие к системе дифференциальных уравнений в частных производных разного порядка.
Список литературы
[1] Sorokina N. A mathematical model of the viscous liquid mixture motion through a vertical cylindrical pipe // Mathematical modeling - Year 1, issue 4, 2017 -P.178-179
[2] Vallander, S.V. Lectures on fluid dynamics. - L.: Izd-vo Leningr. un-ta, 1973, 296 p. (in Russian)
[3] Guseinzade M.A., Ufin V.A. The nonstationary motion of oli and gas in the main pipelines. - M.: Nedra, 1981 [in Russian]
УДК 517.977.55
Богданов Сергей Сергеевич,
д-р.техн. наук, профессор, Генеральный директор «АО «Завод КРИЗО», Козлов Владимир Николаевич\ д-р техн. наук, профессор, Пономарев Алексей Геннадьевич2, канд. техн.. наук, доцент, Халиуллин Юрий Михайлович, д-р техн. наук, профессор, председательСовета директоров «АО «Завод КРИЗО
КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ И ДИСПЕРСИОННЫЙ ЛОГИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ АВАРИЙНЫХ СОСТОЯНИЙ
ОБЪЕКТОВ
Россия, г. Санкт-Петербург,
Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого,
1 2
v1945kozlov@yandex.ru, alexey.g.ponomarev@gmail.com
Аннотация. В статье предложен метод решения задач идентификации аварийных и предаварийных состояний технологических объектов и систем по наблюдению координат состояния на основе показаний первичных датчиков на основе кор-
реляционно-дисперсионных селективных алгоритмов.
Ключевые слова: технологические объекты, системы наблюдения, идентификация предаварийных состояний
Sergey S. Bogdanov,
D-r of Technical. Sc., Professor, General Director of JSC "Plant KRIZO" Vladimir N. Kozlov1, D-r of Technical. Sc., Professor, Aleksey G. Ponomaryov , Assistant professor, c.t.s., Yuri M. Khaliullin, D-r of Technical. Sc., Professor, Chairman of the Board of Directors of JSC "Plant KRIZO"
CORRELATION AND DISPERSION LOGICAL METHODS OF IDENTIFICATION OF EMERGENCY STATES OF OBJECTS
Russia, St.Petersburg,
Peter the Great Saint-Petersburg Polytechnic University, 1 2
v1945kozlov@yandex.ru, alexey.g.ponomarev@gmail.com
Abstract. The article proposes a method for solving problems of identifying emergency and pre-emergency states of technological objects and systems for observing state coordinates based on indications of primary sensors based on correlation-dispersive selective algorithms.
Keywords: technological objects, surveillance systems, identification of pre-emergency conditions.
1. Постановка задачи
Рассматривается задача идентификации аварийных и предаварийных режимов технологических объектов в следующей постановке:
1. Состояние технологического объекта характеризуется наблюдаемыми значениями сигналов, поступающих от датчиков состояния (фиксирующих, например, температуру, уровень задымленности, интенсивность инфракрасного излучения и т.п.)
xi = xt (t), i = 1,..., n. (1. а)
2. Предполагается, что наблюдение за состоянием объекта производится в дискретном времени: tе N. Таким образом, вектор значений сигналов
X(t) = (X1(t) ... xn(t)} e Rn,
(1,6)
является вектором контролируемых координат состояния объекта.
3. Аварийные режимы характеризуются превышением контролируемыми координатами заданных предельных значений:
x(t) > x . (2)
-^V*/ max* V /
Предаварийные режимы соответствуют приближению состояния объекта к аварийному режиму, и, соответственно, приближению контролируемых координат к предельно допустимым порогам.
Задача идентификации особых режимов состоит в формировании критериев, позволяющих:
а) идентификация появления или исчезновение аварийного режима технических объектов;
б) сигнализация о предаварийном состоянии системы, т.е. о приближении системы к аварийному режиму (упреждающая сигнализация)
В данной статье для решения поставленной задачи предлагается семейство корреляционно-логических и дисперсионно-логических алгоритмов формирования сигналов на основе адекватных критериев состояний контролируемых объектов.
Применение оценок состояний, доставляемых корреляционно-логическим методе идентификации основано на следующих предположениях. Предаварийное состояние объекта характеризуется приближением нескольких контролируемых координат состояния к предельно допустимым значениям, или, в более общем случае, одновременным устойчивым увеличением этих значений. В частности, при возникновении пожароопасной ситуации можно ожидать адекватных статистически-устойчивых изменений значений сигналов датчиков температуры и задымления.
При этом может потребоваться идентификация не только одновременного увеличения значений, но и приближения сигналов к предельным значениям с запаздыванием по отношению друг к другу. В этом случае во внимание принимается временная задержка
s e {0, 1, ... , smax} e R,
где smax - максимальная величина запаздывания, при которой требуется идентифи-кация предаварийного режима контролируемых систем.
2. Методика математического моделирования
Оценки взаимных парных корреляционно-логических функций и совокупности парных взаимных дисперсионно-логических функций исследованы методами математического моделирования. Далее для идентификации использованы парные взаимные корреляционные функции и взаимные дисперсии, определяемые на основе выборочных статистических числовых характеристик. Эти характеристики парных физических процессов для дискретного времени в помещениях контролируемого объекта определяются соответствующей информацией:
- начальными выборочными первыми моментами случайных величин;
- вторыми центральными и взаимными корреляционными моментами дискретных случайных величин;
- взаимными выборочными дисперсионными моментами дискретных случайных величин.
Как известно, эти функции позволяют определить степень «близости свойств или связи (корреляции) свойств» случайных сигналов или во времени с учетом сдвига для корреляционных моментов или без учета для взаимных дисперсий.
Выборочная взаимная корреляционная функция для пары процессов х1 и у, при временном сдвиге * на периоде Т вычисляется на
основе следующего соотношения
Т-1 _ _
к^ (*) = Т- I [х(к) - X ]х [У, (к - *) - У } (3),
к=0
где Х1, У, - соответствующие выборочные математические ожидания
процессов как их первые выборочные начальные моменты.
Выборочная взаимная дисперсия для пары процессов х1 и у,
соответствует значению временного сдвига * = 0 и вычисляется на основе соотношения
Т-1 _ _
к,у,( 0)=Т(к)-X ]х [ у , (к)-У ]> (3)
к=0
Однако, применение данного критерия непосредственно к наблюдаемым значениям сигналов для идентификации предаварийных состояний приводит к трудностям (возникновению ложных срабатываний), поскольку такой критерий будет одинаково чувствительным и к одновременному возрастанию, и к одновременному убыванию сигналов. В связи с этим, предлагается использование корреляционно-логических и дисперсионно-логических функций, вычисляемых только на множествах,
соответствующих одновременному положительному приращению контролируемых координат. Последнее соответствует условию одновременного опасного положительного (или отрицательного) роста амплитуд двух опасных процессов. Это достигается логической обработкой наблюдаемых сигналов. Тогда при вычислении корреляционных и дисперсионных моментов значения выборочных наблюдений, соответствующие одновременным отрица-тельным приращениям сигналов, полагаются равными нулю.
Кроме того, величины корреляционных и дисперсионных моментов, вычисленные таким образом, будут тем больше, чем больше абсолютные значения в выборках. В связи с этим целесообразно использование нормализованных корреляционных функций и взаимных дисперсий, значения которых принадлежат отрезку [-1; +1], причем значения, равные единице, соответствует максимально возможной корреляции сигналов.
Выборочные корреляционно-логические функции нормализованного типа для дискретного времени к е Я для пары наблюдаемых процессов
* ® {*к }к=0, к е Я, у ® {Л }к=0, к е Я,
формировались на основе совокупности дискретных выборок указанных парных процессов. В результате формируются выборочные корреляционные функции, зависящие от параметра временного сдвига з е □ .
Нормированные оценки корреляционных функций, формируемые на интервале наблюдений к е [О, Т] с Я вычисляются в соответствии с классическим равенством
КЧ (з) = Кху (з)/К (О) Куу (О), (5)
где Т е Я - длина дискретного интервала наблюдений (выборки).
Дисперсионно-логический метод использует совокупность выборочных дисперсионных моментов (дисперсий) дискретных случайных процессов. При этом метод реализует заданную логику наблюдений за характеров изменения парных процессов. При этом совокупность нормированных выборочных дисперсий вычисляется на основе равенств, аналогичных с (5) так,
К = Ку (О)/ VКХХ (О) Куу (О). (6).
Для идентификации аварийных и предаварийных режимов предлагается использовать вычисленные на «селективных» множествах значе-
ния нормализованной корреляционной функции сигналов, при временном сдвиге *, лежащем в заданном диапазоне, или нормализованной взаимной дисперсии, с последующим сравнением найденных значений корреляционной функции с заданными значениями (эти значения определяют характер формируемого алгоритмом сигнала, например, 0 - нормальный режим, 0.5 - предаварийный режим, 0.8 - аварийный режим).
Предварительная обработка сигналов. Для корректной работы предложенных алгоритмов требуется дополнительная предварительная обработка значений, полученных от датчиков состояния системы.
а) Нормировка данных для обработки показаний датчиков, имеющих разные интервалы измерения. Значения каждого сигнала х1 (г) с помощью линейного или кусочно-линейного преобразования приводятся к диапазону [0;1] или [-1;1] . Например, в простейшем случае, если известно, что допустимые значения сигнала лежат в диапазоне [0; хтах ] нормировка производится согласно формуле
х (г) =
потш V /
х(гVхтах' х(г) £ хтах; (у)
1 х(г) > хтах-
б) Фильтрация сигнала для устранения случайных помех. Результаты вычислительных экспериментов показывают, что селективные корреляционные и дисперсионные критерии чувствительны к наличию высокочастотных случайных составляющих, вызванных особенностями работы датчиков состояния системы (попадание частиц пыли в датчик дыма и т.п.). В связи с этим может оказаться целесообразной предварительная фильтрация значений для устранения этих помех и выделения основной составляющей (тенденции), характеризующей изменение состояния системы. В частности, такая фильтрация может быть осуществлена с применением метода скользящего среднего.
3. Оценки качества корреляционно-логического и дисперсионно-логического методов и алгоритмов
Как показано выше, для оценки степени опасности состояний контролируемых объектов предложены два подхода, использующие корреляционно-логический или дисперсионно-логический методы обработки первичной информации основанные на измерении заданной совокупности парных данных для выборочных измерений показания цифровых датчиков.
Выполнена серия вычислительных экспериментов для предварительной оценки качества алгоритмов дисперсионно-корреляционного
метода для системы пожарной сигнализации по показаниям датчиков температуры и дыма.
Выборка дискретных сигналов датчиков (ДСД) для двух координат, соответствующим измеренным значениям температуры и дыма
X, и yk, k е [0, T] с R. (8)
Выполнены на основе периодических измерений с периодом h значений ДСД, которые равны суммам
Xk = X¡ +Dxk, yt = y"t +Dy[. (9)
Периодические низкочастотные сигналы x^, y^ имеют вид xHk = ах sin(Wxkh), y¡ = üy sin (wykh), (10)
и периодические высокочастотные помехи удовлетворяют условиям
Ьх[ = üdx sin(wkh), Ay¡ = аКу sin(wykh), w >>w, Wy >>W, (11) т.е. имеют меньшую амплитуду по сравнению с основным сигналом
аДх << ах' аЬ/ << аy' (12)
и более высокую частоту (меньший период).
Требуется исследовать влияние помехи на качество алгоритма вычисления достоверных оценок:
- выборочной взаимной корреляционной функции,
- совокупности выборочных взаимных дисперсий.
Для вычисления выборочных взаимных корреляционно-логических функций и взаимных дисперсионно-логических функций выполнено разделение аргумента сигналов на участки, для которых сигнал возрастает или убывает. Фиксировалась совокупность дискретных значений сигналов в моменты времени
tk е [0, T] с R, k е R,
где параметр Т определяет длину интервала усреднения для получения:
- оценок выборочных взаимных корреляционных функции или
- совокупности выборочных взаимных дисперсий двух сигналов. При этом наблюдаемые значения сигналов для дискретного времени, изменяющегося в заданном интервале, значения функций со сдвигом на значения от 0 до s фиксировались для дальнейшей обработки с целью получения корреляционно-логических функций, которые регистрировались в счетчиках.
Для хранения каждого сигнала организованы два отдельных массива. Первый массив содержит сигналы с положительными первыми разностями, т.е. для таких сигналов имеются положительные приращения. Второй массив содержит сигналы с отрицательными первыми разностями, т.е. сигналы, убывающие в моменты выборки на интервале.
Если сигнал в текущий момент убывает, то соответствующее ему значение в счетчике неубывающих значений полагается равным нулю. Аналогично организована работа для счетчика убывающих значений (возрастающим участкам соответствуют значения равные нулю).
Все вычислительные эксперименты выполнены при нормализации сигналов, обеспечивающих их принадлежность интервалу [0,1]. В процессе эксперимента были вычислены селективные корреляционные функции для процессов х(к) и у(к), соответствующие участкам одновременного возрастания и одновременного убывания этих сигналов.
Эксперименты выполнены при следующих исходных данных. В качестве входных сигналов х(г), у(г) принимались синфазные медленно меняющиеся гармонические сигналы заданной частоты с быстро меняющейся аддитивной гармонической помехи с амплитудой ах = КАах, аАу = КАау, и частотой, равной
(О^ = Кююх, (0Ау = Кта>у, где КА, Кю- коэффициенты амплитуды и
частоты помехи по отношению к базовому сигналу. В результате исследования определены графики значений Оху для участков совместного
возрастания и совместного убывания сигналов. Взаимные дисперсии вычислены с помощью дисперсионно-логической функции. Эксперименты выполнены в условиях:
а). При отсутствии предварительной фильтрации сигналов ширина окна для вычисления скользящего среднего равна единице.
б). При наличии предварительной фильтрации входных сигналов ширина окна принадлежит интервалу [4; 6]).
5. Результаты вычислительных экспериментов. Для оценки эффективности методик анализа опасных состояний объекта контроля проведен ряд экспериментов.
Эксперимент № 1. Исходные данные эксперимента: параметры равны:
Ка = 0,15, К0,= 8.
Цифровая фильтрация отсутствует, процессы представлены на
рис.1.
Рис. 1. Модельные входные и выходные Рис. 2. Модельные входные и выходные сигналы эксперимента № 1 сигналы эксперимента № 2
Вывод: процессы при отсутствии фильтрации имеют типовой нерегулярный характер, соответствующий ранее полученным результатам. При этом из характера процессов формирования дискретных выходных координат ЦСПС следует, что для частичной регуляризации процессов требуется соответствующая фильтрация.
Эксперимент № 2. Исходные данные эксперимента:
КА = О,15, Ка = 8.
Фильтрация включена с шириной окна фильтрации N = 4.
Вывод: наблюдается типовой характер квазирегулярных процессов формирования выходных координат, нарушающийся при изменении переходных условий, что иллюстрирует сильное влияние помех на рассматриваемые процессы.
Эксперименты № 3 и 4 позволяют сделать вывод о том, что также имеет место устойчивое формирование основной части процесса формирования при сильном влиянии аддитивной помехи выходных координат. При этом для выходных сигналов типа «Пожар» характерны «одноколе-бательными» составляющие в конце интервалов оценивания процессов взаимной корреляции и дисперсии.
Таким образом, предлагаемые методы идентификации пожаро-
опасных состояний технических объектов на основе обработки избыточных данных дополняют известные методы идентификации критических ситуаций.
Список литературы
1. Кравченко В.Ф., Чуриков Д.В. Цифровая обработка сигналов с атомарными функциями и вейвлетами. ТЕХНОСФЕРА, 2018.- 182 с.
2. Богданов С.С., Козлов В.Н., Халиуллин Ю.М. Корреляционно-логический метод идентификации пожароопасных состояний технических объектов. Изд-во Политехн. ун-та. СПб.: 2018.- 110 с.
УДК 517.9
Фирсов Андрей Николаевич,
д-р техн. наук., профессор
АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ ТИПА КОЛМОГОРОВА-ФЕЛЛЕРА С НЕЛИНЕЙНЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ СНОСА
Россия, Санкт Петербург, Санкт-Петербургский политехнический
университет Петра Великого, anfirs@yandex.ru
Аннотация: Работа посвящена построению аналитических алгоритмов решения стохастических интегро-дифференциальных уравнений типа Колмогорова-Феллера, которые встречаются в задачах теории управления, теории связи, звёздной динамике и т.п.
Ключевые слова: уравнение Колмогорова-Феллера, нелинейный коэффициент сноса, аналитические алгоритмы решения
Andrei N. Firsov, Dr.Tech.Sci., professor
ANALYTIC SOLUTION OF A NONSTATIONARY EQUATION OF KOLMOGOROV-FELLER TYPE WITH A NONLINEAR DRIFT
COEFFICIENT
Russia, Saint Petersburg, Peter the Great Polytechnic University,
anfirs@yandex.ru
Abstract. The paper is devoted to the construction of analytical algorithms for solving stochastic integro-differential equations of Kolmogorov-Feller type. Such equations are encountered in problems of control theory, communication theory, stellar dynamics, and so on.
