CC BY
6
ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ВЕЩЕСТВА
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Физика. 2023. Т. 23, вып. 2. С. 167-178
Izvestiya of Saratov University. Physics, 2023, vol. 23, iss. 2, pp. 167-178
https://fizika.sgu.ru https://doi.org/10.18500/1817-3020-2023-23-2-167-178, EDN: GTHXWI
Научная статья УДК 537.8
Корреляционные соотношения для графена и его тепловое излучение
М. В. Давидович1 н, О. Е. Глухова12
1 Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского, Россия, 410012, г. Саратов, ул. Астраханская, д. 83
2 Первый Московский государственный медицинский университет им. И. М. Сеченова, Россия, 119991, г. Москва, ул. Трубецкая, д. 8, стр. 2
Давидович Михаил Владимирович, доктор физико-математических наук, профессор кафедры радиотехники и электродинамики, davidovichmv@info.sgu.ru, https://orcid.org/0000-0001-8706-8523 Глухова Ольга Евгеньевна, доктор физико-математических наук, профессор, 1 заведующий кафедрой радиотехники и электродинамики;2ведущий научный сотрудник Института бионических технологий и инжиниринга, glukhovaoe@info.sgu.ru, https://orcid.org/0000-0002-5670-2058
Аннотация. Рассмотрено тепловое излучение листа графена, а также поглощаемая указанным листом мощность на единицу поверхности в термодинамическом равновесии с вакуумным излучением. Из сравнения этих величин установлены корреляционные соотношения для флуктуаций поверхностной плотности тока в графене и в аналогичном ему 2D проводящем листе, описываемым поверхностной проводимостью. Указанные соотношения следует использовать в теории дисперсионного взаимодействия структур с графеном, используя метод Рытова-Левина и Лифшица введения флуктуационных источников в уравнения Максвелла. Также рассмотрен радиационный теплообмен листов графена при разных температурах.
Ключевые слова: графен, корреляции, силы Казимира-Лифшица, тепловое излучение Благодарности: Работа выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки России в рамках выполнения государственного задания (проект № FSRR-2023-0008).
Для цитирования: Давидович М. В., Глухова О. Е. Корреляционные соотношения для графена и его тепловое излучение // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Физика. 2023. Т. 23, вып. 2. С. 167-178. https://doi.org/10.18500/1817-3020-2023-23-2-167-178, EDN: GTHXWI
Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0)
Article
Correlation relations for graphene and its thermal radiation M. V. Davidovic1 H, O. E. Glukhova12
1 Saratov State University, 83 Astrakhanskaya St., Saratov 410012, Russia 21. M. Sechenov First Moscow State Medical University, Institute for Bionic Technologies and Engineering, 8-2 Trubetskaya St., Moscow 119991, Russia
Mikhail V. Davidovich, davidovichmv@info.sgu.ru, https://orcid.org/0000-0001-8706-8523 Olga E. Glukhova, glukhovaoe@info.sgu.ru, https://orcid.org/0000-0002-5670-2058
Abstract. Background and Objectives: The thermal radiation of a graphene sheet is considered, as well as the power absorbed by the specified sheet per unit surface in the thermodynamic equilibrium with vacuum radiation. From the comparison of these values, correlation relations are
НАУЧНЫЙ ОТДЕЛ
established for fluctuations in the surface current density in graphene and in a 2D conductive sheet similar to it, described by surface conductivity. These relations should be used in the theory of dispersion interaction of structures with graphene, using the Rytov-Levin and Lifshitz method of introducing fluctuation sources into Maxwell's equations. Model and Methods: We consider the equilibrium of a graphene sheet with a Planck thermal field from the principle of detailed equilibrium. From this we get correlation relations. With their use, we obtain the density of thermal radiation. Results: The thermal radiation densities of a graphene sheet at different temperatures have been obtained, as well as the specific heat transfer between two graphene sheets at different temperatures. Conclusion: The obtained correlations may be used for calculations of dispersion forces.
Keywords: graphene, correlations, Casimir—Lifshitz forces, thermal radiation
Acknowledgements: This work was supported by the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation within the framework of a state assignment (project No. FSRR-2023-0008).
For citation: Davidovic M. V., Glukhova O. E. Correlation relations for graphene and its thermal radiation. Izvestiya of Saratov University. Physics,
2023, vol. 23, iss. 2, pp. 167-178 (in Russian). https://doi.org/10.18500/1817-3020-2023-23-2-167-178, EDN: GTHXWI
This is an open access article distributed under the terms of Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC0-BY 4.0)
Введение
Рассмотрим бесконечный лист графена в вакууме при температуре Т в термодинамическом равновесии с плотностью равновесного излучения [1]
ю2
u (ю, T) = — © (ю, T)
ПС3
ю2 ( h ю
— +
h ю
(1)
ПС3 V 2 exp (hю/ksT) - 1
Лю3 { hю \
=-3 coth ( —-— .
2пс3 \2ksT J
В ней учтены вакуумные виртуальные фотоны с «нулевой» энергией Лю/2 и тепловые фотоны. Тепло переносится тепловыми фотонами с план-ковской плотностью излучения
и (ю, Т) = /ве (ю, Т) Лю3/ (пс3),
где /ве (ю, Т) = [ехр (Лю/квТ) - 1]—1 - функция Бозе-Эйнштейна. Графен является истинно 2D материалом, описываемым двумерной макроскопической проводимостью д (ю, к) [2-6]. Это означает, что при воздействии электрического поля плоской монохроматической электромагнитной волны Е (ю, к, г) = Е0 ехр (гю — гкг) имеют место связи компонент поверхностного тока ] в графене с полем:
]х (ю,к, г) = дхх (ю, к)Ех (ю, к, г) + +дху (ю, к) Еу (ю, к, г),
]у (ю,к, г) = дух (ю, к) Ех (ю, к, г) + +дуу (ю, к) Еу (ю, к, г).
Здесь дху = дух, точка г = гт находится на поверхности графена, а бесконечный лист графена считается расположенным в плоскости (х,у,0). Лист графена является поглотителем.
В то же время в силу флуктуаций тока в термодинамическом равновесии он излучает ровно столько, сколько поглощает. Считая тензор проводимости приведенным к главным осям, имеем ]х (ю, к, г) = дхх (ю, к)Ех (ю, к, г), ]у (ю, к, г) = = дуу (ю, к) Еу (ю,к, г). В ряде работ в разных приближениях получена тензорная проводимость графена, например [2, 5]:
C„ (ю, kx)
(ю)
1+
vF
- Cintra (ю)
1 +
4 (ю — mc) +Cinter (ю) ,
Cyy (ю, kx) =
_vF__
4 (ю — гюс)2 +Cinter (ю) .
3-
2i
ю/юс
+
3-
ю2юс ^ ky
+
Здесь Ур = с/300 м/с - скорость Ферми, юс - частота столкновений (обратное время релаксации импульса), а внутризонная и межзонная проводимости определяются формулами [3-5]
Cintra (ю, V, юс, T)
—ie2kBT nh2 (ю — г'юс)
C0intra
¥ (Vc, T)
1 + т/юс
(2)
Cinter (ю, V, юс) =
СЮ
—ie2 (ю — m) [ fFD (—е) + ¡fd (е) de (3)
nh2
(ю — г'ю)2 — (2e/h )2
где /рВ (е) = [ехр ((е — Цс) /квТ) + 1] 1 - функция Ферми-Дирака. Для определения тензора проводимости здесь использована модель Бхат-нагара-Гросса-Крука. В приближении времени релаксации для интеграла столкновений его величины имеют тот же порядок, но коэффициенты
k
несколько отличаются. В случае малых температур квТ << цс и квТ << юй межзонная проводимость аппроксимируется формулой
(ю, Ц, Юс)
-1е2 / 2\ Цс\ (ю - гюс) й 4пй \2\цс\ + (ю - г'юс) й
(4)
Указанные формулы получены путем приближенного вычисления интегралов по зоне Бриллюэна графена в модели линейного отклика Кубо при воздействии поля плоской волны, при этом берется только окрестность точек Дирака с линейной дисперсией. Именно такие электроны и дырки в основном и участвуют в квантовом транспорте. При больших частотах ю >> юс и ю >> цс/й согласно формуле (4)
ут:ег
2
в2' (4й), о'П:ег = в2ц (1 - а/ю) / (пй2ю)
и в2ц/ (пй2ю), а = (\Цс \ /й) (1 + ю2/4(\Цс\ /й)2). Однако в этом случае определяющий Ощ^ интеграл (3) убывает обратно пропорционально частоте. Следовательно, при больших частотах формула не верна. Чтобы не вычислять этот интеграл можно использовать О^и- с обрезающим фактором [1 + (юй)2 / (квТ + ц)2] . В нем величина ^ = (квТ + ц) /Л выступает как некая частота столкновений, соответствующая времени релаксации тг = 1/^ для межзонных переходов.
Свойства графена существенно зависят от наличия или отсутствия примесей, наличия или отсутствия внешних полей, при этом существенную роль играет внутризонная частота столкновений. Для чистого графена она может быть аппроксимирована согласно работе [6] соотношением юс = ю0сТ/Т0, где ю0с = 8 • 1011 Гц -частота столкновений при Т0 = 300 К. Есть и другие оценки ю0с. Если энергия кванта больше энергии связи п-электронов (2.8 эВ), то указанные формулы не работают, а вклад таких электронов можно считать по 2D плазменной модели, когда каждый атом углерода отдает либо четыре, либо все шесть электронов в зону проводимости. Графен может иметь нелинейный отклик. Далее мы рассматриваем только линейную проводимость, пренебрегая пространственной дисперсией. Это можно сделать при малых к2 = к2, что выполняется вплоть до оптических частот. Считая ю >> юс, видим, что добавка из-за пространственной дисперсии в охх даже при к2 = к2х = к2 весьма мала. Далее мы не будем рассматривать тензорную проводимость, описывая любой 2D материал (графен, боро-фен, силицен и т. п.) скалярной проводимостью О (ю), поскольку пространственная дисперсия
слабо влияет на дисперсионные силы, а результат ее учета весьма сложен. Для графена при низких частотах в пренебрежении межзонными переходами проводимость дается формулой (2)
О (ю) = Ошц-а (ю, ц, юс, Т), где
V(ц,Т) = ь(2 +2кТ)),
т. е. она такая же, как в модели Друде с проводимостью О (0) = в2квТу (цс, Т) / (пй2юс) на постоянном токе.
1. Корреляционные соотношения для плотности тока
Корреляционные соотношения важны в теории дисперсионных сил или сил Казимира-Лифшица, поскольку они позволяют определить корреляции полей через входящие флуктуацион-ные источники в уравнения Максвелла [1,7]. Для наноструктур с графеновыми листами корреляционные силы важны как на малых расстояниях порядка долей нм (например, взаимодействие ван-дер-Ваальса в и-слойном графене или в графите), так и на расстояниях от нескольких до сотен нм, например наноструктурах с графе-новыми в чешуйками. Корреляционные соотношения для анизотропной диэлектрической среды имеют вид [1]
—гюе0
/а (ю, г), / (ю, г') еар (ю) - еРа (ю)] © (ю) 8 (г - г') /п,
а для изотропного диэлектрика соответственно
/а (ю, г),/ (ю, г'); = £<)£" (ю) ю© (ю) 8„ш8ар8 (г - г') /п.
Здесь £ (ю) = £' (ю) - '£'' (ю) и введены флук-туационные плотности тока /а (ю, г), а, в = = х,у, г. Скобки 0 означают статистическое усреднение (усреднение по ансамблю) величин /а (ю, г) (ю, г') [1]. В диэлектрике ток поляризации 1р (ю, г) = ЭгР = г'ю£0 (£ (ю, г) - /) Е (ю, г) описывает все процессы поляризации, включая и проводимость, при этом величину V = = г'ю£0 (£ (ю, г) - /) можно трактовать как тензор удельной проводимости. Поскольку для графена формально /р (ю) = ]х (ю) 8 (г), /р (ю) = = ]у (ю) 8 (г), /р (ю) = 0, то следует ожидать следующего корреляционного соотношения:
(;а (ю, X, у),(ю, X, у')) = ^ (ю, Т) = = о' (ю) © (ю, Т) 8ар8 (х - X) 8 (у - у) /п,
(5)
где д' (ю, Т) - реальная часть скалярной проводимости. Оно записано для компонент флуктуа-ционной поверхностной плотности тока jйa (х,у), а, в = х,у, а зависимость проводимости от температуры часто будем опускать: д' (ю) = Re(д(ю)). В работе [1] описан способ доказательства корреляционных соотношений, основанный на принципе детального равновесия: пластина из материала тела помещается в волновую зону тела и определяется количество тепла, полученное пластиной от тела и телом от пластины. При этом пластину следует считать большой, чтобы при расчете ее поглощения и излучения были применимы асимптотические формулы классической теории излучения [1]. Однако графен имеет нулевую (атомную) толщину, поэтому применимость (5) нуждается в обосновании. В (5) не входит мнимая (реактивная) часть проводимости. Однако поглощение листа графе-на должно от нее зависеть. Задачу для листа графена можно решить строго. Цель данной работы и состоит в получении соотношений типа (5) для листа тока, описываемого двумерной проводимостью. Определим правую часть (5) в виде р (ю, Т) © (ю, Т) 8ав8 (х — х') 8 (у — у'), где р (ю, Т) - пока неизвестная функция. Будем использовать безразмерную (нормированную) скалярную поверхностную проводимость % (ю) = % (ю) + г(ю) = д (ю) УЦ/0. Вводим квадрат волнового вектора в виде к2 = q2 + к, где
кг = ^/ко — к° — к° = \/к2 — я2.
Графеновый лист поглощает мощность теплового поля и одновременно излучает мощность с каждой единицы поверхности в пространство. При тепловом равновесии с полем эти мощности равны. Найдем мощность, излучаемую единицей площади графенового листа. Она определяется флуктуационными источниками и дается г-ком-понентой вектора Пойнтинга:
S0Z (ю, г) = Re (Е0Х (ю, г)яу*(ю,г) —Е0у (ю, г) Щ*(ю,г))/2.
(6)
Это мощность, излученная вправо. Ее следует удвоить, учитывая мощность, излученную влево. Оба слагаемых в (6) дают равный вклад. Для компонент полей имеем [8]
Е<и(г) = ?[к—k2x)j0x'd(q)—^xkyj0y'd(q)]e(—iqгт—|г|к)d2q
Еум(г) =
8п2г'юе0к
[(ко —к2у)j0y'd(q)—kxkyj0x'd(q] е(—¡qГт-
(7)
|г|к)
8п2гюе0к
Е°Лг)=—,
kxji0'd)(q)+kyjr>(q)
Л0,')/
,(—¡цг— |г| к)
8п2гюе0к
7 /0>'(п) А—щг—Огг) НПг^п (г)/-
-d2у,
(9) (10)
нПг)=—sgn (г)
г jx'd(q) е(—¡чг—к г|)
8п2
(11)
=_ 7 (ц) — kyj0'd(q) е(—гог—^
Н (г) У 8П2кг йС1'
— со
(12)
Эти соотношения записаны как для флуктуа-ционных компонент (индекс 0), так и для дифракционных компонент (индекс d). Двойной пространственно-спектральный интеграл обозначен одним символом, = dkxdky. Для представления компонент электрического поля мы использовали величину к = — ¡кг = —г— у2. Эта величина действительная и равна у/у2 — к°, если к2 < у2. Мы также использовали преобразование Фурье
^ (ю, ц) = | j0'd (ю, гх) ехр (щгх) 'х'у, (13)
— 7
подразумевая, что обратное преобразование имеет вид
j0'd (ю, гх):
(2п)
[ j0'd (ю, ц) ехр (—гцгх) dkxdky. п) ■)
(14)
Образуя корреляцию для преобразования (13), находим с использованием (5)
j0а (ю, Ц) , (ю, «))
(2п)2 р (ю, Т) 8ар8 (кх — кх) 8 (ку — ку) .
(15)
Образуя величину Re Е (ю, г) Щ* (ю, г)), видим, что она равна нулю при к\ < у2, т. е. эванесцент-ные моды не излучают. Используя (15), имеем
Re Е (ю, г),Н0* (ю, г)) =
р (ю, Т) ©' (ю, Т) У
к2 к2
_¿1,к а1к
~ икхику.
4п2юе0 кг
Здесь мы воспользовались четностью и преобразовали интеграл к положительным областям. Также мы взяли функцию ©' (ю, Т) = Лю/ВЕ (ю, Т),
гх:
к
г
оо
гх:
описывающую среднюю энергию тепловых осцилляторов поля. Вычисляем интеграл в полярных координатах кх = цсоя (ф), ку = ц8т(ф). Результат имеет вид Re {Е^ (ю, г) Щ* (ю, г)) = = к3 ^ (ю, Т) / (12пю£0). Учитывая две поляризации и две стороны излучения, для полной спектральной мощности результат следует увеличить в четыре раза:
Р (ю) = к2 ^ (ю, Т) ©' (ю, Т) / (бп£0) . (16)
Удельная мощность излучения по всему спектру будет
Е
в,й .
Р
й Г ^ (ю, Т) ©' (ю, Т) ю3Чю
3п2 3£0 У ехр (йю/квТ) - 1
В соответствии с определением вектора Пойн-тинга здесь мы использовали только положительные частоты.
Найдем мощность, поглощаемую единицей поверхности графенового листа. Она определяется дифракционными компонентами поверхностной плотности тока, возбуждаемыми тепловым полем:
Р (ю)
Re( ]РрЕр* + ]рвр'
Re (оЕрЕр* + оЕрЕр
(17)
О'
\ЕР\2 + |Ер| 2
Для определения (17) рассмотрим падающую на лист графена слева (г < 0) под всевозможными углами Е-волну
Ев (ю, я) = Ав (ю, я) ехр (-щгх) х х (ехр (- ¡к^) - Яв ехр (¡кгг)),
а также такую же Н-волну
Щ (ю, я) = Ай (ю, я) ехр (-щгх) х х (ехр (-¡кгг) + Яв ехр (¡кгг)).
Прошедшие волны (г > 0) имеют вид
Ев = ТвАв (ю, д) ехр (-щгх - ¡кгг),
Нйй
ТйАй (ю, д) ехр (-щгх - ¡кгг).
^г -й"й V™) ч/ ""г V -ч-х -'г
Поперечные компоненты выражаются через продольные согласно формулам (10.50) из [9] и имеют вид:
Е
в,й .
-ц 2кгкрАв,й (ю, я) ехр (-щгх) х х (ехр (-¡кгг) + Яв,й ехр (¡кгг)),
Н
в,й
-ц 2кгкуАв,й (ю, я) ехр (-щгх) х х (ехр (-¡кгг) + Яв,й ехр (¡кгг)),
ю£0 ц-2куАв,й (ю, я) ехр (-щгх) х х (ехр (-¡кгг) - Яв^ ехр (¡кгг)),
Нв'й = -ю£0 ц 2крАв,й (ю, я) ехр (-щгх) х х (ехр (-¡кгг) - Яв,й ехр (¡кгг)).
Здесь ягт = рку + куу. Прошедшие волны отличаются тем, что множители ехр (-¡кгг) ± ±Явй ехр (¡кгг) следует заменить на Тв,й ехр (-¡кгг). Сшивая электрические поля, находим связь коэффициентов отражения и прохождения 1 + + Яв й = Тв й. Сшивая магнитные поля, имеем
]рс = ОРРЕР = Н- - Н+, = ОууЕу = Нх+ - Н-.
Эти уравнения запишем в виде
зЧ ехр (щгх) = - Ав (ю , я) (1 - Яв - Тв) -кк
- ^Ай (ю , я)(1 - Яй - Тй),
/у ехр (щгх) = - Ав (ю, я) (1 - Яв - Тв) + к к
+ ЦрАй (ю, я)(1 - Яй - Тй).
Умножая первое на кр, второе на ку и складывая, получаем
0% + ]%) ехр (щгх) = = -ю£0 Ав (ю, я)(1 - Яв - Тв).
Аналогично умножая первое на ку, а второе на кр и вычитая, получаем
ОЧкр - £ку) ехр (щгх) = = кгАй (ю, я)(1 - Яй - Тй).
Их этих уравнений находим
Яв (ю, я)
ЗрКр + 3 уКу ч
7 ехр (гягх),
Яй (ю, я)
2ю£0 Ав (ю, я)
J уКР
2кгАйАв (ю, я)
(18)
ехр (щгх). (19)
С другой стороны, обозначая Хв = кг/ (ю£0) и 2й -= юц0/кг, имеем
ЕР
,й в,й
Еор ехр (-щгх) х
х (ехр (-¡кгг) + Яв,й ехр (¡кгг)),
*
2
Ее,Л
Не'Л = ехр(—¡дгх) х
х (ехр (—¡кгг) — Яе,н ехр (¡кгг)),
Ее/ = Е^у ехр (—¡цгх) х х (ехр (—¡кгг) + Яе,н ехр (¡кгг)),
Е
е,Н 0у
не/ = — тЛ ехр (—¡дгх) х
£
'е,Н
х (ехр (—¡кг1) — Яе^ ехр (¡кгг)),
где Е0х
2
—д 2кгкхАе (ю, д), Е
0у
—у^кгкуАе (ю, д), Е0х = —юЦ0 у^куАн (ю, д),
Ецу = юц0 у^кАи (ю, ц). В силу независимости Е- и Н-полей и двух поляризаций можно рассматривать уравнения независимо, при этом коэффициенты отражения и прохождения выражаются через проводимость в виде
ЯеН (ю, ц) = — Те,к (ю, д)
д (ю)
2УеЛ (ю, + д (ю) 2-УеН (ю, д)
, (20)
(21)
2Уен (ю, + д (ю)'
Здесь Уен (ю, ц) = (ю, ц). Это, в частности, видно из того, что матрица передачи 4 х х 4 листа графена, связывающая компоненты (Ех,Ну, —Еу,Нх) слева и справа от него, имеет блочно-диагональный вид
а 0
ь 0 а
с матрицей
10 д1
на главной диагонали. Это обеспечивает связи
Е—
Е+ Н—
дЕ+ + Ну+, —E- = —Еу+, Н—
= —дЕ+ + Н+, которые с учетом дЕ+ = дЕх = j¿ и дЕ+ = дЕу = j¿ выражают граничные условия, причем независимо для Е- и Н-волн. Тензорная проводимость (учет пространственной дисперсии) приводит к смешиванию мод и поляризаций. Имеют место следующие соотношения:
ЕЩ = юе0 кгк\ Ае (ю, ц) /у\2, —ЕЩ* = юе0 к, Ае (ю, д) /у|2, ЕЩ* = юЦ0 к, Ан (ю, д) /у|2, —еЩ* = юц0 к^кх^ |Ан (ю, д) /у|2,
т^еттк*
ЕхНу
^Нтге*
к] кхкуАе (ю, д) А*н (ю, д) /у2,
ЕПхЩ* = ю2Ц0е0 кхкуАн (ю, ц) А* (ю, ц) /у2, —ЕЩ* = —кг2 кхкуАе (ю, д) АН (ю, д) /у2, —ЕуННхе* = —ю2 Ц0е0 кукхАн (ю, ц) А* (ю, ц) /ц2. Из них следует
(ю, ц) = юк^2 (е0 А (ю, ц) |2 + Ц0 А (ю, ц) |2) .
Считая излучение изотропным, положим Ае,н (ю, ц) = (у/к0) Ае,н (ю). Заметим, что выбор спектральных амплитуд в некотором смысле произволен. Такой выбор амплитуд позволяет учесть и случай Т-волн, причем результат можно обратить по Фурье. Действительно, для Т-волны у = 0, Ае,н (ю, ц) = 0, Ег = Ег = 0. При ку = 0 и при раскрытии неопределенностей типа кх/у, например, при кх ^ 0, имеем кх/у ^ 1. При раскрытии
0
такой же неопределенности при кх
ку
имеем кх/у ^ 1/\[2. Мощность, переносимая такой Т-волной, являющейся предельным случаем Е-волны, в два раза меньше, но следует учесть еще и вклад от волны другой поляризации, а также такой же вклад от предельного случая для Н-волны. Интегрируя 2Бг (ю, д) по кх и ку, найдем
2SZ (ю)
2
(е0 Ае (ю)|2 + Ц0 Ал (ю) |2
Поток изотропного излучения вдоль оси г есть
„ , . и' (ю, Т) „ . . Ню3 (ю, Т)= V ;= /ве (ю, Т)■
6 '_/6п2с2
Отсюда получаем (е0 Ае (ю)|2 + Цо Ан (ю)|2) = = /ВЕ (ю, Т) 2Ню/ (3п4с). Для листа графена имеем
\Еех + ЕН
1
у2,2
2Уе (ю, д) Ае (ю) + кгкх 2Уе (ю, д) + д (ю) +
юцок}
2Ун (ю, д) Ан (ю)
у 27н (ю, + д (ю) Это выражение преобразуется к виду
4к2
у2
кхАе (ю) ку£о Ан (ю)
-
2ко + к£ (ю) 2кг + ко% (ю)
Полагая, что вклады в излучение от Е-волн и Н-волн одинаковые, т. е. Ае (ю) = £0 Ан (ю), будем иметь
Е + Е
кх
Н\2 _ 4к2 |Ае (ю)|2
у2
-
ку
(22)
2 ко + (ю) 2кг + ко% (ю)
п2ю2
2
2
X
2
X
Точно также
/2 (ю, %)
|Еув + Еуй| ку
4к2 А (ю)\2
£ (ю)\2
+
кх
2к0 + кг % (ю) 2кг + к0% (ю)
(23)
При интегрировании (22) и (23) по кх и ку члены с произведениями кхку обнуляются и остаются члены с к2х и к2у.В результате надо вычислять интегралы типа
1в (ю, %):
/й (ю, %)
кг кР
д2^2
д2
д2 \2к0 + к,% (ю)\
2 ЧкрЧку
к2 к2
гу
д2 \2кг + к0% (ю)\
2 ЧкрЧку
и такие же интегралы ^ где произведена замена кх ^ ку. Очевидно, /{2 = /12. Вычисляем их в полярной системе координат:
к - д2) ео82 ф
92<к2 к«
тдЧдЧф:
/в (ю ,%): ,
2к0 + Ук2 - д2% (ю) ы2дЧд
4к2 + 4к0 ы%' (ю) + ы2 \% (ю)\2'
Здесь ы = кг = у/к2 - д2. Делая замену переменных д = у/ы2 - к2, получаем
-с
1в (ю, %) = п У
ы Чы
4к2 + 4к0 ы%' (ю) + ы2 \% (ю)\
2
Этот интеграл вычисляется с использованием интегралов
-с
/И (ю, %)
/в0 (ю, %) =
ыИЧы
4к2 + 4к0 ы%'(ю) + ы2 \%(ю)\2'
2к0\%'' (ю)\
агйап
(ю)\2 + 2%' (ю)\
2\%'' (ю)\
— аг^ап
%' (ю) \%'' (ю)\
11 (ю, %)
2\% (ю)\
^ 1п 1 + %' (ю) +
4
- £ (ю, %), \%(ю)\2 ^
2к0%' (ю), / с/, , \% (ю)\Л —1п 1 + %' (ю)+|Ь\л | +
\% (ю)\
4
+*г(ю):. % "" (ю)) /? (ю, %).
(ю)\4
Результат имеет вид
1в (ю, %)
пк(5
4пк2
2\% (ю)Г \%Й\
■/в1 (ю, %) -
4пк0%'(ю) /2 (ю, %).
\%(ю)\2 в (
(24)
Для второго интеграла
к0
1й (ю, %) = п у
ы Чы
4ы2 + 4ык0%' (ю) + к2 \% (ю) \
/0 (ю, %):
2к0 \%'' (ю)\
— агйап
(2 + %' (ю)
агсгаЧ 1%йг
%' (ю) \%'' (ю)\
Ц (ю, %) = 8 ы( 4 + 4%' (ю)+ 2% (ю)\2)
йК ' 8 V \% (ю)\ )
%' (ю)
к0 (ю, %),
й (ю, %)=к-0
%М Ы( 4+4%' (ю) + \% (ю)\2\
2 V \% (ю)\2 )
+
+ (%'2 (ю) - %''2 (ю)) к0 (ю, %) и имеем результат
п-2
/й (ю, %) = ^
2-\% (ю)Г /I (ю, %) -
-4%' (ю)
/I (ю, %) к0
(25)
Видим, что спектральная мощность потерь (17) сложным образом выражается через нормированную проводимость графена в виде
Р(ю) = 4йю%' (ю)/ВЕ (ю, Т) \/в <ю%>3+4,й <ю%>\.
(26)
Здесь мы учли тождество Z0£0c = 1. Теперь полная плотность мощности потерь есть
сс
Р = J Р (ю) Чю.
0
к
0
2
х
2
д
2
х
1
2
1
Сравнивая с (16), имеем
F (ю, T) = 8 (ю) \1е (ю, 5) + Ih (fi>, 5) | / (п3к2)
Величина (27) имеет размерность проводимости. Ее можно записать в следующем виде: F (ю, T) = = 8 е05' (ю) Ф (5' (ю), 5'' (ю)) /п3, где безразмерная положительная функция Ф (5' (ю), 5'' (ю)) получена выделением из интегралов множителя к2 и сокращения на него:
Ф (5' (ю) , 5'' (ю)) = \1е (ю, 5)+Ih (ю, 5)\ /к2.
Она имеет достаточно сложный вид.
Рассмотрим частный предельный случай отсутствия реактивных свойств 5'' = 0:
Ie (ю, 5) 1 (5'2 (ю) + 45' (ю) 5
-к^ = 54-ñ--65 (ю) +
пк2 5'4 V 2
+ 12 ln (1 + 5' (ю) /2) +
8
5' (ю) + 2
" 4 ,
^ = К** (ю) + 3%'2 (ю) 1п(1++
+ Л^ - %'2 (ю)
2+% (ю)
Эти соотношения упрощаются, если диссипация мала %' << 1. В этом случае /й (ю,%) и и пк2/8,/в (ю, %) и (2%'2 (ю)) и функция Ф (%' (ю), 0) и п/ (2%'2 (ю)) большая. Если же диссипация большая (%' >> 1), то /в (ю, %) и и пк2/ (2%'2 (ю)), /й (ю,%) и пк2 (2 - %' (ю))/16, и функция Ф (%' (ю), 0) и п%'/16 также большая.
В другом частном случае отсутствия диссипации 5' (ю) = 0 получаем
(27) Ie (ю, 5)
_ ___2_ 1/ 1 + ГИ
пк2 25''2 (ю) 5''4 (ю) I + 4
Ih (ю, 5) = 1 пк2 8
5' '2 (ю)
32
ln 1+
5' '2 (ю)
Соотношения упрощаются, если реактивность мала (%''2 (ю) << 1): /в (ю, %) и п-2/16, /й (ю, %) и и пк2/8, т. е. функция становится постоянной Ф (0,%''(ю)) и 3п/16. В случае большой реактивности (%''2 (ю) >> 1)
Ie (ю, 5)_ 1___
пк2 ~ 25''2 (ю) 5''4 (ю)
Ih (ю, 5)
4 J 5'' (ю)
25''2 (ю)'
пк2
4%''2 (ю)'
и функция Ф (0,%''(ю)) и 3п/ (4%''2 (ю)) мала. В предположении, что проводимость описывается моделью Друде
5 (ю) = 5' (ю) + i5' '(ю)
5 (о)
1 + т/юс
(28)
оценим результаты при больших частотах, когда \% (ю) \2 и %''2 (ю), %' (ю) и\% (ю) \2 /%0,%'' (ю) и и -%0юс/ю. Мы обозначили константу % (0) = %0. В этом случае все величины малы, \% (ю)\2 и %' (ю) одного порядка малости, а %'' (ю) отрицательная и существенно превосходит их по модулю: \%(ю)\2 = %''2 (ю) = %0%' (ю). Имеем соотношения:
4
1
1
Ih (ю, 5)
3
е, 11 \5(ю)\71 з
¡0(ю,5) = — -- л - + —+ . eV 2кД2 3 \8 45о 250,
4 (ю, 5) = —п
hV 2кД2\5 ( \5 (ю)\2
Ih (ю, 5)
II (ю, 5) к0
\5 (ю)\2
Ie1 (ю, 5) = 8 -
1 1А 1,
Ё- + 7 + 7 ln
50 4 4
4
1 1
50 + 4
2
2/1 1'
- 50 V 50 +
1
\5 (ю)\ 2
\5 (ю)\ 2
± (п\5(ю)\ \5(ю)\2' 45Л 2 50
+ L
50 \ з
1 (+ - 2 ln
250 I 50 4
1 1\ \ 2/1 3 3
50 + i)) + э( 5 + 450 + +
33
1
- +
+
8 450 25
\5(ю)\
+
\5 (ю)\ \5 (ю)\2
520
_ о п
\5 (ю)Г
2
8
2
5
к
2
0
0
^ =—^ —^ П (ю, 5) - ± ^ ■
як2 2|5(ю)|2 |5(ю)|2 eV 5o к0
Ih(ю,5) = 1 |5(ю)|2.(ю5) I2К5)
8 —Ih (ю'5) 50 ■
В рассмотренном пределе они упрощаются: II (ю, и ко/12, I2 (ю,%) и ко/4,1е (ю, и и пк2 (%0—2 + 1/б + 1/16), 1н (ю, и пк2/8, Ф(%',%') и п(%—2 + ^—1/б + 3/16). В случае << 1 (что обычно имеет место для графена) Ф (%', %') и п/%°, и при больших частотах имеем Р (ю, Т) = 8 £о%°—1 ю2/(юп)2.
Модель Друде предполагает постоянство частоты столкновений. Однако при больших энергиях кванта поглощение падает, а частота столкновений уменьшается. На таких частотах модель макроскопической проводимости теряет смысл. В этом случае происходит фотоионизация отдельных атомов углерода. При таких частотах средняя энергия осцилляторов поля © (ю, Т) = = (Ню/2) соШ (Ню/ (2квТ)), взаимодействующих с веществом, также теряет смысл (см. [1, стр. 1718]). При частотах с энергией квантов в десятки ЭВ все шесть электронов атома углерода можно считать свободными, однако в таком поле с ростом частоты они колеблются во все меньшей области около атома, т. е. вероятность их рассеяния падает. Это оправдывает введение модели 2D плазменного листа с проводимостью
а (ю)
Ne
шеюс (1 + 1ю/юс (ю))'
(29)
Здесь N = 2.3 • 1020 м—2 - поверхностная плотность всех электронов в графене. Считая вклад на высоких частотах малым, можно рассматривать ограниченный спектр частот. Для исследования вопроса о сходимости интегралов полезно вводить разные модели. Например, можно считать величину зависящей от частоты. Модель (29) можно рассматривать как модель (28), у которой два параметра и ю зависят от частоты. Рассмотрим модель Друде (28) с одним частотно зависимым параметром: частотой столкновений ю (ю) = ю (0) / (1 +(ю/й)а), где ^ - некая характерная частота. Для графена ее можно взять в виде ^ = у0/Н, у0 = 2.8 эВ - энергия связи [4, 5, 10]. В этом случае на больших частотах Р (ю, Т) - ю—2(1+а), Р (ю, Т) ©(ю, Т) - ю—(1+2а), что обеспечивает сходимость спектральных интегралов при вычислении корреляций.
2. Корреляции, теплопередача и дисперсионные силы между листами графена
Показано, что корреляционные соотношения для флуктуационных поверхностных токов в листе графена определяются не реальной частью поверхностной проводимости, как можно было предположить исходя из корреляционных соотношений для бесконечной 3D среды [1] и связи диэлектрической проницаемости с поверхностной проводимостью, а функцией F (ю, T) (27), имеющей размерность проводимости, в которую входят коэффициенты отражения E- и H-мод в виде 1 + (ю, q) или соответствующие им импедансы. Указанные коэффициенты приведены для пространственно-спектральных амплитуд, поэтому получение корреляционных соотношений в пространственной области требует обращения интегралов. Заметим, что в окончательные формулы работы [7] вошла не введенная в корреляционные соотношения бесконечной среды диссипация е" (ю) (формула (1.2)), а импедансы Ze (ю, q) = у/к^е — q2/ (k0e), Zoe (ю, q) = Vк2 — q2/ко, Zh (ю, q) = ko/Vkfc — q2, Z0h (ю, q) = к0 / у/к2 — q2 и связанные с ними коэффициенты отражения (для простоты предполагаем полупространства одинаковыми):
Re (ю, q)
Zoe (ю, q) — Ze (ю, q) Zoe (ю, q)+ Ze (ю, q)
— q2 — V к2е — q2
— q2 + Vк2е — q2'
Rh (ю, q)
Zoh (ю, q) — Zh (ю, q) Zoh (ю, q)+ Zh (ю, q)
yk2e — q2 — к2 — q2
\iWzq — V к2 — q2'
Поскольку имеется бесконечная серия отражений от двух границ, указанные величины входят как суммы
Re h (ю, q) exp (—И^к^ — q2
1 — R2 h (ю, q) exp (—— q
Соответствующие величины следует образовывать при анализе корреляционных взаимодействий в листах графена. Для двух листов также следует определять излученную и поглощенную мощности при условии некоррелированности флуктуаций на разных листах. Для графена удобнее использовать проводимости. Коэффициенты отражения при падении на два листа, разделенные дистанцией d, имеют вид
Re,h (ю, q, d) = -a (27e,h + ia tan (kzd)) = 2iY2htan (kzd)+ia(2Ye,h+a)tan(kzd)+2Ye,h(a+Yeth)'
(30)
Считая, что при d = 0 проводимости листов складываются, из (30) имеем Re,h (ю, q,d) = = -a/ (Ye,h + а). Определяя аналогично Te,h (ю, q, d), можно найти диссипацию, вычисляя баланс 1 — \Re,h (ю,q,d)|2 — \Te,h (ю,q,d)|2. Другой способ определения диссипации состоит в вычислении дифракционных токов и величин jdE*. Для графена при T ^ 0 и условии юс ^ 0 имеем
/ \ е ° (w)=^r+:
2
e v-c
e2 + е2Цс (®c - tw)
4nh nh2 (wc + tw) 4nh nh2 (щ2 + w2) и в этом случае
2 2 2
a' (w)« + ^ 8 (w), а'' (w) = - ^. v ' 4nh h2 v ' nh w
Однако этот случай возможен только для чистого графена, т. е. при цс ^ 0.
3. Результаты
В случае если два листа графена находятся при разных температурах Т1 и Т2 на некотором расстоянии друг от друга, теплопередачу между более нагретым и менее нагретым листами можно получить согласно методу работы [11]. При этом следует вычислять вектор Пойнтин-га каждого из листов при своей температуре и поглощение каждым из листов, а затем определять разность поглощенных мощностей. В качестве корреляций поверхностной плотности токов в первом приближении берем равновесные корреляции при заданных температурах.
На рис. 1 представлены результаты вычисления спектральной плотности излучения листа графена при разных температурах. На рис. 2 дана удельная взаимная спектральная передача тепла между двумя листами в ближней зоне. Это соответствует тому, что для всех частот излучения
Рис. 1. Спектральная плотность излучения листа графена (Дж/м2) при цс = 0.1 эВ (кривые 1, 2, 3) и цс = = 0.5 эВ (4) при температуре T = 300 K (кривая 1),
150 K (2) и 30 K (3, 4) Fig. 1. Radiation spectral density of a graphene sheet (J/m2) at цс = 0.1 eV (curves 1, 2, 3) and цс = 0.5 eV (4) at temperature T = 300 K (curve 1), 150 K (2) and 30 K (з, 4)
Рис. 2. Спектральная плотность радиационной теплопередачи (Дж/м2) от листа графена с температурой T = 300 K к листу с температурой 100 K (кривая 1),
600 K (2) и 900 K (3) при цс = 0.5 эВ, d = 100 нм Fig. 2. Radiation heat transfer spectral density (J/m2) from a graphene sheet with temperature T = 300 K to a sheet with temperature 100 K (curve 1), 600 K (2) and 900 K (3) at цс = = 0.5 eV. d = 100 nm
должно выполняться ю << c/d, т. е. запаздыванием и взаимным переизлучением можно пренебречь. Для получения полных плотностей указанные величины следует интегрировать по частоте. Основной вклад вносят достаточно низкие частоты. На высоких частотах и особенно в оптике графен является весьма прозрачным. Полученные соотношения соответствуют
2
модельной задаче о бесконечных листах графена в вакууме. Реально в структурах могут присутствовать графеновые листы конечных размеров в виде чешуек, лент и других графеновых элементов. Такие элементы являются частями широко используемого материала - стеклоуглерода [12]. Для них возникают граничные условия для тока, что приводит к несколько более сложным результатам, требующим определения такого тока [13]. Для выращенного на диэлектрических подложках эпитаксиального графена излучение и поглощение 3D подложки на порядки превалирует над такими же параметрами 2D графена, чем и объясняется отдельное рассмотрение их для графена. В случае конечных графеновых элементов с поперечными размерами, превышающими расстояние между ними, полученные результаты для удельных плотностей можно применять с учетом площадей рассматриваемых структур. При расчетах использовалась зависимость частоты столкновений от температуры из [6]. Реально теплообмен неравновесный и нестационарный, что приводит к выравниванию температур. Учет нестационарности возможен, но требует интегрирования балансных уравнений во времени.
Заключение
Из принципа детального равновесия получены корреляционные соотношения для листа графена в тепловом поле. Показано, что основной вклад вносят низкочастотные флуктуации. Соотношения можно использовать для определения дисперсионных сил между листами графена в ближней и дальней волновых зонах. В ближней зоне запаздывания можно не учитывать, что определяет соответствующие характерные частоты. Для металлов и диэлектриков имеет место термическая длина lT = %с/ (2квТ), на которой проявляется температурный эффект. Для комнатной температуры lT ~ 8 мкм. Для графена указанный эффект проявляется на гораздо меньших дистанциях (порядка 15o нм) [14]. В случае взаимодействия графеновых фрагментов расстояние между ними должно быть существенно меньше их поперечных размеров. В противном случае следует решать электродинамическую задачу определения распределения на них плотности тока с учетом для нее граничных условий на краях фрагментов. В этом случае наряду с флуктуационными плотностями поверхностных токов следует вводить наведенные дифракционные плотности и определять их связи с корреляционными. Дифракционные плотности
связаны с многократными переотражениями взаимодействующих объектов и фактически определяют функцию Грина всей структуры. Полное поле есть сумма воздействий обоих плотностей тока. Рассматривая два таких взаимодействующих объекта в равновесии с тепловым полем, также можно получить корреляционные соотношения. В этом случае их можно непосредственно использовать для определения дисперсионных сил.
Список литературы
1. Левин М. Л., Рытов С. М. Теория равновесных тепловых флуктуаций в электродинамике. М. : Наука, 1967. 308 с.
2. Gusynin V P., Sharapov S. G., Carbotte J. P. Sum rules for the optical and Hall conductivity in graphene // Phys. Rev. B. 2007. Vol. 75. Article number 165407. https://doi.org/10.1103/PhysRevB.75.165407
3. Фальковский Л. А. Оптические свойства графена и полупроводников типа A4B6 // УФН. 2008. Т. 178, № 9. С. 923-934. https://doi.org/10.3367/UFNr.0178. 200809b.0923
4. Hanson G. W. Dyadic Green's functions and guided surface waves for a surface conductivity model of graphene // J. Appl. Phys. 2008. Vol. 103. Article number 064302. https://doi.org/10.1063/L2891452
5. Lovat G., Hanson G. W., Araneo R., Burghignoli P. Semiclassical spatially dispersive intraband conductivity tensor and quantum capacitance of graphene // Phys. Rev B. 2013. Vol. 87. Article number 115429. https:// doi.org/10.1103/PhysRevB.87.115429
6. Волокитин А. И., Перссон Б. Н. Й. Влияние электрического тока на силы Казимира между графеновыми листами // Письма в ЖЭТФ. 2013. Т. 98, № 3. С. 165-171. https://doi.org/10.7868/ S0370274X13150058
7. Лифшиц Е. М. Теория молекулярных сил притяжения между твердыми телами // ЖЭТФ. 1955. Т. 29, № 1. С. 94-110.
8. Марков Г. Т., Чаплин А. Ф. Возбуждение электромагнитных волн. М. : Радио и связь, 1983. 296 с.
9. Гольдштейн Л. Д., Зернов Н. В. Электромагнитные поля и волны. М. : Сов. радио, 1971. 664 с.
10. Wallace P. R. The Band Theory of Graphite // Phys. Rev. 1947. Vol. 71. P. 622-634. https://doi.org/10.1103/ PhysRev.71.622
11. Polder D., Van Hove M. Theory of Radiative Heat Transfer between Closely Spaced Bodies // Phys. Rev. B. 1971. Vol. 4. P. 3303-3314. https://doi.org/10.1103/ PhysRevB.4.3303
12. Petrunin A. A., Slepchenkov M. M., Glukhova O. E. Effect of Functionalization with Potassium Atoms on the Electronic Properties of a 3D Glass-like Nanomaterial Reinforced with Carbon Nanotubes: In Silico Study // J. Compos. Sci. 2022. Vol. 6, № 7. Article number 186. https://doi.org/10.3390/jcs6070186
13. Давидович М. В. Об обращении интегродифферен-циального оператора тонкой линейной наноантенны и дисперсионных силах // ЖТФ. 2022. Т. 92, вып. 10. С. 1537-1555. https://doi.org/10.1134/ S106378422207012X
14. Bimonte G., Klimchitskaya G. L., Mostepanenko V. M. How to observe the giant thermal effect in the Casimir force for graphene systems // Phys. Rev. A. 2017. Vol.96. Article number 012517. https://doi.org/10.1103/ PhysRevA.96.012517
References
1. Levin M. L., Rytov S. M. Teoriya ravnovesnykh teplovykh fluktuatsiy v elektrodinamike [Theory of equilibrium thermal fluctuations in electrodynamics]. Moscow, Nauka, 1967. 308 p. (in Russian).
2. Gusynin V. P., Sharapov S. G., Carbotte J. P. Sum rules for the optical and Hall conductivity in graphene. Phys. Rev. B, 2007, vol. 75, article no. 165407. https://doi.org/ 10.1103/PhysRevB.75.165407
3. Falkovsky L. A. Optical properties of graphene and IV-VI semiconductors. Physics-Uspekhi, 2008, vol. 51, no. 9, pp. 887-897. https://doi.org/10.1070/ PU2008v051n09ABEH006625
4. Hanson G. W. Dyadic Green's functions and guided surface waves for a surface conductivity model of graphene. J.Appl. Phys., 2008, vol. 103, article no. 064302. https:// doi.org/10.1063/1.2891452
5. Lovat G., Hanson G. W., Araneo R., Burghignoli P. Semiclassical spatially dispersive intraband conductivity tensor and quantum capacitance of graphene. Phys. Rev. B, 2013, vol. 87, article no. 115429. https://doi.org/ 10.1103/PhysRevB.87.115429
6. Volokitin A. I., Persson B. N. J. Effect of the electric current on the Casimir force between graphene sheets.
Jetp Lett., 2013, vol. 98, pp. 143-149. https://doi.org/ 10.1134/S0021364013160145
7. Lifshitz E. The theory of molecular attractive forces between solids. Soviet Phys., 1956, vol. 2, no. 1, pp. 73-83. https://doi.org/10.1016/B978-0-08-036364-6.50031-4
8. Markov G. T., Chaplin A. F. Vozbuzhdenie elektro-magnitnykh voln [Excitation of electromagnetic waves]. Moscow, Radio i svyaz', 1983. 296 p. (in Russian).
9. Gol'dshtejn L. D., Zernov N. V. Elektromagnitnye polya i volny [Electromagnetic fields and waves]. Moscow, Sov. Radio, 1971. 664 p. (in Russian).
10. Wallace P. R. The Band Theory of Graphite. Phys. Rev., 1947, vol. 71, pp. 622-634. https://doi.org/10.1103/ PhysRev.71.622
11. Polder D., Van Hove M. Theory of Radiative Heat Transfer between Closely Spaced Bodies. Phys. Rev. B, 1971, vol. 4, pp. 3303-3314. https://doi.org/10.1103/ PhysRevB.4.3303
12. Petrunin A. A., Slepchenkov M. M., Glukhova O. E. Effect of Functionalization with Potassium Atoms on the Electronic Properties of a 3D Glass-like Nanomate-rial Reinforced with Carbon Nanotubes: In Silico Study. J. Compos. Sci., 2022, vol. 6, no. 7, article no. 186. https://doi.org/10.3390/jcs6070186
13. Davidovich M. V. On the Inversion of the Integrod-ifferential Operator of a Thin Linear Nanoantenna and Dispersion Forces. Technical Physics, 2022, vol. 67, pp. 468-486. https://doi.org/10.1134/ S106378422207012X
14. Bimonte G., Klimchitskaya G. L., Mostepanenko V. M. How to observe the giant thermal effect in the Casimir force for graphene systems. Phys. Rev. A, 2017, vol. 96, article no. 012517. https://doi.org/10.1103/PhysRevA.96. 012517
Поступила в редакцию 02.01.2023; одобрена после рецензирования 04.03.2023; принята к публикации 10.03.2023 The article was submitted 02.01.2023; approved after reviewing 04.03.2023; accepted for publication 10.03.2023
