CC BY
24
КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ И РЕЛАКСАЦИОННЫЕ ОСОБЕННОСТИ НЕРВНО-МЫШЕЧНОЙ СИСТЕМЫ ЧЕЛОВЕКА ПРИ СТАРЕНИИ Э.М. Зинатуллин, С.А. Дёмин, А.В. Яценко, О.Ю. Панищев (Татарский государственный гуманитарно-педагогический университет, Казанский государственный университет) Научный руководитель - д.ф.-м.н., профессор Р.М. Юльметьев (Татарский государственный гуманитарно-педагогический университет)
В работе выполнен анализ возрастных изменений времени релаксации и взаимодействия коротко- и дальнодействующих корреляций в динамике выходного силового импульса человека. Выявлены количественные и качественные различия в поведении коротко- и дальнодействующих корреляций и времени релаксации для разных возрастных групп. Показано уменьшение влияния кратковременных корреляций при старении. В работе также представлены процедуры локализации, отражающие локальные особенности релаксационных процессов в динамике силового импульса человека с возрастом. Таким образом, корреляционные и релаксационные особенности динамики выходного силового импульса позволили эффективно оценивать возрастные изменения, возникающие в нервно-мышечной системе человека.
Введение. Физические аспекты биологического старения
В настоящее время весьма перспективным направлением в современной статистической физике оказалось выявление и исследование физических особенностей физиологических процессов в живых системах. Для решения данных задач используются разнообразные подходы. Большинство из них основываются на анализе экспериментальных временных серий физиологических показателей и характеристик живых систем, в частности, человеческого организма.
Человеческий организм представляет собой сложную нестационарную многоуровневую структуру, состоящую из огромного числа взаимосвязанных подсистем. Понимание процессов, происходящих в человеческом организме, имеет огромное теоретическое и практическое значение для ряда современных естественных наук. При этом одной из актуальных задач является понимание биологического старения человеческого организма и отдельных систем жизнедеятельности.
Интересные результаты в данной области, и в частности, в исследовании возрастных и патологических изменений организма человека были получены в работе американских физиологов [1], в которой обнаружено нарушение асимметрии вариабельности сердечного ритма при заболеваниях и старении. Американские физиологи под руководством Дж. Хаусдорффа (ХМ. ИашёогГГ) провели ряд интересных исследований по изучению нарушений фрактальной динамики походки человека при различных заболеваниях и старении [2-6], исследованию изменений в динамике походки детей [6], анализу долговременных корреляций в походке молодых людей [5, 7]. В работе [8] методы нелинейной динамики были использованы для количественной оценки возрастных изменений динамики походки человека.
Другое направление, связанное с исследованием возрастных и патологических изменений в живых системах, основано на количественной оценке «физиологической сложности» в таких системах. Если структуру сложной системы, в том числе и живой, воспринимать как совокупность узлов и связей между ними, то уменьшение [9, 10] или увеличение [11, 12] сложности связано с изменением количества узлов или характера взаимосвязи между ними. Эти изменения можно классифицировать [13]:
(1) по числу независимых переменных (изменение числа переменных или параметров переменных изменяет сложность системы);
(п) описание сложности системы через детерминированные и стохастические вклады, которые влияют на состояние системы [14, 15];
(ш) по изменениям характера связи переменных и параметров системы.
Данный подход был развит американским физиологом Валлианкортом (УаШап-соиг!) при исследовании патологических процессов, возрастных изменений человеческого организма [13], возрастных изменений нервно-мышечной системы [16], патологий при болезни Паркинсона [17].
Анализ физиологических серий [15, 18-19] позволяет выявить некоторые скрытые закономерности в динамике сложных систем живой природы. Однако создание универсального метода обработки данных, позволяющего извлекать достаточно полную информацию о свойствах и динамических особенностях живых систем, в настоящее время не представляется возможным. Для получения более детальной информации о динамических и спектральных особенностях живых систем необходимы постоянное развитие существующих методов анализа временных серий, а также поиск и разработка альтернативных способов извлечения информации о временной эволюции живых систем.
В данной работе представлен анализ физиологических временных серий, основанный на статистической теории дискретных немарковских случайных процессов [2023]. Данный метод позволяет изучать динамические, спектральные, корреляционные, релаксационные свойства и характеристики живых систем. Метод базируется на формализме функций памяти и технике проекционных операторов Цванцига-Мори [25-26]. В качестве объекта исследования мы рассмотрели колебания выходного силового импульса указательного пальца человека. Экспериментальные данные были получены группой американских физиологов под руководством проф. Валлианкорта с помощью динамометрического датчика, фиксирующего уровень выходного силового импульса указательного пальца человека. В эксперименте участвовали представители трех возрастных групп (I группа - с 20 до 24 лет, II - с 64 до 69 лет, III - с 75 до 90 лет). В процессе анализа экспериментальных данных учитывались два релаксационных канала. Первый вклад связан с короткодействующими корреляциями, второй с дальнодейст-вующими корреляциями. Вычисление общего времени релаксации позволяет судить об особенностях релаксационных процессов в динамике выходного силового импульса человека, представляющего собой сложную комбинацию нелинейных взаимодействий. Для исследования локальных закономерностей нервно-мышечной системы человека были вычислены значения кинетических и релаксационных параметров при помощи специфической процедуры локализации. Данная процедура отражает локальные особенности релаксационных процессов в нервно-мышечной системе человека.
Таким образом, обнаруженные корреляционные и релаксационные особенности стохастической динамики выходного силового импульса позволяют описывать возрастные изменения, возникающие в нервно-мышечной системе человека.
Теоретическая часть. Релаксационные особенности дискретной временной эволюции живых систем
Представим временную динамику выходного силового импульса человека как дискретную временную серию х}. некоторой случайной величины X :
X = [х{Т), х(Т + т), х(Т + 2т), к, х(Т + (Ы - 1)т)}. (1)
Здесь Т - момент времени, с которого началась регистрация экспериментального показателя; (N - 1)т - полное время регистрации сигнала; т - временной шаг дискретизации.
Среднее значение (X}, флуктуации Ъxj и абсолютную дисперсию а2 для случайной величины X можно представить в следующем виде:
i N-1
X = ^ I x(T+л),
=о
1 N-1
5х1 = Х1 , — = N 21 •
N 1=0
Для описания динамических свойств исследуемой живой системы (динамики корреляций) удобно использовать нормированную временную корреляционную функцию (ВКФ):
а(( )=(-)Т ^ дХ1дХ1 + т = Т-— Ъдх(Т + 1Тдх(Т + Т + т)Г)'
N - т)- 1=0 Т - т)- 1=0
t = тт, 1 < т < N -1. (2)
Здесь Xj, Xj+т - значения переменной X на j, j + т шагах соответственно; bxj, bxj+т
2
- флуктуации величин Xj, Xj+т ; а - абсолютная дисперсия переменной X.
Функция a(t) удовлетворяет условиям нормировки и ослабления корреляций:
lim a(t) = 1, lim a(t) = 0 .
t ^0 t
С помощью техники проекционных операторов Цванцига-Мори [20-23] можно получить цепочку конечно-разностных уравнений немарковского типа [25, 26] для исходной ВКФ a(t) и функций памяти более высокого порядка M . (t) (( = 1, 2,..., n):
^ = Äla(t)-тЛ11M1 (jr)a(t - jr),
At j=0
AMJ) = X2M, (t) - тЛ 21M 2 (j rM (t - jr),
» . 2 1 \ / 2 /_j 2 *
At и
AMn-1 (t) = inMn-, (t)-тЛngMn(jr)Mn_l (t - jr) . (3)
М 1=0
Здесь Хп - кинетические параметры, описывающие спектр собственных значений квазиоператора Лиувилля £ ; Лп - релаксационные параметры:
4 = ^ Лп-1 .Г', Лп = Л п 1 2п • (4)
I Wn-11 К-12
Динамические ортогональные переменные Wn в уравнении (4) получены с помощью процедуры ортогонализации Грамма-Шмидта:
^п, Wm ) = 5 п, т ^ |Wn |
где 5п,т - символ Кронекера.
Особенности релаксационных процессов в динамике выходного силового импульса человека могут быть исследованы при помощи анализа времени релаксации. Заметим, что в реальных сигналах релаксационные процессы определяются сложной взаимосвязью кратко- и долговременных корреляций. Количественная оценка вкладов коротко- и дальнодействующих корреляций осуществляется при помощи кинетического Я1 и релаксационного Л1 параметров. Таким образом, анализ поведения перечисленных характеристик дает возможность детально изучить динамику корреляций в изучаемой системе и выявить сложный характер релаксационных процессов.
Время релаксации исходной ВКФ, вычисленное для экспериментальных данных, определяется следующим образом:
N , ч
тЕ =М 2 а(). (5)
1=1
Для вычисления теоретического времени релаксации тя воспользуемся бесконечной цепочкой уравнений Цванцига-Мори [21]. Используя корреляционные приближения, основанные на идее Боголюбова о выравнивании релаксационных масштабов [22], можно получить аналитические выражения для времен релаксации исходной ВКФ для различных релаксационных уровней. После этого можно выполнить сопоставление времени релаксации тЕ, вычисленного для экспериментальных данных, с результатами расчетов замыкания цепочки уравнений Цванцига-Мори на различных релаксационных уровнях [31]. Предварительный анализ разных замыканий указывает на совпадение экспериментальных и теоретических времен релаксации при условии: М 2 () = М1 (),
т.е. при равенстве релаксационных масштабов функций памяти первого и второго порядка.
Используя преобразование Лапласа, уравнения Цванцига-Мори можно представить в следующем виде:
sa(s)-1 = А^а^- К1а(УМ1 (5), М1 ()- 1 = А2М~1 (5) - Л 2М~1 (5 )~2 (5) ,
sMп_1 (5 )- 1 = АМ п-1 (5 ) - Л М„-1 (5 М„ (5 ) . Для вышеуказанного условия М2 (^) = М1 (^) можно получить решение этой системы уравнений в виде
1 (5 ) = 2Г { - 5 )±д/(5 -А )2 + 4Л 2 }
М, (5 ) =
2Л 2
г Л ч -1
а(5) = <5 -А+ 1
2Л,
(А - 5 ) + д/( -А )2 + 4Л 2
, 2
2
Время релаксации определяется следующим образом:
(6)
тя = ^ Нш а( 5),
д/4Л2 +(-А2)2 +А2 1-а! . (7)
Л1
Я 12Л 2 ,
С целью выявления локальных особенностей релаксационных процессов в динамике нервно-мышечной системы человека применялась специфическая процедура локализации.
Методика проведения эксперимента
В эксперименте участвовали 29 человек из трех возрастных групп: молодые люди (10 человек, 20-24 года, средний возраст - 22 года, 5 женщин и 5 мужчин), пожилые люди (9 человек, 64-69 лет, средний возраст - 67 лет, 4 женщины и 5 мужчин) и старые люди (10 человек, 75-90 лет, средний возраст - 82 года, 5 женщин и 5 мужчин). Все испытуемые - правши.
Все возрастные группы состояли из людей с умеренной мышечной активностью. Запястье и незадействованные пальцы правой руки людей фиксировались в неподвиж-
ном состоянии. Человек нажимал боковой стороной указательного пальца на динамометрический датчик (Entran ELFS-B3, Нью-Джерси), прикрепленный к столу (рис. 1). Аналоговый сигнал преобразовывался при помощи усилителя Coulbourn Type A S72-25 с 10 до 100 Вольт. Управляемая компьютером аналого-цифровая 16 битовая A/D плата выдавала сигнал выходного силового импульса с частотой в 100 Гц. Плата способна фиксировать изменения сигнала силового импульса до 0.0016 Н.
Рис. 1. Схема прибора Entran ELFS-B3
Первоначально фиксировался сигнал максимальной силы нажатия (МСН). Участники эксперимента нажимали на динамометрический датчик с наибольшей силой в течение трех последовательных 6 секундных испытаний. Промежуток между испытаниями 60 секунд. Полученные результаты были усреднены для оценки МСН каждого участника.
Далее участники нажимали с 5, 10, 20 и 40% уровнями МСН в течение двух последовательных 25 секундных испытаний. Волонтер должен был регулировать уровень силы нажатия таким образом, чтобы сигнал, представленный в виде желтой линии на мониторе, с максимальной точностью соответствовал красной линии, определяющей 5, 10, 20, 40% МСН. Более подробное описание эксперимента и регистрации экспериментальных данных представлено в работе [30].
Возрастные изменения динамики релаксационных процессов выходного силового импульса человека
На рис. 2 представлены усредненные значения кинетического параметра А^, характеризующего вклад короткодействующих корреляций в динамике выходного силового импульса, для разных возрастных групп. Замкнутые линии в виде «шишечек» определяют область наибольшего скопления значений параметра А . Пунктирные линии, дополняющие замкнутые линии, отражают интервал разброса значений Ai. Отдельные от пунктирных линий точки отображают максимальные значения параметра Ai. Первые восемь областей соответствуют группе si (молодые люди): две попытки для 4 уровней МСН, следующие восемь соответствуют группе s2 (пожилые люди), и последние соответствуют третьей группе s3 (старые люди).
Средние значения параметра А для двух попыток группы si: {А^ = -0.0263 г"1,
s2: (Ai) = -0.0149 т-, s3: (А^ = -0.0086 г"1. Таким образом, с возрастом уменьшается
влияние вклада короткодействующих корреляций в динамике выходного силового импульса человека. Различие средних значений параметра А составляет: s1/s2 - 1,8 раз, s1/s3 - 3.05 раза, s2/s3 - 1.73 раза.
0.01 г 0-0.01 ■ -0.02-0.04-0.05 ■ -0.06-0.07-0.08-
-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-г
I
и
I | |
I I I
1 I ±
ёПШШ
± г ± 1 ±
I и
1 I I
1
Л
± |
I I ± ±
_|_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
Ш1(%)
Рис. 2. Кинетический параметр \, характеризующий кратковременные корреляции для исследуемых физиологических сигналов. 24 области определяют усредненные значения параметра Л1 для двух попыток при четырех уровнях МСН разных возрастных групп людей
0,015
0,01
Л
1
0,005
И-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-г
, -1- -1- ±
I ± ±
± I -1- ±
_0 005_1_1_1_1_1_1_1_1_1_1_1_1_1_1_1_1_1_1_1_1_1_1_1_1_
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
Ш(%)
Рис. 3. Релаксационный параметр Л1, связанный с дальнодействующими корреляциями в динамике выходного силового импульса для разных возрастных групп людей
0
1200 1000 800 TR 600 400 200 0
Рис. 4. Общее время релаксации tr для всех возрастных групп, измеренное в т
(т =0.01 сек)
Релаксационный параметр Л1, определяющий вклад дальнодействующих корреляций, представлен на рис. 3. Для всех трех возрастных групп этот параметр остается примерно одинаковым. Таким образом, поведение дальнодействующих корреляций в динамике выходного силового импульса человека фактически не изменяется с возрастом (средние значения Л1 для групп s1, s2 и s3 равны: 0.0012 т~2, 0.0009 т~2, 0.0021 т- соответственно). Разные уровни МСН приводят к незначительным изменениям значений параметра Л1.
На рис. 4 представлено теоретическое время релаксации тR, вычисленное согласно формуле (7) и совпадающее с экспериментальным временем релаксации (см. уравнение 5). Для группы молодых людей среднее значение времени релаксации тR составляет 57.09 т , для пожилых и старых людей тR составляет 122.12 т, 236.79 т соответственно.
Сопоставляя изменения времен релаксации с возрастом, можно заметить, что времена релаксации соседних возрастных групп отличаются примерно в два раза. Таким образом, обнаруживаются отчетливые возрастные изменения в динамике релаксационных процессов выходного силового импульса человека.
Локальные особенности релаксационных процессов в функционировании нервно-мышечной системы человека
Для более детального анализа представленных физиологических серий воспользуемся процедурой локального построения кинетических и релаксационных параметров. Данная процедура оказывается удобной для выявления локальных закономерностей динамики релаксационных процессов выходного силового импульса человека.
На рис. 5 и 6 представлены временные зависимости локальных кинетического Д и релаксационного Л1 параметров, усредненные для разных возрастных групп людей при уровне силы нажатия в 5% от МСН.
Как видно на рис. 5, интервал разброса значений локального кинетического параметра Л1 для молодых людей более значительный, чем в случае пожилых и старых людей. В среднем для молодых людей параметр Л1 изменяется на интервале 0.3870 т - <|4| < 0.0394 т- , для пожилых людей - 0.0077 т- < < 0.1082 т- , для старых людей - 0.0314 Т <Ш < 0.0585 г"1. Таким образом, динамика короткодействую-
щих корреляций выходного силового импульса для каждой возрастной группы людей меняется в определенных пределах. С возрастом диапазон этих изменений уменьшается.
0.2 0 -0.2 -0.4
(
0.2 © 0 ^ -0.2
-0.4 -00..42
0 -0.2 -0.4
0
2000
2000
2000
Рис. 5. Временная зависимость локального кинетического параметра Л1, усредненная для группы молодых (а), пожилых (Ь) и старых (с) людей при уровне силы нажатия
5% МСН
1[т]
Рис. 6. Временная зависимость локального релаксационного Л1 параметра, усредненная для группы молодых (а), пожилых (Ь) и старых (с) людей с уровнем силы
нажатия в 5% от МСН
В табл. 1 представлены среднеквадратичные амплитуды кинетического А{Д} и релаксационного ^{Л1} параметров, вычисленные по формуле
А=
N
1
N-1 ^ 2
Е х2
]=0 У
(8)
1
5% 10% 20% 40%
АД} А{Л1} А{Д } АК } А{Д} АК } А{Д} АК }
s1 0.1704 0.0358 0.1222 0.0277 0.0885 0.0568 0.0657 0.0775
s2 0.0582 0.0453 0.0597 0.0329 0.0418 0.046 0.036 0.0492
s3 0.0194 0.02 0.0203 0.0236 0.0243 0.0232 0.0219 0.0237
Таблица 1. Среднеквадратичные амплитуды локализованных параметров Д и Л1
Значения А{Д}, А{Л1} свидетельствуют о возрастных изменениях кратко- и долговременных корреляций в релаксационных процессах нервно-мышечной системы человека. Сопоставление среднеквадратичных амплитуд для локальных кинетического Д и релаксационного Л1 параметров позволяет выявить особенности динамики релаксационных процессов, как при старении, так и при разных уровнях МСН.
Заключение
Представленный в работе метод анализа релаксационных процессов в динамике выходного силового импульса человека позволяет определять уникальные особенности и закономерности функционирования нервно-мышечной системы человека при старении. Количественная оценка короткодействующих и дальнодействующих корреляций в динамике силового импульса осуществляется при помощи кинетического Д и релаксационного Л1 параметров. Выявлено уникальное влияние кратковременных корреляций релаксационных процессов в функционировании нервно-мышечной системе у молодых людей и значительное снижение этого вклада при старении. Общее время релаксации, вычисленное для одного из корреляционных приближений времен релаксации функций памяти первого и второго порядка, для молодых людей оказалось меньшим по сравнению с группами пожилых и старых людей. Использование процедур локализации позволило судить о динамике разномасштабных корреляционных вкладов в релаксационные процессы при старении.
Таким образом, обнаруженные корреляционные и релаксационные особенности динамики выходного силового импульса позволили эффективно оценивать возрастные изменения, возникающие в нервно-мышечной системе человека.
Представленный метод количественной оценки корреляций и особенностей релаксационных процессов в дискретной временной эволюции живых систем был апробирован ранее при анализе скорости релаксационных процессов вариабельности сердечного ритма [31, 32]; при исследовании временных серий MЭГ здоровых людей и пациентов с эпилепсией [32]; при анализе динамических особенностей эпидемических процессов гриппа и ОРЗ [32].
Настоящая работа поддержана фондами: грант Федерального агентства по образованию Министерства образования и науки РФ № РНП.2.1.1.741, грант РФФИ № 08-02-00123-а.
Литература
1. Costa M., Goldberger A.L., Peng C.-K. Broken Asymmetry of the Human Heartbeat: Loss of Time Irreversibility in Aging and Disease // Physical Rewiew Letters. - 2005. - Vol. 95. - P. 198102.
2. Hausdorff J.M., Mitchell S.L., Firtion R. et al. Altered fractal dynamics of gait: reduced stride interval correlations with aging and Huntington's disease // Journal of Applied Physiology. - 1997. - Vol. 82. - P. 262-269.
3. Goldberger A.L., Amaral L.A.N., Hausdorff J.M. et al. Fractal dynamics in physiology: Alteration with disease and aging // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. - 2002. - Vol. 99. - P. 2466-2472.
4. Hausdorff J.M., Edelberg H.K., Mitchell S.L. et al. Increased gait instability in community dwelling elderly fallers // Archives of physical medicine and rehabilitation. -1997. - Vol.78. - P. 278-283.
5. Hausdorff J.M., Purdon P., Peng C.-K. et al. Fractal dynamics of human gait: stability of long-range correlations in stride interval fluctuations // Journal of Applied Physiology. - 1996. - Vol. 80. - P. 1448-1457.
6. Hausdorff J.M., Zemany L., Peng C.-K. et al. Maturation of gait dynamics: stride-to-stride variability and its temporal organization in children // Journal of Applied Physiology. - 1999. - Vol. 86. - P. 1040-1047.
7. Hausdorff J.M., Peng C.-K., Ladin Z. et al. Is walking a random walk? Evidence for long-range correlations in stride interval of human gait // Journal of Applied Physiology. - 1995. - Vol. 78. - P. 349-358.
8. Buzzi U.H., Stergiou N., Kurz M. et al. Nonlinear dynamics indicates aging effects variability during gait // Clinical Biomechanics. - 2003. - Vol. 18 - № 5. - P. 435443.
9. Lipsitz L.A., Goldberger A.L. Loss of 'complexity' and aging: potential applications of fractals and chaos theory to senescence // JAMA - 1992. - Vol. 267. - P. 1806-9.
10. Kaplan D.T., Furman M.I., Pincus S.M., Ryan S.M., Lipsitz L.A., Goldberger A.L. Aging and the complexity of cardiovascular dynamics // Biophysical Journal. - 1991. -Vol. 59. - P. 945-9.
11. Hausdorff J.M., Mitchell S.L., Firtion R., Peng C.-K., Cudkowicz M.E., Wei J.Y., Goldberger A.L. Altered fractal dynamics of gait: reduced stride interval correlations with aging and Huntington's disease // Journal of Applied Physiology - 1997. - Vol. 82. - P. 262-9.
12. Keil A., Elbert T., Rockstroh B., Ray W.J. Dynamical aspects of motor and perceptual processes in schizophrenic patients and healthy controls // Schizophr Res. - 1998. -Vol. 33. - P. 169-78.
13. Vaillancourt D.E., Newell K.M. Changing complexity in human behavior and physiology through aging and disease // Neurobiology of Aging. - 2002. - Vol. 23. - P. 1-11.
14. Pincus S.M., Goldberger A.L. Physiological time-series analysis: what does regularity quantify? // American Journal Physiology. - 1994. - Vol. 266. - P. 1643-1656.
15. Kaplan D.T., Furman M.I., Pincus S.M., Ryan S.M., Lipsitz L.A., Goldberger A.L. Aging and the complexity of cardiovascular dynamics // Biophysical Journal. - 1991. -Vol. 59. - P. 945-9.
16. Vaillancourt D.E., Larsson L., Newell K.M. Effects of aging on force variability, single motor unit discharge patterns, and the structure of 10, 20, and 40 Hz EMG activity // Neurobiology of Aging. - 2003. - Vol. 24. - P. 25-35.
17. Vaillancourt D.E. Regularity of force tremor in Parkinson's disease // Clinical Neurophysiology. - 2001. - Vol. 112. - P. 1594-1603.
18. Dingwell J.B., Cusumano J.P. Nonlinear time series analysis of normal and pathological human walking // Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science - 2000.
- Vol. 10. - № 4. - P. 848-863.
19. West B.J. Nicola Scafetta Nonlinear dynamical model of human gait // Physical Review E. - 2003. - Vol. 67. - P. 051917.
20. Zwanzig R. Ensemble method in the theory of irreversibility // Journal of Chemical Physics.- 1960. - Vol. 3. - P. 106-141.
21. Zwanzig R. Memory effects in irreversible thermodynamics // Physical Review. -1961. - Vol. 124. - P. 983-992.
22. Боголюбов Н.Н. Проблемы динамической теории в статистической физике / Н.Н. Боголюбов. - М.-Л.: Гостехиздат, 1946.-120 с.
23. Mori H. Transport, collective motion and Brownian motion // Progress of Theoretical Physics. - 1965. - Vol. 33. - P. 423-455.
24. Mori H. A continued fraction representation of the time correlation functions // Progress of Theoretical Physics - 1965. - Vol. 34. - P. 399-416.
25. Yulmetyev R., Hanggi P., Gafarov F. Stochastic dynamics of time correlation in complex systems with discrete time // Physical Review E. - 2000 - Vol. 62. - P. 6178.
26. Yulmetyev R., Hanggi P., Gafarov F. Quantification of heart rate variability by discrete nonstationary non-Markov stochastic processes // Physical Review E. - 2002. - Vol. 65
- P. 046107.
27. Yulmetyev R.M. Time-scale invariance of relaxation processes of density fluctuation in slow neutron scattering in liquid cesium // Physical Review E. - 2001. - Vol. 64. - P. 057101.
28. Yulmetyev R.M. Dynamic structure factor in liquid cesium on the basis of time-scale invariance of relaxation processes // JETP Letters. - 2002. - Vol. 76. - P. 147.
29. Yulmetyev R.M. New evidence for the idea of timescale invariance of relaxation processes in simple liquids: the case of molten sodium // Journal of Physics: Condensed Matter. - 2003. - Vol. 15. - P. 2235-2257.
30. Valliancourt D.E. Aging and time and frequency structure of force output variability // Journal of Applied Physiology. - 2003. - Vol. 94. - P. 903-912.
31. Yulmetyev R.M., Demin S.A., Panischev O.Y., P. Hanggi. Age-related alterations of relaxation processes and non-Markov effects in stochastic dynamics of R-R intervals variability fromhum an ECGs // Physica A - 2005. - Vol. 353. - P. 336-352.
32. Юльметьев Р.М., Дёмин С.А., Панищев О.Ю., Хусаенова Э.В. Локальные особенности стохастической динамики живых систем // Технологии живых систем. -2007. - Том 4. - №2 - P. 32-44.
