Коррекция линии укладки на оболочке вращения для получения требуемой заходности Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION. TECHNICAL SCIENCE. 2018. No 4

ИНФОРМАТИКА, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И УПРАВЛЕНИЕ INFORMATICS, COMPUTER ENGINEERING AND CONTROL

УДК 004.942 DOI: 10.17213/0321-2653-2018-4-5-10

КОРРЕКЦИЯ ЛИНИИ УКЛАДКИ НА ОБОЛОЧКЕ ВРАЩЕНИЯ ДЛЯ ПОЛУЧЕНИЯ ТРЕБУЕМОЙ ЗАХОДНОСТИ

© 2018 г. В.И. Маринин, Д.Н. Князев, В.Г. Исаева

Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) имени М.И. Платова, г. Новочеркасск, Россия

LAYING LINE CORRECTION ON THE SHELL OF ROTATION TO OBTAIN THE REQUIRED WINDING COEFFICIENT

V.I. Marinin, D.N. Knyazev, V.G. Isaeva

Platov South Russian State Polytechnical University (NPI), Novocherkassk, Russia

Маринин Владимир Иванович - канд. техн. наук, профессор, директор НИИ Вычислительных, информационных и управляющих систем, Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) имени М.И. Платова, г. Новочеркасск, Россия.

Князев Дмитрий Николаевич - канд. техн. наук, доцент, кафедра «Программное обеспечение вычислительной техники», Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) имени М.И. Платова, г. Новочеркасск, Россия. E-mail: bodimus@mail.ru

Исаева Виктория Геннадиевна - мл. науч. сотр., НИИ Вычислительных, информационных и управляющих систем, Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) имени М.И. Платова, г. Новочеркасск, Россия. E-mail: anomvgi@mail.ru

Marinin Vladimir Ivanovich - Candidate of Technical Sciences, Professor, Director Research Institute of Computing, Information and Control Systems, Platov South-Russian State Polytechnic University (NPI), Novocherkassk, Russia.

Knyazev Dmitriy Nikolaevich - Candidate of Technical Sciences, Assistant Professor, Department «Software Computer Engineering», Platov South-Russian State Polytechnic University (NPI), Novocherkassk, Russia. E-mail: bodimus@mail.ru

Isaeva Viktoriya Gennadievna - Junior Researcher, Research Institute of Computing, Information and Control Systems, Platov South-Russian State Polytechnic University (NPI), Novocherkassk, Russia. E-mail: anomvgi@mail.ru

Затрагивается тема формирования линии укладки материала на поверхности оболочки вращения с требуемой заходностью. В качестве исследовательской задачи определена попытка оценить влияние функции коррекции линии укладки на тангенс угла геодезического отклонения (устойчивость материала на поверхности оправки). Даётся сравнение нескольких видов функции коррекции, позволяющих получить линию укладки материала нужной заходности. Корректность расчёта тангенса угла геодезического отклонения проверялась с использованием конечно-разностной модели.

Ключевые слова: намотка; композитные изделия; линия укладки материала; заходность; тангенс угла геодезического отклонения; коррекция.

The article touches upon the theme of the formation of the material laying line on a surface of the shell of revolution with the required winding coefficient. As a research problem, the authors determined an attempt to estimate the influence of the laying line correction function on the geodetic deflection angle tangent (the stability of the material on the surface of the mandrel). Comparison of several types of correction functions allowing one to obtain a material laying line with required winding coefficient is given. The correctness of the geodetic deflection angle tangent calculation was verified using the finite-difference model.

Keywords: winding; composite products; material laying line; winding coefficient; geodetic deflection angle tangent; correction.

ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION.

TECHNICAL SCIENCE. 2018. No 4

Постановка задачи

Линия укладки, конструируемая на оболочке вращения, должна удовлетворять углам намотки, заданным конструктором изделия [1]. Для того чтобы эксплуатационные нагрузки распределялись равномерно по поверхности оболочки, линия укладки должна также удовлетворять дополнительному требованию заходности [2]. Таким образом, конструирование линии укладки состоит из двух этапов:

1) конструирование линии, удовлетворяющей заданным углам намотки;

2) коррекция построенной линии укладки для получения требуемой величины заходности.

Пусть на первом этапе получена линия укладки г = г(5) с периодом P, где 5 - натуральный параметр линии укладки [3]. Тогда на втором этапе необходимо скорректировать линию укладки на период АР. В качестве примера на рис. 1 показаны результаты построения 5-заходной схемы.

б

Рис. 1. Результаты конструирования линии укладки для 5-заходной схемы: а - после первого этапа, период равен 1,416870520423; б - после второго этапа, период равен

1,400000003364 / Fig. 1. Results of the laying line construction for the 5-winding coefficient scheme: a - after the first stage, the period is 1,416870520423; б - after the second stage, the period is 1,400000003364

На рис. 1, а период линии укладки такой, что сеть из пяти линий не образует регулярной

картины, в то время как на рис. 1, б регулярность рисунка имеется благодаря проведенной коррекции периода.

Принцип решения

Коррекция периода на величину АР означает, что радиус-вектор линии укладки нужно повернуть на некоторый угол Р вокруг оси Z, которая направлена вдоль оси вращения оболочки.

Таким образом, выражение для коррекции имеет следующий вид:

где M (ß (5 )) =

r (5 = M (ß (5)) r (5)),

cos ß (5 ) - sinß (5 ) 0 sinß (5 ) cosß (5) 0

0

0

1

(1)

матри-

ца поворота вокруг оси г на угол Р [4].

Закон Р(5) в простейшем случае является линейным (рис. 2).

Р

АР

с

Smax

Рис. 2. Пример закона ß(s) / Fig. 2. The law example ß(s)

Расчетные формулы для коррекции линии укладки

Линия укладки строится на поверхности, заданной параметрическим уравнением [3]

r = r (u, v), (2)

имеющей гладкость класса 2 [5], поэтому задача определения точки линии укладки на поверхности означает получение следующих данных:

dv d 2 v

d 2 u

5, U,

Получим выражения для определения всех перечисленных параметров. Будем обозначать параметры точки до коррекции без черты, а параметры после коррекции - с чертой.

Пусть линия укладки задана следующими функциями:

Ш = и (5 ), [V = V (5 ).

ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION.

TECHNICAL SCIENCE. 2018. No 4

Коррекция линии укладки состоит в следующем:

ш = и (5 ),

[V = V ( 5 ) + в ( 5 ).

Тогда

du ds d 2u ds 2

du ( s )

ds 2

d u ( s )

ds2

dv dv(s) dß(s) ds ds ds d2v _ d2v (s ) d2ß (s )

ds'

ds2

ds2

Далее необходимо перейти к натуральному параметру новой кривой 5 . Так как

dU du ds & ds ds,

du с125

ds 2 ds2 I ds ) ds ds 2'

d 2u

г2

d 2u

dv ds

ds f dv ^ dß ^ ds l ds о

d 2v ds 2

ds ds

22

2

v d 2ß

d s f dv ^dß

ds 2 V ds ds

Следовательно, — = g (s (s)) =

dr ( s )

ds

i2 r dr

d s dg ds

Тогда —г- = ———, где — = -

dg ds2 ds

ds2 ds ds

ds

dr ( s )

ds

Запишем итоговые расчетные выражения для параметров, которые понадобятся при коррекции линии укладки:

г = г (и, V) - радиус-вектор точки линии укладки

до коррекции; ги = ги (и^); гии = гии (и^); г = г (u,V);

ГГУ = ГГУ (U, V); гш = гиу (U, V); т = Ги х ГУ - нормаль к поверхности оболочки до коррекции; т = и 'ги + V 'гу - вектор касательной к поверхности оболочки в точке линии укладки до коррекции;

П = и'2 гии + 2u'V'Гuv + V'2 г™ + иЧ + А; - вектор

главной нормали к линии укладки в точке до коррекции;

tgö = ■

т (m х n )

mn

(3)

характеристика степени устойчивости линии укладки на поверхности оболочки (коэффициент

трения) [6]; Г ( 5 ) = М (в ( 5 )) г ( 5 ) - радиус-вектор

точки линии укладки после коррекции;

dГ n,dM — = Р'-г + Мт;

d5 dв

следует найти выражение для коэффициента — .

ds

Для этого, дифференцируя уравнение (1), найдем вектор касательной к скорректированной линии укладки:

^=dMÍР) dР г+М (Р) ±.

d5 dp d5 d5

dГ ( 5 )

Вектор —— является касательным к но-

d5

вому витку в точке, но не является единичным, поскольку зависит не от натурального параметра нового витка 5, а от параметра прежнего витка 5.

Единичный вектор касательной к новому витку равен

dГ(5) dГ(5) d5 ds d5 ds

d5

d 2 r ds2

= (ß')

2

dß

ds 1 ds

2M „n,dM _„dM -r + 2ß '-т + Mn + ß "-r;

dr ( s )

ds

dß

ds ds

dß

dr ( s )

ds

d 2 s ds 2

fi2 r dr ^

dr ( s )

ds

d 2 u

_ du ds u = u; — = u —; —-ds ds ds

= u

ds ds

ds 2

_ dv ds , ч

v = v + ß; — = (v ' + ß ');

ds ds

d 2 v

ds 2

d 2 s

=l ds J(v"+ß")+^ (v'+ß" >;

- - ds k

s1 = so +--As.

ds

Эти выражения применяются для каждой точки исходной линии укладки.

3

3

ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION.

TECHNICAL SCIENCE. 2018. No 4

Результаты численных экспериментов

Проведем ряд численных экспериментов с разработанной моделью. В качестве объектов для конструирования линии укладки выберем одну из наиболее распространенных оболочек наматывания - баллон с эллиптическими днищами. Параметры баллона:

- длина 355,07 мм;

- длина цилиндрической части 200 мм;

- диаметр цилиндрической части 252,7 мм;

- диаметр полюсных отверстий 45,8 мм.

Для построения линии укладки на полюсах

баллона зададим углы намотки, равные 90 градусам. На рис. 3 представлены графики изменения угла намотки и изменения тангенса угла геодезического отклонения вдоль оси баллона после первого этапа конструирования линии укладки.

Угол намотки на цилиндрической поверхности баллона - 16,4898 градусов. Период линии укладки после первого этапа - 1,0474516379 оборотов. Для выполнения операции корректировки выберем период со значением 1,0625 оборотов. Таким образом, разница между значениями периодов первого этапа конструирования линии укладки и второго составляет 0,0150483621 оборотов. Произведем коррекцию линии укладки, пользуясь приведенными выше расчетными выражениями. При этом будем применять три различных закона Р(?). Первый закон получим следующим образом. Пусть

/ Ч V (5)

в ( 5 ) = "(Т) АР ,

где V - угол закручивания витка в последней точке, причем V(5) е [0, V].

Тогда

АР АР

в'(5Р'(5

Этот закон учитывает характер изменения координаты V линии укладки. Назовём этот закон пропорциональным.

Второй закон Р(5) будет линейным (см. рис. 2).

Третий закон построим таким образом, чтобы коррекция точек линии укладки производилась только на цилиндрической части баллона, а точки линии укладки на днищах не смещались. Назовём этот закон составным.

Удобнее всего закон Р(5) задавать в виде сплайна, поскольку этот механизм обеспечивает единый подход к интерполированию различных наборов данных. В настоящей работе использовался сплайн 5-го порядка с дефектом 3 [7, 8],

что позволило задавать в требуемых точках значения не только самой функции Р, но также и значения первой Р' и второй Р" производных.

Э &

60 100 140 180 220 260 300 U - координата точки витка, мм а

Функция параметра линии укладки

0,14

0,10

«

s и и fr н 0,06

0,02 0 -0,02

и и

к я к

-0,06 -0,10

3

-0,14

20 60 100 140 180 220 260 300 340

U - координата точки витка, мм

б

Рис. 3. Графики изменения параметров линии укладки вдоль

оси баллона: а - угла намотки; б - тангенса угла геодезического отклонения / Fig. 3. Graphs for changing the parameters of the laying line along the cylinder axis: a - the angle of winding; б - the tangent of the geodetic deflection angle

Все три закона представлены на рис. 4 (на этом рисунке и далее введём обозначения: 1 - коррекция по составному закону P(s); 2 -коррекция по линейному закону P(s); 3 - коррекция по пропорциональному закону P(s)). 2,8 2,4

3 2,0

Е? Й 1 £ ft 1ч

^P 1,2 0,8 0,4 0

_ 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550

S, мм

Рис. 4. Графики изменения законов P(s) / Fig. 4. Graphs of P(s) law variation

ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION.

TECHNICAL SCIENCE. 2018. No 4

На рис. 5 показаны графики изменения угла намотки вдоль линии укладки для различных функций Р(^).

Asn

Функция параметра линии укладки

Э &

-20 -40 -60 -80 -100 -120 -140 -160

/ \

[ Д

I

V / 1 /

\ —- /

20

340

60 100 140 180 220 260 300 U - координата точки витка, мм

Рис. 5. Графики изменения угла намотки вдоль линии укладки для различных функций P(s) / Fig. 5. Graphs of the winding angle variation along the laying line for various functions P(s)

На рис. 6 показаны графики изменения тангенса угла геодезического отклонения вдоль оси баллона для различных функций P(s).

0 16 Функция параметра линии укладки

0,12

« 0,08 S

^ 0,04

я 0

и 0

к

я -0,04 -е--е-8 -0,08

-0,12

-0,16

3

— 1

/

2

\

—-

T'

3

1

20

340

60 100 140 180 220 260 300 U - координата точки витка, мм

Рис. 6. Графики изменения тангенса угла геодезического отклонения вдоль оси баллона / Fig. 6. Graphs of variation of the tangent of the geodetic deflection angle along the cylinder axis

Для проверки корректности графиков изменения тангенса угла геодезического отклонения, изображенных на рис. 6, полученных с помощью формулы (3), можно использовать следующую конечно-разностную модель.

Пусть имеются три радиус-вектора для трех точек кривой, принадлежащей некоторой поверхности (в соответствии с рис. 7).

Значение тангенса угла геодезического отклонения в точке r2 может быть получено по следующей формуле:

tge =

т2 (m2 X n2 )

mn

(4)

где Т2 = —(г2 - Г1) + —^n2 - вектор

касательной

к кривой в точке r2 ; = ru (m2,V2 )х rv (w2,v2 ) -вектор нормали к поверхности в точке r2 ; i A^3r1 - (Лу3 + Лу2 ) r2 + Л£2г3

n9 = 2-

As2 As3

-As- As2

вектор глав-

ной нормали к кривой в точке r2 ;

AS2 = r2 - r1

^3 = r3 + r2

Формула (4) позволяет исключить из расчета тангенса угла геодезического отклонения производные от криволинейных координат. Таким образом, путем сравнения непрерывного и конечно-разностного графиков тангенса можно сделать вывод о корректности или ошибочности расчета производных.

Рис. 7. К определению тангенса угла геодезического отклонения по конечно-разностной схеме / Fig. 7. Determination of the tangent of the geodesic deviation angle from the finite difference scheme

На рис. 8 показаны графики изменения тангенса угла геодезического отклонения вдоль линии укладки для различных функций P(s), полученные по конечно-разностной формуле.

0 16 Функция параметра линии укладки

0,12

« 0,08 я

& 0,04 s-

| 0 -0,04 -0,08 -0,12 -0,16

к я к

!Г) О

Ы

3

1

X2

/

1 г ----

/

1 2 3

20

340

2n 2

60 100 140 180 220 260 300 U - координата точки витка, мм Рис. 8. Графики изменения тангенса угла геодезического отклонения по конечно-разностной формуле / Fig. 8. Graphs of variation of the tangent of the geodesic deviation angle from the finite-difference formula

2

ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION. TECHNICAL SCIENCE. 2018. No 4

Сравнивая графики на рис. 6 и 8, можно сделать вывод, что они близки, а значит, формулы для расчета производных от криволинейных координат поверхности для скорректированной линии укладки адекватны.

Выводы

Представленная в настоящей работе процедура коррекции линии укладки для получения требуемой величины заходности (периода линии укладки), основанная на использовании корректирующей функции Р(5), описанной сплайном, обладает гибкостью и, как показывают результаты экспериментов, позволяет получать линии укладки, удовлетворяющие не только заданным углам намотки, но и заданной величине заходно-сти. К недостатку такой процедуры коррекции можно отнести отсутствие управления тангенсом угла геодезического отклонения.

Литература

1. Образцов И.Ф., Васильев В.В., Бунаков В.А. Оптимальное армирование оболочек вращения из композитных материалов. М.: Машиностроение, 1977. 144 с.

2. Воробей В.В. [и др.]. Технология непрерывной намотки нитью. М.: Изд-во МАИ, 2007. 180 с.

3. Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. М.,

1956.

4. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1968. 720 с.

5. Завьялов Ю.С. [и др.]. Сплайны в инженерной геометрии. М.: Машиностроение, 1985. 224 с.

6. Шварц А.Б. Математическое и программное обеспечение геометрического моделирования процессов намотки изделий из композиционных материалов: дис. ... канд. техн. наук. Новочеркасск, 2002. 184 с.

7. Маринин В.И., Федий В.С., Князев Д.Н. Существование и

единственность сплайна пятого порядка, построенного методом локальных вариаций // Изв. вузов. Электромеханика. 2002. № 5. С. 75 - 76.

8. Маринин В.И., Князев Д.Н. Интерполяция с использованием сплайнов пятого порядка // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. Спецвыпуск, 2002.

References

1. Obraztsov I.F., Vasil'ev V.V., Bunakov V.A. Optimal'noe armirovanie obolochek vrashcheniya iz kompozitnykh materialov [Optimal reinforcement shells of revolution made of composite materials]. Moscow: Mashinostroenie, 1977, 144 p.

2. Vorobei V.V. at el. Tekhnologiya nepreryvnoi namotki nit'yu [The technology of continuous winding thread]. Moscow: Publ. MAI, 2007, 180 p.

3. Rashevskii P.K. Kurs differentsial'noi geometrii [A course of differential geometry]. Moscow, 1956.

4. Korn G., Korn T. Spravochnik po matematike dlya nauchnykh rabotnikov i inzhenerov [Mathematics Handbook for Scientists and Engineers]. Moscow: Nauka, 1968, 720 p.

5. Zav'yalov Yu.S. at el. Splainy v inzhenernoigeometrii [The splines in engineering geometry]. Moscow: Mashinostroenie, 1985, 224 p.

6. Shvarts A.B. Matematicheskoe i programmnoe obespechenie geometricheskogo modelirovaniya protsessov namotki izdelii iz kompozitsionnykh materialov. Dis. kand. tekhn. nauk [Mathematics and software for the winding processes geometric modeling of products made of composite materials. Cand. Techn. Sci.diss.]. Novocherkassk, 2002, 184 p.

7. Marinin V.I., Fedii V.S., Knyazev D.N. Sushchestvovanie i edinstvennost' splaina pyatogo poryadka, postroennogo metodom lokal'nykh variatsii [The existence and uniqueness of the fifth order spline, constructed by the method of local variations]. Izv. vuzov. Elektromekhanika= Russian Electromechanics, 2002, no. 5, pp. 75 - 76. (In Russ.)

8. Marinin V.I., Knyazev D.N. Interpolyatsiya s ispol'zovaniem splainov pyatogo poryadka [Interpolation using the fifth order splines]. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Tekhn. nauki, 2002. Spetsvypusk. (In Russ.)

Поступила в редакцию /Receive 25 апреля 2018 г. /April 25, 2018