CC BY
39
MS С 80А30
КОРРЕКТНОСТЬ СТОХАСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ГЕНЕТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
Фам Минь Туан, Ю.П. Вирченко
Белгородский государственный университет, ул. Победы, 85, Белгород, 308015, Россия, e-mail: virch@bsu.edu.ru
Аннотация. Доказывается, что стохастическое дифференциальное уравнение т.н. генетической модели, которое описывает, в частности, кинетику бинарных автокаталитичееких химических реакций, всегда имеет единственное решение X(t) с начальными данными из (0,1), которое является глобальным (оно существует при всех t € R+). Причем, это решение таково, что его значения X(t) € [0,1], t € R+.
Ключевые слова: стохастическая модель, стохастический дифференциал Стратоновича, стохастический дифференциал Ито, теорема Вонга-Закаи, уравнение Колмогорова.
1. Введение. При теоретическом изучении различных явлений в естественных науках часто возникают математические модели, которые связаны со стохастическими динамическими системами. Их формулировка и исследование требует основано на понятии стохастического дифференциального уравнения и привлечения общей теории таких уравнений. Одной из таких стохастических моделей является т.н. генетическая .модель, введенная в |1| как иллюстрирующая эволюцию со временем в некоторых биологических процессах. В монографии |2| было предложено применение этой модели дня описания кинетики бинарных циклических химических реакций при наличии катализаторов (см. также |3|, где уравнения модели обоснованы в рамках химической кинетики). Использование модели в этом случае связано с учетом влияния тепловых флуктуаций среды на протекание реакции. Основное стохастическое дифференциальное уравнение для случайной функции x(t) в рамках генетической модели выглядит следующим образом:
dx(t) = [а - x(t) + Ax(t)(1 - x(t))]dt + ax(t)(1 - x(t))dw(t) , (1)
где а € (0,а € R+, A € R - параметры мод ели и dw(t) - стохастический дифференциал стандартного винеровского процесса w(t). В связи с физической интерпретацией уравнения (1), этот стохастический дифференциал должен пониматься по Стратопо-вичу [2]. Согласно физическому смыслу случайной функции x(t), как относительной концентрации двух участвующих в реакции химических реагентов, она должна принимать значения внутри (0,1). Исследование случайных процессов, которые являются решениями стохастического уравнения (1), основано па переходе в (1) от дифференциала Стратоновича к дифференциалу Ито. Уравнение (1) при таком переходе принимает
dx(t) = [a-x(t)+Ax(t)(1-x(t))+a2x(t)(1-x(t))(1-2x(t))/2]dt+ax(t)(1-x(t))dw(t) , (2)
Тот фат, что в математических моделях такого типа, как генетическая модель, в применении к физическим проблемам, должен использоваться именно стохастический дифференциал Стратоновича широко обсуждался в литературе. В частности, обоснование этому дается в самой монографии |2| (см. также работы |4|, |5|),
Решения полученного, таким образом, стохастического дифференциального уравнения, при фиксированных значениях параметров, составляют марковский диффузионный процесс. Таким образом, генетическая модель представляет трехнараметрическое семейство марковских диффузионных процессов. Соответствующее уравнение Колмогорова (см. [2]) для плотности распределения р(х,£) частного одноточечного распределения вероятностей каждого из процессов этого семейства имеет вид
= (3)
^ д /г с2 л \ с2 д2
(Н'р) (х, Ь) = — — ( а—;г+А;г(1 —--#(1 — — 2х) р(х,Ь))-\---—т\х2(1 — х)2'р(х^)] .
у ' дх\У 2 -1/2 дх2
В физической терминологии такое уравнение, обычно, называют уравнением Фоккера-
Планка,
Предсказания модели указывали на наличие бифуркации эволюционного стационарного режима при изменении параметров, которой был присвоен термин «фазовый переход иод воздействием шума». В монографии |2| дано обоснование применимости генетической модели дня описания этого фазового перехода (см. также |6|, где было дано уточнение задачи вычисления фазовой диаграммы дня этого фазового перехода). Генетическая модель была детально исследована в стационарном режиме, который описывается стационарным марковским процессом, у которого одноточечная плотность распределения уже не зависит от £ и является стационарным решением уравнения (1). Именно это стационарное решение содержит информацию о «фазовой диаграмме» указанного перехода.
Вместе с тем, в литературе отсутствует сколько-нибудь детальное исследование стохастической динамики, связанной с диффузионными процессами, которые порождаются уравнением (1). С физической точки зрения, это означает, что не исследована кинетика неравновесных состояний стохастической динамической системы, описываемой (3). В частности, не имеется информации о физически характерных временах (релаксации), присущих этой системе. Оказывается, что дня математически последовательного решения этого вопроса нужно иметь априорную информацию о корректности модели, определяемой (1) в том смысле, что это уравнение, действительно, определяет диффузионные процессы, удовлетворяющие основным тем физическим требованиям, которые должны быть предъявлены к ней. К их числу мы отнесем следующие:
1. Уравнение (1) должно иметь решение при любых начальных данных х(0) € (0,1).
2. Это решение должно быть единственно с вероятностью 1.
3. Каждое из решений, порождаемое начальным значением х(0) € (0,1), должно существовать, с вероятностью 1, при всех £ € М+,
4. Оно, в течение всей эволюции, должно оставаться в [0,1].
Ответам па эти вопросы посвящено настоящее сообщение.
2. Существование и единственность решений. Несколько затруднительно установить существование и единственность стохастического дифференциального уравнения со стохастическим дифференциалом Ито, Это связано с тем, классическая теорема относительно разрешимости задачи Коши дня стохастических дифференциальных уравнений |7| вида
¿х(£) = /(х(£))^£ + сд(Х(£))йгу(£) , (4)
где, в нашем случае,
/(х) = а — х + Ах(1 — х) + с2х(1 — х)(1 — 2х)/2 , д(х) = х(1 — х),
ввиду сильного возрастания роста коэффициентов /(х) и д(х) при х — то, неприменима в том общем виде, в котором она сформулирована. Причиной этого является то, что, в процессе доказательства, необходимо явно учитывать, что траектории х(£) с начальными значениями х(0) € (0,1) не выходят за пределы этого отрезка.^ Поэтому мы установим теорему существования и единственности, основываясь на теореме Вонга-Закаи |8| (см. также |2|),
Теорема (Вонг-Закаи), Пусть гу(га)(£) - последовательность случайных процессов, непрерывных, с ограниченной вариацией, имеющих непрерывную производную и сходящихся почти наверное равномерно к впнеровскому процессу. Тогда, если / и д непрерывны и удовлетворяют условию Липшица, то решения х(п) (£) стохастического уравне-
^х(га) (£) = / (х(п) + сд(х(п) (¿))^ги(га) (£) (5)
(в котором стохастические интегралы допустимо понимать как обычные интегралы Ри-мапа), сходятся почти наверное равномерно к решению стохастического дифференциального уравнения Ито
2
с1х(1.) = /(£(£)) + ^-д'{хЦ))д{хЦ)) сИ + д^хЩсШЦ) , (6)
или, что то же самое к решению стохастического дифференциального уравнения Стра-топовича (4).
При этом допустимо, что процессы х(£) могут быть обрывающимися со случайным временем обрыва.
Заметим, что к этому же результату можно прийти посредством техники приближений, которая разрабатывалась в рамках решения задач статистической физики (см.
|9-12|)
Применим теорему Вонга-Закаи дня доказательства корректности генетической модели.
"Эта трудность возникает из-за того, что нарушается условие |f (x)|2 + |g(x)|2 < K2(1 + |x|2), K = const, которое гарантирует существование случайного процесса X(t) на R+ при выходе за пределы отрезка, случайный процесс X(t) становится, вообще говоря, обрывающимся со случайным временем обрыва (см. [2], стр. 129).
Теорема. Для любого случайного значения Х(0) € (0,1), стохастическое дифференциальное уравнение (1), которое статистически не зависит от значений случайного процесса {&(£); £ € М+}, имеет единственное; с точностью до стохастической эквивалентности, решение, которое является марковским случайным процессом {х({); £ € М+} с вероятностью 1 непрерывными траекториями, значения которого с той же вероятностью, содержатся в [0,1] при всех £ € М+ и плотность р(х, Ц х', V) условных вероятностей перехода которого удовлетворяет уравнению (2) с носителем 88ирр(х,Р; х'Р) С [0,1].
□ Построим импульсный случайный процесс {ф(Ь); £ € М}^ с траекториями
где и(^) - произвольная локализованная около нуля гладкая функция, {ап; € Ъ} - последовательность независимых в совокупности одинаково распределенных дихотомических случайных величин ап € {±1} с нулевым средним значением, {Ьп; п € Ъ} - простейшее пуассоновское точечное случайное поле на М с плотностью р. Тогда ряд (7) сходится с вероятностью 1 и поэтому формула (7) определяет случайный процесс {ф(1); £ € М}, как функционал от двух случайных последовательностей {ап; п € Ъ}, {Ьп; п € Ъ}, распределение вероятностей которого индуцируется распределениями вероятностей этих последовательностей.
Рассмотрим стохастические уравнения
для каждой фиксированной реализации (p(t) с fag, заданными выше. Для любого начального значения x(0) € (0,1) существует единственное решение S(t; ф) этого уравнения при достаточно малых t € [0, S^, оде s - случайное время. Рассмотрим это решение па указанном полуоткрытом интервале.
Положим, что существует случайное время т такое, что т(т) = 0,1 и т(т+6) < 0, > 1, соответственно, при достаточно малом 6 > 0, причем время т выбрано наименьшим из всех тех, которые удовлетворяют этому условию. Тогда, согласно (8), х(т) = а > 0, а - 1 < 0
времени т. Тогда время т пересечения границ отрезка [0,1] решением S(t) не существует. Более того, если бы в момент времени т происходило бы только достижение границ отрезка без пересечения, то, в этом случае, решение S(t) достигало, соответственно, минимума в точке 0, либо максимума в точке 1, то есть должно было выполняться x(t) = 0. Так как это равенство тоже невозможно, то решение S(t; ф) никогда при t € [0, не достигает границ отрезка [0,1]. Это означает, что с вероятностью 1 значения решения S(t; ф) € (0,1) на полуинтервале времени, на котором оно существует.
Обрыв решения S(t; ф) при каком-то случайном значении t = s (невозможность продолжения решения с начальным значением x(s)) может произойти только, если lx(t)l ^ ж при t ^ s — 0. Но в таком случае, это решение должно было покинуть
(7)
x(t) = f (x(t)) + ag(x(t))ip(t)
(8)
* Техника доказательства на основе импульсных процессов была предложена в [12].
отрезок [0,1] при каком-то меньшем значении времени f <5, что, как доказано выше, невозможно. Тогда f = сю, то есть решение x(t; (f) существует при всех t G R+. При этом все значения траектории x(t; (f) находятся на (0,1).
Выберем последовательность случайных процессов {(f(n)(t); t G R}, n G N так, что соответствующая ей последовательность плотностей {pn; n G N} и последовательность функций {u(n)(t); n G N} удовлетворяли условию pn f (u(n))2(t)dt — 1 при n — oo. Тогда последовательность индуцированных последовательности {(f(n) (t); t G R}, n G N процессов {wf(n)(t); t G R+}, n G N с траекториями wf(n)(t) = J^ <f(n)(s)ds удовлетворяет всем условиям теоремы Вонга-Закаи. При этом стохастическое дифференциальное уравнение (5) эквивалентно уравнению (8). Тогда случайные процессы x(t; (f(n)), n G N являются единственными решениями уравнения (5) и, согласно, теореме Вонга-Закаи стремятся n - o
непрерывные с вероятностью 1 траектории. Этот процесс определен при всех t G R+, On является марковским диффузионным процессом и, так как имеется однозначная связь между стохастическим уравнениями (1) и (2), то, согласно теореме Колмогорова о диффузионных процессах, его плотность p(x, t; x', t') условных вероятностей перехода удовлетворяет уравнению (3). ■
Литература
1. Kimura М., Ohta Т. Theoretical aspects of Population genetics / Boston: Princeton University Press, 1971.
2. Хорстхемке В., Лефевр P. Индуцированные шумом переходы: Теория и применение в физике, химии и биологии / Пер. с англ. /М.: Мир, 1987. 400 с.
3. Snivthe .J., Moss F., MeClintoek P.V.E. Observation of noise-induced phase transition with an analog simulator / Phvs. Rev. Lett. 1983. 51; 12. P.1062-1065.
4. Smvthe .J., Moss F., MeClintoek P.V.E., Clarkson D. Ito versus Stratonovieh revisited / Phvs. Lett A. 1983. 97. P.95-98.
5. Moon W., Wettlaufer J.S. On the interpretation of Stratonovieh calculus /7 New .Journal of Physics. 2014. 16. P.055017.
6. Фам Минь Туан, Вирчснко Ю.П. Анализ стохастической модели химической кинетики бинарной автокаталитической реакции /7 Belgorod State University Scientific Bulletin Mathematics & Physics. 2013. 11(154);31.' C.130-146.
7. Гихман И.И., Скороход А.В. Стохастические дифференциальные уравнения / Киев: На-укова Думка, 1968. 356 е.
8. Wong Е., Zakai М. On the convergence of ordinary integrals to stochastic integrals / Ann. Math. Stat. 1965. 36. P.1560-1564.
9. Van Kampen N.G. A eumulant expansion for stochastic linear differential equations. I / Phvsiea. 1974. 74. P.215-238.
A eumulant expansion for stochastic linear differential equations. II / Phvsiea. 1974. 74. P.239-247.
10. Van Kampen N.G. Stochastic differential equations / Phvs. Rep. 1976. 24C. P.171-228.
11. Лаекин H.B., Пелетминекий С.В., Приходько В.И. К кинетической теории систем в случайных нолях / Теор. мат.физ. 1978. 34. Р.244-255.
12. Вирченко Ю.П., Лаекин Н.В. Охрубленное описание распределения решений уравнения Ланжевена / Теор. мат. физ. 1979. 41;3. Р.406-417.
CORRECTNESS OF STOCHASTIC EQUATION OF THE GENETIC MODEL
Pham Minh Tuan, Yu.P. Virchenko
Belgorod State University, Pobedy St., 85, Belgorod, 308015, Russia, e-mail: virch@bsu.edu.ru,
Abstract. It is proved that the stochastic differential equation of the so-called genetic model which, in particular, describes the kinetics of of binary cyclic chemical reactions proposed by Horsthemke W. and Lefever R. always has an unique solution x(t) when its initial value is placed in (0,1). This solution is the global one, i.e. it exists at all t € R+. Besides, it is such that its values x(t) € [0,1], t € R+.
Key words: stochastic model, stochastic Stratonovich differential, stochastic Ito differential, Wong-Zakai's theorem, Kolmogorov's equation.
