Корректная разрешимость систем операторных уравнений с векторными накрывающими отображениями Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.988.6 + 517.922

КОРРЕКТНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ СИСТЕМ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ С ВЕКТОРНЫМИ НАКРЫВАЮЩИМИ ОТОБРАЖЕНИЯМИ

© В.С. Трещёв

Ключевые слова: векторные накрывающие отображения; метрические пространства; уравнение.

Получены условия корректной разрешимости систем операторных уравнений с вектор-но условно накрывающими отображениями.

В работах [1, 2] доказаны теоремы о существовании и свойствах точек совпадения, основанные на понятии накрывающего отображения в метрических пространствах. Идея распространения понятия накрывания на векторные отображения предложена в [3]. В данной работе свойство векторного накрывания используется для получения условий корректной разрешимости систем операторных уравнений.

Используются следующие обозначения: Мт - ш -мерное вещественное пространство, Мт - конус векторов с неотрицательными компонентами пространства Мт.

Пусть заданы метрические пространства Х^, У, г = 1, п, j = 1,ш. Определим произведение этих пространств

п т

X = П Xi, У = П у

г=1 j=1

и зададим в них векторные метрики, полагая для х = (х1,..., хп), и = (и1,..., ип) € X и У = (ш,...,Ут), Ш = (Ш1,...,Шт) € У

р^(х,и) = (рхх (x1,u1), . . . ,РХп (хп,ип^ , Ру(У,ш) = {рУг (У1, , • • • ,рут (Ут,Шт^ •

Для метрического пространства (Хг,рх) положим Бх1 (иг,йг) = {хг € Хг : р^(иг,хг) ^ ^ йг} замкнутый шар с центром в точке иг € Хг радиуса йг ^ 0. Аналогично, обозначим Бу (ш,, гj) замкнутый шар в пространстве (Уj, ру). Определим произведение этих шаров

т

Бу(ш, г) = {у € У, ру(у, ш) < г} = Бу. (^, г,), где г = (гь ...,Гт) € Мт,

j=1

п

Бх(и, й) = Ц Бх1 (иг, йг), где й = (йь..., йп) € М+.

г=1

Пусть, далее, задано множество Ш С У, п х ш матрица А с неотрицательными компонентами а^, г = 1, п, j = 1, ш. Для заданных и0 € X, Л € Мт и € Бх (и0, Л) определим множество

В (и0, Л, и) = {(и, г) € X х Мт : Аг + рх(и, и0) < Л}.

Определение1. Отображение ^ : X ^ У называем векторно условно А -накрывающим множество Ш на совокупности В(и0,Л, и) если

Уу € Ш П ^(X) Ару(у,^(и))+ рх(и, и0) < Л ^

Зх € X ^(х) = у и рх(х,и) ^ Ару(у,^(и)).

Пусть при любом натуральном I = 1, 2,... определено отображение Фг : X х X ^ У и задан вектор уг € У. Рассмотрим последовательность уравнений

Фг(ж,ж)= yi, l = 1,2,... (1)

относительно неизвестного X € X, или в более подробной записи

Фц(Ж1,... ,Xn,Xl, ... ,Xn) = yii, $2l(xi, . . . ,Xn,Xi, . . . ,Xn) = У21,

l = 1, 2,... (2)

, Фщ1 (Xl, . . . ,Xn,Xi, . . . ,Xn) = У ml,

Пусть, далее, для некоторого элемента и0 = € X при I ^ то имеет место

сходимость

PYi (Фа(и°,А yü) — 0 i = 1, m. (3)

Нас интересуют условия, обеспечивающие разрешимость при любом натуральном l системы уравнений (2) и сходимость к u° последовательности решений.

Далее, пусть заданы u° € X, R € R+, d € Rm, матрицы Anxm и Bmxn с неотрицательными компонентами и единичная матрица Imxm. Определим при всех l = 1, 2,...

r(yi) = (I - BA)-1Py(Ф1 (u°,u°),yi).

Отметим, что вследствие (3) выполнено r(yi) — 0 при l — то.

Имеет место следующая теорема.

Теорема 1. Пусть пространства Xj, i = 1,n, являются полными и при всех l = 1, 2,... выполнены следующие условия: для любого u € U = Bх(u°,R), отображение Фl(-,u) : X — Y является векторно условно A -накрывающим множество Wl(u) =

= By^i(u°,u),d) на совокупности B(u°,R,u); для любых u,v € U выполнено неравенство ( )

pY(Фl(v,u), Фl(v,v)) < Bp^(u, v);

для любой последовательности {vk} € U из сходимости (при k — то) рх(vk, u) — 0, Py^i(vfc, v),yi) — 0 следует Ф1 (v,v) = yi, l = 1,2,... ; для спектрального радиуса q матрицы BA выполнено q(BA) < 1; для любого u € B^ (u°,Ar(yi)) выполнено включение yi € Ф^и, u).

Тогда, если имеет место соотношение (3), то при каждом натуральном l, начиная с некоторого номера, существует такое решение = (£l,..., £П) € X системы (2), что ei — u°.

Аналогичный результат для скалярного случая n = m = 1 получен в работах [1, 2].

ЛИТЕРАТУРА

1. Арутюнов А.В., Аваков Е.Р., Жуковский Е.С. Накрывающие отображения и их приложения к дифференциальным уравнениям, не разрешенным относительно производной // Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45. № 5. С. 613-634.

2. Арутюнов А.В., Жуковский Е.С., Жуковский С.Е. О корректности дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной // Дифференциальные уравнения. 2011. Т. 47. № 11. С. 15231537.

3. Жуковский Е.С., Плужникова Е.А. Накрывающие отображения в произведении метрических пространств и краевые задачи для дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной // Дифференциальные уравнения. 2013. Т. 49. № 4. С. 439-456.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 14-01-97504).

Поступила в редакцию 2 июня 2015 г.

Treshchev V.S. WELL-POSED SOLVABILITY OF SYSTEMS OF OPERATOR EQUATIONS WITH VECTOR COVERING MAPPINGS

Conditions of the well-posed solvability of systems of operator equations with vector conditionally covering mappings are obtained.

Key words: vector covering mappings; metric spaces; equation.

Трещёв Валентин Сергеевич, Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, аспирант кафедры алгебры и геометрии, e-mail: treshchev.math@mail.ru

Treshchev Valentin Sergeyevich, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, the Russian Federation, Post-graduate Student of the Algebra and Geometry Department, e-mail: treshchev.math@mail.ru

УДК 519.87 + 519.722 + 519.213

ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ В ЭНТРОПИЙНОМ МОДЕЛИРОВАНИИ ГАУССОВСКИХ СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

© А.Н. Тырсин, И.С. Соколова

Ключевые слова: математическая модель; дифференциальная энтропия; стохастическая система; случайный вектор; нормальное распределение; оптимизация. Рассмотрены задачи управления гауссовской стохастической системой с помощью увеличения и уменьшения ее дифференциальной энтропии. В качестве модели стохастической системы используется многомерная гауссовская случайная величина.

Использование энтропии при исследовании различных стохастических систем является распространенным [1-4]. Актуальным направлением математического моделирования сложных систем является моделирование таких систем с помощью энтропийных методов. В основе этих методов лежит использование энтропии в качестве критерия оценки функционирования системы. Это обусловлено тем, что энтропия — универсальный параметр, свойственный различным категориям систем, экономическим, биологическим, техническим и др.

Энтропийное моделирование гауссовских стохастических систем состоит в следующем [5]. Представим стохастическую систему 5 в виде многомерного нормального случайного вектора V = (У1, У2,..., Ут) . Каждый элемент У этого вектора является одномерной гауссовской случайной величиной, которая характеризует функционирование соответствующего элемента исследуемой системы. Элементы могут быть как взаимозависимыми, так и не зависеть друг от друга.

Представим дифференциальную энтропию случайного вектора V как [5]

1 т 1

Н (V) = ^1п[(2пв)т|^|] = £ Н (Уг) + 2 1п(|К|), (1)

1=1

где Уг = — 1п(2пвстУ^.) ; X , К — ковариационная и корреляционная матрицы случайного 2 г вектора V.