CC BY
9
Заключение. Предлагаемая трехуровневая модель социально-экономического сайта по формированию, представлению и раскрытию социальной отчетности российскими компаниями может быть использована для разработки веб-сайта или доработки существующих информационных ресурсов, таких как сайт Российского союза промышленников и предпринимателей. Предлагаемая модель сайта отличается наличием методического инструментария составления и публикации социальной отчетности для компаний крупного, среднего и малого бизнеса, который нацелен на удовлетворение информационных потребностей стейкхолдеров, что обеспечит повышение конкурентоспособности организаций в условиях цифровой экономики. Предполагаемая унификация социальной отчетности сделает ее формирование более доступной для компаний разных уровней, а само содержание и структуру социальной отчетности понятной, информационно доступной и уни-фицированно-структурированной для стейкхолдеров. Кроме того, аспектом прикладной значимости станет разработка раздела, посвященного обратной
связи «компаниио-стейкхолдеры».
Библиографический список
1. Алексеева И.В., Осипова Р.Г. Развитие ключевых характеристик дефиниции «корпоративная отчетность //
УДК 519.233.24, 519.233.5
Международный бухгалтерский учет. -2015. - №. 12. - С. 25-34.
2. Аналитический обзор корпоративных нефинансовых отчётов: 2015-2016 годы выпуска / Е.Н. Феоктистова, Л.В. Аленичева, Е.И. Долгих и др. - М.: РСПП, 2017. 136 с.
3. Отчет о деятельности в области устойчивого развития группы «Лукойл» за 2015-2016 гг. [Электронный ресурс]. - URL: http://www.lukoil. ru/FileSystem/PressCenter/163478.pdf?dl= 1 (дата обращения: 20.10.2017).
4. URL: http://www.corporateregister. com (дата обращения: 27.11.2018).
Bibliographic list
1. Alekseeva I.V., Osipova R.G. Development of key characteristics of the definition of corporate reporting // International Accounting. - 2015. - №. 12. -Pp. 25-34.
2. Analytical review of corporate non-financial reports: 2015-2016 of release / E.N. Feoktistova, L.V. Alenicheva, E.I. Dolgikh et al. - M.: RSPP, 2017. - 136 p.
3. Report on activities in the field of sustainable development of the Lukoil group for 2015-2016 [Electronic resource]. - URL: http://www.lukoil.ru/FileSystem/PressCent er/163478.pdf?dl=1 (the date of circulation: 10/20/2017).
4. URL: http://www.corporateregister. com (appeal date: 11/27/2018).
Белов А.Г., Моисеев Н.А., Свиридова О.А.
КОРРЕКТИРОВКА ГРАНИЦ СРЕДНЕГО ПОВТОРНЫХ НАБЛЮДЕНИЙ
РЫНОЧНОЙ СТОИМОСТИ14
Аннотация
В различных областях естествознания часто решают задачу интервального оценивания и прогнозирования наблюдения и регрессии на основе известных соответствующих доверительных границ. Однако в ряде областей экономики и финансов в данных
14 Данная статья подготовлена в рамках внутреннего гранта Финансового университета при Правительстве РФ для поддержки молодых ученых.
присутствует повторяемость наблюдений для каждого значения регрессоров. Примером могут служить котировки рыночной стоимости товаров у различных продавцов. В таких случаях интерес представляет построение поточечных и совместных интервальных границ для среднего повторных наблюдений как дополнение к границам регрессии и отклика.
Цель исследования - построение совместных доверительных границ для среднего повторных наблюдений множественной нормальной линейной регрессионной модели с помощью метода коррекции Бонферрони уровня доверия и его аналогов. В исследовании использованы поточечные доверительные границы среднего повторных наблюдений множественной нормальной линейной регрессионной модели, численный метод коррекции Бонферрони уровня доверия и его модификации. Рекомендуется к применению численный метод Бонферрони коррекции уровня доверия поточечных доверительных границ для оценивания совместных границ среднего значения повторных наблюдений рыночной стоимости на основе линейной множественной нормальной регрессионной модели.
Проведенное численное моделирование и обработка реальных данных с применением метода коррекции Бонферрони показали существенное различие совместных доверительных границ от поточечного аналога. Эта особенность метода и его аналогов помогает исследователю уточнить доверительные границы средней рыночной стоимости.
Ключевые слова
Совместные доверительные интервалы, нормальная регрессия, оценка рыночной стоимости, метод Бонферрони.
JEL: C46
Belov A.G., MoiseevN.A., Sviridova O.A.
ADJUSTMENT OF THE BOUNDARIES FOR REPETITIVE OBSERVATIONS
OF MARKET VALUE
Annotation
In various fields of natural science, the problem of interval estimation and prediction of observation and regression is often solved on the basis of known corresponding confidence limits. However, in a number of areas of Economics and Finance, there is a repeatability of observations for each value of regressors in the data. For example, quotations of the market value of goods from different sellers. In such cases, the interest is the construction of pointwise and joint interval bounds for the average repeated observations, as a supplement to the borders of regression and response.
The purpose of the study is to construct joint confidence limits for the mean repeated observations of the multiple normal linear regression model by using the Bonferroni correction method of the confidence level and its analogues.
Materials and methods-the study used the point-to-point confidence limits of the mean repeated observations of the multiple normal linear regression model, the numerical method of Bonferroni correction of the confidence level and its modification.
As results, it is recommended to use the Bonferroni numerical Method for correcting the level of confidence of point-to-point confidence boundaries to estimate the joint boundaries of the mean value of repeated observations of market value on the basis of a linear multiple normal regression model.
Conclusion: the numerical simulation and real data processing with using the Bonferro-ni correction method showed a significant difference between the joint confidence boundaries and the point analogue. This feature of the method and its analogues helps the researcher to clarify the confidence limits of the average market value.
Keywords
Joint confidence intervals, normal regression, market value estimation, Bonferroni method.
Введение. В статье рассматривается задача построения совместных доверительных интервалов для среднего значения повторных наблюдений рыночной стоимости на основе линейной множественной нормальной регрессионной модели. Для ее решения применен численный метод коррекции Бон-феррони уровня доверия поточечных доверительных интервалов. Проведены численные расчеты и сравнительный анализ совместного доверительного интервала с поточечным аналогом на модельных и реальных данных.
Теория. Постановка задачи. Рассмотрим линейную множественную нормальную регрессионную модель наблюдений
У = Х/ + е,
где У = (Ух,. . .,Уп)Т - вектор-столбец случайных величин (с. в.) у1 откликов, описывающих результаты /-го опыта, - вектор-столбец
случайных «ошибок» с нормальным законом распределения
, не зависящий от вектора параметров ;
||х( 1 ),. ..,х (к п х к - регрессионная матрица из вектор-столбцов (хх у,. . . ,хпу) , оказывающих влияние только на среднее значение отклика , при этом /п = й/ ад ( 1,. . ., 1) £ Дпх п, гап/с х = /с, /с < п.
Пусть имеется т повторных наблюдений , соот-
ветствующих фиксированным значениям регрессоров
, где вектор-столбец
случайных «ошибок» ег = ( ег 1 ,. .. ,егт) Т не зависит от е и Ь( ег) = ( 0, <г2/т) , а для .
Для среднего значения повторных - 1 г
откликов уг = — е Туг, где ет =
для вектора заданных значений регрессоров хг используется 100(1 - а)%-й доверительный поточечный интервал [1, 2]:
(Уг + * 1 _|,П - к^ + хТ4_ ^ С1)
где 4 = ХТХ,уг = хТ/? - оценка отклика всех уг для хг,
/? = 4 - 1 ХТу = / + а4 - 1 ХТе0 -оценка вектора параметров в, найденная по выборке у с помощью метода наименьших квадратов (МНК),
а2 = £(/?)/ ( п — /с) - оценка а2, ег~ 0, а2) и не зависит от е,
* 1 -г, п - к есть 1 0 0( ^ |)%-й
квантиль распределения Стьюдента Щп-к), так что 1 — а =
р{|*П - кК*1 -гп - к}, 0<а<1 ,
5(/?) = (у — Х/?)Т(у — Х/?), ео=^, Ь ( ео ) = ^ ( 0,/П) .
Из (1) следуют известные 100(1 -а)%-е доверительные поточечные интервалы [3, с. 132, 134] для среднего хТ// (при т ^ да) и индивидуального уг = хТ// + ег (при т = 1) значения отклика для вектора заданных значений регрессоров хг, соответственно:
(Уг + *1 _2<п- к<тУХТ4-тхГ), (уг + * 1 _ г п _ к<?7 1 + хТ4 _ 1 Хг).
7.' '
На практике наиболее часто требуется на уровне доверия 1—а оценить доверительную полосу для среднего не для каждого отдельного вектора регрес-соров хг, (поточечные доверительные границы - ПДГ) [4], а одновременно по всей наблюдаемой области регрессоров хг, г = 1, ... , N (совместные доверительные границы - СДГ). То есть необходимо, чтобы выполнялось соотношение: Р{уг е Дг,Мг = 1,. . } =
Р{П?=!(уг е Д)} = 1
а,
(2)
где
Ьг=Уг- t1 _н,п _кЯ1- + х?А 1х
иг=уг + t 1 _£,п + х£А 1хг,
— \J-~iу, .
Однако ПДГ (1) для заданного уровня 1—а не будут удовлетворять (2). Действительно, раздельное построение множественных доверительных интервалов для каждого хг, г=1, ... , N, увеличивает вероятность получить по крайней мере один неверный вывод за пределами уровня а. Это означает, что одновременный уровень покрытия ПДГ обычно намного меньше 1-а, а значит, ПДГ может дать исследователю ложное чувство уверенности о поведении среднего и может приводить к ошибочным
N \ ( / N
выводам. Таким образом, ПДГ не подходят для решения задачи одновременного покрытия среднего, так как дают зауженную доверительную полосу, а уровень доверия оказывается завышенным. Для исправления недостатков ПДГ и построение СДГ существуют специальные методы различной направленности, в том числе методы коррекции уровня покрытия 1-а ПДГ, некоторые из которых будут описаны и применены ниже.
Методы. В настоящее время существует много методов коррекции уровня доверия. Однако среди них нет лучшего на все случаи. Все они являются модификациями метода Бонферрони (БопГеггош) [4], названного в честь итальянского статистика Карло Бонферро-ни (1892-1960). Метод Бонферрони, несмотря на свою простоту, широко используется в настоящее время в ряде областей естествознания, например, в клинической и экспериментальной оптометрии [5]. Поэтому отдельно остановимся на его описании.
Пусть имеют место ПДГ (1) с
уровнем доверия 1
аг
т.е. 1
аг
Р{ (уг е Дг) },г = 1,...,ЛЛ Тогда справедливы следующие Булевые неравенства:
(П (УгеОу) } = 1-Р{(П (У
СЛ
ед)
N
} = 1-Р
N
У (Уг еД)с
N
>1-^Р{(Уге£>г) с} = 1-^а
т= 1 г=
где ( ■ ) с - операция дополнения. Таким образом, если выбрать аг = аМ, г = 1, . . . , N и построить N ПДГ с индивидуальным уровнем покрытия 1 -
аг, то получим СДГ с уровнем не менее 1 — а, т. е.
N
П (Уг е Д)!
> 1 - а.
1
Альтернативной процедурой для метода Бонферрони является коррекция достигаемых р-значений рг, г = 1, ... , N
¿-статистик [ 1 ] соответствующих N ПДГ по формуле р(г) = тт( 1, МРг). Как известно [6], при увеличении N в результате применения метода Бонферрони групповая вероятность отклонить хотя бы одну истинную гипотезу (ПДГ покрывает среднее) в группе растет и может превысить а, а шансы отклонить неверные гипотезы (ПДГ не покрывает среднее) падают, т.е. статистическая мощность метода резко уменьшается.
Из-за этого применение данного метода при больших N не рекомендуется.
Легкой модификацией Бонферро-ни является метод Шидака [7], основанный на справедливости неравенства a/N < 1-(1- a)1N при N > 1. Для этого метода полагают ar=1-(1-a)11N, r = 1, ... , N. Оба метода дают близкие результаты. Более эффективным в ряде случаев является метод Холма [8], для которого ar=a/(N-r+1), r = 1, ... , N и их модифицированными альтернативными ^-значениями pr = min ( 1 . max ( (V - г + 1 ) р (г) . р(г _i ) )), где р ( 1 ) < • • • < р (W) - упорядоченные достигаемые ^-значения t-статистик соответствующих ПДГ. Основным его преимуществом является решение проблемы падения мощности при росте числа ПДГ N. При любом характере зависимости между ^-значениями t-ста-тистик ПДГ метод Холма обеспечивает получение СДГ с уровнем покрытия не менее заданного 1 — a. С методом Холма схожи процедуры Бенджамина - Хохбер-га [9, 10] и Бенджамина - Иекутиели [11]: первая из них имеет уровни значимости ar=ar/N, r =1, ... , N и модифицированные альтернативные ^-значения pr =
min ( 1,max (-^,P(r_ i))); вторая имеет
ar . ..
уровни значимости ar = = 1 . ■ ■ ■ > V ,
и модифицированные альтернативные ^-значения pr = m i n ( 1. max(iVp (r)C / r,p(r_ 1 ))), где с = 11. Помимо упомянутых поправок в недавно изданной литературе были разработаны также численные методы корректировок p-значения [12].
Полученные результаты. Приведем результаты численного моделирования. Для иллюстрации рассчитаем кривые СДГ методом Бонферрони для простой регрессии на основе ПДГ для модельных данных. Для этого выберем l =10 натуральных значений регрессора х =1, ... , l линейной f (x) = 0.5x+2 зависимости. Затем для каждого из f(x), где i =1, ... , l, независимо моделируем q
случайных значений yij путем аддитивного внесения в f(xi) случайной нормально распределенной ошибки L ( е) = iV-L ( 0 , 4) с дисперсией о2= 4. В результате получим облако из n = lq значений yp= fx) + Eij, i = 1, ... , l, j = 1, ... , q, l = 10, q = 20, изображенных в виде кружков на рис. 1. При этом каждому xi соответствует q повторяющихся наблюдений. На рис. 1 изображены функция f(x) (сплошная линия), 95%-е СДГ (линия 4) и ПДГ (линия 3) среднего значения повторных откликов для случая m=q, а также 95%-е границы для регрессии (линия 1) и отдельных наблюдений (линия 2). Хорошо видно, что, как и предполагалось, СДГ располагаются несколько выше ПДГ и равномерны для всех значений регрессоров. Видны наблюдения и условные средние, выходящие за соответствующие доверительные пределы. Если отдельно выделяющиеся наблюдения могут быть исключены из рассмотрения без существенного изменения в целом картины наблюдений, то «запредельное» значение условной средней (треугольник) для значения регрессора, равного 5, обращает внимание на особенность всей соответствующей ему совокупности наблюдений. Однако последнее среднее не выходит за пределы совместной границы Бонферрони и согласуется с остальными средними. Еще следует обратить внимание на значения регрессо-ров (x = 3, 6, 7, 8, 9, 10), которым соответствуют условные средние (треугольники), не выходящие за границы регрессии (линии 1). Перечисленным регрес-сорам соответствуют средние, а значит, и отдельные наблюдения, наиболее близко отвечающие общей модельной зависимости.
Кривые СДГ, рассчитанные другими методами коррекции не изображены на рис. 1 , поскольку немного уточняют метод Бонферронии и располагаются между линиями {4} и {3}.
Рисунок 1 - Функция f(x) (сплошная линия), 95%-е совместные (линия 4), поточечные доверительные границы для среднего (треугольники) повторных наблюдений (линия 3), регрессии (линия 1), отдельных наблюдений (линия 2)
для x = 1, ..., 10; n = 200; q = 20
Пример
Для иллюстрации применения метода Бонферрони для доверительных границ (1) приведем практический пример. Для однофакторной модели k =1
рассмотрим выборку n=24 цен на электростанции фирмы Honda, различающиеся максимальной мощностью (данные приведены в таблице 1).
Таблица 1 - Данные по электростанциям Honda
N Мощность Цена N Мощность Цена
1 22GG 24949 13 6GGG 48888
2 22GG 23649 2G 6GGG 43268
3 22GG 23632 21 6GGG 46148
4 22GG 22859 22 6GGG 436G8
5 22GG 26559 23 6GGG 51828
6 22GG 23835 24 6GGG 46244
7 27GG 33289 25 7GGG 5638G
8 27GG 28439 26 7GGG 4989G
9 27GG 31495 27 7GGG 53213
1G 27GG 35339 28 7GGG 5931G
11 27GG 29359 29 7GGG 5G14G
12 27GG 31662 3G 7GGG 53278
Для этих данных проведены расчеты доверительных границ для среднего значения повторных наблюдений
(т = 6), регрессии и отклика (т = 1), которые представлены на рисунке 2.
У
У у _о
У У У У
У у * *
у • 'а-' * .'' * ' * ''''у''!-*
У у* .--Л у ' у х " . ■" / /
у ✓ У У
У У
у' у' -Г--4 / У У
- .зУ у
г''*-''.-'У У + * О + у /
* .-■ у'
.■■■■" V
О ■ /
3000 4000 5000 6000 7000
МОЩНОСТЬ
Рисунок 2 - Оценка регрессии (линия 0), 95%-е доверительные границы для ПДГ (линия 2) и СДГ (линия 4) среднего значения повторных наблюдений (треугольники) для случая т=6, регрессии (линия 1) и отдельного наблюдения
т=1 (линия 3)
Хорошо видно, что среди всех цен на товары не наблюдается отдельных резко выделяющихся цен (нет кружков за пределами линий 3) и также по группам мощности (нет треугольников за линиями 2). Среди четырех групп товаров по мощности следует выделить первые две с малой мощностью и последние две большей мощности. У первых условные средние выходят за пределы регрессионных границ, в отличие от последних. Это может говорить о несколько заниженной для мощности 2200 и завышенной для мощности 2700 стоимости товара. Однако цены на все товары не выходят за пределы совместных
границ Бонферрони, что говорит о взвешенности рыночной стоимости.
Заключение. Таким образом, в работе описан численный метод Бон-феррони и его модификации коррекции уровня доверия ПДГ для оценивания СДГ среднего значения повторных наблюдений рыночной стоимости на основе линейной множественной нормальной регрессии. Проведенное численное моделирование и обработка реальных данных с применением метода коррекции Бонферрони показали различие СДГ и ПДГ. Эта особенность метода помогает исследователю в своей работе уточнить доверительные границы средней рыночной стоимости.
Библиографический список
1. Белов А.Г. Доверительное прогнозирование среднего значения повторных наблюдений // Вестник Моск. ун-та. Сер. 15. Вычислительная математика и кибернетика. - 2016. - № 2. -С. 14-19.
2. Себер Дж. Линейный регрессионный анализ. - М.: Мир, 1980.
3. Белов А.Г., Свиридова О.А. Оценивание доверительных границ среднего повторных наблюдений рыночной стоимости // Информационные технологии и математические методы в экономике и управлении: мат-лы VIII Международ. науч.-практ. конф. им. А.И. Китова. - М.: ФГБОУ ВО «РЭУ им. Г.В. Плеханова», 2018. - С. 25-31.
4. Bonferroni C.E. Il calcolo delle assi curazioni su gruppi di test // In Studi Onore del Professore Salvatore Ortu Car-boni. - Rome: Italy, 1935. - Рр.13-60.
5. Armstrong R.A. When to use the Bonferroni correction // Ophthalmic Physiol Opt. - 2014. - № 34. - Рр. 502508.
6. Abdi H. Bonferonni and Sidak corrections for multiple comparisons // Encyclopedia of measurement and statistics. Thousand Oaks, CA: Sage, 2007.
7. Sidak Z. Rectangular confidence region for the means of multivariate normal distributions // Journal of the American Statistical Association. - 1967. -№ 62. - Рр. 626-633.
8. Holm S. A Simple Sequentially Rejective Bonferroni Test Procedure // Scandinavian Journal of Statistics. - 1979. -№ 2. - Рр. 65-70.
9. Hochberg Y. A sharper Bonfer-roni procedure for multiple significance testing // Biometrika. - 1988. - № 75. -Рр.800-803.
10. Hochberg Y., Benjamini Y. More powerful procedure for multiple significance testing // Statistics in Medicine. -1990. - № 9. - Рр. 811-818.
11. Yekateuli D., Benjamini Y. Resampling-based false discovery rate controlling multiple test procedures for correlated test statistics // Journal of Statistical Planning and Inference. - 1999. - № 82. -Pp. 171-196.
12. Moiseev N.A., 2017. p-Value adjustment to control type I errors in linear regression models // Journal of Statistical Computation and Simulation. - 2017. -Vol. 87. - № 9. - Pp. 1701-1711.
Bibliographic list
1. Belov A.G. Confidence prediction of the mean values of multiple observations // Moscow University Computational Mathematics and Cybernetics. -2016. - № 36. - № 2. - Pp. 65-70.
2. Seber George. Linear regression analysis. - M.: Mir, 1980.
3. Belov AG., Sviridova O.A. Estimation of confidence limits of average repeated observations market value // VIII international scientific-practical conference named after A. I. Kitov «Information technologies and mathematical methods in Economics and management». - M.: FGBOU VO «REU G.V. Plekhanova», 2018. - Pp. 25-31.
4. Bonferroni C.E. Il calcolo delle assi curazioni su gruppi di test // In Studi Onore del Professore Salvatore Ortu Car-boni. - Rome: Italy, 1935. - Pp. 13-60.
5. Armstrong R.A. When to use the Bonferroni correction // Ophthalmic Physiol Opt. - 2014. - № 34. - Pp. 502508.
6. Abdi H. Bonferonni and Sidak corrections for multiple comparisons // Encyclopedia of measurement and statistics. Thousand Oaks, CA: Sage, 2007.
7. Sidak Z. Rectangular confidence region for the means of multivariate normal distributions// Journal of the American Statistical Association. - 1967. -№ 62. - Pp. 626-633.
8. Holm S. A Simple Sequentially Rejective Bonferroni Test Procedure //
Scandinavian Journal of Statistics. - 1979. -№ 2. - P. 65-70.
9. Hochberg Y. A sharper Bonferroni procedure for multiple significance testing // Biometrika. - 1988. - № 75. -Рр.800-803.
10. Hochberg Y., Benjamini Y. More powerful procedure for multiple significance testing // Statistics in Medicine. -1990. - № 9. - Рр. 811-818.
11. Yekateuli D., Benjamini Y. Resampling-based false discovery rate controlling multiple test procedures for correlated test statistics // Journal of Statistical Planning and Inference. - 1999. -№ 82. - Pp. 171-196.
12. Moiseev N.A. p-Value adjustment to control type I errors in linear regression models // Journal of Statistical Computation and Simulation. - 2017. -Vol. 87. - № 9. - Pp. 1701-1711.
