CC BY
0
2023 Математические основы надёжности вычислительных и управляющих систем № 62
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ НАДЁЖНОСТИ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ И УПРАВЛЯЮЩИХ СИСТЕМ
УДК 519.718.7 DOI 10.17223/20710410/62/6
КОРОТКИЕ ПРОВЕРЯЮЩИЕ ТЕСТЫ ДЛЯ КОНТАКТНЫХ СХЕМ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ СЛАБО СВЯЗНЫХ НЕИСПРАВНОСТЯХ КОНТАКТОВ
К. А. Попков
Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН, г. Москва, Россия
E-mail: kirill-formulist@mail.ru
Доказано, что для любого натурального k любую булеву функцию можно реализовать двухполюсной контактной схемой, k-неизбыточной и допускающей k-проверяющий тест длины не более 3 относительно произвольных связных неисправностей контактов в группах, где каждая группа состоит из одного замыкающего и одного размыкающего контакта. Установлено, что если булева функция не является самодвойственной, то оценку можно понизить до 2.
Ключевые слова: контактная схема, связные неисправности контактов, проверяющий тест, булева функция.
SHORT FAULT DETECTION TESTS FOR CONTACT CIRCUITS UNDER ARBITRARY WEAKLY CONNECTED FAULTS OF CONTACTS
K. A. Popkov
Keldysh Institute of Applied Mathematics, Moscow, Russia
We prove that for any natural k, any Boolean function can be implemented by a two-pole contact circuit that is k-irredundant and allows a k-fault detection test of length no more than 3 relative to arbitrary connected faults of contacts in groups, where each group consists of one closing and one opening contact. We establish that if the Boolean function is not self-dual, then this bound can be lowered to 2.
Keywords: contact circuit, connected faults of contacts, fault detection test, Boolean function.
Введение
Рассматривается задача синтеза легкотеетируемых двухполюсных контактных схем [1], реализующих заданные булевы функции (слово «двухполюсная» в дальнейшем будем опускать). Логический подход к тестированию контактных схем предложен И. А. Чегис и С. В. Яблонским в [2]. Представим, что имеется контактная схема S, реализующая булеву функцию f (Xn), где Xn = (xi,... ,xn). Под воздействием некоторо-
S
в неисправное состояние, В качестве неисправностей контактов обычно рассматриваются их обрывы и (короткие) замыкания. При обрыве контакта проводимость между его концами становится тождественно нулевой, а при замыкании — тождественно единичной, В результате схема Б вместо исходной функции f (хп) станет реализовывать некоторую булеву функцию д(хп), вообще говоря, отличную от f. Все такие функции д(хп), получающиеся при всевозможных допустимых для рассматриваемой задачи
Б
Б называется такое множество Т наборов значений переменных х\,..., хп, что для любой отличной от f (хп) функции пеиеправноети д(хп) схемы Б в Т найдётся набор а, на котором f (а) = д(а)- Диагностическим тестом для схемы Б называется такое множество Т наборов значений переменных XI,... ,хп, что Т является проверяющим тестом и, кроме того, для любых двух различных функций неисправности д1(хп) и д2(хп) схемы Б в Т найдётся набор Пг, на котором д1(тт) = д2(тт). Число наборов в Т называется длиной теста, В качестве тривиального диагностического (и проверяющего) теста длины 2п для схемы Б всегда можно взять множество, состоящее из всех двоичных п-разряд-ных наборов. Тест называется полным, если в схеме могут быть неисправны сколько угодно контактов, и единичным, если в схеме может быть неисправен только один контакт. Единичные тесты обычно рассматривают для неизбыточных схем [5, с, 110 111], в которых любая допустимая неисправность любого одного контакта приводит к функции неисправности, отличной от функции, реализуемой данной схемой; такие функции неисправности называют нетривиальными. Если в схеме допускаются только обрывы контактов (или только их замыкания), то говорят о тестах размыкания (соответственно о тестах замыкания),
В работах [6-16] получены различные, в том числе окончательные результаты о возможностях построения легкотеетируемых контактных схем, реализующих заданные булевы функции. Упомянем только один результат, который удобно сравнить с нижеследующей теоремой 4, В [9, теорема 2] доказано, что для любого натурального п ^ 2 существует булева функция от п переменных, которую нельзя реализовать контактной схемой, неизбыточной и допускающей единичный проверяющий тест длины менее п + 2 относительно обрывов и замыканий контактов.
Назовём проверяющий (диагностический) тест для контактной схемы к-проверя-ющим (к-диагностическим), если в схеме может произойти не более к неисправностей, где к € N. Будем рассматривать такие тесты только для к-неизбыточных схем,
к
к нетривиальной функции неисправности,
В настоящей работе в качестве неисправностей в контактных схемах рассмотрим связные неисправности контактов в группах, как это сделано Н, П, Редькиным в [17, 18], Пусть зафиксированы целые неотрицательные числа а и Ь, удовлетворяющие условиям а + Ь ^ 2 и а ^ Ь, Будем считать, что в рассматриваемых схемах все контакты разбиваются на группы связанных между собой контактов. Каждая группа а+Ь
аЬ каждого блока все контакты одинаковы (т, е, либо все замыкающие, либо все размыкающие), а в разных блоках контакты противоположны. Предполагается, что обрыв (замыкание) любого контакта из одного из блоков влечёт за собой обрыв (соответственно замыкание) всех остальных контактов из этого блока и замыкание (соответственно обрыв) всех контактов из другого блока. Таким образом, каждая контактная группа
подвержена только двум видам неисправностей: обрыву всех контактов из первого блока и одновременному замыканию всех контактов из второго блока, либо замыканию всех контактов из первого блока и одновременному обрыву всех контактов из второго блока. Мотивировка рассмотрения именно таких неисправностей с физической точки зрения даётся в [17, с, 42-43], Контактные схемы, удовлетворяющие указанным условиям, будем называть (а, Ь)-схемами. Общее число неисправностей в (а, Ь)-схеме будем считать равным числу неисправных контактных групп (а не неисправных контактов).
Пусть множество T является ^-проверяющим тестом для некоторой (а, Ь)-схемы S, Введём следующие обозначения: (T)—длина те ста T; (S) = min (T), где минимум берётся по всем fc-проверяющим тестам T для схемы S; DJ^ (f) = = min (S), где минимум берётся по всем fc-неизбыточным (а, Ь)-схемам S, реализующим функцию f; (n) = max (f), где максимум берётся по всем булевым функциям f от n переменных, Функция (n) называется функцией Шеннона длины ^-проверяющего теста, По аналогии с функциями DJ^ можно ввести функции DJ^ и dJ^ для соответственно ^-диагностического, полного проверяющего и
T S f n
ций DJ ^(f) и DJ^ (f) не предполагается неизбыточности схем). Если в первом блоке каждой контактной группы допустимы как обрыв, так и замыкание всех контактов (соответственно допустим только обрыв всех контактов, допустимо только замыкание
D
ставить 01 (соответственно 0 1); в первом из указанных трёх случаев связные неисправности контактов будем считать произвольными, а во втором и третьем случаях — однотипными. Основной целью исследований является нахождение оценок (в идеале—точных значений) величин Da,b(f) и Da(n) с разными верхними индексами при а, Ь, f n
В [17] установлено, что если а + Ь ^ 3, a t — натуральное число, то 2n — 2t — 1 ^ ^ D™;0x(n) ^ 2n при n = 2* +1 + 1; 2n — 2t — 2 ^ D™;0V) ^ 2n при 2* +1 +1 < n ^ ^ 2t+1 +1 + 1. В [18] при а + Ь ^ 3 доказано неравенство D1^0x(n) ^ 4n, а при а + Ь = 2 получены оценки DlJ'-0x(n) ^ + 2Ln/2J + щ dJ ^x(n) ^ 2n и DJ 0(n) ^ 2n. Вслед за работой [18], связные неисправности контактов в случае а + Ь =2 будем считать слабо связными.
1. Покрывающие и ключевые множества
Двоичный n-разрядный набор а будем называть (г, а)-набором, если его i-я (слева) компонента равна а.
Двоичный n-разрядный набор а будем называть ß-набором булевой функции f (xcn), если f (а) = ß.
Множество M (некоторых) ß-наборов булевой функции f (xrra), где n ^ 1 и ß е е {0,1} назовём ß-покрывающ^ для этой функции, если для любых г е {1,... ,n}, а е {0,1} в M найдётся (г, а)-набор.
Множество M (некоторых) ß-наборов булевой функции f (xrra), где n ^ 1 и ß е {0,1} назовём ß-жючевъш для этой функции, если для любых г е {1,...,n}, а е {0,1} таких, что существует хотя бы один (г, а)-набор, являющийся ß-набором функции f (xrra), в M найдётся (г,а)-набор,
В качестве ß-ключевого множества для функции f (xrra) всегда можно взять множе-
ß
Очевидно, что любое в-покрывающее множество является в-ключевым, Обратное, вообще говоря, неверно: например, для функции f (х1,х2) = х1&х2 множество {(1,1)} является 1-ключевым, но не 1-покрывающнм (более того, для этой функции не еуще-1
Сформулируем два полученных ранее результата.
Теорема 1 [11, теорема 1], Пусть М — 1-ключевое множество для булевой функции f (хп), п ^ 1, Тогда эту функцию для любого к € N можно реализовать контактной кМ к
Теорема 2 [16, теорема 1], Пусть М — 0-ключевое множество для булевой функции f (хп), п ^ 1, Тогда эту функцию для любого к € N можно реализовать контакт-к
Мк
В формулировках теорем 1 и 2 общее число неисправностей в контактных схемах считается равным числу неисправных контактов.
Булева функция f (хп) называется самодвойствен ной, если f (х1,... ,хп) = f (хп). Утверждение 1. Для любой несамодвойственной булевой функции f (хп), п ^ 1, существует в-покрывающее множество мощноети 2 хотя бы для одного в € {0,1},
Доказательство. Существуют такие а1,...,ап € {0,1}, что f(а1,...,ап) = = f (а1,..., ап), так как функция f (хп) несамодвойственная. Тогда множество
{(01, ... ,оп), (01,... ,0п)}
является в-покрывающим для этой функции при в = f (оъ ..., 0п)- ■
Утверждение 2. Для любой самодвойственной булевой функции f (хп), суще-
в
множество мощности 3 для каждого в € {0,1},
Доказательство. Функция f неконстантная, поэтому существуют два двоичных
п
мает различные значения. Обозначим эти наборы через (а1,..., оп) и (а1,..., 0г-1, 0г, о>+1,... ,стп), где г € {1,... ,п}; тогда f (аь...,0п) = f (01,..., о>-1, 0, о>+1, ..., стп). Функция f (хп) самодвойственная, поэтому f (а1,..., оп) = f (а1,..., ап). Из последних двух соотношений вытекает, что f (а1,..., оп) = f (а1,..., аг-1, аг, ог+1,..., оп), Положим 7 = f(а1,...,ап)
Если для любых п1, ..., пг-1, пг+1 ,..., пп € {0,1} выполняется равенетво f (п1, ..., пг-1,ог, пг+1, ... , пп) = ^о f (П1,... ,Пг-1, аг ,Пг+1,... ,Пп) = 7 для любых п1, ... , пг-1,пг+1, ... ,пп € {0,1} в силу самодвойственноети функции Д а тогда легко проверить, что Д (хп) = хг ф ф 7, Получаем, что функция Д существенно зависит только от переменной хг, однако это противоречит условию утверждения 2, Поэтому существуют такие п1, ..., пг-1, пг+1, ..., пп € {0,1}, что Д(п1, ..., пг-1, о>, пг+1, ..., пп) = 7, В таком случае множество
М = {(О1,... , Оп), (01,... , о>_1, , аг+1,... , Оп), (^1,... , пг-1, о>, пг+1, ... , Пп)}
является 7-покрывающим для функции Д (хп). Действительно, на каждом наборе из этого множества, как показано выше, функция Д принимает значение 7; для любых г € {1,...,п}\{г}, а € {0,1} один го набо ров (о1,..., оп), (о1,..., ог-1, , ог+1,..., оп)
является (г, а)-набором, а для г = г и любого а Е {0,1} один из наборов (^1,..., ап), (пь ..., пг-1, аг, пг+1,..., пп) является (г, а)-набором. Множество
{(^Ъ . . . , ^га), . . . ,~ёт_1,&т ,^+Ъ . . . ,^ra), (пЪ . . . ,пг+Ъ . . . ^пЖ
состоящее из наборов, противоположных наборам из М, является 7-покрывающим для функции f (жп), Действительно, на каждом наборе из этого множества функция f в силу самодвойственности принимает значение 7; для любых г € {1,..., п}\{г}, а € {0,1} один из наборов (а1,..., ап), (а1,..., аг-1, аг, аг+1,..., ап) является (г, а)-набором, а для г = г и любого а € {0,1} один го наборов (а1,... ,ап), (п1,... ,Пг-1,аг,П>+1,... ,Пп) является (г, а)-набором, ■
2. Формулировки и доказательства основных результатов
Введём обозначение
в I а, если в =1, ав = < _
I а, если в = 0,
где а € {0,1},
Далее для краткости всюду вместо «замыкающий (размыкающий) контакт, отвечающий переменной жг», г = 1,..., п, будем говорить «контакт жг» (соответственно «контакт Хг»),
Теорема 3. Пусть М — в"покРЬ1ваюЩее множество для булевой функции f (жп), где в е{0, 1} и п ^ 1, Тогда эту функцию для любого к Е N можно реализовать к-пеизбыточпой (1,1)-схемой, для которой множество М является к-проверяющим тестом относительно произвольных связных неисправностей контактов,
к
в = 1 в является в-ключевым, следует, что функцию f (жп) можно реализовать контактной схемой Б, к-пеизбыточпой относительно обрывов контактов, для которой множество М является к-проверяющим тестом размыкания. Построим контактные схемы А1,..., Ап
г
жества {1,..., п}. Схем а Аг представляет собой параллельное соединение двух несамо-пересекающихся цепей С1 и С0 го контактов. Цепь С1 содержит только кон такты жг, а цепь С0 — только копт акты Хг, Для каждого кон такта жг, содержащегося в схеме Б, в цепи Сг0 содержится свой контакт жг, который образует с ним контактную группу; будем считать эту группу основной. Для каждого контакта ж г, содержащегося в схеме Б, в цепи С1 содержится свой ко нтакт жг, который образует с ним контактную группу; её также будем считать основной. Если хотя бы в одной из цепей С1, С0 к настоящему
к
контактов, чтобы как в цепи С1, так и в цепи С0 содержалось не менее к + 1 контактов; при этом к цепи С1 будем добавлять только контакты жг, а к цепи С° —только контакты Х г, и все добавляемые контакты разобьём на группы из двух связанных между
собой контактов жг их, которые будем считать дополнительными группами, В итоге
С 1 х
тактом Х г, содержащимся либо в схеме Б, либо в цепи С0, а каждый контакт цепи С0
имеет тип Хг и образует контактную группу с каким-то контактом ж г, содержащимся Б С 1
Б, А1 , . . . , Ап
ченную контактную схему через Б* (рис, 1), В ней все контакты разделены на группы
связанных между собой контактов, каждая из которых состоит из одного замыкающего и одного размыкающего контакта переменной х для некоторого г € {1,..., п}. Таким образом, схема Б * является (1,1)-ехемой, При отсутствии неисправностей в этой схеме подсхема А, очевидно, реализует функцию х V ж = 1 для г = 1,..., п, поэтому схема Б * ревизует функцию f (жп)& 1& ... &1 = f (жп), Докажем, что данная схема
п
к-неизбыточна и допускает ^-проверяющий тест М относительно произвольных связ-
Б*
ми не менее одной и не более к контактных групп .Согласно определению (1,1)-ехемы, в каждой неисправной контактной группе один контакт оборван и один замкнут. Рассмотрим два поделучая.
С1
Л С?
х
С1
п Ап
С?
п
.х
Рис. 1. Схема Б * в случае 1
х
п
п
1.1. Существует такое г € {1,..., п}, что в подсхеме А хотя бы один контакт оборван. Пусть это контакт ж®, где а € {0,1}, Тогда функция проводимости цепи С®, состоящей из контактов ж®, равна тождественному нулю, В цепи С®, состоящей из контактов ж®, то построению содержится не менее k + 1 контактов. Если хотя бы один из них оборван, то функция проводимости цепи С" также равна тождественному ну-
к
Б* к
хотя бы один контакт в цепи С" исправен и функция её проводим ости равна ж" Следовательно, функция проводимости подсхемы А равна либо 0 V0 = 0, либо 0 Vж® = ж". Множество М является 1-покрывающпм для функции f (жп), поэтому в нём найдётся такой (г,а)-набор а, что f (а) = 1. На этом наборе подсхема А не проводит и схема Б * выдаст значе ние 0, отличное от f (а); тем самым неисправность схемы будет обнаружена.
1.2. Ни в одной из подсхем ..., Ап ни один контакт не оборван. Тогда в подехе-Б
с произвольным замкнутым контактом ж® подсхемы Б, по построению содержался бы
в цепи С® подсхемы А и был бы оборван), а все дополнительные контактные группы Б* к
тактных групп в данной схеме, и при этом тот контакт каждой неисправной группы, который содержится в подсхеме Б, оборван. Множество М является к-проверяющпм тестом размыкания для к-нензбыточной схемы Б, поэтому хотя бы на одном наборе а из М подсхема Б выдаст значение, отличное от «правильного», т. е. от f (а). Из описания поделучая 1.2 вытекает также, что для любых г € {1,..., п}, а € {0,1} функция проводимости цепи С® равна либо ж®, либо 1, поэтому для любого г € {1,..., п} функция проводимости подсхемы А равна либо ж® V ж®, либ о 1 V ж®, либ о ж® V 1, либо 1 V 1,
Б*
совпадает с функцией проводимости подсхемы Б, и на наборе а схема Б * выдаст значение, отличное от f (а); тем самым неисправность схемы будет обнаружена.
Б* к
кМ контактов. Случай 1 разобран,
2, Пусть в = 0. Из теоремы 2 и того факта, что любое в"покРЬ1ваюЩее множество является в-ключевым, следует, что функцию / (жп) можно реализовать кон-Бк Мк
мы В,..., ВП, В0,..., ВП по аналогии с тем, как это сделано в [17, с, 45] (в [17] они обозначаются через В*,..., Вп, В',..., ВП соответственно), Рассмотрим произвольные г € {1,..., п} и а € {0,1}, Схема В" представляет собой пучок из контактов ж", т. е, параллельное соединение некоторого числа контактов ж®. Для каждого кон такта ж", содержащегося в схеме Б, в схеме В" содержится свой контакт ж", который образует с ним контактную группу; будем считать эту группу основной. Если хотя бы в одной из схем В*, В0 к настоящему моменту содержится не более к контактов, добавим
В
ме В0 содержалось не менее к + 1 контактов и каждая из схем В1, В0 по-прежнему
В
контакты ж^, а к схеме В0 — только контакты ж, и все добавляемые контакты разобьём на группы из двух связанных между собой контактов ж^ и ж, которые будем считать
В 1ж
зует контактную группу с каким-то контактом ж, содержащимся в одной из схем Б, В0, а каждый контакт схемы В0 имеет тип ж и образует контактную группу с каким-то
ж Б, В 1 В 1
В 0 В
Б, В1 , . . . , Вп Б*
связанных между собой контактов, каждая из которых состоит из одного замыкающего и одного размыкающего контакта переменной ж^ для некоторого г € {1,... ,п},
Б* (1, 1)
схеме подсхема В^, очевидно, реализует функцию ж^= 0 для г = 1,..., п, поэтому схема Б * реализует функ цию / (жп) V 0 V ... V 0 = / (жп). Докажем, что данная схема
п
к-неизбыточна и допускает ^^^^^^^^щий тест М относительно произвольных связ-
Б*
к
контактной группе один контакт оборван и один замкнут. Рассмотрим два поделучая.
Рис. 2. Схема Б * в случае 2
2.1, Существует такое г € {1,..., п}, что в подсхеме Вг хотя бы один контакт замкнут, Пусть это контакт ж^, где а € {0,1}, Тогда функция проводимости подсхемы Вга, состоящей из копт актов ж^, равна тождественной единице, В подсхеме Вга, состоящей из контактов ж^, то построению содержится не менее к +1 контактов. Если хотя бы один из них замкнут, то функция проводимости подсхемы Вга также равна тождественной единице, В противном случае оборвано в указанной подсхеме может
к Б* к
пых групп. Таким образом, хотя бы один контакт в подсхеме исправен и функция её проводимости равна ж^. Следовательно, функция проводимоети подсхемы Вг равна либо 1 V 1 = 1, либо 1 V жО* = ж^. Мпожеетво М являетея 0-покрывающим для функции / (жп), поэтому в нём найдётся такой (г,а)-набор а, что / (а) = 0, На этом наборе подсхема Вг проводит и схема Б* выдаст значение 1, отличное от / (а); тем самым неисправность схемы будет обнаружена,
2.2, Ни в одной из подсхем В1,..., Вп ни один контакт не замкнут. Тогда в подехе-Б
с произвольным оборванным контактом ж^ подсхемы Б, по построению содержался
бы в подсхеме Вга, а значит, в подсхеме Вг, и был бы замкнут), а все дополнительные
Б*
к
БМ ляетея к-проверяющим тестом замыкания для к-неизбыточной схемы Б, поэтому хотя бы па одном наборе а из М подсхема Б выдаст значение, отличное от «правильного», т. е, от / (а), Из описания подслучая 2,2 вытекает также, что для любых г € {1,..., п}, а € {0,1} функция проводимости подехемы равна либо ж^, либо 0, поэтому для любого г € {1,..., п} функция проводимости п одехемы Вг равна ли бо жа&жа, либо 0&жа, либо жО&0, либо 0&0, т. е, равна тождественному нулю. Следовательно, функция, реализуемая схемой Б*, совпадает с функцией проводимоети подсхемы Б, и на наборе а схема Б * выдаст значение, отли чное от / (а); тем самым неисправность схемы будет обнаружена,
Б* к
кМ контактов. Случай 2 разобран, ■
Теорема 4. Пусть /(жп) — булева функция и к € N. Тогда Х*0\/) = 0, если / = ^и / = 1,
1 ГТ * 01
' (/) € {2, 3}, если / — самодвойственная функция, существенно зависящая по крайней мере от трёх переменных, ^ (/) = 2 в остальных случаях.
Доказательство. Если / = 0 ми / = 1, то фикцию / можно реализовать (1, 1)
ции неисправности, поэтому она к-нензбыточна и допускает к-проверяющий тест 0 0
дует, что Д^'0х(/) = 0, Далее будем считать, что функция / отлична от констант. Докажем неравенство Д^ ' (/) ^ 2,
Пусть Б — произвольная к-пеизбыточпая (1,1)-схема, ревизующая функцию /(жп), и Т — произвольный к-проверяющий тест для схемы Б, В этой схеме содержится
хотя бы одна контактная группа, состоящая из контактов ж^ и ж для некоторого г € {1,..., п}, Если г-я компонента каждого набора из множества Т равна нулю (еди-
Б
переменных (ж*,..., жп) произвольного набора а из Т все контакты ж^ в этой схеме будут иметь нулевую (соответственно единичную) проводимость, а все контакты ж —
ж
кание (обрыв) контакта ж из рассматриваемой группы никак не отразятся на значении, выдаваемой схемой па наборе а. Однако это противоречит тому, что схема Б является к-неизбыточной и допускает к-проверяющий тест Т. Значит, в Т входят хотя бы один (г, 1)-набор и хотя бы один (г, 0)-набор, Таким образом, любой к-проверяющий тест для схемы Б содержит по крайней мере два набора, откуда следует, что Д^'0Х(Б) ^ 2, а
к ГТ * 01
с учётом произвольности выбора схемы Б —что ' (/) ^ 2,
Если /(жп) — самодвойственная функция, существенно зависящая по крайней мере от трёх переменных, то в силу утверждения 2 и теоремы 3 эту функцию можно реализовать к-неизбыточной (1,1)-схемой, допускающей к-проверяющий тест длины 3; отею-
к 1Г * 01 к 1Г * 01
да ' (/) ^ 3 и ' (/) € {2, 3}. Если /(жп) — несамодвойственная функция, то
к
ной (1,1)-схемой, допускающей к-проверяющий тест длины 2; отсюда Д^'0х(/) ^ 2 и Д^'0х(/) = 2. Пусть, наконец, /(жп) — самодвойственная функция, существенно зависящая менее чем от трёх переменных. Тогда это обязательно функция вида ж" для некоторых г € {1,...,п} и а € {0,1} (как известно, ни одна булева функция, существенно зависящая ровно от двух переменных, не является самодвойственной), (1, 1)
разующих группу: контакт ж® между полюсами схемы и контакт ж® между одним из полюсов схемы и её вершиной, отличной от полюсов. При обрыве контакта ж" и замыкании контакта ж® схема станет реализовывать тождественный нуль, а при замыкании контакта ж" и обрыве контакта ж® — тождественную единицу, Конетанту 0 (константу 1) можно отличить от функции /(жп) = ж® на любом (г, а)-наборе (соответственно (г, а)-наборе), поэтому рассматривав мая схема к-неизбыточна и допускает
к 1Г * 01 к ГТ * 01
к-проверяющий тест длины 2. Отсюда следует, что ' (/) ^ 2 и ' (/) = 2, ■ Следствие 1. Пусть п € N и {0} и к € N. Тогда
Д1;1 (п) = 0, если п = 0,
Дкп,01(п) = 2, если п = 1 или п = 2,
ДкдП;°V) € {2, 3}, если п ^ 3.
Заключение
Сравним полученные результаты с результатами работ [9, 18], В [18], в частности, доказано неравенство Д^'0Х(п) ^ 2^п/2^ + п при а + Ь = 2, Следствие 1 показы-
вает, что в случае а = Ь = 1, п ^ 3 верхнюю оценку 2 Гп/21 + 2 + п можно понизить до 3 и затем для любого к € N распространить на величину Д^'0х(п), В [9, теорема 2] установлено, что для любого натурального п ^ 2 существует булева функция п
допускающей единичный проверяющий тест длины менее п + 2 относительно произвольных неисправностей контактов, т, е, обрывов и замыканий контактов. Теорема 4 демонстрирует, что если разбить все контакты на пары противоположных контактов и связать между собой обрыв одного контакта и замыкание другого контакта в паре,
то, напротив, любую булеву функцию для любого к € N можно реализовать контакт-к к 3
отпоеительпо произвольных связных неисправностей контактов,
ЛИТЕРАТУРА
1. ЛупановО.Б. Асимптотические оценки сложности управляющих систем. М.: Изд-во МГУ, 1984. 138 с.
2. ЧегисИ.А., Яблонский С. В. Логические способы контроля работы электрических схем // Труды МИЛИ. 1958. Т. 51. С. 270-360.
3. Яблонский С. В. Надёжность и контроль управляющих систем // Материалы Всесоюзного семинара по дискретной математике и её приложениям (Москва, 31 января-2 февраля 1984 г.). М.: Изд-во МГУ, 1986. С. 7 12.
4. Яблонский С. В. Некоторые вопросы надёжности и контроля управляющих систем // Математические вопросы кибернетики. 1988. Вып. 1. С. 5-25.
5. Редькин Н. П. Надёжность и диагностика схем. М.: Изд-во МГУ, 1992. 192 с.
6. Мадатян X. А. Полный тест для бесповторных контактных схем // Проблемы кибернетики. Вып. 23. М.: Наука, 1970. С. 103-118.
7. Редькин Н. П. О полных проверяющих тестах для контактных схем // Методы дискретного анализа в исследовании экстремальных структур. Вып. 39. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1983. С. 80-87.
8. Редькин Н. П. О проверяющих тестах замыкания и размыкания // Методы дискретного анализа в оптимизации управляющих систем. Вып. 40. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1983. С. 87-99.
9. Романов Д. С., Романова Е. Ю. О единичных проверяющих тестах константной длины для обобщённых итеративных контактных схем // Вестник Московского университета. Серия 15. Вычислительная математика и кибернетика. 2015. №3. С. 42-50.
10. Попков К. А. О проверяющих тестах размыкания для контактных схем // Дискретная математика. 2017. Т. 29. Вып. 4. С. 66-86.
11. Попков К. А. О диагностических тестах размыкания для контактных схем // Дискретная математика. 2019. Т. 31. Вып. 2. С. 124-143.
12. Попков К. А. Короткие единичные проверяющие тесты для контактных схем при обрывах и замыканиях контактов // Интеллектуальные системы. Теория и приложения. 2019. Т. 23. Вып. 3. С. 97-130.
13. Редькин Н. П. О диагностических тестах для контактных схем // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика. 2019. №2. С. 35-37.
14. Попков К. А. О полных диагностических тестах для контактных схем при обрывах и/или замыканиях контактов // Изв. вузов. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2019. №3 (51). С. 3-24.
15. Попков К. А. Короткие тесты замыкания для контактных схем // Математические заметки. 2020. Т. 107. Вып. 4. С. 591-603.
16. Попков К. А. Оценки функций Шеннона длин тестов замыкания для контактных схем // Дискретная математика. 2020. Т. 32. Вып.З. С. 49-67.
17. Редькин Н. П. Об одной математической модели неисправностей контактных схем // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика. 1993. №1. С. 42-49.
18. Редькин Н. П. Единичные тесты для связных неисправностей контактных схем // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика. 1993. №2. С. 20-27.
REFERENCES
1. Lupanov O. B. Asimptoticheskie otsenki slozhnosti upravlvavushchikh sistem. [Asymptotic Bounds of the Complexity of Control Systems]. Moscow, MSU Publ., 1984. 138 p. (in Russian)
2. Chegis I. A. and Yablonskiy S. V. Logicheskie sposobv kontrolva rabotv elektricheskikh skhem [Logical ways of monitoring the operation of electrical circuits]. Trudy MIAN, 1958, vol.51, pp. 270-360. (in Russian)
3. Yablonskiy S. V. Nadezhnost' i kontrol' upravlvavushchikh sistem [Reliability and verification of control systems]. Materialv Vsesovuznogo seminara po diskretnov matematike i ee prilozhenivam (Moscow, 31 Jan.-2 Feb. 1984). Moscow, MSU Publ., 1986, pp.7-12. (in Russian)
4. Yablonskiy S. V. Nekotorve voprosv nadezhnosti i kontrolva upravlvavushchikh sistem [Some questions of reliability and verification of control systems]. Matematicheskie Voprosv Kibernetiki, 1988, iss. 1, pp. 5-25. (in Russian)
5. Red'kin N. P. Nadezhnost' i diagnostika skhem [Circuits Reliability and Diagnostics]. Moscow, MSU Publ., 1992. 192p. (in Russian)
6. Madatyan Kh. A. Polnvv test diva bespovtornvkh kontaktnvkh skhem [Complete test for non-repetitive contact circuits]. Problemv Kibernetiki, iss. 23. Moscow, Nauka Publ., 1970, pp. 103-118. (in Russian)
7. Red'kin N. P. O polnvkh provervavushchikh testakh diva kontaktnvkh skhem [On complete fault detection tests for contact circuits]. Metodv Diskretnogo Analiza v Issledovanii Ekstremal'nykh Struktur, iss. 39. Novosibirsk, Math. Inst. Sib. Br. USSR Acad. Sci., 1983, pp. 80-87. (in Russian)
8. Red'kin N. P. O provervavushchikh testakh zamykaniva i razmykaniva [On fault detection tests of closure and opening]. Metodv Diskretnogo Analiza v Optimizatsii Upravlvavushchikh Sistem, iss. 40. Novosibirsk, Math. Inst. Sib. Br. USSR Acad. Sci., 1983, pp. 87-99. (in Russian)
9. Romanov D. S. and Romanova E. Y. Single fault detection tests for generalized iterative switching circuits. Moscow Univ. Comput. Math. Cvbern., 2015, vol.39, no.3, pp. 144-152.
10. Popkov K. A. On fault detection tests of contact break for contact circuits. Discrete Math. Appl., 2018, vol.28, no.6, pp.369-383.
11. Popkov K. A. On diagnostic tests of contact break for contact circuits. Discrete Math. Appl., 2020, vol.30, no. 2, pp. 103-116.
12. Popkov K. A. Korotkie edinichnve provervavushchie testy diva kontaktnvkh skhem pri obrvvakh i zamykanivakh kontaktov [Short single fault detection tests for contact circuits under breaks and closures of contacts]. Intellektual'nyye Sistemv. Teoriva i Prilozheniva, 2019, vol.23, no.3, pp. 97-130. (in Russian)
13. Red'kin N. P. Diagnostic tests for contact circuits. Moscow Univ. Math. Bull., 2019, vol.74, no. 2, pp.62-64.
14. Popkov K. A. O polnvkh diagnosticheskikh testakh diva kontaktnvkh skhem pri obrvvakh i/ili zamykanivakh kontaktov [On complete diagnostic tests for contact circuits under breaks and/or closures of contacts]. Izvestiva Vvsshikh Uchebnvkh Zavedeniv. Povolzhskiv Region. Fiziko-matematicheskive nauki, 2019, no.3 (51), pp. 3-24. (in Russian)
15. Popkov K. A. Short tests of closures for contact circuits. Math. Notes, 2020, vol.107, no. 4, pp.653-662.
16. Popkov K. A. Bounds on Shannon functions of lengths of contact closure tests for contact circuits. Discrete Math. Appl., 2021, vol.31, no.3, pp. 165-178.
17. Red'kin N. P. Ob odnov matematicheskov modeli neispravnostev kontaktnvkh skhem [On one mathematical model of faults of contact circuits]. Vestnik Moskovskogo Universiteta. Ser. 1. Matematika. Mekhanika, 1993, no. 1, pp. 42-49. (in Russian)
18. Red'kin N. P. Edinichnve testy diva svvaznvkh neispravnostev kontaktnvkh skhem [Single tests for connected faults of contact circuits]. Vestnik Moskovskogo Universiteta. Ser. 1. Matematika. Mekhanika, 1993, no. 2, pp. 20-27. (in Russian)
