CC BY
46
Docent dr Nebojša Nikolić,
potpukovnik, dipl. inž.
Institut za strategijska istraživanja, Sektor za politiku odbrane MO
Rezime:
KORISNICKI ASPEKT PRELAZNOG REZIMA RADA SISTEMA MASOVNOG OPSLUŽIVANJA
UDC: 65.012.122 : 355.1
Problem početnog, prelaznog, nestacionarnog perioda ili perioda zagrevanja postoji niz decenija, kao važan i još uvek aktuelan problem u simulacionom modelovanju sistema masovnog opsluživanja (SMO). Uz primenu jedne teorijske aproksimacije za određivanje dužine prelaznog perioda sugeriše se potencijalni uticaj prelaznog režima na mere performanse sistema. U radu se daje i autorovo viđenje prirode ovogproblema, kao i mogući pravac njegovog rešavanja.
Ključne reči: prelazni režim, masovno opsluživanje, simulacija.
PRACTICAL ASPECTS OF THE TRANSIENT REGIME IN QUEUEING SYSTEMS
Summary:
The issue of the initial, transient, non-stationary regime in the queueing system simulation modeling has been an important and still intriguing question for decades. A theoretical aproximation for determining the relaxation time in the queueing process was used to show importance and effects of the transient regime on the measures of queueing system performances. The paper also offers the author's view on the nature of the initial transient regime issue as well as a possible way to tackle it.
Key words: initial transient regime, queueing, simulation.
Uvod
Na jednoj renomiranoj konferenciji o simulacijama (Winter Simulation Conference - serija godišnjih američkih kon-ferencija posvećenih simulaciji), održa-noj decembra 2005, poznati operacioni istraživač i profesor na Stanford univer-zitetu Peter Glin postavio je, pored osta-lih, i sledeća pitanja [1]:
1) „U kojim tipovima simulacija po-četni prelaz i dužina inicijalizacije su če-sto i značajno problematične?
2) Postoji li neka teorijska aproksi-macija koja će baciti svetlo na dužinu trajanja početnog prelaza?“
Naučna referentnost, vreme i mesto gde su ova pitanja deklarisana nesumnji-vo daje odgovarajući visok nivo značaj-nosti i aktuelnosti istaknutim pitanjima, čak i u našem vojnoakademskom i voj-nonaučnom okruženju. Po logici stvari, to bi trebalo da važi i za potencijalne od-govore na postavljena pitanja. Dobrim poznavaocima simulacionog modelova-nja ova pitanja nisu nova. Reč je o pro-blemima koji su prepoznati već u prvim radovima u oblasti simulacionog mode-lovanja, dakle, poznati su već nekoliko decenija. Pomenućemo samo nekoliko autora radova iz različitih perioda: Gafa-rian, Anker i Morisaki 1978, [2]; Odoni i
VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 4/2007.
429
Rut 1983, [3]; Pawlikovski 1990. i 2002, [4], [5]; Yau 2000, [6] i panel-diskusija [7] renomiranih autora u oblasti simula-cionog modelovanja.
Problem početnog prelaza poznat je pod više naziva: početna (inicijalna) faza simulacije; prelazni period; period zagre-vanja; nestacionarni period, itd. Do sada je u svetu objavljen veliki broj radova koji tretiraju ovaj problem, pri čemu su predložena i mnoga rešenja, ali je problem ostao aktuelan i u današnje vreme, što na neki način potvrđuju i navedeni upiti profesora Glina.
Svrha ovog rada jeste upoznavanje domaće naučne i stručne javnosti sa fe-nomenom prelaznog perioda, kao i pri-kaz potencijalnih odgovora na prethodno navedena pitanja. Za ilustraciju praktič-nog značaja prelaznog režima rada siste-ma masovnog opsluživanja koristiće se jednostavni primer iz oblasti logistike.
Problem početnog prelaza
Na osnovu navedenih ali i brojnih drugih radova, može se reći da problem početnog prelaza postoji, pre svega, kod simulacije sistema masovnog opsluživa-nja (SMO u daljem tekstu). Najčešće raz-matrani tip SMO je M/M/n/m/FIFO u Kendalovoj oznaci (videti Vukadinovića, 1988, [11]). U razmatranju problema po-četnog prelaza obično se razmatra SMO tipa M/M/1/ro, što je i ovde slučaj. U kla-sičnom, analitičkom opisu ovaj tip SMO predstavljen je sistemom diferencijalnih jednačina prvog reda [11] sa konstantnim koeficij entima. Argument ili nezavisna promenljiva u ovom sistemu jednačina je vreme, što implicira zaključak o dina-mičkom ponašanju SMO, bez obzira na
konstantne koeficijente koji predstavljaju konstantne intenzitete tokova klijenta.
Diferencijalne jednačine stanja
SMO tipa M/M/n/m vrlo su jednostavne, a njihov broj direktno zavisi od broj a mogućih stanja u kojima se SMO može naći. Poseban slučaj predstavljaju SMO bez posebnog ograničenja broja klijenata u redu, a time i sa neograničenim brojem mogućih stanja sistema. Postupak rešava-nja ovog sistema diferencijalnih jednači-na stanja SMO, međutim, nije ni malo lak, a rešenja su takve složenosti da su vrlo nepogodna za primenu u praktičnim proračunima. Složenost rešavanja i samih rešenja vrtoglavo raste sa povećanjem broja jednačina stanja SMO. O tome sve-doče podaci u tabeli 1, gde je rešenje za SMO M/M/1/ro najsloženije i citirano iz literature (Klajnrok 1975, [8]). U široj li-teraturi, ova rešenja obično se nazivaju prelazna rešenja ili rešenja za prelazni re-žim. Međutim, jasno je da su to komplet-na rešenja koja važe za bilo koje vredno-sti nezavisne promenljive, dakle važe i za prelazni i za stacionarni režim rada.
U prilog značaju razmatranja prela-znog režima navode se reči našeg poznatog profesora Vukadinovića [11], koji kaže: „Sve vreme rada sistema može se podeliti na dva intervala: interval (0, tp) i interval (tp,a>). Interval vremena (0, tp) naziva se interval prelaznog režima rada sistema, a interval (tp,^) interval stacionarnog režima rada sistema. Veličina tp je momenat kada si-stem prelazi iz prelaznog u stacionarni re-žim rada“ Dalje, na strani 83, Vukadinović konstatuje: „U slučaju kada proces opsluži-vanja ne traje dugo, potrebno je uzeti u ob-zir uslov nestacionarnosti. Zato su od posebnog značaja pitanja kada mogu da se ko-riste rešenja stacionarnog režima rada i ka-
430
VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 4/2007.
kva će pri tom biti greška“. Pred kraj iste knjige (strana 183), Vukadinović zaključu-je: „U dosadašnjim razmatranjima bitno smo uprostili zadatak određivanja verovat-noća različitih stanja, ograničavajući se na stacionarni režim rada, jer svaki sistem op-služivanja dostiže ovaj režim rada posle od-ređenog vremena i pod određenim ograni-čenjima. U primenama nas, međutim, često interesuje i prelazni period“.
U vojnim primenama, u razmatranju sistema i procesa opisivih kao SMO, po-stoji upravo imperativna potreba za prou-čavanjem prelaznog perioda. Osnovni razlog za to je prosta činjenica da se mora uvažiti vremenski faktor, pogotovo zbog konačnog trajanja ratova, bojeva, misija i drugih procesa.
Da bi se jednostavno ilustrovala sva složenost izraza iz tabele 1 (pre svega za
Tabela 1
Uporedni prikaz teorijskih rešenja za verovatnoće stanja SMO tipa M/M/1/0, M/M/1/1 i M/M/1/w
Tip SMO Jednačine stanja Početni i normirajući uslovi Rešenja
M/M/1/0 p0(t) = -^po(t) + m(t) p1(t) = ^po(t)-|4ft(t) po(0) = 1 p1(0) = 0 1 X pi(t)=1 i=0 po(t) = -+■ + -jP-e-(^+^)t 1 + p 1 + p p/(t) = -P-e-^» 1 + p 1 + p
M/M/1/1 p0(t) = -^po(t) + m(t) p1(t) = ^po(t) -( + p) p1 (t) + pp2(t) p2(t) = ^p1(t) -pp2(t) po(0) = 1 p1(0) = 0 p2(0)= o 2 X pi(t)=1 i=0 p0(t) = 1 2 + P e-(^+^ + 1 + p + p 2(1 + p+ i/p) + p с-(^+Е^ДЁ)1 2(1 + P—/-) p (t) = p p(1 + V—) e-(^+^W^^) t 1 1 + p + p2 2(1 + p +/p) p(1 -^^—) ^-(Х+џ-ЈХџ) t 2(1+p-Vrt P2(t) = p 2 + P^P t - 1 + p + p2 2(1 + p+/p) p^f- e-(^+|a-J/jIjt 2(1 + p-/p)
M/M/1A» p0(t) = -^po(t) + m(t) pn(t) = *Pn-1(t) - -(X + p)pn(t) + ppn+1(t) gde je: n > 1 po(0) = 1 pn(0) = 0 n Xpi(t) = 1 i=0 pn(t) = e-^» "p(n-i)/2In-i(at) + p(n-i-1)/2In+i+1(at) +1 +(1 -p)pn X p-j/2ij(at) j=n+i+2 W (v/9)n+2m gde je: a - 2pp1/2 i In(x)=X / uz: n - 0,1,2,3, ... " (n+m)!m! m=0 v '
VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 4/2007.
431
SMO M/M/1/ro), citiraće se renomirani autor Klajnrok, koji je bez ustručavanja i jednostavno opisao ovu situaciju (str. 78) [8]: „Poslednji izraz je veoma razočara-vajući. Šta drugo reći kada odgovarajući model za najjednostavniji SMO od inte-resa vodi do jednog tako komplikovanog izraza za njegove verovatnoće stanja kao vremenski zavisne veličine. Kao posledi-cu možemo očekivati samo veću slože-nost i neizglednost u pokušajima da od-redimo vremenski zavisno ponašanje SMO opštijih tipova“.
O složenosti ovog izraza svedoče i na-vodi iz poznate knjige o teoriji masovnog opsluživanja, renomiranih autora Grosa i Harisa, koji kažu sledeće (str. 75) [9]: „Re-šavanje SMO M/M/1/ro za prelazni režim je komplikovana procedura... Rešenje ovog problema pojavilo se skoro pola veka posle osnovnih radova Erlanga (1909. god.). Prvo poznato rešenje je ono koje su zajedno obja-vili Lederman i Reuter (1956. god.), u kome su oni koristili spektralnu analizu za opšti proces rađanja i umiranja. Iste godine po-javila su se dva dodatna rada kao rešenje ovog problema, Bailey i Champernonjne (u žurnalu kraljevskog statističkog druš-tva, London, 1956. god.)“
Tradicionalni pristup u teoriji masovnog opsluživanja podrazumeva raz-matranje i proračun sistema diferencijal-nih jednačina stanja SMO za uslove sta-cionarnog režima rada koji, teoretski po-smatrano, sigurno nastupa posle besko-načno mnogo vremena, ali uz osnovni uslov da intenzitet dolaznog toka klijenata nije veći od intenziteta opsluživanja. Pri tome se pretpostavlja da je prelazni režim, ko-ji prethodi stacionarnom režimu, relativno kratkotrajan. Mora se naglasiti da je to, ipak, samo pretpostavka; pravi odgovor dale bi samo navedene jednačine.
Uz takvu pretpostavku (t^ro), koja se implementira već na samom početku, rešavanje sistema diferencijalnih jednači-na stanja postaje vrlo jednostavno. Naime, funkcije verovatnoća stanja koje u pola-znom sistemu diferencijalnih jednačina je-su u funkciji vremena, posle beskonačno mnogo vremena postaju konstantne. To dalje znači da prvi izvodi funkcija vero-vatnoća stanja postaju jednaki nuli. Posle-dica je da polazni sistem diferencijalnih jednačina stanja prelazi u formu sistema algebarskih jednačina, a dalji postupak, kao i sama rešenja, postaje veoma jedno-stavan (ovaj postupak može se naći u osnovnoj literaturi za teoriju masovnog opsluživanja, kao npr. kod Vukadinovića [11], pa se ovde ne navodi).
Za razliku od teorijskog tretmana prelaska na razmatranje stacionarnog re-žima SMO, gde se „potezom pera“ (im-plementacijom stava: „t^ro“) stiže u sta-cionarni režim, u simulaciji SMO „Mon-te Karlo“ to ni izbliza nije tako. Naime, pri simulaciji SMO obično se polazi od logične spoznaje (kada je ona validna, tj. važi za realni sistem koji se modeluje) da je SMO na početku rada prazan, tj. da u njemu nema klijenata. I tada simulacioni model SMO zaista simulira (oponaša) ponašanje SMO, pa polazeći od stanja da na početku rada u SMO nema klijenata, zaista prolazi kroz prelazni režim na svom putu do stacionarnog režima. Stati-stika za mere performanse SMO koje se prate tada sadrži i podatke svojstvene prelaznom režimu rada. Ako se, ipak, že-li statistika pokazatelja rada SMO samo za stacionarni režim, postavlja se pitanje kada on nastupa, odnosno koliki je počet-ni (inicijalni, prelazni, itd.) deo koji treba isključiti iz razmatranja.
432
VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 4/2007.
Problem prelaznog režima u simulaciji SMO posebno dolazi do izražaja kada je broj mogućih stanja SMO veliki ili, čak, neograničen. Isto važi i u slučaju visoke op-terećenosti servera („heavy-traffic“), što se čak prikazuje i kao poseban problem u simulaciji SMO, ali i u teorijskim radovima. U tim slučajevima prelazni režim postaje vrlo dug, čak do te mere da je moguće da čitavo vreme funkcionisanja provede u pre-laznom režimu i tako uopšte i ne dođe do stacionarnog režima. Otuda se i dobijeni si-mulacioni rezultati mogu mnogo razlikovati od onih koji su nam dostupni i praktično raspoloživi iz teorije, tj. od rezultata za sta-cionarni režim. U nizu radova poslednjih decenija problem prelaznog perioda identi-
fikovan je kao prepreka obezbeđenju tačno-sti simulacionih rezultata. Referenca u od-nosu na koju se posmatra pomenuta tačnost jesu teorijske vrednosti posmatranih veliči-na, ali samo za stacionarni režim rada SMO.
Teorijska aproksimacija dužine početnog prelaza
Za tip SMO M/M/1/ю, kao jedan od relativno najjednostavnijih, ali i najčešće proučavanih modela, moguće je iskoristiti i neke analitičke rezultate, na primer Morse-ov [10], ili Grosov i Harisov [9]. Ovi rezul-tati postoje već veoma dugo i vrlo su jed-nostavni, pa je neshvatljivo zašto do sada nisu našli širu primenu. Na osnovu rezulta-
Trajanje prelaznog perioda za M/M/1 u funkciji koeficijenta opterećenosti (izraženo u bezdimenzionalnim jedinicama: T*/T^)
P
Aproksimacija trajanja prelaznog perioda za SMO tipa M/M/1/ю
VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 4/2007.
433
ta Morsea može se izvesti sledeći izraz za određenje dužine prelaznog perioda:
T
(1 - 4p) 2
(i)
gde su:
T - vreme relaksacije (tj. vreme trajanja prelaznog režima, odnosno praktični po-četak stacionarnog perioda),
Тц - prosečno vreme opsluživanja (Тц = Ур) i
р - koeficijent opterećenosti sistema (p = Z/p).
Korišćenjem ove jednostavne for-mule može se lako odrediti trajanje prelaznog perioda za SMO tipa M/M/1/ro, u funkciji nivoa opterećenosti.
Na slici je prikazano trajanje prelaznog perioda proračunato primenom prethodnog izraza (1), za SMO tipa M/M/1/ro. Trajanje prelaznog perioda izraženo je u relativnim jedinicama, od-nosno preko prosečnog vremena opslu-živanja. Na taj način dobija se univer-zalni uvid u trajanje prelaznog perioda, nezavisno o kojim vremenskim jedinicama je reč (milisekunde, sati, dani, itd.) u realnom sistemu tipa M/M/1/ю.
Korisnički aspekt prelaznog režima
Pored demonstracija primene izlože-ne teorijske aproksimacije za dužinu prela-znog perioda, u ovom delu članka biće pri-kazan i korisnički aspekt prelaznog režima rada, odnosno njegov uticaj na mere per-formanse SMO, prema Nikoliću [17].
U primeru se razmatra proces eva-kuacije oštećenih i otkazalih tenkova
oklopne brigade u borbenim dejstvima. Za evakuaciju ovih tenkova do mesta gde će se vršiti opravke koristi se vučni voz. Uzima se da je na raspolaganju samo je-dan vučni voz (jednokanalni SMO). Radi jednostavnijeg numeričkog proračuna pretpostavlja se da je raspodela vremena između pojave dva zahteva za angažova-njem vučnog voza, radi evakuacije ošte-ćenog tenka, po eksponencijalnoj raspo-deli (Poasonov potok klijenata) i da je raspodela vremena evakuacije vučnim vozom, takođe, po eksponencijalnom za-konu. Borbena dejstva koja izvodi ova brigada imaju načelno vreme trajanja an-gažovanja brigade u boju (5 dana). Raz-matraju se tri varijante vrednosti ulaznih podataka, prema tabeli 2.
Tabela 2
Ulazne vrednosti za zadatak
Varijanta Prosečno vreme između pojave zahteva za vučni voz (T) Prosečno vreme rada vučnog voza (Тц) Koeficijent opterećenosti (P)
1. 240 minuta 200 minuta 0,833
2. 200 minuta 190 minuta 0,95
3. 200 minuta 240 minuta 1,2
Sistem masovnog opsluživanja tipa M/M/1/ю
Razmatranjem ovog zadatka treba doći do odgovora na sledeća praktična pitanja koja se mogu, a najčešće se i po-stavljaju u vojnoj praksi: „Za koliko vre-mena mogu očekivati da se moj tenk po-pravi?“ (tipično pitanje, ali i sugestivni zahtev komandanta oklopnog bataljona; ovo pitanje može postaviti i komandant ili načelnik štaba ili načelnik OMJ, orga-nu logistike); „Koliko mesta moram da pripremim na SOT-u (sabiralište ošteće-ne tehnike)? Koju dinamiku angažovanja vučnog voza mogu da očekujem?“ (ko-
434
VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 4/2007.
mandir jedinice za održavanje); „Da li je vašoj brigadi zaista potrebna podrška pri evakuaciji oštećenih tenkova, tj. da li vam treba još koji vučni voz i koliko?“ (načelnik TSl korpusa).
Sva ova i druga slična pitanja sliva-ju se na jedno mesto - kod načelnika teh-ničke službe brigade. On se smatra naj-odgovornijim, ali i najkompetentnijim da pronađe tražene odgovore.
Ova relativno jednostavna situacija ima svoju težinu:
- prvo, kanal opsluživanja predsta-vlja vučni voz; njegova cena je visoka, pa stoga nije racionalno, a nekad ni mo-guće obezbediti veći broj tih sredstava; takođe, za vučni voz je potrebna i odgo-varajuća, dobro obučena posada, što ta-kođe ima svoju cenu;
- drugo, klijenti su oštećeni tenkovi koje treba evakuisati radi opravke; njiho-va cena je takođe visoka;
- treći, najvažniji aspekt: borbena važnost tenkova je mnogo veća od njiho-ve cene. Izvršenje borbenog zadatka za-visi od operativne gotovosti jedinice, od-nosno od broja tenkova „u stroju“. Ako neki od njih bude izbačen iz borbe (ne i uništen) cilj je da se što pre vrati u istu borbu. Za ilustraciju može poslužiti primer bitke za Tobruk, u severnoj Africi, aprila 1941, i odličnog rezultata nemač-kih logističkih jedinica: od 100 tenkova izbačenih iz stroja 88 je popravljeno i vraćeno u istu bitku!
- četvrto, i borbena logistička pravi-la definišu važnost ovog i sličnih zadata-ka: „obezbediti maksimalni broj, za bor-bu kritičnih (važnih) sredstava, uz ogra-ničene resurse“.
Uobičajeni način rešavanja zadataka ovog tipa podrazumeva primenu rezulta-
ta klasične teorije masovnog opsluživa-nja, uz redovno zanemarivanje činjenice da realni SMO radi konačno vreme (u ovom primeru 5 dana), kao i uz odbaci-vanje treće varijante zadatka (p>1), kao „neprihvatljive“ sa aspekta klasične teorije masovnog opsluživanja. U tabeli 3 prikazani su rezultati (i izrazi po kojima su dobijeni rezultati) uobičajenog načina rešavanja ovakvih zadataka, odnosno određivanje samo rešenja za stacionarni period, za mere performanse koje su naj-važnije korisnicima.
Tabela 3
Rezultati primenom klasične teorije masovnog opsluživanja
Varijanta Prosečno vreme čekanja u redu Wlj = T-p / (1 - p) Prosečna dužina reda Llj = p2 /(1 - p) Prosečna opterećenost kanala opsluživanja p = Уџ
1. 1000 minuta 4,17 0,833
2. 3610 minuta 18,05 0,95
3. Neprimenljivo za p>1! (tj. <x> i ад) 1,2
Sistem masovnog opsluživanja tipa: M/M/1/ад
Ova uobičajena rešenja sada će, me-đutim, biti osporena određenim, takođe analitičkim putem, odnosno primenom aproksimativnog analitičkog izraza Mor-sea, koji sledi u nešto izmenjenoj formi:
T 1
T = (1 -4Pf <2)
gde su:
T* - vreme relaksacije (tj. vreme trajanja prelaznog režima, odnosno praktični po-četak stacionarnog perioda),
VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 4/2007.
435
T - prosečno vreme opsluživanja (Тц =l/p) i
p - koeficijent opterećenosti sistema (p = A/p).
Primenom ovog jednostavnog izraza lako se određuju trajanja prelaznog peri-oda, odnosno praktični početak stacio-narnog perioda rada SMO, tabela 4.
Tabela 4
Praktični početak stacionarnog perioda prema teorijskoj aproksimaciji
T^ (minuta) Koeficijent opterećenosti Praktični početak stacionarnog perioda [izraženo preko вд Trajanje boja [izraženo preko T^: 7200 minuta /
200 0,833333 132 36
190 0,95 1560 38
240 1,2 110 30
Na osnovu rezultata iz tabele 4, mo-že se zaključiti da posmatrani SMO, za vreme svog angažovanja (pet dana ili 7200 minuta) neće dospeti do praktičnog početka stacionarnog perioda rada SMO pri datim uslovima. Odnosno, za sve vre-me angažovanja ovaj SMO radi u režimu karakterističnom za prelazni period (čak je i veoma daleko od stacionarnog perio-da). Prema tome, rezultati za mere per-formanse koji se dobijaju uobičajenom primenom klasične teorije masovnog op-služivanja (tabela 3), a koji važe samo za stacionarni period, nisu validni, tj. ne va-že za ovaj zadatak, jer posmatrani SMO za date uslove i vreme rada ne stiže ni blizu stacionarnog perioda.
Logično pitanje koje se ovde može postaviti jeste: ako ti rezultati nisu validni, kako odrediti tačne rezultate, koji nas zanimaju?
Efikasan odgovor moguće je dobiti jedino primenom druge metodologije re-šavanja zadatka, odnosno metode simula-cionog modelovanja. Međutim, i ovde postoje „uobičajeni“ (poznati, najčešće primenjivani) simulacioni pristupi. Naj-češći „uobičajeni“ simulacioni pristup jeste praktična emulacija (kopiranje) onoga što pokriva klasična teorija masovnog opsluživanja, odnosno ravnanje prema rezultatima koji važe samo za stacionarni period. U simulacionom modelovanju SMO postoje, načelno, dva pristupa koji još uvek nemaju naš odgovarajući termin (ali ni jedinstven naziv u svetu, već ima nekoliko termina), pa će biti navedeni u originalu i u slobodnom prevodu:
A) „one simulation run; long simulation run; steady-state simulation; infinite-horizon simulation; non-terminated si-mulation“, odnosno: jedan simulacioni prolaz (jedna simulacija); dugi simulacioni prolaz; simulacija stacionarnog sta-nja; „neograničena“ simulacija.
B) „independent replications; replications in parallel; parallel replications; terminating simulation“, odnosno: neza-visna ponavljanja (misli se na simulacioni eksperiment); paralelna ponavljanja; terminirajuća („konačna“) simulacija.
U nastavku slede rezultati primene oba navedena simulaciona pristupa. Svi simulacioni modeli kreirani su korišće-njem simulacionog jezika GPSS/FON, [15]. Cilj prikaza simulacionih rezultata, dobijenih na nekoliko uobičajenih načina simulacionog modelovanja, jeste da se ukaže na njihovu inferiornost u odnosu na simulacione modele kreirane uz pri-menu inovirane simulacione metode [19]. U daljem rešavanju razmatrana je samo prva varijanta zadatka.
436
VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 4/2007.
A) Jedna „duga“ simulacija
Ovde će biti razmotreno šta se deša-va sa simulacionim rezultatima kada se primeni najpopularniji uobičajeni pristup kreiranju simulacionih modela. Reč je o realizaciji jedne „duge“ simulacije. Duži-na simulacije može da se izrazi preko broja generisanih klijenata ili preko defi-nisanog vremena trajanja eksperimenta (primenjeno u ovom primeru). Postoji vi-še načina, relativno složenih, za određi-vanje dužine trajanja simulacije, kao i je-dan najjednostavniji, koji je i ovde pri-menjen. To je proizvoljno i sukcesivno povećavanje trajanja simulacije. U kon-kretnom primeru razmotrena su tri sluča-ja: dužina simulacije je povećana najpre 10 puta, zatim 100 puta i na kraju 1000 puta, u odnosu na pravu (verodostojnu) vrednost dužine rada realnog SMO.
Ovaj uobičajeni i popularni simula-cioni pristup orijentisan je na dobijanje stacionarnih vrednosti posmatranih mera performansi. Pri tome se kvalitet simula-cionih rezultata meri prema tome koliko su oni bliski stacionarnim vrednostima dobijenim na osnovu klasične teorije ma-sovnog opsluživanja (ova provera mogu-ća je samo za jednostavnije SMO, za ko-je postoje analitička rešenja u teoriji ma-sovnog opsluživanja). Radi toga, simula-cioni eksperiment se produžava. Na taj način, simulacioni model umesto da opi-suje realnost (konačno vreme funkcioni-sanja), teži da emulira nekompletnu teo-riju masovnog opsluživanja. Pri tome se narušava, do u potpunosti, jedan od osnovnih principa simulacionog modelo-vanja: princip verodostojnosti. Jedno-stavno rečeno, simulacioni model više ne
opisuje onaj realni sistem (simuland) zbog kojeg je i stvoren.
U ovom simulacionom pristupu, pored problema dužine trajanja simulacije, postoji još uvek i problem eliminisanja uticaja početne faze simulacije (tj. „za-grevanje modela“, „inicijalizacija“, „star-tovanje simulacije“, itd.). Reč je, u stvari, o uticaju režima rada sistema u prela-znom periodu. Kako je reč o simulacio-nom pristupu koji praktično ignoriše fe-nomen prelaznog perioda i nastoji da raz-matra rad SMO samo u stacionarnom pe-riodu, onda je jasno da se uticaj prelaznog perioda smatra svojevrsnom smet-njom ili šumom, koji otežava dosezanje tačnijih stacionarnih vrednosti za posma-trane mere performanse.
Sa aspekta ovakvog simulacionog pristupa jasna je potreba: prvo, određiva-nja dužine trajanja prelaznog perioda (perioda zagrevanja, perioda inicijaliza-cije, itd.), i drugo, eliminacije njegovog uticaja. I ovaj problem je veoma star i još uvek nema efikasnog rešenja. Postoji vi-še pristupa ovom problemu i svi su ma-nje ili više složeni.
U rešavanju konkretnog zadatka is-koristiće se teorijska aproksimacija Mor-sea, za određivanje dužine trajanja prelaznog perioda SMO tipa M/M/1/сю. Na osnovu te teorijske aproksimacije, za konkretni zadatak, za prvu varijantu op-terećenja (p = 0,8333), imamo da je pre-lazni period dužine 132T^. Prema tome, u simulacionom modelu u početnom pe-riodu dužine 132T^, neće se prikupljati statistički podaci. Nakon tog perioda, sa-glasno ovom analitičkom rezultatu, tre-balo bi da praktično nastupi stacionarni period rada SMO, pa bi, shodno tome, i
VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 4/2007.
437
simulacioni rezultati morali da odgovara-ju rezultatima klasične teorije. U tabeli 5 prikazani su ovi rezultati, za tri različita trajanja „produžene“ simulacije.
Tabela 5
Rezultati „jednog dugog simulacionog prolaza " bez prelaznog režima
Povećanje dužine simulacije u odnosu na pravu vrednost (5 dana) Oznaka korišćenog generatora slučajnih brojeva (GSB) Rezultati za stacionarni režim (uz isključen uticaj prelaznog perioda u dužini trajanja: 132'T =132-200 min.=26400 min.)
za ulazni tok klijenata za izlazni tok klijenata prosečno vreme čekanja u redu [minuta] prosečna dužina reda prosečna optereće- nost kanala
10 puta (50 dana) 2 6 456 1,86 0,727
100 puta (500 dana) 2 6 743 2,97 0,808
1000 puta (5000 dana) 2 6 945 3,92 0,827
Rezultati na osnovu klasične TMO 1000 4,17 0,833
Na osnovu dobijenih rezultata evi-dentno je da se: svi simulacioni rezultati međusobno veoma razlikuju; veoma se razlikuju i od rezultata dobijenih klasič-nom TMO (rešenja za stacionarni režim), a sa povećanjem dužine trajanja simulacije, sve više se približavaju rezultatima dobijenim na osnovu klasične TMO.
Na osnovu prethodnog logično se nameću sledeća pitanja: zašto se simulacioni rezultati dosta razlikuju međusob-no; zašto se simulacioni rezultati dosta razlikuju od rezultata klasične TMO; zaš-to se uopšte javljaju razlike ovih rezulta-ta; da li ima neke zakonitosti i kakve u činjenici da se sa produžavanjem simulacionog eksperimenta dobijaju sve bo-
lji rezultati; koji rezultati se mogu ko-ristiti kao tačni; kako objasniti toliku različitost rezultata, ako je uticaj prelaznog perioda isključen za sva tri slučaja dužine simulacije?
Potrebno je razmatrati kakvi su si-mulacioni modeli kreirani, odnosno ka-kve realne situacije oni predstavljaju. Vreme angažovanja razmatranog realnog SMO je pet dana, a prema tim simulacio-nim modelima: u prvom slučaju to je 50 dana, u drugom slučaju to je 500 dana, i u trećem slučaju 5000 dana!
Ne samo jedan boj, već i čitavi rato-vi, naročito ratovi modernog doba, ne traju toliko dugo. Iz izloženog se na naj-bolji način vidi sva ograničenost primene uobičajenih simulacionih pristupa, ali ta-kođe i klasične teorije masovnog opsluži-vanja. Pored očigledne logičnosti, uteme-ljenje za ovakvu analizu jeste u konceptu verodostojnosti, poznatom u oblasti simulacionog modelovanja, [20].
Dodatno, za drugu varijantu zadatka (p^-1) bilo bi potrebno još veće produ-ženje simulacionih eksperimenata da bi se dobili rezultati bliski stacionarnim vrednostima; dok treća varijanta (p>1) praktično ne bi mogla da se razmatra pri-menom ove simulacione metode.
B) Nezavisna ponavljanja simulacije
Sada je primenjen drugi simulacioni pristup, odnosno realizovan je veći broj nezavisnih ponavljanja simulacija. Simu-lacioni model kreiran je prema rezultati-ma istraživanja, Nikolić, 2005, [19], od-nosno prema metodi automatizovanog po-navljanja simulacionih eksperimenata sa
438
VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 4/2007.
prikupljanjem statistike slučajnih procesa. Dobijeni rezultati prikazani su u tabeli 6.
Tabela 6
Rezultati na osnovu nezavisnih ponavljanja simulacija
Tip SMO: M/M/1/» Vreme rada SMO: 5 dana Dužina simulacije: 7200 minuta Metod rešavanja Relativni odnos klasičnog i novog rešenja
klasična TMO (samo stacionarne vrednosti) simulacioni rezultati (veličina uzorka: 100 000)
Varijanta 1 (T=200 min., p=0,833) prosečno vreme čekanja [minuta] 1000 411 2,4
prosečna dužina reda 4,17 1,82 2,3
verovatnoća da je kanal slobodan 0,17 0,27 0,6
Varijanta 2 (T=190 min., p=0,95) prosečno vreme čekanja [minuta] 3610 526 6,9
prosečna dužina reda 18,05 2,81 6,4
verovatnoća da je kanal slobodan 0,05 0,20 0,25
Varijanta 3 (T=200 min., P=1,2) prosečno vreme čekanja [minuta] (») 854 (»)
prosečna dužina reda (») 4,66 (»)
verovatnoća da je kanal slobodan (0) 0,12 (0)
Dobijeni simulacioni rezultati su ve-oma različiti u odnosu na rezultate koji se zasnivaju na primeni klasične teorije masovnog opsluživanja. Osnovni uzrok tih razlika je uticaj režima rada SMO u prelaznom periodu. U konkretnom pri-meru konstatovano je da razmatrani SMO za vreme svog rada (trajanje borbe-nih dejstava) uopšte i ne stigne do stacio-narnog perioda. Ako se ova činjenica previdi ili zanemari, pa se koriste samo rešenja koja nudi klasična TMO (rešenja za stacionarni period), nastupaju grube greške u određivanju vrednosti posmatra-
nih mera performansi SMO. Kako se iz ovog primera vidi (tabela 6), te greške mogu biti i višestruke.
Primenom predložene simulacione metode moguće je rešiti i slučajeve pre-opterećenosti SMO (varijanta tri zadat-ka). To je od posebnog interesa kod slo-ženijih SMO, odnosno kod mreža redova čekanja, kada se ne može uvek predvideti da li će se slučaj preopterećenja SMO pojaviti. Dobijeni rezultati (tabela 6) u saglasnosti su i sa praktičnim iskustvima, jer za realne SMO često važi: „naš kanal opsluživanja je veoma opterećen i mi (opslužioci) radimo skoro stalno, ali na čekanju nema toliko mnogo sredstava, niti je čekanje tako veliko, kao što to su-gerišu rezultati klasične TMO“
Zaključak
Problem početnog prelaza javlja se u simulaciji sistema masovnog opsluživanja koji su percipirani kao dinamički sistemi. Osnovni koncept sistema masovnog op-služivanja: klijenti - red čekanja - kanal opsluživanja, široko je primenljiv, odnosno njime je moguće prikazati veliki broj sistema i procesa iz najrazličitijih oblasti, kako inžinjerskih tako i organizacionih, uključujući i vojne sisteme i procese.
U široj literaturi iz teorije masovnog opsluživanja postoji vrlo jednostavan iz-raz za analitičku aproksimaciju dužine relaksacionog perioda, odnosno početnog ili prelaznog režima rada sistema masov-nog opsluživanja tipa M/M/1.
U zadacima iz prakse mogu se na-ći sistemi i procesi opisivi kao sistemi masovnog opsluživanja koji sve vreme funkcionisanja provode u prelaznom
VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 4/2007.
439
režimu. Najznačajnija praktična posle-dica prelaznog režima rada jeste uticaj na relevantne mere performanse siste-ma. Potencijal uticaja prelaznog režima jeste takav da posmatrane mere performanse mogu biti i višestruko različite od tradicionalno računatih vrednosti za stacionarni režim rada. Unapređenom metodom nezavisnih ponavljanja simu-lacija, moguće je efikasno proučavati problem početnog prelaza i njegovog uticaja.
Literatura:
[1] Glynn, W. P.: Initial transient problem for steady-state output analysis, Proceedings of the 2005 Winter Simulation Conference, December 2005, pp. 739-740.
[2] Gafarian, A. V., Ancker C. J., Morisaku T.: Evaluation of commonly used rules for detecting steady state in computer simulation, Naval Research Logistics, 1978, pp. 511-529.
[3] Odoni, A., Ruth E.: An Emirical Investigation of the Transient Behavior of Stationary Queueing Systems, Operations Research, Vol. 31, No. 3, May-Jun 1983, pp. 432-455.
[4] Pawlikowski, K.: Steady-State Simulation of Queueing Processes: A Survey of Problems and Solutions, ACM Computing Surveys,Vol. 22, No. 2, Jun 1990, pp. 123-171.
[5] Pawlikowski, K., Jeong H. D. J., Ruth Lee J. S.: On credibility of simulation studies of telecommunication networks, IEEE Communications Magazine, January 2002, pp. 132-139.
[6] Yau, V.: An empirical comparison of methodologies for obtaining results with specific accuracy and for run-length control in
quantitative simulation, Transactions of the society for computer simulation international, Vol. 17, N2, 2000, pp. 89-101.
[7] Androttir, S. and others, panel, Analysis methodology: are we done?, Proceedings of the 2005 Winter Simulation Conference, December 2005, pp. 790-796.
[8] Kleinrock, L.: Queueing systems, Volume I: Theory, John Wiley & Sons, New York, 1975.
[9] Gross, D., Harris M. C.: Fundamentals of queueing theory, John Wiley & Sons, New York, 1974.
[10] Morse, P. M.: Queues, inventories and maintenance, John Wiley & Sons, New York, 1958.
[11] Vukadinović, S.: Masovno opsluživanje, Naučna knjiga, Beograd, 1988.
[12] Vukadinović, S.: Elementi teorije verovatnoće i matema-tičke statistike, Privredni pregled, Beograd, 1990.
[13] Mališić, J.: Slučajni procesi, teorija i primene, Građevin-ska knjiga, Beograd, 1989.
[14] Schriber, T.: Simulation using GPSS, John Wiley & Sons, New York, 1978.
[15] Radenković, B.: Modelovanje i simulacija organizacionih sistema korišćenjem simulacionog sistema GPSS/FON, FON, Beograd, 1991.
[16] Nikolić, N.: Uticaj parametara boja na tehničko obezbeđe-nje u oklopnoj brigadi, Magistarski rad, Sektor ŠONID, VTA, VJ, Beograd, maj 2000.
[17] Nikolic, N.: Limitations of theoretical and commonly used simulation approaches in considering military queueing systems, Proceedings 15th European Simulation Symposium, Delft, Holland, October 2003, pp. 602-607.
[18] Nikolic, N.: Fidelity in studying of military queueing systems, European Simulation Interoperability Workshop ESIW 2004, Edinburgh, UK, July 2004. (www.sisostds.org).
[19] Nikolić, N.: Istraživanje modela i metoda masovnog op-služivanja za primenu u vojnim procesima, doktorska di-sertacija, Vojna akademija, Beograd, jun 2005.
[20] Defence Modeling and Simulation Office, DoD Modeling and simulation (M&S) Verification, Validation, and Accreditation (VVA), Recommended practices guide, DMSO, Alexandria, VA, 1997.
440
VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 4/2007.
Tabela 1
Uporedni prikaz teorijskih rešenja za verovatnoće stanja SMO tipa M/M/1/0, M/M/1/1 i M/M/1/ю
Tip SMO Jednačine stanja Početni i normi-rajući uslovi Rešenja
M/M/1/0 Po(t) = -Xpo(t) + PP] (t) Pl(t) = -^Po(t) + PP1 (t) Po(0) = 1 Pi(0) = 1 1 X Pi(t) =1 1=0 Po(t) = t+- + rjP-e-(^p)t 1 +p 1 + p P1(t) = T-+- + rjP-e-(^p)t 1 +p 1 + p
M/M/1/1 Po(t) = -^Po(t) + PP1(t) p1(t) = -Xpo(t) + pP1(t) + +PP2(t) p2(t) = -^Po(t) +PP2(t) Po(o) = 1 P2(0)= 1 P3(0) = 1 2 X Pi(t) =1 i=0 P0(t) = 1 2 + P с-(Я+р+^ + 1 + p + p 2(1 +p+/p) + p c-(^+p^/^p)t 2(1+p+V-) p (t) = p p(1 W-) c-(^+pw^p)t 1 1 + p + p2 2(1 + p+/p) p(1 + Vp) e-(x+p^/Tpjt 2(1 ip-Zp) P2(t) = p 2 + 2(1 p^p .-e-1^1^ - 1 + p + p2 2(1 + p+/p) p'Jp -(^+p-^p)t 2(1 ip-Vp)6
M/M/1A» Po(t) = -^Po(t) + PP1(t) Pn(t) = -Pn-1(t) --(^ + P)Pn(t) + PPn+1(t) gde je: n > 1 Po(0) = 1 Pn(0) = 1 n XPi(t) = 1 i=0 Pn(t) = e-(^+p)t p(n-i)/2In-i(at) + p(n-i-1)/2In+i+1(at) + +(1 -p)pn X p-j/2Ij(at) j=n+i+2 W (x/2)n+2m gde je: a = 2pp1/2 i In(x)=X uz: n = 0,1,2,3, ... ^ (n+m)!m! m=0 v J
VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 4/2007.
441
2000 1900 1800 1700 Р1 1600 «; 1500 -^ 14001 1300 -■g 1200 -e- 1100 о 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0 Trajanje prelaznog perioda za M/M/1 u funkciji koeficijenta optere ćenosti (izraženo u bezdimenzionalnim jedinicama: T*/Tp)
I
I
/
/
"
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 P
Sl. 1 - Aproksimacija trajanja prelaznog perioda za SMO tipa M/M/1/ю
442
VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 4/2007.
