КООРДИНАТЫ СЕРЕДИН НЕПАРАБОЛИЧЕСКИХ ОТРЕЗКОВ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ПЛОСКОСТИ ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ КРИВИЗНЫ В КАНОНИЧЕСКОМ РЕПЕРЕ ПЕРВОГО ТИПА Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 514.133

Л. Н. Ромакина

КООРДИНАТЫ СЕРЕДИН НЕПАРАБОЛИЧЕСКИХ ОТРЕЗКОВ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ПЛОСКОСТИ ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ КРИВИЗНЫ В КАНОНИЧЕСКОМ

РЕПЕРЕ ПЕРВОГО ТИПА

Поступила в редакцию 18.05.2018 г.

Пусть Д, В — концы непараболического отрезка а плоскости Н [ 1,2].

На прямой ДВ существует пара вещественных взаимно ортогональных точек Б, Бо, гармонически разделеяющих пару точек Д, В. Обозначим через К1? К2 точки пересечения прямой ДВ с абсолютом. В случае эл-лиитической (гиперболической) прямой точки К1? К2 мнимо сопряженные (вещественные различные). Условие ортогональности точек Б, Бо можно записать равенством (^^0К1К2) = —1, а условие гармонической разделенности пар точек ^^^ Д В — равенством (ББоДВ) = —1. Одна из точек Б, Бо, пусть Б принадлежит отрезку а, а вторая — дополнению

ДВ

точка Б (£0) — середина (квазисередина,) отрезка ДВ. Если прямая ДВ эллиптическая, то обе точки Б, Б0 собственные на И. Если прямая ДВ гиперболическая, то Б — собственная точка, а Бо — идеальная.

В каноническом репере Я* первого типа (см. [1, п. 4.1.1]) точки Д, В зададим координатами ^), (bj), ] = 1, 2,3, и найдем выражения координат (sj), (sj) соответственно точек Б и Бо через координаты (aj), (bj). В репере Я* прямая ДВ имеет координаты

и = а2Ьз — азЬ2, м = азЬ1 — а1 Ьз, из = а^2 — а2Ь1. (1) Принадлежность точек Б, Б0 прямой ДВ определена равенствами

М1Й1 + М2Й2 + Мзйз = 0, + М2«2 + Мз5З = 0, (2)

а условие ортогональности точек Б, Б0 (см. (4.53) из [1]) имеет вид

5151 + Й2 52 — 5з5з = 0. (3)

Предположим, что из = 0, и выразим из равенств (2) значения йз, 5з. Подставляя полученные выражения в условие (3), получим равенство

5151 (и2 — и?) + Й252 (и2 — и2) — («^ + ^^ = 0. (4)

Условие (&$)АВ) = — 1 гармонической сопряженности пар точек S, 5о и А, В, записанное в координатах этих точек, приводит к условию

251510,2&2 + 25252а1&1 — А (5^2 + «2^1) = 0, А = Й1&2 + «2^1. (5) Исключив из равенств (4), (5) выражение й152 + 52515 находим

2$151а2&2 + 2й2520161

5152 + 52 51 =

А

51 й1 (А — — 2м1м20262) + 52Й2 (А (и2 — — 2м1м20161) = 0. (6) Поделив обе части равенств в системе (6) на 5252, получим

51 2^Ц0262 + 20161 51 А (м2 — м2) — 2м1 М2Й1&1

«2 52 А , 52 52 А (м2 — М2) — 2^20.262 .

Решая систему (7) относительно переменных I1, получаем

= 0 + £\/02 — 0, = 0 — £\/02 — 0, £ = ±1, 52 52

А (м2 — м2) — 2^1^20161 0Й2&2 + 0161 /сЛ

0 = —л / 2-^-^-~Г~, 01 = -X-. (8)

А (м2 — м1) — 2м1м20262 А

Из условий (1), (2), (8) находим координаты точек ^

(мз (о + £ ^02 — 0 : М3 : —м (о + £ \/02 — 0 — мг) , £ = ±1,

М1 = 0263 — 0362, м2 = 0361 — 0163, мз = Й1&2 — 0261 = 0,

«2 (62 — 63) — 62 (02 — 03)

0=

02 (61 — 63) — 62 (02 — 02)

0 = °1°2 (61 + 62 — 62) — 6162 (01 + 02 — 03) (9)

0 02 (62 — 63) — 62 к — 02) . (9)

В конкретной задаче принадлежность точки $ отрезку АВ однознач-

£

ло будет соответствовать квазисередине $0 отрезка АВ.

В частном случае, когда прямая АВ проходит через вершину А3 репера Я*, имеем м3 = 0. Согласно условиям (2) при м3 = 0 координаты точек $0 можно искать соответствен но в виде (— м2 : м1 : 53), (—м2 : м1 : 53). Точки $0 ортогональны, согласно условию (4.53) из [1] находим

5353 = + м2. (10)

Поскольку А = В, ПРИ = 0, по крайней мере, одно из чисел и15 и2 отлично от нуля. Пусть и1 = 0 (или и2 = 0). Запишем соответственно случаю условие (550 АВ) = —1, используя вторую и третью (первую и третью) координаты точек 5, 50, А В. После преобразований получим:

Из равенств (10), (11) соответственно условию и1 = а263 — а362 = 0 (и2 = а3Ь1 — а1Ь3 = 0) находим координаты точек 5, 5о при и3 = 0:

Знак £ в координатах (12) может быть определен условием принадлежности точки 5 отрезку АВ. Если при и3 = 0 выполняется условие и1и2 = 0, то для вычисления координат середины отрезка можно пользоваться любым из альтернативных условий (12).

Заметим, что координаты (9), (12) получены для эллиптического

АВ

АВ

компонентам плоскости Н2, определяя квазиотрезок, то координаты (9), (12) определяют мнимо сопряженные точки 5 50 (см. [1, раздел 4.2]).

1. Ромакина Л. Н. Геометрия гиперболической плоскости положительной кривизны : в 4 ч. Ч. 1 : Тригонометрия. Саратов. : Изд-во Сарат. ун-та, 2013. 244 с.

2. Ромакина Л. Н. Геометрия гиперболической плоскости положительной кривизны : в 4 ч. Ч. 2 : Преобразования и простые разбиения. Саратов. : Изд-во Сарат. ун-та, 2013. 277 с.

2 ($зйза2&2 + и?аз6з) — и (0263 + 0-362) («3 + 5з) = 0 (2 (53530,161 + ^«363) + и (0-163 + 0361) («3 + 53) = 0) . (11)

П

(12)

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИИ СПИСОК