CC BY
7
УДК 536.24:66.045
Т. Б. Карлович, А. Б. Сухоцкий, Е. С. Данильчик
Белорусский государственный технологический университет
КОНВЕКЦИЯ РЭЛЕЯ - БЕНАРА В ВЫТЯЖНОЙ ШАХТЕ НАД ОДНОРЯДНЫМ ГОРИЗОНТАЛЬНЫМ ПУЧКОМ ИЗ ОРЕБРЕННЫХ ТРУБ
Рассмотрено явление конвективной неустойчивости потока воздуха в вытяжной шахте над однорядным горизонтальным пучком из оребренных труб. Это явление интерпретируется на основе решения тепловой и гидродинамической задачи для турбулентного течения жидкости в приближении Обербека - Буссинеска. Данное решение представимо в аналитическом виде в случае линеаризации уравнений Навье - Стокса и теплопереноса для нижнего подогрева воздуха в шахте пучком труб. Продемонстрировано, что оно представляет собой трехмерные конвективные периодические структуры, называемые ячейками Рэлея - Бенара. Трехмерные структуры экспериментально исследованы при помощи рамки с легкими нитями, установленной в шахте. Показано, что число квазипериодических структур может быть оценено с использованием критического числа Рэлея. Экспериментально продемонстрировано, что наиболее интенсивная конвекция происходит над оребренным пучком на высоте, равной половине высоты шахты.
Ключевые слова: свободная конвекция, вытяжная шахта, оребренная труба, теплопередача, приближение Обербека - Буссинеска, уравнение Навье - Стокса, ячейка Рэлея - Бенара.
Для цитирования: Карлович Т. Б., Сухоцкий А. Б., Данильчик Е. С. Конвекция Рэлея - Бенара в вытяжной шахте над однорядным горизонтальным пучком из оребренных труб // Труды БГТУ. Сер. 3, Физико-математические науки и информатика. 2021. № 1 (248). С. 58-64.
T. B. Karlovich, A. B. Sukhotskii, E. S. Danilchik
Belarusian State Technological University
RAYLEIGH - BENARD CONVECTION IN EXHAUST SHAFT OVER ONE ROW HORIZONTAL BUNDLE OF FINNED PIPES
The unsteady phenomenon of the appearance of convection flows with a certain periodicity in an exhaust shaft above a one-row horizontal bundle of finned tubes is considered. This phenomenon is interpreted on the basis of solving the thermal and hydrodynamic problems for turbulent fluid flows in the Oberbek - Boussinesq approximation. In the case of lower heating of the air in the shaft by a tube bundle, it is possible to obtain an analytical solution of the Navier - Stokes equation in the form of periodic structures called Rayleigh - Benard cells. Three-dimensional quasiperiodic structures are experimentally investigated using a frame with thin filaments installed in the shaft. It is shown that the number of these structures can be estimated using the Rayleigh number. It has been experimentally demonstrated that convective cells arise above the beam at a height equal to half the height of the shaft.
Key words: free convection, exhaust shaft, finned tube, heat transfer, Oberbek - Boussinesq approximation, Navier - Stokes equation, Rayleigh - Benard cell.
For citation: Karlovich T. B., Sukhotskii A. B., Danilchik E. S. Rayleigh - Benard convection in exhaust shaft over one row horizontal bundle of finned pipes. Proceedings of 'BSTU, issue 3, Physics and Mathematics. Informatics, 2021, no. 1 (248), pp. 58-64 (In Russian).
Введение. Возникновение свободной конвекции потока воздуха в результате его неоднородного подогрева является примером неустойчивого течения вязкой среды [1]. Теоретическое описание неустойчивых течений основано на решении нелинейной гидродинамической задачи и нахождении температурного поля при соответствующих граничных условиях. В общей постановке такая задача может быть решена только с применением численных методов [2]. Однако при определенных условиях возможны аналитические решения [3], демонстрирующие появление устойчивых периодических структур в жидких и
газообразных средах. Одним из примеров является задача Рэлея - Бенара о возникновении так называемых ячеек Рэлея - Бенара в горизонтальном слое жидкости, находящейся в поле силы тяжести в случае ее нижнего подогрева [4]. Конвективные ячейки появляются в жидкости тогда, когда неоднородности плотности и температуры не успевают выровняться за счет диффузии и теплопроводности. В результате в жидкости организуется дополнительное движение в конвективных ячейках - подъем по центру более теплой жидкости и опускание по периферии холодной жидкости.
В настоящей работе на основе конвекции Рэ-лея - Бенара объясняется возникновение разнонаправленных течений воздуха в вытяжной шахте над горизонтальным пучком оребренных труб, к которому подводится тепловая мощность. Пучки оребренных труб используются в различных теплообменных устройствах и служат для отведения большого количества теплоты от охлаждаемого объекта [5]. Вытяжная шахта может устанавливаться над оребренными трубами для интенсификации процесса естественной конвекции воздуха и процесса теплообмена.
Основная часть. Экспериментальная установка представлена на рис. 1. Пучок оребренных труб 2 расположен внутри вытяжной прямоугольной шахты 3 с размерами основания Ьхс = 38x31 см и высотой Н = 52 см. Шахта помещена внутрь просторной камеры 1, ограждающей воздух, проходящий через пучок оребренных труб 3, от случайных инфильтрационных потоков и не мешающей свободному проходу воздуха через пучок труб внутрь шахты. Внутри каждой из шести оребренных труб однорядного пучка находится ТЭН, за счет которого происходит разогрев воздуха внутри шахты. Оребренная труба имеет следующие геометрические размеры: наружный диаметр й = = 56 мм; диаметр трубы по основанию йо = 26,8 мм; толщина стенки 5 = 2 мм; высота ребра к = 14,6 мм; шаг ребра 5 = 2,5 мм; средняя толщина ребра А = = 0,5 мм; длина трубы !п = 330 мм. Поперечный шаг З равен 58 мм. Материал ребристой оболочки - алюминиевый сплав АД1М, материал несущей трубы - углеродистая сталь.
алюминиевой рамке, которую можно перемещать по высоте шахты (рис. 2).
Рис. 1. Экспериментальная установка: 1 - камера; 2 - пучок оребренных труб; 3 - вытяжная шахта; 4 - трансформатор;
5 - измерительная аппаратура
При определенной мощности, подводимой к трубам пучка, в шахте появляются неустойчивые восходящие воздушные потоки [6]. Для фиксации разнонаправленных потоков воздуха используется сетка из легких синтетических нитей на
/о
Рис. 2. Схема экспериментальной установки: 1 - вытяжная шахта; 2 - пучок оребренных труб;
3 - сетка из легких нитей
Модель Обербека -Буссинеска. Неоднородный нагрев воздуха, сопровождающийся возникновением неустойчивых пространственных состояний, может быть описан на основе гидродинамической и тепловой модели воздуха с использованием уравнения Навье - Стокса, уравнения теплопроводности и уравнения неразрывности (1).
В общем случае система уравнений для термогравитационной конвекции является нелинейной и решается только численными методами. Однако для определенных граничных условий в случае ее линеаризации решение задачи о неустойчивых конвективных течениях может быть получено в аналитическом виде. Характерным примером является устойчивое периодическое движение воздуха в виде конвективных валов - ячеек Рэлея -Бенара. Гидродинамическая и тепловая модель для потоков воздуха в вытяжной шахте над оре-бренным пучком труб, дополненная уравнением неразрывности для несжимаемой жидкости, в приближении Обербека - Буссинеска, имеет вид [2]
Э^ 1
--+ wVw =--Ур + vAw - рв^,
Эх Ро
дв
— + wVв = аАв, дт
Vw = 0,
(1)
где w = ^х I + у + wz к - поле скоростей, м/с; т - время; ро - средняя плотность окружающего воздуха, кг/м3; р - давление, отсчитываемое от среднего значения атмосферного давления, Па;
2
V - кинематическая вязкость, м2/с; 0 - температура, отсчитываемая от средней температуры ¿о окружающей среды, °С; g - ускорение свободного падения, м/с2; а - коэффициент температуропроводности, м2/с. В модели (1) предполагается, что неоднородности плотности воздуха, вызывающие конвекцию, обусловлены в основном изменением температуры воздуха, а не изменением давления:
р(9)=Ро(1 -ре),
(2)
где в - коэффициент теплового расширения среды, °С-1.
Для моделирования движения воздуха в шахте нами предлагается разложение скорости, температуры и давления воздуха на равновесные значения и малые возмущения:
ж = жо + ж; е = ео + е1; р = Ро + Д. (3)
Пренебрегая слагаемыми, квадратичными по возмущениям, получим две системы уравнений: для равновесных значений
о=—- Уро+gpео к, Ро
де
Эт
(4)
о +жоУе=адео
и для малых возмущений
+ жоУж =—- Ур1 + 1Аж + gpеlk, Эт Ро
(5)
эе
-1+^1У(ео+е1 )=аАе1, Эт
Уж = о.
В качестве нулевого приближения решения задачи (4), (5) рассмотрим механическое равновесие в вытяжной шахте, тогда скорость ж = о. В этом случае решение уравнений (4), (5) для ряда граничных условий известно и описано в работах, например, в [3, 4, 7, 8]. Оно является не-тривиаль-ным и требует более подробного рассмотрения.
Градиент стационарного температурного поля воздуха для ж = о будет удовлетворять уравнению
Уео =- Ак,
(6)
где значение равновесного температурного градиента равно А = (( — ¿2 ))Н; к - единичный вектор, направленный вдоль оси г; ¿1 и ¿2 - температуры воздуха на входе и выходе из шахты.
В случае статического равновесия перепишем систему уравнений (5) с учетом (6) в безразмерном виде, введя замену переменных:
, РоVa , а , Н .....
Р = р; ™ = 77т =-т; е = АНе, (7)
Н2 Н V
с использованием чисел Прандтля (Рг) и Рэлея (Яа):
(8)
Рг = 1 ,Яа = Ag ЁН!
а а1
где ро1а/Н2, а/Н, Н2/V - характерные значения давления, скорости и времени соответственно:
Эж'
1 _
Эт
-Ур[ + Аж[ + Яа е[к,
эе'
Рг —м>'к = Ае1,
Эт 1 1
= о.
(9)
После применения операции двойного ротора УхУх к уравнению Навье - Стокса в системе (9) для исключения давления р[, для проекций скорости воздуха внутри шахты и температуры получим следующую систему уравнений
ЭА< ЛЛ ' _ ( э 2
1г = ААм1 + Яа
Эт
2
Э2е1 Э2е1
1 + 1
Эх2 Эу2
эа< АА ' Я э2е1
1х = ААм>1х — Яа 1
Эт ЭАмл
ЭхЭг' Э 2е1
(1о)
Эт
1 у = ААж' — Яа-
1у ЭуЭг
Рг —= Ае1. Эт
Для однозначного решения системы (1о) дополним ее идеализированными граничными условиями для безразмерных возмущений температуры и скорости воздуха в шахте
е1( х; у;/ = о,1) = о, ^ (х = о, Ъ/Н; у; 2) = о,
1у (х; у = о, с/Н; г) = о,
w,
(х; у; 2 = о, 1) = о,
Эг2
(х; у;2 = о,1) = о,
111) 11.2)
11.3)
11.4)
11.5)
где равенство (11.1) соответствует исчезновению температурных возмущений е1 на верхней и нижней границе; условия (11.2) и (11.3) означают исчезновение на боковых стенках возмущений горизонтальной составляющей скоростей м>[х, , условие (11.4) соответствует отсутствию возмущений вертикальной составляющей скорости м?1г
на верхней и нижней границе, условие (11.5) означает отсутствие касательных напряжений на боковых стенках шахты.
Задача Рэлея (10) с граничными условиями (11) для распространения тепла в прямоугольном параллелепипеде единичной высоты при равномерном подогреве его основания имеет решение в виде конвективных валов (двухмерная конвекция) [3, 4] и в виде конвективных ячеек (трехмерная конвекция) [7, 8]. Как отмечается в работе [3], формирование устойчивых двумерных
или трехмерных конвективных структур во многом определяется температурной зависимостью вязкости среды, числом Прандтля, а также формой и теплопроводностью стенок, ограничивающих жидкость.
В данной работе имеет место формирование трехмерных конвективных ячеек в шахте (см. ниже). Для получения решения задачи нами предлагается разложение возмущений компонент скорости и температуры в бесконечные ряды Фурье с амплитудами, зависящими от времени:
К (x y, z>т) = ZZZw*P (-Kim T)sin(nnz)cos (¡kxx )cos (mk,y);
n=1 l=1 m=1
wix ( x, y, Z T) = ZZZC3nlmexP (-X nlm T)cos(nnz )sin (kxx )cos (mk,, ) n=1 l=1 m=1
w1y (x, У, z, T) = ZZZC4nlm exP (-Xnlm T)cos(nnz)cos (lkxx )sin (mkyy );
(12)
n=1 l =1 m=1
01( x, y, z, T) = ZZZc2nlmexP (-Xnlm T)sin(nnz)cos (kxx )cos (mkyy ),
=1 l=1 m=1
где кх = 2пН / Ь = 8,6 и кУ = 2пН / с = 10,5 - минимальные волновые числа, означающие наличие дискретного набора собственных функций и собственных значений у системы, характеризующих упорядоченность движения; п, I, т - номера гармоник, СШт, С2п1т, Сзп1т и С4п1т - постоянные коэффициенты разложения; - декремент, характеризующий временной ход возмущения. При Хпт1 > 0 возмущения будут затухать, решение устойчиво, при Хпт1 < 0, возмущения будут нарастать, решение неустойчиво, при Хпт1 = 0 зависимость возмущений от времени исчезает и решение (12) для компонент скорости демонстрирует наличие конвективных ячеек в шахте [7, 8].
Заметим, что первое и четвертое уравнения общей системы (10) образуют замкнутую систему из двух уравнений, которая может быть проанализирована отдельно. Подставив в нее разложение (12) для переменных м/[2 и 0^, получим систему линейных уравнений для коэффициентов разложения:
XnlmC1nlmd2lm = C1nlmdnlm RaC2nlm ((lkx ) + (mky )
X
nlm
(1 + Pr)
nlm±
+
2Pr
nlm
(Pr -1)2
4Pr2
+
Ra ( )2
+
(mky )2
nlm
Pr
(14)
Переход из режима устойчивого молекулярного теплопереноса (Иа < Иа^) к режиму неустойчивого вихревого течения (Иа > Яасг) определяется критическим числом Рэлея, которое следует из равенства X п1т - = 0 и в соответствии с (14) имеет вид
(n2 п2+12 k2+ m2 k2y )3 l2 kl + m2 k,2
Ra c, =
(15)
X Pr c + c = c d
nlm 2 nlm 1 nlm 2 nlm nlm'
(13)
где введено соответствующее обозначение 1т = = (пп)2 + (1кх )2 + (тку) . Однородная система (13)
будет иметь решение только в случае обращения в ноль ее определителя. Из этого условия находим собственные значения, или декременты ХПЫ±:
Согласно (15), в случае Ra = Racr задача Рэлея (10), (11) имеет периодическое решение в виде трехмерных ячеек. Оценим минимальное критическое число Рэлея, выбрав минимальные числа n = l = m = 1 в формуле (15): Ramin = 39 700. Для появления конвективных воздушных ячеек в шахте требуется, чтобы экспериментальное число Рэлея превышало минимальное критическое число Рэлея.
Эксперимент. В эксперименте к однорядному оребренному пучку труб подводилась мощность 108 Вт. В результате разогрева труб нагревался воздух внутри шахты, причем температура воздуха на входе в шахту составляла 44°С, а на выходе 36°С.
Рассчитанное на основе экспериментальных данных по формуле (8) число Рэлея составляет
2
4
Ra = 9,3 ■ 107, что значительно превышает минимальное критическое число Рэлея Ramm. Подберем номера гармоник, наиболее соответствующих экспериментальному числу Рэлея. Если n = = l = m = 7, то теоретическое число Рэлея оказывается равным 9,5 ■ 107.
На рис. 3 представлена визуализация поля скоростей воздуха для каждой точки шахты, выполненная при учете только 7-й гармоники в разложении (12). В плоскости (х, у) наблюдается образование правильных периодических ячеек, причем движение воздуха в соседних ячейках осуществляется в противоположные стороны.
Разнонаправленное течение воздуха в шахте фиксировалось путем установки внутрь шахты сетки из легких нитей, закрепленной на жесткой рамке. Рамка перемещалась по высоте шахты для определения положения конвективных ячеек по размаху колебания нитей. На небольшой высоте в шахте до 10 см колебания нитей почти отсутствовали. Наибольший размах колебаний нитей достигался на высотах порядка 20-40 см. Для фиксации трехмерных конвективных структур воздуха рамка устанавливалась на высоте h = 40 см от однорядного пучка (см. рис. 2). На рис. 4 продемонстрировано положение сетки из нитей в различные моменты времени для подведенной мощности 108 Вт.
Рис. 3. Ячейки Рэлея - Бенара в вытяжной шахте для I = 7, т = 7 (а). Выделенная область на рис. 3, а представлена в увеличенном масштабе на рис. 3, б. Стрелками обозначено направление скорости воздуха в плоскости (х, у) (б)
Рис. 4. Конвективная неустойчивость воздушных потоков в шахте над однорядным оребренным пучком. Время съемок: 1-я (а) и 4-я (б) секунды от начала наблюдения (для лучшей видимости нити утолщены и выделены белым цветом)
По направлению деформации нитей можно судить о направлении воздушных потоков в шахте. Например, на рис. 4, а хорошо заметны деформации нитей в центре за счет задувания воздуха внутрь шахты. Это говорит о том, что в шахте формируются трехмерные квазипериодические структуры. На нижней нити видны волнообразные изгибы, свидетельствующие о наличии близко расположенных противоположных по направлению воздушных потоков в шахте. На рис. 4, б направление задувания воздуха меняется на противоположное. Воздушные потоки внутрь шахты наблюдаются со всех четырех боковых сторон, в центре заметен поток восходящего воздуха. С течением времени колебания нитей повторяются. Их период составляет несколько секунд. Точное количество квазипериодических структур определить не удается из-за малого количества нитей и большой амплитуды их колебаний.
Течение воздуха в шахте является более сложным по сравнению с решением (12) для трехмерной конвективной модели Рэлея - Бенара. Это обусловлено, в первую очередь, неравномерным подогревом воздуха оребренным пучком труб и ненулевой средней скоростью течения воздуха в шахте. Воздух засасывается в шахту снизу через узкие щели между оребренными трубами,
а
п
приобретая скорость просачивания wo. Ее можно Рэлея. Конвективные валы при этом деформируют-
учесть в виде компоненты, направленной вдоль ся и «сдуваются» в направлении течения жидкости.
оси z (см. уравнения (4)) wo = wo(z)k, тогда стаци- Таким образом, для более подробного описа-
онарное уравнение теплопроводности в систе- ния пространственной квазипериодической струк-
ме (4) упрощается и переписывается в виде туры воздуха в шахте требуется проведение дополнительных исследований с учетом всех осо-
w d60 =^d 60 ; q ,=о)_^ . бенностей постановки задачи.
0 dz dz2 ' (16) Заключение. В работе рассмотрены разнона-q (z _ н) = t правленные течения воздуха в вытяжной шахте 2' над горизонтальным однорядным оребренным пуча соответствующее температурное распределение ком на основе задачи Рэлея. С использованием выражается формулой рамки с легкими нитями зафиксировано возникновение квазипериодических воздушных струк-exp (Pe) - exp I Pe — I тур в шахте над оребренным пучком. Предложена
Q =(t -t )_V н) (17) интерпретация разнонаправленного течения воз-
0 ^ 1 2 ' eXp (Pe) — 1 духа в шахте на основе трехмерных конвективных
ячеек Рэлея - Бенара. Дано математическое описа-
где Pe = W0H/ a - число Пекле. ние этого явления с использованием уравнений для
Задача Рэлея с учетом просачивания жидкости термогравитационной конвекции и предложено
через границы плоского бесконечного слоя реша- решение в виде разложения в ряд по гармоникам
лась с использованием метода Бубнова - Галерки- возмущений скорости потока воздуха и темпера-
на в работе [9]. В результате численных расчетов туры. Найдены критические числа Рэлея и на их
показано, что ненулевая средняя скорость жид- основе рассчитано количество конвективных яче-
кости повышает устойчивость ее течения и при- ек Рэлея - Бенара, возникающих в вытяжной шах-
водит к значительному росту критического числа те над однорядным пучком оребренных труб.
Список литературы
1. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. 736 с.
2. Pandey, A. Turbulent superstructures in Rayleigh-Benard convection / A. Pandey, J. D. Scheel, J. Schumacher // Nature Communications. 2018. Vol. 9. Article number, 2118.
3. Гетлинг А. В. Формирование пространственных структур конвекции Рэлея-Бенара // УФН. 1991. Т. 161, № 9. С. 1-80.
4. Гершуни Г. З., Жуховицкий Е. М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972. 392 с.
5. Мильман О. О. Экспериментальное исследование теплообмена при естественной циркуляции воздуха в модели воздушного конденсатора с вытяжной шахтой // Теплоэнергетика, 2005. № 5. С. 16-19.
6. Сухоцкий А. Б., Маршалова Г. С. Особенности гравитационного течения нагретого воздуха в вытяжной шахте над многорядным оребренным пучком // ИФЖ. 2019. Т. 92, № 3. С. 1-7.
7. Chandrasekhar S. Hydrodynamic and Hydromagnetic Stability. Oxford at the Clarendon Press, 1961. 654 p.
8. Палымский И. Б. О моделировании сложных режимов конвекции Рэлея - Бенара // Сиб. журн. вычисл. математики. 2011. Т. 14, № 2. С. 179-204.
9. Шварцблат Д. Л. О спектре возмущений и конвективной неустойчивости плоского горизонтального слоя жидкости с проницаемыми границами // ПММ. 1968. Вып. 2. С. 276-281.
References
1. Landau L. D., Livshic E. M. Gidrodinamika [Hydrodynamics]. Moscow, Nauka Publ., 1986. 736 p.
2. Pandey A., Scheel J. D., Schumacher J. Turbulent superstructures in Rayleigh-Benard convection. Nature Communications, 2018, vol. 9, Article number, 2118.
3. Getling A. V. The formation of spatial structures of Rayleigh-Benard convection. Uspekhi fizicheskikh nauk [Advances in physical sciences], 1991, vol. 161, no. 9, pp. 1-80 (In Russian).
4. Gershuni G. Z., Zhuhovickiy E. M. Konvektivnaya ustoychivost' neszhimayemoy zhidkosti [Convective stability of an incompressible fluid], Moscow, Nauka Publ., 1972. 392 p.
5. Mil'man O. O. An experimental study of heat transfer during natural air circulation in an air condenser model with an exhaust shaft. Teployenergetika [Thermal Engineering], 2005, no. 5, pp. 16-19 (In Russian).
6. Sukhotskii A. B., Marshalova G. S. Features of the gravitational flow of heated air in an exhaust shaft above a multi-row finned beam. Inzhenerno-fizicheskiy zhurnal [Physics Engineering Journal], 2019, vol. 92, no. 3, pp. 1-7 (In Russian).
7. Chandrasekhar S. Hydrodynamic and Hydromagnetic Stability. Oxford at the Clarendon Press, 1961. 654 p.
8. Palymskii I. B. Modeling complex Rayleigh-Benard convection regimes. Sibirskiy zhurnal vychislitel'noy matematiki [Siberian Journal of Computational Mathematics], 2011, vol. 14, no 2, pp. 179-204 (In Russian).
9. Shvartsblat D. L. On the spectrum of perturbations and convective instability of a plane horizontal layer of a liquid with permeable boundaries. Prikladnaya matematika i mekhanika [Applied Mathematics and Mechanics], 1968, issue 2, pp. 276-281 (In Russian).
Информация об авторах
Карлович Татьяна Борисовна — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры энергосбережения, гидравлики и теплотехники. Белорусский государственный технологический университет (220006, г. Минск, ул. Свердлова, 13а, Республика Беларусь). E-mail: [email protected]
Сухоцкий Альберт Борисович — кандидат технических наук, доцент кафедры энергосбережения, гидравлики и теплотехники. Белорусский государственный технологический университет (220006, г. Минск, ул. Свердлова, 13а, Республика Беларусь). E-mail:[email protected]
Данильчик Екатерина Сергеевна — аспирант кафедры энергосбережения, гидравлики и теплотехники. Белорусский государственный технологический университет (220006, г. Минск, ул. Свердлова, 13а, Республика Беларусь). E-mail: [email protected]
Information about the authors
Karlovich Tatyana Borisovna — PhD (Physics and Mathematics), Assistant Professor, the Department of Energy-Saving, Hydraulics and Heat Engineering. Belarusian State Technological University (13a, Sverd-lova str., 220006, Minsk, Republic of Belarus). E-mail: [email protected]
Sukhotskii Albert Borisovich — PhD (Technical Sciences), Assistant Professor, the Department of Energy-Saving, Hydraulics and Heat Engineering. Belarusian State Technological University (13a, Sverdlova str., 220006, Minsk, Republic of Belarus). E-mail: [email protected]
Danilchik Ekaterina Sergeevna - PhD student, the Department of Energy-Saving, Hydraulics and Heat Engineering. Belarusian State Technological University (13a, Sverdlova str., 220006, Minsk, Republic of Belarus). E-mail: [email protected]
Поступила после доработки 14.09.2021
