CC BY
15
DOI 10.25987^Ти.2020.16.1.002 УДК 621.865.8
КОНТУРНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ТРЕХКООРДИНАТНЫМ МАНИПУЛЯТОРОМ С АСИНХРОННЫМИ ИСПОЛНИТЕЛЬНЫМИ ПРИВОДАМИ
В.А. Медведев
Воронежский государственный технический университет, г. Воронеж, Россия
Аннотация: рассмотрены вопросы разработки микропроцессорной системы контурного управления манипулятором с тремя степенями подвижности и асинхронными исполнительными приводами. Определена расчетная схема трехкоординатного манипулятора, работающего в угловых координатах. Получены аналитические выражения для решения прямой и обратной кинематической задачи о положении и скорости для рассматриваемого трехкоординатного манипулятора. Разработан алгоритм решения обратной позиционной кинематической задачи методом последовательных приближений (методом итераций). Получены уравнения для расчета задающих сигналов при интерполяции траектории манипулятора между опорными точками с помощью кубических сплайнов, а также определения их параметров в соответствии с условиями непрерывности скорости и равенства нулю скорости и ускорения в начальной и конечной точках. Разработан алгоритм расчета параметров кубических сплайнов методом прогонки. Сформирована структура микропроцессорной системы управления трехкоординатным манипулятором с асинхронными исполнительными двигателями с короткозамкнутыми роторами. Разработана и введена в микроконтроллер ATmega16 программа для формирования управляющих напряжений на обмотках статоров асинхронных исполнительных двигателей с помощью интегрированной среды разработки программного обеспечения CodeVisionAVR. Получены осциллограммы трехфазной системы синусоидальных сигналов регулируемой частоты и амплитуды, а также ШИМ-сигналов на выходах микроконтроллера ATmega16
Ключевые слова: контурное управление, трехкоординатный манипулятор, интерполяция траектории, асинхронный исполнительный привод
Введение
Существует большое разнообразие кинематических схем манипуляторов, типов применяемых приводов и, соответственно, способов управления ими. При этом во всем мире в робототехнике, как и в других областях промышленности, по мере роста возможностей преобразователей энергии осуществляется переход от коллекторных исполнительных двигателей к бесконтактным машинам, в частности, к асинхронным двигателям.
Применение асинхронных машин обеспечивает вследствие отсутствия коллектора уменьшение габаритов двигателей, отсутствие искрения под щетками (вплоть до кругового огня по коллектору) и, как следствие, принципиально более высокую надежность асинхронных исполнительных приводов роботов.
Многообразие расчетных схем манипуляторов и типов применяемых приводов обуславливает большое количество кинематических и динамических моделей манипуляторов, а также вариантов реализации систем управления исполнительными приводами различных типов.
Данная работа посвящена разработке микропроцессорной системы управления движением трехкоординатного манипулятора с угловой системой координат и асинхронными исполни-
тельными приводами.
Угловая система координат манипулятора обеспечивает максимальную рабочую зону робота, асинхронные двигатели - малые габариты и высокую надежность приводных систем, микропроцессорная реализация - малые габариты, низкие стоимость и энергопотребление системы управления [1]. Отсюда следует целесообразность проведенных исследований.
Постановка задачи
Расчетная схема трехкоординатного манипулятора, работающего в угловых координатах, показана на рис. 1. Звено с длиною А вращается по координате р2. Степень подвижности с длиною 12 движется по координате р3. Кроме того, звенья вращаются вместе со стойкой по координате (5\. На рис. 1 также представлена система декартовых координат х1, х2, х3 рабочего органа.
© Медведев В.А., 2020
Рис. 1. Расчетная схема трехкоординатного манипулятора
Реализация системы контурного управления манипулятором связана с решением прямой задачи кинематики о положении и скорости, разработкой алгоритмов решения обратной позиционной задачи кинематики и интерполяции сигналов задания перемещений и скоростей обобщенных координат, а также с разработкой структуры микропроцессорной системы управления асинхронными приводами манипулятора.
Методы исследования
Выбор метода построения математической модели манипулятора и способа управления им зависит от массогабаритных показателей робота. При больших массах звеньев манипулятора перемещаемых грузов и необходимости работы на высоких скоростях формируется динамическая модель манипулятора на основе метода Ньютона-Эйлера [2, 3] или метода Лагранжа [4, 5] и осуществляется динамическое управление манипулятором [4-6].
Для роботов малой грузоподъемности (от 5 до 16 кг) целесообразно применять кинематическое управление [4, 5] и формировать уравнения кинематики в соответствии с расчетной схемой манипулятора.
Управляющие воздействия на исполнительные приводы робота должны повторяться с большой частотой (не ниже 50 Гц), поскольку резонансная частота манипуляторов составляет приблизительно 10 Гц.
Проведение вычислений в реальном времени, т.е. не реже, чем каждые 20 мс, требует применения современных быстродействующих вычислительных машин, причем управление манипуляторами может при конкретных условиях потребовать применения нескольких процессоров. В связи с этим проанализируем ряд методов формирования математической модели манипулятора, с точки зрения минимизации числа вычислительных операций, требуемых для формирования модели.
Первый результат по формированию математической модели манипулятора получен Уикером с помощью метода Лагранжа [7]. Кан [8] разработал алгоритм для моделирования разомкнутых кинематических цепей. Янг [9] реализовал этот метод в виде пакета программ. При этом для формирования модели манипулятора с тремя степенями подвижности необходимо выполнить более 5000 операций умножения и приблизительно столько же операций сложения [10], что требует применения быстродействующих компьютеров.
Отметим свойство, общее для упоминавшихся методов. Эти методы не зависят от типа кинематической схемы манипулятора. Для манипулятора с конкретной кинематической схемой построение математической модели требует значительно меньшего числа операций. Это подтверждается работами [8, 11]. Построение модели антропоморфного трехкоординатного манипулятора требует не более 44 умножений и 23 сложения. Для манипулятора с пятью степенями подвижности требуется выполнение всего 352 операций умножения [12].
Таким образом, при управлении манипуляторами в реальном времени целесообразно использование методов, ориентированных на конкретные кинематические схемы, с целью экономии аппаратных и программных средств.
Кинематические уравнения манипуляторов получают обычно, рассматривая движение каждого звена и его связи с другими звеньями. Если кинематическая цепь имеет сложную конфигурацию и много степеней подвижности (4^5 и более), то кинематические уравнения получают с помощью специального аппарата, использующего матричные преобразования и так называемые однородные координаты [13].
В тех случаях, когда кинематические схемы механизмов просты, а число степеней подвижности не превышает трёх, уравнения кинематики целесообразно получать непосредственно по расчётным кинематическим схемам. Такой подход будем использовать при выводе кинематических уравнений для манипулятора с угловой системой координат.
Решение прямой и обратной кинематической задачи
Прямая позиционная кинематическая задача в соответствии с приведенной на рис. 1 схемой решается в виде:
хх = (lx cos P2 -l2 cos P3)sin рх,
x2 = lxsinP2 -/2sinP3, (1)
x3 = (lx cos P2 -12 cos P3) cos Px.
Путем дифференцирования уравнений системы (1) по времени получено решение прямой кинематической задачи о скорости в виде:
X = (l2 sin P3P3 - k sin P2 P2 ) sin P1 + + (lx cos P2 -12 cos P3)cos PxPx,
X2 = lj cos P2P2 -12 cos P3P3, (2)
X3 = (l2 sinP 3 P3 - lxsin P2 P2 ) cos Px -- (lx cos P2 -12 cos P3)sin PxPx.
Рассмотрим решение обратной задачи кинематики для трехкоординатного манипулятора, представленного на рис. 1, методом последовательных приближений (или методом итераций) [5].
Путем тригонометрических преобразований из системы (2) получены уравнения для определения скоростей угловых координат по производным от декартовых координат рабочего органа и перемещениям угловых координат:
а _ X1 cos ß1 - X3 sin ß1 ß1 -
ß2 -ß3 -
l1 cos ß2 -12 cos ß3 ' (X1 sin ß1 + X3 cos ß^ cos ß3 + X2 sin ß3
ljsin( ß3 - ß2) (X1 sin ß1 + X3 cos ß])cos ß2 + X2 sin ß2
l2 sin( ß3 - ß2)
(3)
Для решения обратной задачи кинематики в среде DELPHI 6.0 разработана программа, алгоритм которой представлен на рис. 2.
Рис. 2. Алгоритм решения обратной позиционной задачи кинематики
В каждом цикле последовательных приближений для текущих значений угловых координат (51, (52, /З3 решается прямая кинематическая задача (процедура STRAIGHT).
Определяются среднеквадратичное отклонение U схвата от целевого состояния Х1С, Х2С, Х3С, требуемые приращения и новые значения угловых координат, пока отклонение U не станет меньше заданной погрешности Е. Расчеты ведутся для опорных точек на траектории манипулятора. Число опорных точек равно m.
Для рассматриваемого трехкоординатного манипулятора обратная задача кинематики решается неоднозначно. Проверка соответствия результатов решения естественным кинематическим ограничениям на угловые координаты позволяет получить единственный приемлемый вариант.
Решение задачи интерполяции задающих сигналов
При контурном управлении манипулятором также решается задача интерполяции траектории между опорными точками. По методу кубических сплайнов [4, 5] сигнал задания перемещения рассчитывается из выражения:
(t -t)3 (t -t ,)3 Pjs3 (t) - Mjs-j ^-T1- + Mjs +
6h 6h.
h.„ t. -1
+ j -Mjs-i~6r+ (qjs -MjsSr)
t - ts-i
(4)
6 h.
где ] - номер угловой координаты;
5 = 1, 2, ... , т - номер временного интервала;
М], 5_1, М], 5 - параметры сплайна;
^-1, - время начала и окончания интервала 5;
Ь5 = - ¡.ч-1 - продолжительность управления на интервале
^ - время, отсчитываемое от начала движения;
Ч], 5-1, Ч], 5 - значения обобщенной координаты.
Соответствующий уравнению (4) сигнал задания скорости
\2
P {t) - M ,.„(t ts-j) - M
j,s 2hs h' 1
(ts -1)
j,s-1 2h
s (5) h„\ 1
- (qj s-1 - Mjs-1-r)r+(qjs - Mjs-r)r 6 h 6 h
при этом система уравнений для определения параметров кубического сплайна получается из ограничений на скорость в виде:
2
Mj S_1h- + M, s + Mj +1
j,s 1 6 j ,s 3 j,s+1 6
s+1
q
j,s+1
q
j,s
q
j,s
qjs-1
h
s+1
h
s = 1, ..., m -1.
m0 0 h+M, h = q1 - q j
j 0 3 j1 6 h1
(6)
h h qj
M + M. = lL
I,m-1 , 1 j,m „
63
-1- q
j ,m
hm
Преобразуем уравнения системы (6) и введем ряд обозначений:
Ро = Ит = 1 И = \ /(К + К+х\ Р. =1 - И*,
= 6[(^;,*+1- я,*)/ к+1 -
- (Яр - Я] ,*-1)/ К ]/(К + hs+1),
о = 6[(Ял - Я, 0)/^ = 6[(Я р,т-1 - Я,т )/С
(7)
Параметры сплайна определим методом прогонки [5]. На первом этапе рассчитываются значения вспомогательных коэффициентов е*,
Ь,
jjs-
es = -Ps l(Vses-1 + 2)
bjs = (djs - ^sbj,s-1)/(^ses-1 + 2)
e-1 = bj-1 = 0, s = 0, 1, ..., m.
(8)
На втором этапе расчетов по найденным коэффициентам еЬр последовательно определяются значения параметров Мрт, Мртт_ь ... , Мро:
-M jm bjm •
Mjs = esMJ ,s+1 + j
s = m -1, m - 2, ..., 0.
(9)
Для расчета параметров MJs в среде DELPHI 6.0 разработана программа, алгоритм которой приведен на рис. 3.
Программа позволяет определить параметры кубических сплайнов, исходя из заданных значений угловых координат в опорных точках, максимальных скоростей координат и ограничений на траекторию манипулятора.
Структура системы управления трехкоординатным манипулятором
Построение системы контурного управления манипулятором на современной микропроцессорной элементной базе обеспечивает простоту аппаратных средств, легкость перепрограммирования робота, снижение затрат на электроэнергию.
Ввод максимальных значений скоростей Wlm,W2m,W3mи числа
опорных точек т
+ ~
Ввод массивов угловых координат <7ю, <720, <7зо в опорных точках
3 л I
;+1 4
5 Определение продолжительности управления на данном участке траектории
6 Определение коэффициентов es, bjS на текущем участке траектории
Да
_71 i < т Нет
,v т I I
s=s-l <
10 Определение параметров Mjs на текущем участке траектории
<сц Да 5 >jp>-- 1 Нет
12 Вывод параметров сплайнов MjS
Останов
Рис. 3. Алгоритм расчета параметровMjs кубических сплайнов
Разработанная структура микропроцессорной системы контурного управления манипулятором с асинхронными исполнительными приводами приведена на рис. 4.
Приняты следующие обозначения блоков:
ПК - персональный компьютер;
К1-К3 - коммутаторы.
В состав исполнительных приводов ИП1-ИП3 входят:
МК1-МК3 - микроконтроллеры;
ОР1-ОР3 - оптронные развязки;
СМ1-СМ3 - силовые модули;
М1-М3 - исполнительные двигатели;
ИД1-ИД3 - импульсные датчики.
На структурной схеме показаны связи между элементами системы управления: персональным компьютером, коммутаторами К1-К3, микроконтроллерами МК1-МК3, оптронными развязками ОР1-ОР3 и силовыми модулями СМ1-СМ3 исполнительных приводов.
Персональный компьютер обеспечивает ввод управляющих программ, их редактирование и программирование микроконтроллеров МК1-МК3 исполнительных приводов. Микроконтроллеры получают информацию от персонального компьютера в виде сигналов задания обобщённых координат робота.
Коммутаторы К1-К3 связаны с портами USB персонального компьютера. Они распределяют сигналы MOSI, MISO, необходимые в процессе программирования микроконтроллеров МК1-МК3.
Рис. 4. Структура системы управления трехкоординатным манипулятором с асинхронными приводами
Функционирование микроконтроллера каждого исполнительного привода связано с переменными, доступными измерению углом поворота и частотой вращения ротора двигателя. Информация о положении и скорости формируется по показаниям импульсного датчика выбранной координаты и используется микроконтроллером при формировании управляющих сигналов на силовой модуль.
Сигналы с импульсных датчиков поступают на входы таймеров / счетчиков микроконтроллеров. Общее число поступивших импульсов пропорционально углу поворота ротора асинхронного двигателя; подсчет импульсов за дискретный временной интервал позволяет
получить код средней скорости на данном интервале.
На основе сравнения заданных и фактических перемещений микроконтроллеры МК1-МК3 через оптронные развязки ОР1-ОР3 управляют ключами силовых модулей.
В качестве основы для разработки исполнительных приводов использованы микроконтроллеры AVR ATmega16 семейства Mega фирмы Atmel, обеспечивающие непосредственное цифровое управление ключами силовых модулей [14, 15].
Формирование управляющих напряжений на асинхронных двигателях
Одной из задач при управлении асинхронными двигателями манипулятора является формирование системы трех синусоид, сдвинутых друг относительно друга на треть периода.
Микроконтроллер AVR ATmega16 имеет в своем составе четыре широтно-импульсных преобразователя, построенных на базе таймеров, три из которых использованы для формирования трехфазной системы синусоид.
В память микроконтроллера занесены 512 чисел 0..255..0, изменяющихся в соответствии с синусоидальным законом. Выборки чисел осуществляются через равные промежутки времени, отмер которых происходит таймером Т0.
В счетный регистр таймера Т0 заносится число 0..255, измеренное аналого-цифровым преобразователем в канале AD0. К каналу AD0 подключен источник изменяемого напряжения, благодаря чему осуществляется регулирование частоты синусоиды. Тактирование таймера Т0 происходит от частоты 125 кГц.
Теоретические минимальная и максимальная частоты выходных синусоид определяются следующим образом:
fmän
CÍk'
T 0
125000
_ c¡kT 0
Jmax 512
512*255 512*255 125000
= 0,96 Гц,
512
= 244 Гц.
Программа для микроконтроллера AVR ATmega16 разработана на языке Си, откомпилирована, отлажена в симуляторе VMLab и занесена в кристалл микроконтроллера с помощью программы CodeVisionAVR.
Трехфазная система синусоидальных сигналов регулируемой частоты и амплитуды, формируемая микроконтроллером, приведена на рис. 5.
Рис. 5. Трехфазная система синусоидальных сигналов
На рис. 6 приведены осциллограммы ШИМ-сигналов на выходах PD5, PD4, PD7 микроконтроллера.
Рис. 6. Осциллограммы широтно-импульсных сигналов
Основные гармоники широтно-импульсных сигналов представляют собой трехфазную систему синусоидальных сигналов требуемой амплитуды и частоты. Эти сигналы поступают с микроконтроллеров МК1-МК3 на драйверы силовых модулей СМ1-СМ3.
Силовые модули СМ1-СМ3 содержат по шесть ЮВТ транзисторов и формируют на обмотках статоров исполнительных двигателей М1-М3 напряжение заданной амплитуды и частоты. Благодаря этому обеспечивается соответствие фактических перемещений и скоростей звеньев манипулятора программно-заданным значениям.
Заключение
Результаты выполненной работы следующие.
1. Определена расчетная схема манипулятора с тремя степенями подвижности, работающего в угловых координатах.
2. Получены аналитические выражения для решения прямой и обратной кинематической задачи о положении и скорости для рассматриваемого манипулятора.
3. Разработаны алгоритм и программа решения обратной позиционной кинематической задачи методом последовательных приближений.
4. Разработаны алгоритм и программа расчета параметров кубических сплайнов методом прогонки.
5. Сформирована структура микропроцессорной системы управления трехкоординатным манипулятором с асинхронными исполнительными приводами.
6. Разработана и введена в микроконтроллер ATmega16 программа для управления асинхронными исполнительными двигателями с помощью интегрированной среды разработки программного обеспечения CodeVisionAVR.
7. Получены осциллограммы трехфазной системы синусоидальных сигналов регулируемой частоты и амплитуды и ШИМ-сигналов на выходах микроконтроллера ATmega16.
Литература
1. Медведев В.А. Энергосберегающая система управления робота "PM-01"// Альтернативная и интеллектуальная энергетика: материалы Междунар. науч.-практ. конф. Воронеж: ВГТУ, 2018. С. 252-253.
2. Медведев В.А. Микропроцессорная система управления манипулятором "PUMA-560"// Вестник Воронежского государственного технического университета. 2017. Т. 13. № 3. С. 34-38.
3. Медведев В.А., Петренко В.Р., Кузовкин А.В. Моделирование исполнительной системы робота PUMA-560 в среде MATLAB // Вестник Воронежского государственного технического университета. 2011. Т. 7. № 12.3. С. 4-6.
4. Зенкевич С.Л. Основы управления манипуляци-онными роботами: учебник для вузов. М.: МГТУ, 2006. 480 с.
5. Медведев В.А., Шиянов А.И. Управление роботами и РТС: учеб. пособие. Воронеж: ГОУ ВПО «Воронеж. гос. техн. ун-т», 2010. 228 с.
6. Медведев В.А. Динамическое управление трехко-ординатным манипулятором, работающим в угловой системе координат // Вестник Воронежского государственного технического университета. 2019. Т. 15. № 2. С. 7-13.
7. Uicker J.J. Dynamic Force Analysis of Spatial Linkages // Transactions of the ASME Journal of Applied Mechanics. 1976. Vol. 34. Pp. 418-424.
8. Kahn M.E., Roth B. The Near-Minimum-Time Control of Open-Loop Articulated Kinematic Chains // Journal of Dynamic Systems, Measurement and Control. 1971. № 93. Pp. 164-172.
9. Yang A.T. Inertia Force Analysis of Spatial Mechanisms // Transactions of the ASME Journal of Engineering for Industry. February, 1971. Pp. 39-46.
10. Hollerbach J.M. A Recursive Formulation of La-grangian Manipulator Dynamics // IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics. 1980. Vol. 10. No. 11. Pp. 730736.
11. Vukobratovich M., Kircanski N. New Method for Real-Time Manipulator Dynamic Model, Forming on Microcomputers // Proceeding of First Yugoslav-Soviet Symposium on Applied Robotics. Moscow, 1983. Pp. 60-65.
12. Renaud N. An Efficient Iterative Analytical Procedure for Obtaining a Robot Manipulator Dynamic Model // Proceedings of First International Symposium of Robotics Research. Bretton Woods, New Hampshire, USA, 1983. Pp. 749762.
13. Юревич Е.И. Управление роботами и робототех-ническими системами: учеб. пособие. СПб.: Изд-во СПбГТУ, 2001. 168 с.
14. Евстифеев А.В. Микроконтроллеры AVR семейства Mega. Руководство пользователя. М.: Издательский дом "Додэка-XXI", 2007. 592 с.
15. Евстифеев А.В. Микроконтроллеры AVR семейств Tiny и Mega фирмы <ATMEL». М.: Издательский дом "Додэка-ХХГ', 2004. 560 с.
Поступила 09.01.2020; принята к публикации 14.02.2020 Информация об авторах
Медведев Владимир Алексеевич - канд. техн. наук, доцент кафедры электропривода, автоматики и управления в технических системах, Воронежский государственный технический университет (394026, Россия, г. Воронеж, Московский проспект, 14), e-mail: va.medved60@yandex.ru, тел. 8(473)243-77-20, ORCID: https://orcid.org/0000-0002-3509-2190
CONTOUR CONTROL OF THREE-COORDINATE MANIPULATOR WITH ASYNCHRONOUS EXECUTIVE DRIVES
V.A. Medvedev Voronezh State Technical University, Voronezh, Russia
Abstract: the article deals with the development of a microprocessor system of the contour control of a manipulator with three degrees of mobility and asynchronous executive drives. The design scheme of the three-coordinate manipulator working in angular coordinates is defined. Analytical expressions for the solution of the direct and inverse kinematic problem about position and velocity for the considered three-coordinate manipulator are obtained. An algorithm for solving the inverse positional kinematic problem by the method of successive approximations (by the iteration method) is developed. Equations are obtained for calculating the driving signals at interpolation of a trajectory of the manipulator between the reference points by means of cubic splines, as well as determining their parameters in accordance with the conditions of continuity of speed and of equality to zero speed and acceleration at the start and end points. An algorithm for calculating the parameters of cubic splines by the run-through method is developed. The structure of microprocessor control system of three-coordinate manipulator with asynchronous eexecutive motors with squirrel-cage rotors is formed. Developed and introduced into the ATmega16 microcontroller program for the formation of control voltages on the stators of asynchronous motors by means of the integrated environment of development of the software CodeVisionAVR. Oscillograms of a three-phase system of sinusoidal signals of adjustable frequency and amplitude, as well as PWM signals at the outputs of the ATmega16 microcontroller are obtained
Key words: contour control, three-coordinate manipulator, interpolation of a trajectory, asynchronous executive drive
References
1. Medvedev V.A. "Energy-saving control system of the robot "PM-01"", Proceedings of the International scientific-practical conference: Alternative and intellectual energetic (Al'ternativnaya i intellektual'naya energetika: materialy Mezhdunar. nauch.-prakt. konf.), Voronezh, VSTU, 2018, pp. 252-253.
2. Medvedev V.A. "Microprocessor control system for "PUMA-560" manipulator", Bulletin of Voronezh State Technical University (Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta), 2017, vol. 13, no. 3, pp. 34-38.
3. Medvedev V.A., Petrenko V.R., Kuzovkin A.V. "Modelling of executive system of robot PUMA-560 in matlab environment", Bulletin of Voronezh State Technical University (Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta), 2011, vol. 7, no. 12-3, pp. 4-6.
4. Zenkevich S.L. "Basics of manipulative robots control: textbook for universities" ("Osnovy upravleniya manipulyatsi-onnymi robotami"), Moscow, MGTU, 2006, 480 p.
5. Medvedev V.A., Shiyanov A.I. "Control by robots and RTS: manual" ("Upravlenie robotami i RTS: ucheb. posobie"), Voronezh, VSTU, 2010, 228 p.
6. Medvedev V.A. "Dynamic control of three-coordinate manipulator, operating in the angular coordinate system", Bulletin of Voronezh State Technical University (Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta), 2019, vol. 15, no. 2, pp. 7-13.
7. Uicker J.J. "Dynamic force analysis of spatial linkages", Transactions of the ASME Journal of Applied Mechanics, 1976, vol. 34, pp. 418-424.
8. Kahn M.E., Roth B. "The near-minimum-time control of open-loop articulated kinematic chains", Journal of Dynamic Systems, Measurement and Control, 1971, no 93. pp. 164-172.
9. Yang A.T. "Inertia force analysis of spatial mechanisms", Transactions of the ASME Journal of Engineering for Industry, February, 1971, pp. 39-46.
10. Hollerbach J.M. "A recursive formulation of lagrangian manipulator dynamics", IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics, 1980, vol. 10, no. 11, pp. 730-736.
11. Vukobratovich M., Kircanski N. "New method for real-time manipulator dynamic model, forming on microcomputers", Proceeding of First Yugoslav-Soviet Symposium on Applied Robotics, Moscow, 1983, pp. 60-65.
12. Renaud N. "An efficient iterative analytical procedure for obtaining a robot manipulator dynamic model", Proceedings of First International Symposium of Robotics Research", Bretton Woods, New Hampshire, USA, 1983, pp. 749-762.
13. Yurevich E.I. "Control by robots and robotic systems: manual" ("Upravlenie robotami i robototekhnicheskimi sistemami: ucheb. posobie"), St. Petersburg, SPbSTU publishing house, 2001, 168 p.
14. Evstifeev A.V. "Microcontrollers AVR of family Mega. User manual" ("Mikrokontrollery AVR semeystva Mega. Rukovodstvo pol'zovatelya"), Moscow, "Dodeka-XXI", 2007, 592 p.
15. Evstifeev A.V. "Microcontrollers AVR of families Tiny and Mega of firm "ATMEL"" ("Mikrokontrollery AVR semeystv Tiny i Mega firmy «ATMEL»"), Moscow, "Dodeka-XXI", 2004, 560 p.
Submitted 09.01.2020; revised 14.02.2020
Information about author
Vladimir A. Medvedev, Cand. Sc. (Technical), Associate professor, Voronezh State Technical University (14 Moskovskiy prospekt, Voronezh 394026, Russia), e-mail: va.medved60@yandex.ru, tel. 8(473)243-77-20, ORCID: https://orcid.org/0000-0002-3509-2190
