КОНЦЕПЦИЯ ОБОБЩЕННЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СОСТОЯНИЙ В ОЦЕНКЕ ВЫНУЖДЕННЫХ ДВИЖЕНИЙ МЕХАНИЧЕСКИХ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ Текст научной статьи по специальности «Физика»

DOI 10.36622/VSTU.2023.19.3.009 УДК 62.752, 629.4.015, 628.534, 519.71-74

КОНЦЕПЦИЯ ОБОБЩЕННЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СОСТОЯНИЙ В ОЦЕНКЕ ВЫНУЖДЕННЫХ ДВИЖЕНИЙ МЕХАНИЧЕСКИХ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ

А.В. Елисеев1'2, Н.К. Кузнецов2, А.С. Миронов1

1Иркутский государственный университет путей сообщения, г. Иркутск, Россия 2Иркутский национальный исследовательский технический университет, г. Иркутск, Россия

Аннотация: основная цель - развитие системного подхода в рамках структурного анализа и математического моделирования для решения задач, связанных с обеспечением безопасности и эффективности работы технических систем, подлежащие расчету с помощью механических колебательных структур с сосредоточенными параметрами. Под структурным подходом понимается методология решения задач, основанная на сопоставлении колебательным структурам схем динамически эквивалентных систем автоматического управления. Подход предполагает разбиение объекта на составляющие элементы и определение связей. Элементами системы являются твердые тела и пружины. Рассматриваются системы, обладающие линейными свойствами. В качестве внешних возмущающих факторов выступают связные силовые колебания. Оценка состояния системы производится на основе податливости, изменяющейся в зависимости от частоты силового воздействия. Показано, что в механических колебательных системах множество обобщенных динамических состояний, связанных с характеристиками внешних сил и с координатами точек, определяющих динамическое соответствие, может быть выражено в виде карты динамических инвариантов. Одним из ключевых результатов работы является то, что задача оценки, контроля и формирования динамических состояний системы может быть проведена с помощью декомпозиции полной совокупности состояний на конечное число классов динамических состояний, обладающих фиксированными динамическими инвариантами, что позволяет реализовать системный подход к оценке системы с учетом нескольким параметров

Ключевые слова: структурные методы математического моделирования, динамическое гашение колебаний, динамическая податливость, связность силовых возмущений, колебание твердого тела, обобщенные динамические состояния, динамические инварианты

Введение

Обеспечение безопасности технологических и транспортных объектов, находящихся в условиях динамических нагрузок, является одной из ключевых проблем, на разрешение которых направлено развитие научно-методологических основ решения широкого круга задач по управлению техническими объектами. Задачи, связанные с динамикой вынужденных колебаний технических объектов, достаточно сложны и их решения зависят от выбора расчетных схем, основных допущений и методов [1-6].

В ряде случаев для отображения существенных динамических особенностей технических объектов, подверженных интенсивным вибрационным воздействиям, получили широкое применение механические структуры с конечным числом степеней свободы, совершающие малые установившиеся колебания в предположении несущественности сил трения.

Вынужденные колебания системы в ряде постановок задач могут быть вызваны функционально зависимыми синфазными гармони© Елисеев А.В., Кузнецов Н.К., Миронов А.С., 2023

ческими силовыми возмущениями, зависимость которых в простейшем случае может быть задана с помощью коэффициента связности. В физическом смысле связные возмущения могут отображать характер воздействия со стороны вибраторов, обеспечивающих реализацию режимов движений рабочих органов вибрационных технологических машин [7].

Массоинерционные параметры твердого тела, коэффициенты упругих элементов, связность силовых возмущений, частоты внешних воздействий определяют амплитуды вынужденных колебаний механической системы. В зависимости от набора фиксированных параметров системы установившаяся форма движений точки твердого тела в сравнении с внешним возмущением определяет динамическое состояние, которое может быть охарактеризовано с помощью динамической податливости. Для фиксированного набора параметров динамическая податливость в точке твердого тела определяется частотой внешних возмущений. Нулевое значение динамической податливости обозначает обнуление координаты колебания точки твердого тела; бесконечное значение динамической податливости связано с эффектом резонанса. Динамическая податливость может

принимать не только нулевые и бесконечные значения, которые отображают критические состояния, но также положительные и отрицательные значения, которые могут приводить к различным формам динамического взаимодействия между элементами механической колебательной системы.

Положительные значения динамической податливости интерпретируются как положительная форма динамического взаимодействия, отображающая совпадение направлений изменения смещения точки твердого тела с изменением внешнего силового возмущения; отрицательные значения интерпретируются как отрицательная форма динамических взаимодействий, обозначающая, что изменения смещения точки твердого тела происходят в противоположном направлении по сравнению с изменением внешнего силового возмущения.

В рамках обобщенных представлений динамическая податливость системы может быть охарактеризована не только через количество критических состояний и интервалов знакоопре-деленных форм динамических взаимодействий, но и с помощью совокупности динамических состояний, которые отражает существенные характеристики податливости на частотном интервале. Изменение показателей, отражающих влияние внешних факторов на систему с учетом положение точки, на основе которой оценивается податливость, приводит к изменению обобщенных динамических состояний, которые определяют количество резонансов, частот обнуления, положительных и отрицательных форм.

Некоторые исследования показывают, что изменение коэффициента связности внешних возмущений в системе при наличии двух степеней свободы может приводить к эффекту совпадение частоты динамического гашения и собственной частоты. Когда соответствующие частоты совпадают, системы с двумя степенями свободы приобретает признаки системы с одной степенью свободы. Возможен и обратный эффект, когда система с одной степенью свободы в результате изменения связности внешних возмущений приобретает признаки системы, обладающей двумя степенями свободы, что выражается в появлении частоты динамического гашения и дополнительного резонанса.

В рамках представлений об обобщенных динамических состояниях эффекты изменения признаков, свойственных системам с одной и двумя степенями свободы, могут быть интерпретированы как переходы системы из одного обобщенного динамического состояния в другое.

Разбиение всевозможных динамических состояний на классы, обладающие динамической спецификой, может быть рассмотрено как регуляризация достаточно сложной совокупности динамических состояний. Наличие общего метода разбиения сложной совокупности динамических состояний на конечное число классов может быть рассмотрено как развитие системного подхода к разработке технологии управление динамикой технических объектов с помощью специальных методов и средств. Это особенно актуально для систем, находящихся в условиях связных нагружений силового характера, где необходимо варьировать настроечные параметры для обеспечения динамических эффектов.

Особенности анализа технических объектов на основе механических колебательных систем заключается в том, что свойства элементов системы начинают реагировать по-разному на различные частоты внешнего воздействия.

В рамках структурного подхода динамические состояния технического объекта могут быть оценены на основе отношения амплитуд смещений и сил, представляющего собой частотно-зависимую податливость [8-11]. Учет связности силовых возмущений с помощью коэффициента, размещенного в правой части алгебраической системы, позволяет охватить более широкий класс задач и включить в анализ настроечные параметры для проявления специфических динамических эффектов. В рамках структурных представлений передаточные функции отображают динамические податливости, чувствительные к коэффициентам связности и частотам внешних синфазных возмущений силовой природы. Динамическая податливость механических систем может изменяться в зависимости от частоты внешних возмущений и принимать различные значения: нулевые, обратные к нулевым, положительные и им противоположные. Множество частот, для которых определены динамические податливости, разбивается на интервалы и точки, в которых податливости, либо равны нулю, либо равны бесконечности, либо принимают положительные или отрицательные значения. Упорядоченный набор числа частотных интервалов и граничных частот представляет собой характеристику совокупности динамических состояний, не зависящую от частоты. Эти обобщенные характеристики состояний могут сохраняться при изменении силовых особенностей и положений точек измерений твердого тела, что делает их инвариантами семейств механических колебательных систем

[12]. Представления об инвариантах определяют критерии разбиения бесконечного семейства установившихся форм движений и критических состояний на конечное число классов с фиксированным количеством динамических особенностей в виде резонансов, частот обнуления и форм динамических взаимодействий. В свою очередь количество динамических особенностей в зависимости, либо от коэффициента связности, либо от координаты точки, используемой для определения динамической податливости, представляют собой кусочно-постоянную интегральную характеристику семейства механических колебательных систем [13].

В ряде работах уже нашли отражения методы определения обобщенных состояний цепных механических колебательных систем. Одним из таких методов является использование частотной функции обнуления, которая позволяет разделить параметрическое семейство динамических состояний на классы с различным числом динамических особенностей, таких как резонансы, частоты обнуления и знакоопреде-ленные формы. Эти классы не пересекаются и могут сохраняться при изменении особенностей силовых возмущений и измерительных точек твердого тела, что делает их своеобразными инвариантами или индикаторами локальных свойств системы [14].

Однако, для механических колебательных систем, состоящих из твердых тел, которые находятся на упругих опорах и подвержены связным силовым возмущениям, методология определения обобщенных динамических состояний в зависимости от двух параметров все еще не разработана достаточно полно.

Статья посвящается развитию понятий и методов, позволяющих оценивать совокупность динамических состояний, отличающихся количеством резонансов, частот обнуления и форм динамических взаимодействий.

Общие положения. Постановка задачи

Предполагается, что динамический расчет технического объекта может быть произведен на основе механической колебательной системы в виде твердого тела, установленного на пружины. При воздействии двух внешних гармонических силовых возмущений одинаковой фазы и частоты твердое тело совершает установившиеся малые вертикальные поступательные и угловые вращательные колебательные движения в окрестности статического положения

равновесия (рис. 1). Внешние силовые возмущения функционально

& = УЙ, (1)

где у - коэффициент связности. Точки А и В крепления упругих элементов находятся на расстояниях 1Х и 12 от центра тяжести т.О твердого тела На линии АВ выбирается точка т.Н с координатой к, которая используется для оценки динамической податливости системы. Для фиксированного коэффициента связности у частота ю внешних возмущений определяет динамическое состояние твердого тела.

Рис. 1. Механическая колебательная система: М - масса тела, I - момент инерции, к1, к2 - жесткости пружин, Рь Q2 - силовые возмущения

Внешние возмущения, зависящие от частоты, могут вызывать различные динамические режимы, которые отличаются наличием неподвижных точек, сонаправленностью движений пар точек, расположенных на твердом теле, наличием критических амплитуд. Перечисленные особенности движений могут быть охарактеризованы с помощью отношения амплитуд установившихся форм движений точек твердых тел к амплитудам силовых возмущений, отображающего понятие податливости.

Задача состоит в разработке метода оценки совокупностей состояний на основе динамических податливостей систем, образованных твердыми телами, отличающегося тем, что совокупность динамических состояний разбивается на группы с фиксированным числом особенностей, которые характеризуются числом критических состояний и числом форм динамических взаимодействий.

Математическая модель

Движение твердого тела рассматривается одновременно в двух системах обобщенных координат {у1, у2} и (ф, z}, где у и у2 - смещения точек твердого тела, ф - угол поворота,

z - отклонение центра тяжести (рис.1). Системы координат {,уу12}и ф{,г} связаны равенствами:

(2) (3)

Г г = ау1 + Ьу2 [ф = су2 -су1 ' Г у = г - ф 1 у г = г + ф4 '

где а = 4/(1 + ¡2);Ь = ¡1/(11 + 4);с = 1/(1, + ¡2). Потенциальная и кинетическая энергий:

П = к, у12/2 + к2 у22/2, (4)

Т = Мг2/2 + J ф2/2. (5)

Уравнения Лагранжа 2-ого рода в обобщенных координатах {у1, у2} имеет вид:

| [Ыа2 + Jc2]у + к1 у + [МаЬ - Jc2]У2 = 0Х \[МаЬ - Jc2 ]у + [МЬ2 + Jc2 ]у2 + к2у2 = Q2

. (6)

Система дифференциальных уравнений (6) после преобразований Лапласа:

[Ма2 р2 + Jc2 р2 + к1] у1 +

+ХМаЬр2 - Jciр2]У2 = О

[МаЬр2 - Jc2р2]у1 +

+[(ыь 2 р2+Jc2 р2)+к2] У2=д

(7)

Алгебраическая система (7) на основе известных методов может быть преобразована в структурную схему (рис. 2), где р = уш - комплексная переменная, у = изображение Лапласа представлено символом «-» над переменными [15].

Рис. 2. Структурная схема механической колебательной системы на рис. 1

Передаточные функции, отображающие динамические податливости, имеют вид:

р,у) = д °1

01 *о

[(ЫЬ2 +Jc2) р2 + к2)--у(МаЬ - Jc 2)р2]

(8)

А р)

р,т)=О д1

01 ^о

[((Ма2 + Jc2) р2 +к1)у-

(9)

М( р)

-(МаЬ -Jc2)p2] А( р) =

где = ((Ма2 + Jc2) р2 + к1 )((МЬ2 + Jc2) р2 + к2) --((МаЬ - Jc2) р2)2

характеристический многочлен с корнями а1,

а2.

На основе передаточных функций (8)-(9) может быть определена динамическая податливость произвольной точки твердого тела.

Оценка динамических состояний в зависимости от параметров системы

Для анализа динамической податливости твердого тела с учетом т. Н построена передаточная функция, зависящая от координаты к:

Ъ(р)|а=о = Од = (а^к)0у + (Ь + ck)О. (10)

Передаточная функция (10), зависящая от коэффициента у и координаты к, отображает распределение динамических состояний по точкам твердого тела с учетом характера связности:

Ак (ш,Г,к) = О (р,Г,к) 0

(11)

р=

Для каждого значения у и к амплитудно-частотная характеристика (11) представляет собой совокупность положительных ветвей, частот обнуления и частот резонансов, которая может быть отображена графом, представляющим собой своеобразный динамический инвариант, не меняющийся при выполнении определенных условий на параметры системы (рис.

3) [14].

(а)

4 1

о1

0-5

■ 0 -0.5

-1

I— от — у!М | (б)

I— ом-уМ I

(в)

0. б п

^ 0.4' в

0.2-

-0.2-0.4

(г)

8 10 и, [рад./с,]

(д)

Рис. 3. Представление динамических состояний в виде графов: (а) положительная сонаправленная форма; (б) отрицательная разнонаправленная форма;

(в) отрицательная и положительная ветви; (г) динамический инвариант, отображающий знакопостоянные формы; (д) динамический инвариант, отображающий резонанс

Существенные особенности динамических состояний отображаются с помощью количества частот обнуления амплитуд, резонансов и знакоопределенных форм динамических взаимодействий. Положительная форма динамических взаимодействий отображает сонаправлен-ность смещений и силовых возмущений

(рис. 3,а). Отрицательная форма отображает противоположную направленность смещений и силовых возмущений (рис. 3,б). На графе, отображающем динамический инвариант, соответствующие положительная и отрицательная формы взаимодействий представляются условно «положительными» и «отрицательными» петлями (рис. 3, г) [13-14].

Все возможные динамические состояния механической колебательной системы, зависящей от параметров, могут быть представлены в виде объединения непересекающихся множеств, обладающих фиксированными динамическими инвариантами. Построение системы таких множеств может быть выполнено на основе функции, представляющую собой частоту обнуления числителя передаточной функции:

ю2(у,И) =

к(к1еу -ск2) + (Ьк^ + ак2) к(Масу -МЬс) + (Л2 у + Л1)

. (12)

Функция (12) позволяет построить совокупности динамических состояний, обладающих фиксированными динамическими инвариантами (рис. 4).

Рис. 4. Определение граничных значений координат для коэффициента связности у = 0 : к1,к2,к0,ккр - граничные значения координаты точки Н, 1 - левая ветвь частотной функции обнуления, 2 - правая ветвь частотной функции обнуления, 3 - первая собственная частота, 4 - вторая собственная частота

На основе частотной функции может быть построено разбиение множества координат к точек твердого тела интервала и точки, характеристики динамических инвариантов которой остаются неизменными (таблица). Динамический инвариант может быть представлен характеристикой З^Р™, где к, I, т , п - количества частот резонансов, частот обнуления амплитуд, положительных и отрицательных форм, соответственно.

Распределение динамических инвариантов по координате Ь точки твердого тела

I II III IV V

Л к < к2 Эт Б2 J7

ь к = к2 Jз

1г к2 < к < К К J7

14 к = ккр ¥ J5

I, ккр < к < к V J5

¡6 к = к> J6

I, к0 < к < к 1? J7

¡8 к = к ^ Jз

¡9 к < к 1т Б12 К J7

Для фиксированного коэффициента связности у динамический инвариант может быть охарактеризован с помощью графиков частотных характеристик k, ¡, m , п или их суммы, рассматриваемых как функций аргумента к (рис. 5,а).

Рис. 5. Характеристики динамических особенностей твердого тела в зависимости от коэффициента связности: а) у = 0 ; б) у = 0,3

Варьирование связности внешних возмущений приводит к перестройке совокупности динамических состояний системы (рис. 5,б).

Построение карты динамических инвариантов

Для каждой пары коэффициента связности и координаты точки твердого тела можно определить совокупность особенностей, что позволяет построить распределение динамических инвариантов по точкам плоскости параметров, представляющее сбой своеобразную карту динамических инвариантов. Карта динамических инвариантов (рис. 6) содержит области {О..},

границы {Гу.} и узлы {А..}, в которых количества динамических особенностей в виде резо-нансов, режимов обнулений и знакоопределен-ных форм остаются неизменными.

(б)

Jз к J„

Рис. 6. Карта динамических инвариантов: (а) - фрагмент карты динамический инвариантов, образованной областями О. , границами Гй и точками

Апт ; (б) - распределение интегральных характеристик по областям, границам и точкам плоскости параметров

Г

- 11 э А 33 :

Г23, Г43 карты динамических

Границы г

инвариантов могут быть определены графиками функций к0(у), ккр(у), к:(у), к2(у), полученных на основе частотной функции (12):

к0 М = -(Ьк1 У + ак2 УУ - к2), (13)

ккр (У) = - Jc 2( У + ^/М^ ау-Ь), (14)

к (у) = - (Л2У + Л2 К - (Ьк1 У + ак2) (15) (Ыacy - МЬ^ст^ - (к1 yc - к2 c)'

к2( У) = -

(Jc2у + Jc2)ст2 - (Ьк1 у + ак2) (Ыacy -МЬ^стСТ, - (к1 yc - к2c)

.(16)

Функция к0(у) сопоставляет коэффициенту связности у координату твердого тела, для которой частота обнуления амплитуды колебания равна нулю; ккр(у) определяет координату твердого тела, для которой частота обнуления амплитуды колебания неограниченно велика; к! (у) определяет координату твердого тела, для которой частота обнуления совпадает с первой

собственной частотой 02, а А 1(7) - со второй 02. Относительное положение графиков функций ко(у), Акр(у), М(у), ^2(7) на плоскости параметров (7, к) позволяет определить карту распределения динамических особенностей.

Можно показать, что функции М(у), к2(у), независимой переменной 7 представляют собой константы.

Теорема. Пусть ю2(7, к) частотная функция обнуления, 01, 02 - собственные частоты, тогда функции М(у), к2(у), определяемые неявно ю2(7, кДу)) = 012, ю2(7, к2(у)) =022, могут быть представлены в виде констант:

а-\Ъ

=

ш=

с(1 + Х1)' а -Х2 Ъ с(1 + Х2)'

(17)

(18)

где

а2 (МаЪ - Лс2) Х = а2(МЪ2 + Лс2) - к2

а 22 (МаЪ - Лс2) а2(МЪ2 + Лс2) - к2

Х^ = -

(19)

(20)

Доказательство. Собственные частоты 01, 02 системы могут быть определены из условия равенства нулю определителя:

к -а2(Ма2 + Л2) -а2 (МаЪ - Л2) -а2 (МаЪ - Л2) к2 -а2(МЪ2 + Л2)

= 0 .(21)

Равенство определителя нулю (21) может быть интерпретировано как линейная зависимость столбцов матрицы для частоты 01:

^ (]ю) =

(

(а - сК)

1

-ю2 (МаЪ - Л2 )

у -ю2 (МЬ2 + Л2) + к2

+(Ъ + сК)

-ю2(Ма2 + Л2) + к 1 -ю2 (МаЪ - Л2) у

. (26)

-ю2 (Ма2 + Л2) + к -ю2 (МаЪ - Л2) -ю2 (МаЪ - Л2) -ю2 (МЪ2 + Л2) + к2

Функция ю2(7, к) неявно определяется путём приравнивания числителя амплитудно-частотной характеристики (26) к нулю:

(а — сК) +(Ъ + сК)

1

-ю2(у, К)(МаЪ - Л2)

Л

у -ю2(у, Н)(МЪ2 + Л2) + к2 -ю2 (у, к)(Ма2 + Л2) + к1 1 -ю2(у, К)(МаЪ - Л2 ) у

= 0 .(27)

Функции кг-(у), 1 = 1,2, выраженные из условий (27), принимают явный вид:

К (у) = -

1 -а2 (МаЪ - Л2) у к2-а2(иъ2 + л2)

+

+Ъ

к -а2(Ма2 + Лс2) 1

-а2 (МаЪ - Лс2) у

-с

1 -а2 (МаЪ - Лс2 ) у к2 -а2(МЪ2 + Лс2)

к -а2(Ма2 + Лс2) 1 -а2 (МаЪ - Лс2) у

. (28)

Учитывая линейную зависимость столбцов (22)-(25) запишем (28) в виде:

к - а2(Ма2 + Лс2) = -Ха2 (МаЪ - Лс2) , (22) -а2 (МаЪ - Лс2) = Х (к2 - а2 (МЪ2 + Лс2 )) (23)

или для частоты 02:

к -а22 (Ма2 + Лс2) = -Х2а22 (МаЪ - Лс2), (24) -а22(МаЪ - Лс2) = Х2(к2 -а22(МЪ2 + Лс2)) . (25)

Функция (10) представляется в виде:

(

К (у) = -

1 -а2 (МаЪ - Лс2) у к2 -а2(МЪ2 + Лс2)

\

+Ъ

-Хрг2 (МаЪ - Лс2) 1 Х (-а 2МЪ2 + Лс2) + к2) у

-с

1 -а2 (МаЪ - Лс2) у к2 -а2(МЪ2 + Лс2) -Хгаг2 (МаЪ - Лс2)

.(29)

1

Хг(к2 -а2(МЪ2 + Лс1)) у

После сокращения числителя и знаменателя на множитель:

1 (МаЬ - Jc2)рг2 у (МЬ2 + Jc2) р2 + к2

выражения (29) принимают вид:

а-\Ь а -А^Ь

к1(у) = ' ^(у) = - 2

(30)

+х1)

c(1 + Я2)

(31)

где и определяются условиями (23) и (25) соответственно.

Таким образом, показано, что функции кг(у), /=1,2 (31) не зависят от у. Теорема доказана.

На основании доказанной теоремы можно сделать предположение о том, о том, что плоскость параметров у и к разбивается на области с одинаковыми динамическими инвариантами посредством границ, которые являются гиперболами к0(у), ккр(у), горизонтальными линиями к1 (у), к2 (у) и вертикальными прямыми, проходящими через точки пересечения графиков

к0(у), ккр(у).

Построенная для локальной области параметров у и Ь, являющейся окрестностью нуля, карта динамических инвариантов (рис. 6) позволяет отображать специфические особенности взаимодействий в рамках представлений об обобщенных динамических состояниях, отражающих существенные особенности в виде числа режимов обнуления амплитуд, частот резонансов и форм взаимодействий.

Характерным примером использования карты динамических инвариантов может служить задача определения координаты точки динамического гашения на фиксированной частоте в зависимости от связности внешних возмущений.

Рис. 7. Локальная карта динамических инвариантов. 1 - множество параметров (у,Ь) обеспечивающих режим обнуления для фиксированной частоты

На фиксированной частоте внешних возмущений каждому коэффициенту связности у

может быть сопоставлена точка к твердого тела, для которой обнуляется амплитуд колебания (рис. 7, линия 1). В частности, согласно локальной карте динамических инвариантов, кривая параметров (рис. 7, линия 1), обеспечивающих реализацию режимов динамического гашения может принадлежать только множествам параметров о22, о44 и г11 , допускающих реализацию режимов динамического гашения. Можно полагать, что построенная локальная карта динамических инвариантов формирует представление о разнообразии специфических режимов движения элементов рассматриваемых механических колебательных систем.

Заключение

Рассмотрен подход к решению задач оценки разнообразия состояний технических объектов, которые подвергаются интенсивным вибрационным нагрузкам. В качестве модельной задачи рассмотрена механическая система с двумя степенями свободы, образованная твердым телом, которое совершает установившиеся колебания в условиях связных силовых возмущений.

Для оценки динамических состояний системы использована динамическую податливость, которая определяется как отношение величины возмущения смещения к соответствующему изменению внешнего силового возмущения. Для разбиения полной совокупности динамических состояний на классы с фиксированными характеристиками используется частотная функция обнуления, которая может быть задана в неявной форме путем обнуления числителя передаточной функции, в рамках рассматриваемой задачи интерпретируемой как динамическая податливость. Частотная функция обнуления сопоставляет вариационным параметрам системы частоту внешних силовых возмущений, на которой реализуется обнуление динамической податливости; в предположении, что частота обнуления не совпадает с собственной частотой колебания системы.

В рамках развитой методологии показано, что изменение одного из вариационных параметров определяет совокупность различных динамических инвариантов, распределение которых по значениям параметра может быть отображено с помощью кусочно-постоянной интегральной характеристики, сопоставляющей каждому значению вариационного параметра общее число динамических особенностей.

Развиты элементы концепции обобщенных динамических состояний, в представлений которой показано, что совокупность динамиче-

ских состояний, соответствующая одновременному варьированию двух параметров системы, может быть отображена с помощью карты динамических инвариантов, разбивающей плоскость двух вариационных параметров на конечную совокупность непересекающихся областей, границ и точек перекрещивания границ, потенциально обладающих различными динамическим инвариантами. Доказана теорема о структуре границ карты динамических инвариантов.

Одним из ключевых результатов работы является то, что задача оценки, управления и формирования динамических состояний системы может быть выполнена путем разложения полного набора состояний на конечное число классов динамических состояний, у которых фиксированные динамические инварианты. Это позволяет использовать системный подход к оценке системы с учетом множества параметров.

Таким образом, работа представляет собой разработку научно-методологических основ в рамках структурного математического моделирования для решения задач, связанных с обеспечением безопасности и эффективности технических объектов, чьи расчетные схемы являются механическими колебательными системами. Можно полагать, что предложенный подход позволит эффективно решать задачи оценки динамических состояний системы в условиях интенсивных вибрационных нагрузок.

Литература

1. De Silva C.W. Vibration. Fundamentals and Practice. Boca Raton, London, New York, Washington, D.C.: CRC Press, 2000.

2. Jauregui Correa J. C., Lozano Guzman A. Mechani-

cal vibrations and condition monitoring. United Kingdom: Academic Press, 2020.

3. Onwubolu G.C. Mechatronics. Principles and Applications. Elsevier Butterworth - Heinemann. Oxford. UK.

2005. 417 p.

4. Banakh L., Kempner M. Vibrations of Mechanical Systems with Regular Structure, Berlin: Springer, 2010.

5. Вейц В.Л., Коловский М.З., Качура А.Е. Динамика управляемых машинных агрегатов. М.: Наука, 1984. 351 с.

6. Антипов В.А. Подавление вибрации агрегатов и узлов транспортных систем: монография. М.: Маршрут,

2006. 264 с.

7. Блехман И.И., Джанелидзе Г.Ю. Вибрационное перемещение. М.: Наука, 1964. 410 с.

8. Kolovsky M.Z. Nonlinear Dynamics of Active and Passive Systems of Vibration Protection. Berlin: Springer, 1999.

9. Динамический синтез в обобщенных задачах виброзащиты и виброизоляции технических объектов / С.В. Елисеев [и др.]. Иркутск: ИГУ, 2008. 523 c.

10. Eliseev S.V., Eliseev A.V. Theory of Oscillations. Structural Mathematical Modeling in Problems of Dynamics of Technical Objects, Cham: Springer, 2020.

11. Karnovsky I.A., Lebed E. Theory of Vibration Protection, Switzerland: Springer International Publishing, 2016.

12. Елисеев А.В., Кузнецов Н.К., Московских А.О. Динамика машин. Системные представления, структурные схемы и связи элементов. М.: Инновационное машиностроение, 2019. 381 с.

13. Елисеев А.В., Кузнецов Н.К. Технология структурного математического моделирования технических объектов в условиях вибрационного нагружения: формы взаимодействий и динамические инварианты // iPolytech Journal. 2022. Т. 26. № 3. С. 368-385.

14. Елисеев А.В., Миронов А.С., Кузнецов Н.К. Некоторые предложения по развитию концепции динамических инвариантов механических колебательных систем на основе частотной функции обнуления // VIII Международная конференция проблемы механики современных машин: сб. ст. конф. Улан-Удэ, 2022. С. 243-250.

15. Лурье А.И. Операционное исчисление и применение в технических приложениях. М.: Наука. 1959. 368 с.

Поступила 27.04.2023; принята к публикации 15.06.2023 Информация об авторах

Елисеев Андрей Владимирович - канд. техн. наук, доцент кафедры математики, Иркутский государственный университет путей сообщения (664074, Россия, г. Иркутск, ул. Чернышевского, 15); доцент кафедры конструирования и стандартизации в машиностроении, Иркутский национальный исследовательский технический университет (664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83), e-mail: eavsh@ya.ru, ORCID: https://orcid.org/0000-0003-0222-2507

Кузнецов Николай Константинович - д-р техн. наук, профессор, зав. кафедрой конструирования и стандартизации в машиностроении, Иркутский национальный исследовательский технический университет (664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83), e-mail: knik@istu.edu, ORCID: https://orcid.org/0000-0002-3083-0182

Миронов Артем Сергеевич - соискатель НОЦ современных технологий, системного анализа и моделирования, Иркутский государственный университет путей сообщения (664074, Россия, г. Иркутск, ул. Чернышевского, 15), e-mail: art.s.mironov@mail.ru, ORCID: https://orcid.org/0000-0002-0921-0915

THE CONCEPT OF GENERALIZED DYNAMIC STATES IN THE EVALUATION OF FORCED MOVEMENTS OF MECHANICAL OSCILLATORY SYSTEMS

A.V. Eliseev1'2, N.K. Kuznetsov2, A.S. Mironov1

1Irkutsk State Transport University, Irkutsk, Russia 2Irkutsk National Research Technical University, Irkutsk, Russia

Abstract: the work is aimed at developing a systemic approach within the framework of the methodology of structural mathematical modeling to solve problems related to ensuring the safety and efficiency of technical objects, whose calculation schemes can be represented by mechanical oscillatory systems with concentrated parameters. The structural approach involves solving problems based on the comparison of mechanical oscillatory systems with structural diagrams of equivalent automatic control systems in dynamic terms. The approach involves breaking down the object into component parts and determining their connections. The elements of the system are solid bodies and springs, while connected force oscillations act as external disturbing factors. The evaluation of the system's state is based on dynamic compliance, which depends on the frequency of external disturbances. It is shown that in mechanical oscillatory systems, the set of generalized dynamic states, which depend on the coefficients of connection of external force disturbances and the coordinates of points determining dynamic correspondence, can be expressed in the form of a map of dynamic invariants. One of the key results of the work is that the task of evaluating, controlling, and forming the dynamic states of the system can be carried out by decomposing the full set of states into a finite number of classes of dynamic states that have fixed dynamic invariants. This allows for a systemic approach to evaluating the system taking into account multiple parameters

Key words: structural methods of mathematical modeling, dynamic damping of vibrations, dynamic malleability, connectivity of force perturbations, solid body oscillation, generalized dynamic states, dynamic invariants

References

1. De Silva C.W. "Vibration. Fundamentals and Practice", Boca Raton, London, New York, Washington, D.C., CRC Press. 2000.

2. Jauregui Correa J.C., Lozano Guzman A. "Mechanical vibrations and condition monitoring", United Kingdom: Academic Press, 2020.

3. Onwubolu G.C. "Mechatronics. Principles and Applications", Oxford, Elsevier Butterworth - Heinemann, 2005, 417 p.

4. Banakh L., Kempner M. "Vibrations of Mechanical Systems with Regular Structure", Berlin, Springer, 2010.

5. Veic V.L., Kolovskij M.Z., Kachura A.E. "Dynamics of controlled machine units" ("Dinamika upravlyaemyh mashinnyh agregatov"), Moscow, 1984, 351 p.

6. Antipov V.A. "Vibration suppression of aggregates and nodes of transport systems" ("Podavlenie vibracii agregatov i uzlov transportnyh system"), Moscow, Marshrut, 2006, 264 p.

7. Blekhman I.I., Dzhanelidze G.Yu. "Vibrational displacement" ("Vibracionnoe peremeshchenie"), Moscow, Nauka, 1964, 410 p.

8. Kolovsky M.Z. "Nonlinear Dynamics of Active and Passive Systems of Vibration Protection" Berlin: Springer1999.

9. Eliseev S.V., Reznik Yu.N., Homenko A.P., Zasyadko A.A. "Dynamic synthesis in generalized problems of vibration protection and vibration isolation of technical objects" ("Dinamicheskij sintez v obobshchennyh zadachah vibrozashchity i vibroizolyacii tekhnicheskih ob"ektov"), Irkutsk, IGU, 2008.

10. Eliseev S.V., Eliseev A.V. "Theory of Oscillations. Structural Mathematical Modeling in Problems of Dynamics of Technical Objects", Cham, Springer, 2020.

11. Karnovsky I.A., Lebed E. "Theory of Vibration Protection", Switzerland, Springer International Publishing, 2016.

12. Eliseev A.V., Kuznecov N.K., Moskovskih A.O. "Dynamics of machines. System representation, block diagrams and relationships of elements" ("Dinamika mashin. Sistemnye predstavleniya, strukturnye skhemy i svyazi elementov"), Moskva, Innovacionnoe mashinostroenie, 2019.

13. Eliseev A.V., Kuznecov N.K. "Technology of structural mathematical modelling for engineering objects under vibrational loading: Interaction forms and dynamic invariants" ("Tekhnologiya strukturnogo matematicheskogo modelirovaniya tekhnicheskih ob"ektov v usloviyah vibracionnogo nagruzheniya: formy vzaimodejstvij i dinamicheskie invarianty"), iPolytech Journal, 2022, vol. 26,no 3, pp. 368-385, DOI: 10.21285/1814-3520-2022-3-368-385.

14. Eliseev A.V., Mironov A.S., Kuznecov N.K. "Methods of structural mathematical modeling in the development of the concept of dynamic invariants of mechanical oscillatory systems" ("Nekotorye predlozheniya po razvitiyu koncepcii dinamicheskih invariantov mekhanicheskih kolebatel'nyh sistem na osnove chastotnoj funkcii obnuleniya"), VIII International Conference Mechanics of modern machines (Problemy mekhaniki sovremennyh mashin), Ulan-Ude, 2022, pp. 243-250, DOI: 10.53980/9785907599055_243

15. Lur'e A.I. "Operational calculus and its application in technical appls" ("Operacionnoe ischislenie i primenenie v tekhnicheskih prilozheniyah"), Moscow, Nauka 1959, 368 p.

Submitted 27.04.2023; revised 15.06.2023 Information about the authors

Andrey V. Eliseev, Cand. Sc. (Technical), Associate Professor of the Department of Mathematics, Irkutsk State Transport University (15 Chernyshevskogo str., Irkutsk 664074, Russia), Associate Professor of the Department of Design and Standardization in Mechanical Engineering, Irkutsk National Research Technical University (83 Lermontova str., Irkutsk 664074, Russia), e-mail: eavsh@ya.ru, ORCID: https://orcid.org/0000-0003-0222-2507

Nikolay K. Kuznetsov, Dr. Sc. (Technical), Professor, Head of the Department of Design and Standardization in Mechanical Engineering, Irkutsk National Research Technical University (83 Lermontova str., Irkutsk 664074, Russia), e-mail: knik@istu.edu, ORCID: https://orcid.org/0000-0002-3083-0182

Artem S. Mironov, Applicant of the Scientific and Educational Center of Modern Technologies, System Analysis and Modeling, Irkutsk State Transport University (15 Chernyshevskogo str., Irkutsk 664074, Russia), e-mail: art.s.mironov@mail.ru, ORCID: https://orcid.org/0000-0002-0921-0915