Концепция критерия энергоёмкости в анализе и оптимизации стержневых систем Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

УДК 539.3

КОНЦЕПЦИЯ КРИТЕРИЯ ЭНЕРГОЁМКОСТИ В АНАЛИЗЕ И ОПТИМИЗАЦИИ

СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ

В. А. Бараненко, д. т. н., проф. ,А. М. Сопильняк, студент.

Постановка проблемы и формулировка целей работы.

Много задач теоретической и практической оптимизации в механике реализовано на основе использования критериев материалоемкости, надежности, стоимости и др [1; 2]. Вес (или объем) есть широко распространенным критерием в оптимизации механических систем. Он характеризует растрату материала конструкции. Но эти критерии не несут информацию о работе механической системы. Поэтому для проведения углубленного анализа при проектировании конструкции желательно ввести такой информативный критерий, который учитывал бы все основные параметры поведения системы, геометрической формы, структуры, сечений, материала, внешних нагрузок, предельных, начальных условий и т. п. В последнее время в теории оптимального проектирования конструкций (ОПК) появились научные работы [3], в которых предлагается введение нового критерия эффективности - коэффициента использования материала (КИМ). Значения КИМ характеризует степень использования материала в силовых системах и определяется из сопоставления энергии формоизменения с предельным его значением. Он может служить критерием качества проектирования, в том числе оптимального, отдельных элементов, узлов и конструкций вообще. По определению (КИМ) есть отношения действительной энергии (работы) и, которая израсходована на допустимое деформирование силовой конструкции к ее предельно — допустимой энергии (энергоемкости) [3], то есть

и < [и], 1] = и/[и]. (1)

Для допустимых конструкций под действием расчетных комбинаций внешней нагрузки энергетический критерий изменяется в границах 0 < 1] < 1, то есть величина 1] есть безразмерной и есть аналогом коэффициенту полезного действия. Поэтому в силовых конструкциях величину 1 можно трактовать как критерий эффективного использования материала. Чем больше величина 1], тем соответствующий проект конструкции с точки зрения растраты материала есть рациональным и наоборот. Можно считать силовую конструкцию как резервуар энергии. Величина

г = 1 - 1] (2)

есть степень относительного энергетического резерва системы. В данной работе рассмотрен вопрос энергетического анализа проектных решений и оптимального проектирования относительно формы площади, сечений, элементов структуры некоторых стержневых конструкций. Под энергетическим анализом понимается определение и оценка критериев 1 и г. Под проектным решением — допустимые проекты, для которых выполняются все сформулированные условия прочности, стойкости и др.

Основная часть.

Рассмотрим упругую шарнирно-стержневую систему, которая состоит из п элементов и т узлов. В / узлах приложена внешняя нагрузка ¥] (/ = 1, 2... , к ; к < т). Через , [иг. ], 1 = 1, 2., п обозначим соответственно потенциальную энергию деформации и допустимую потенциальную энергию (плотность энергии) 1-го элемента . Величину и\ сжато-растянутых элементов определим как

1 —2//

Щ = 1 , (3)

2 Щ

где ^, А1, Ei, — соответственно длина, поперечное сечение, модуль упругости, осевая сила в

1-ом элементе. Для растянутых и сжатых элементов конструкции предельно допустимые напряжения определим как

(Я , для N. > 0

[О ] = 1 ' ' , (4)

^ [рЯ для N1 < 0

Здесь Я, — заданное расчетное сопротивление материала элемента конструкции,

ф — коэффициент продольного изгиба, начальное значение которого предполагается известным.[4]

Предельно допустимая энергоемкость [ и, ] определяется как

[и, ] = &к . (5)

где [и,.] — допустимая удельная энергоемкость материала; V, - объем однородного материала .-го элемента. Величина [ и, ] в (5) определяется как

1—1 Ы

[и, ] = \в(а)с1а. (6)

0

Функция е(о) следует из экспериментальных данных диаграммы О — £ . При линейно-упругой работе материала, т. е. при

О = £Е1

г_| О] [О ]2

имеем [и, ] = ^£{о)с1о = 0,5^ . (7)

о Е,

Таким образом, для 1-го элемента с учетом (7) и определения V, значение [ и, ] запишется

как

[и, ]=. (8)

^ 2 Ег

Величина КИМ с учетом соотношений (3) и (8) для всей конструкции будет следующей.

N,2/,

уи. У-

и , ^ Е А п

п = и— = Уак(О); (9)

' Г ТТЛ п п т2 Л 1 ¿—1 , , у '

[и] ^г„п ^[О ]2А/,

№ ] у Е

,=1 ,=1 Е,

,=1

где

]2„ .

1 J г г

а

, п

и, = [О ]2 А,/, . у и Г Е У '

,=1 ,=1 Е, О

( <2

к(о) =

(10)

ДО, ],

Коэффициент а есть функция параметров /,, А,, Е,, [ О1 ].

п

Если сложить а из (9) для всех , = 1, 2..., п получим, что у а, = 1. Величину К.

,=1 ,

будем называть коэффициентом напряженности. Допустим, что выполнено традиционное проектирование некоторой конструкции с учетом требований стандартов. Тогда по полученной информации об усилиях N ,, сечениях А,, и напряжениях [О, ]; ,= 1, 2. , п в соответствии с

формулами (9), (10) можно будет вычислить и оценить значение КИМ , а также величину энергетического резерва г.

Для примера рассмотрен типовой проект стропильной фермы покрытия [7], изображенной на рисунке 1.

Рис. 1. Стропильная ферма

кН

Для числовых данных Fi = 18,5—- (г = 1, 2..., 20) , E = 2,1 • 105МПа, получены \ =0,554,

M

г = 0,446. КИМ в данном случае достаточно высокий.

При оптимальном проектировании стержневой конструкции предполагается, что искомыми переменными будут поперечные сечения Аг (г = 1, 2., п).Формулируется следующая задача:

требуется найти такие Аг, которые удовлетворяли бы условиям прочности

аг £ [аг], г = 1, 2., п (11)

и условию жесткости

У, £\у,] (12)

и обеспечили максимальное значение КИМ. Здесь у, — максимальное отклонение характерного узла ,е \1,2...,г] конструкции; \у{] — заданное допустимое отклонение этого узла. Величину у( определим по формуле Мора:

' N,N11

п Т

Уг = У —, Т = —

1=1 Аг' 1 Ег Запишем математическую модель задачи ОПК:

(13)

{АГ} = агв

тах \\ у, £ [у, ] £ [а1 ]

А- £Аг £А+

к г = 1,2,..., п.

(14)

Двойное неравенство в соотношении (14) связано с ограничением на габариты элементов. Модель (14) имеет нелинейную функцию качества и может быть реализована, например, поисковыми методами [5], совместным применением динамического программирования и техники последовательных приближений [6].

Пример. К модели (14) можно свести задачу проектирования геометрии статически определимой фермы (рис. 2), у которой ищется такое значение высоты к и распределение сечений Аг (г =1, 2., п) элементов, при которых достигается максимальное значение

Исходные данные: высота Н и длина Ь фермы, ¡г - длины пролетов между узлами; внешние

нагрузки Рприложены в узлы] = 1, 2., 9, механические характеристики материала Ег = Е и

Я.

При следующих числовых данных: для этой фермы при п = 25, , = 3 (середине пролета фермы), Ь = 1200 см, I = 150 см, и нагрузке р = Р2 = Р4 = Р5 = 0; Р3 = 50кН ;

Р6 = р7 = р8 = р9 = 20кН и значениях Е = 2,1 • 105МПа; Яг = Я; Я = 160 МПа; р = 0,75;

[ y] = 2 см получены результаты, представленные на рисунке 2:

Анализ графиков ] (Ь) показывает, что:

1) наличие выступа существенно влияет на величину ] нелинейным образом;

2) максимум ] достигается при И0 = И°рР = 45 см (для фермы с Н = 300 см);

И0 = И°рР = 35 см (для фермы с Н= 200 см);

И0 = И°рР = 30 см (для фермы с Н= 150 см).

В сравнении с фермой, имеющей выступ, и фермой, у которой выступ отсутствует (И=0), затраты материала уменьшаются, соответственно, на 23%, 20%, 14%. Запасы энергетического резерва в трех случаях достаточно большие: г = 0,7; г = 0,73; г = 0,78. И поэтому эффективной остается конструкция с Н = 300 см и И = 45 см.

Рис. 3. Схема конструкции и загрузок

Выводы

1. Коэффициенты ] иг являются самостоятельными критериями и могут служить объективной экспертной оценкой проектного решения.

2. КИМ как комплексный критерий целесообразно применять в задачах параметрической и структурной одномерной и векторной оптимизации как стержневых, так и континуальных систем.

ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Haug E. J., Arora J. S.: Applied optimal design. Mechanical and Structural System (Прикладное оптимальное проектирование (1983))—Мир, Moscow (In Russian).

2. Banichuk N. V.: Introduction to optimization structures. Nauka, Moscow (In Russian),1986.

3. Malkov V. P.: Energy content of mechanical systems, Nizgny Novgorod University Publishers (In Russian),1995.

4. Стрелецкий Н. С., Гениев А. Н., Беленя Е. И. и др. Металлические конструкции. М.: Государственное издательство литературы по строительству, архитектуре и строительным материалам, 1961.

5. Растригин Л. А. Статические методы поиска. —М.: Наука. —1968.

6. Стальш конструкцп покриття одноповерхових виробничих будiвель з фермами i3 спарених кутюв . ЦНД1 «Проектстальконструкщя» М (1.460.2-10; вип.1, 1981).

7. Bellman R. Е.: Dynamic programming. Princeton, New Jersey, 1957.

8. Бараненко В.А. Динамическое программирование и последовательные приближения. //Приднепровский науковий журнал. Фiзико-математичнi науки, № 112 (179). —1998.

УДК 539.3

КОНЦЕПЦИЯ КРИТЕРИЯ ЭНЕРГОЕМКОСТИ В АНАЛИЗЕ И ОПТИМИЗАЦИИ

СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ

В. А. Бараненко, А. М. Сопильняк

В статье рассмотрены вопросы оптимального проектирования и анализа конструкций на основе энергетического подхода. Для этой цели вводится новый критерий эффективности -коэффициент использования материала (КИМ). КИМ определяется отношением действительной энергии (работы), которая потрачена на допустимое деформирование силовой конструкции к ее предельно допустимой энергоемкости. В работе даётся постановка и решение задачи оптимального проектирования фермы по критерию максимального значения КИМ. Проводится энергетический анализ имеющихся проектов стержневых систем. Оптимизационные модели реализованы методом динамического программирования.