Концепция и инструментарий оптимизации производственных запасов и денежных средств: ошибки и поправки Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

Вопросы экономики

Удк 336.663

концепция и инструментарий оптимизации производственных запасов и денежных средств: ошибки и поправки

М. И. ЛИСИЦА, доктор экономических наук, профессор кафедры финансов и бухгалтерского учета

E-mail: lisitsa1974@mail. ru Санкт-Петербургский университет управления и экономики

В статье отмечается, что модели оптимизации производственных запасов и денежных средств направлены на поддержание среднегодовых остатков, а при оптимизации подменяют среднегодовые остатки на годовые потребности, что неизбежно приводит к превышению расходов на поддержание производственных запасов и денежных средств над оптимальными уровнями. Доказывается некорректность существующих моделей и предлагается ряд модификаторов, улучшающих процедуры оптимизации и управления производственными запасами и денежными средствами.

Ключевые слова: оборотные активы, модифицированная модель оптимальной партии запаса, модель оптимальной партии страхового запаса, модифицированная модель оптимальной потребности в денежных средствах, модифицированная модель активного управления остатком денежных средств.

Научные границы и основные задачи исследования

Любое предприятие, ведущее хозяйственную деятельность, обладает необходимым для ее осуществления имуществом1, частью которого

1 Его синонимами являются средства, активы, хозяйственные средства.

являются оборотные активы2. Причем в профессиональной среде нет единообразия трактовки оборотных средств, что связано со спецификой отдельных видов экономической деятельности. Однако с учетом широкого состава оборотных активов и специфичности их компонентов в отдельных сферах хозяйственной деятельности необходимо определить границы дальнейшего исследования.

В частности, автор сосредоточится на изучении оборотных средств коммерческих организаций (предприятий). Соответственно, будем считать выходящими за рамки представленного исследования разноаспектные задачи управления оборотными активами негосударственных пенсионных фондов, кредитных организаций, страховых организаций.

Далее, если бесперебойность хозяйственной деятельности обеспечивается в условиях непрерывного использования оборотных средств, то

2 Их синонимами являются оборотные фонды, текущие средства, текущие активы, мобильные средства, мобильные активы, оборотные средства, хотя не все специалисты согласны с подобным отождествлением. Более того, нередко синонимами оборотных активов считают оборотный капитал, работающий капитал, мобильный капитал, хотя с таким пониманием вряд ли можно согласиться, если полагать, что капитал—это источник хозяйственных средств. Тем не менее в представленном исследовании обозначенные разногласия не являются принципиальными в связи с детальным описанием предметной области.

возникает задача поддержания их на таком уровне, при котором хозяйственные процессы протекают обозначенным образом. Как результат, неизбежны расходы на формирование требуемого уровня оборотных активов. Если предположить, что один и тот же объем оборотных средств может быть создан с разным уровнем расходов (при равенстве прочих условий), то предпочтительным будет минимальный их уровень. Именно задача поддержания с минимальными расходами потребности в оборотных активах в объеме, требуемом для бесперебойного функционирования хозяйственной деятельности предприятия, является основной при управлении оборотными средствами. Однако для лучшего понимания сформулированной проблемы необходимо выделить элементы оборотных активов организации, которые непосредственно относятся к предметной области исследования:

1) сырье, материалы и другие аналогичные ценности, готовая продукция, товары для перепродажи. В дальнейшем данную группу будем называть производственными запасами, которые поддаются администрированию за счет оптимизации потребности;

2) расчетные счета, валютные счета, прочие денежные средства (обычно это денежные средства в кассе предприятия). В дальнейшем данную группу будем называть денежными средствами, которые поддаются администрированию также за счет оптимизации потребности, кроме того, за счет активного управления в ежедневном режиме.

Корректные и некорректные модели оптимизации производственных запасов

Пусть годовая потребность предприятия в производственном запасе определяется как произведение дневного расхода запаса на число дней в году, а его продолжительность составляет 365 дней. Тогда годовая стоимость производственного запаса неизбежно определяется как произведение годовой потребности предприятия в производственном запасе на стоимость единицы запаса, т. е. на его закупочную цену.

Если предприятие осуществляет закупку производственного запаса на собственные денежные средства, то лишает себя возможности их выгодного использования (например, разместив денежные средства на банковском депозите) в течение срока существования производственного запаса. Относи-

тельной мерой упущенной выгоды здесь является годовая ставка по депозиту. Если предприятие привлекает банковский кредит для закупки производственного запаса, то столкнется с необходимостью по истечении срока существования производственного запаса не только вернуть кредит, но и перечислить коммерческому банку причитающийся процентный платеж, который представляет собой прямые денежные расходы. Их относительной мерой является годовая ставка по кредиту.

Далее будем полагать, что обе ставки равны, а предприятие прибегает к банковскому кредитованию. В таком случае коммерческий банк может установить взимаемую с заемщиков дополнительную плату в виде фиксированной суммы денежных средств. Назовем это расходами по привлечению кредита, с которыми предприятие сталкивается каждый раз, когда вынуждено заимствовать денежные средства. Кроме того, приобретенная у поставщика партия производственного запаса должна быть перемещена на склад покупателя, в результате чего создающее производственный запас предприятие может понести расходы. Назовем это стоимостью доставки одной партии запаса. Наконец, содержание перемещенной на склад партии производственного запаса, скорее всего, для предприятия также будет связано с расходами. Назовем это стоимостью хранения одной партии запаса.

Итак, если предприятие создает производственный запас 1 раз в год, то совершенно очевидно, что число партий запаса (следовательно, число кредитов) составит 1, а годовые расходы на поддержание потребности (подчеркнем, годовой потребности) в производственном запасе могут быть вычислены с помощью формулы (1):

^пь = 365 • V ■ Р• В-вс + + ST + SY, (1) где STTL — годовые расходы на поддержание потребности в производственном запасе; 365 — число дней в году; V — дневной расход запаса; P — закупочная цена; Rвс — годовая ставка по кредиту; «вс — расходы по привлечению кредита; «т — стоимость доставки одной партии запаса;

—стоимость хранения одной партии запаса. Обсудим компоненты записи (1). Первое слагаемое, состоящее из четырех сомножителей, представляет собой годовой процентный платеж по банковскому кредиту, а произведение первых трех сомножителей — годовую стоимость произ-

водственного запаса, наконец, произведение первых двух сомножителей — годовую потребность в производственном запасе. Если предам ожить, что все расположенные в правой части формулы (1) элементы являются константами, иначе говоря, не зависят от объема одной партии запаса, тогда предприятие получает полную свободу в выборе способа поддержания годовой потребности в производственном запасе0. В частности, речь идет о выборе числа партий запаса (например, одна годовая поставка, две полугодовые поставки, четыре квартальные поставки, двенадцать ежемесячных поставок или как-то по-другому), что предопределяет объем одной партии запаса. Соответственно, когда число партий запаса в течение года превышает единицу, возникают три особенности формирования годовых расходов на поддержание потребности в производственном запасе.

Во-первых, расходы, относимые на одну партию запаса, вычисляются как частное от деления годовых расходов на поддержание потребности в производственном запасе на число партий запаса.

Во-вторых, стоимость одной партии запаса неизбежно вычисляется как частное от деления годовой стоимости производственного запаса на число партий запаса.

В-третьих, пусть коммерческий банк использует при определении эффективной годовой ставки по кредиту методику простых процентов, тогда и ставка по кредиту, привлекаемому для закупки одной партии запаса, вычисляется как частное от деления годовой ставки по кредиту на число партий запаса. Отсюда, принимая во внимание изложенные аспекты, будет справедлива запись (2), которая после соответствующих преобразований трансформируется в выражение (3): Бтти _ 065 Ьх-Р ЯВс

О _

° тти ~

1

•065-Ь-Р-ЯВС +

и

ор1

и

ор1

и

' + 8 вс + От + 8 г;

(2)

ор1

Иор1

+ Иор1 (8ВС + о0т + о0г ) ,

(3)

3 Конечно, разный размер партии запаса может быть связан с разными закупочными ценами, стоимостью доставки и стоимостью хранения, кроме того, больший или меньший размер банковского кредита, предназначенного для приобретения одной партии запаса, может быть связан с разными расходами по привлечению кредита, а также с разными годовыми ставками по кредиту. Наконец, дневной расход запаса вряд ли может быть равномерным в течение года, здесь определенно будут наблюдаться колебания. Однако на процедуру форма_изациивс5 эьо никакого влияния не оказывает, т. е. с учттим или без учета обозначенных ранее аспектов логика моделирования не изменится в принципе, в связи с чем уместно ее не усложнять второстепенными (конечно, только в данной ситуации) деталями.

где Иор( — оптимальное число партий запаса.

Рассмотрим формулу (3). При единичном значении параметра Иор{ запись (3) превращается в формулу (1). Таким образом, выражение (1) является частным случаем записи (3), которая формализует годовые расходы на поддержание потребности в производственном запасе и состоит из двух слагаемых. Первое формализует годовой процентный платеж по банковскому кредиту. Второе формализует годовые расходы по привлечению кредита, годовую стоимость доставки и годовую стоимость хранения. Годовой процентный платеж снижается при увеличении переменной Иор,, что отражено на рис. 1 в виде нисходящей линии. Годовые расходы по привлечению кредита, годовая стоимость доставки и годовая стоимость хранения растут при увеличении переменной Иор,, что отражено на рис. 1 в виде восходящей линии. Именно так и происходит оптимизация, в результате которой при увеличении переменной Иор{ годовые расходы на поддержание потребности в производственном запасе сначала снижаются, а затем растут, что отражено на рис. 1 в виде выпуклой вниз линии. Отсюда состояние, при котором упомянутые расходы уже не снижаются, но еще и не растут, означает, что они достигли своего минимального уровня. Данному состоянию и соответствует оптимальное число партий запаса. Таким образом, критерием оптимальности является минимальный размер годовых расходов на поддержание потребности в производственном запасе. Заметим, что минимальный уровень названных расходов достигается при равенстве первого и второго слагаемого записи (3), когда имеет место пересечение двух линий (нисходящей и восходящей), т. е. при равенстве размера годового процентного платежа по банковскому кредиту и размера годовых расходов по привлечению кредита, годовой стоимости доставки и годовой стоимости хранения (см. рис. 1).

Разумеется, рис. 1 можно выразить и аналитически, что для начала требует изменения записи формулы (3) в эквивалентную ей запись (4):

°тти _ иорг • 065 -Ь1 - Р - Ввс + + Иор1 (0вс + 0т + 0г ) .

(4)

Далее следует дифференцировать обе части функции (4) по параметру Иор,, что позволяет про-

извольно зафиксировать скорость

(5) изменения функции (4) на нулевом уровне (с экономической точки зрения это произойдет, когда будет иметь место нулевое изменение годовых расходов на поддержание потребности в производственном запасе). Правила же дифференцирования позволяют получить выражение

(6), детализирующее скорость (5) изменения функции (4):

Рис. 1. Влияние числа партий запаса (по оси абсцисс) на величину годовых расходов разных видов (по оси ординат)

dSl

dL

dST,

= 0;

(5)

opt

dL

- = -1-L-P-1 • 365 V • P • RBC +

opt

+ 1 ^вс + Sт + SY ) . (6)

После подстановки правой части записи (5) в левую часть выражения (6) и некоторых преобразований возникшая запись (7) трансформируется в равенство (8):

0 = -1-L-P-1 • 365 V • P • Rbc +

+1• Lp (SBC + ST + Sr );

Lfpt • 365 V • P • Rbc = SBC + ST + ST .

- • 365 • V • P • Rbc = SBC + ST + Sy ; Lopt

L opt =

365 •V1 • P • RBC

sbc + st + SY

(9)

(10)

T opt ,

365

V • P • Rbc

(SBC + ST + SY ) •

(13)

Наконец, зная дневной расход запаса, оптимальный объем одной партии запаса можно корректно определить с помощью записи (14), а после подстановки правой части формулы (13) в правую часть выражения (14) и некоторых преобразований возникшая запись (15) трансформируется в выражение (16):

Уор< = V1' Тор*; (14)

(7)

(8)

Если запись равенства (8) видоизменить в эквивалентную ему запись (9), то после некоторых преобразований получится формула (10), предназначенная для определения оптимального числа партий запаса: 1

Vopt = V1 • ,

365

'V • P • Rbc

•(Sbc + St + Sy ) ; (15)

Vopt =

365 • V

P • Rt

1 (SBC + ST + SY ) •

(16)

Учитывая принятое число дней в году, оптимальный срок реализации одной партии запаса можно корректно определить с помощью выражения (11), а после подстановки правой части формулы (10) в знаменатель выражения (11) и некоторых преобразований возникшая запись (12) трансформируется в выражение (13): 365

ToPt=—; (11)

* т

opt

ToPt = , 365 ; (12)

p 365 • V • P • Rbc

V SBC + ST + SY

Отметим, что вычисления на основе формул (10), (13), (16) не всегда позволяют минимизировать годовые расходы на поддержание потребности в производственном запасе, кроме того, не гарантируют бесперебойного функционирования организации. Дело в том, что на формирование одной партии запаса требуется время. Назовем это установленным сроком создания запаса, в течение которого предприятие должно быть обеспечено производственным запасом, иначе случится простой. В обозначенной ситуации нельзя руководствоваться выражениями (10), (13), (16), а следует ориентироваться на вторую строку матрицы (17), т. е. принятый объем одной партии запаса должен быть больше оптимального объема одной партии запаса. Только так можно избежать простоя в связи с нехваткой производственного запаса. Кроме того, производственный запас может иметь предельный срок годности. Назовем это предельным сроком хранения запаса, по истечении которого производственный запас подлежит утилизации без использования в хозяйственном процессе организации. В обозначенной ситуации также нельзя руко-

водствоваться выражениями (10), (13), (16), а следует ориентироваться на третью строку матрицы (17), т. е. принятый объем одной партии запаса должен быть меньше оптимального объема одной партии запаса. Это позволяет законно избежать появления убытка на стадии хранения производственного запаса. Однако если выполняется первая строка матрицы 1, то предприятие будет способно к бесперебойному функционированию с минимальными годовыми расходами на поддержание потребности в производственном запасе, т. е. принятый объем одной партии запаса должен быть равен оптимальному объему одной партии запаса.

Матрица 1

T . < T . < T min opt max T . = T . est opt = opT

T < T . opt min T , = T . est min V . = V1 - T . es 1 min

T < T , max. opt T = T est max V = V1 - T es 1 max

EOQ = . 2

F-S

C-P

(17)

где EOQ — оптимальный размер партии;

F — постоянные затраты по размещению и выполнению одного заказа;

8 — годовая потребность в запасах; C — годовые затраты по хранению, выраженные в процентах (переведенных в доли единицы) от стоимости средних запасов; Р — цена приобретения единицы запасов. При описании формулы (1 7) сохранены символы и их расшифровки, зафиксированные в первоисточниках, после чего можно приступить к доказательству ее некорректности, однако для начала надо представить модель (16) в символах выражения (17):

^ _ 0ВС + 0т + 0г ; (18)

о_065-Ь ; (19)

с _ Явс . (20)

Если левые части записей (18), (19), (20) подставить в правую часть модели (16), то получится эквивалентная ей формула (21):

Примечание: Vest — принятый объем одной партии запаса; T . — установленный срок создания запаса; T — предель-

mrn J г ^ ' max ^ ^

ный срок хранения запаса; Test — принятый срок реализации одной партии запаса.

Обобщим полученные результаты. Во-первых, записи (13), (16), матрицы 1 образуют модифицированную модель оптимальной партии запаса. Во-вторых, параметр Topt является хоть и ключевым, но техническим и может принимать дробное значение без необходимости округления. В-третьих, параметр Vest является целевым и может пересматриваться каждый раз перед созданием новой партии запаса (например, когда до истечения производственного запаса остается число дней, равное Tmin), поскольку компоненты (в том числе и годовая потребность предприятия в производственном запасе), формализующие модифицированную модель оптимальной партии запаса, могут меняться под влиянием разнообразных причин. В-четвертых, модифицированная модель оптимальной партии запаса корректна, так как основана на корректной формализации принятой в исследовании концепции, являясь конкурентом некорректного подхода, изложенного в публикациях [1, 5] под названием модели оптимальной партии заказа:

Vopt =

F-S C-P

(21)

Очевидно, что трансформация записи (14) позволяет получить выражение (22), соответственно, трансформация записи (11) позволяет получить выражение (23):

V opt

T =

opt

Lopt =

V

365

T

(22) (23)

opt

После подстановки правой части формулы (22) в знаменатель выражения (23) и некоторых преобразований возникшая запись (24) трансформируется в выражение (25): 065

Lopt л/

V opt

v

= 365-V

oPt ~ V

(24)

(25)

opt

Заменим числитель формулы (25) на левую часть записи (19), в результате чего получим выражение (26), причем будет верна обратная ему

формула (27):

С

Lopt = "

V

L

opt

opt

V

opt

(26)

(27)

После подстановки левых частей записей (18),

1

(19), (20), а также правых частей выражений (26), (27) в запись (3) и некоторых преобразований возникшая формула (28) сокращается до выражения (29):

5

^ггг — —~' 5' Р' С +---Р;

5

V

орг

Р' 5

5 = V ' С' Р + -_—

°тть у орг ^ 1 ^ V

' орг

(28)

(29)

После подстановки правой части записи (21) в формулу (29) и некоторых преобразований возникшее выражение (30) трансформируется в запись

(31):

5 -

°тть

Р' 5 Р' 5

С' Р + -

С' Р

Р' 5 С' Р

57ть — 2 'V С' Р' Р' 5 .

(30)

(31)

Годовые расходы на поддержание потребности в производственном запасе можно определить, если в модели (29) параметр Vopt заменить параметром EOQ, что разумно, поскольку выбор значений параметров модели не приводит к изменению самой модели:

- EOQ' С' Р + . (32)

EOQ

После подстановки правой части записи (17) в формулу (32) и некоторых преобразований возникшее выражение (33) трансформируется в запись (34):

5 —

°тть

5 —

тть

2

Р' 5 С' Р

С' Р +

Р' 5

2'

Р' 5 С' Р

42+Л 'у/с'Р'Р'5.

(33)

(34)

Напомним, что критерием оптимальности является минимальный размер годовых расходов на поддержание потребности в производственном запасе. Однако учитывая, что правая часть модели (34) отличается от правой части модели (31), то какой-то параметр определен неправильно. И это EOQ. Для доказательства выдвинутого утверждения достаточно разделить правую часть записи (34) на правую часть записи (31):

( т

ГГ)

л/2 2\'4С

' Р' Р' 5

—1,125°

поддержание потребности в производственном запасе, вычисленный на основании формулы (32), не является минимальным, так как превышает (в число раз, равное 1,1250,5) размер годовых расходов на поддержание потребности в производственном запасе, вычисленных на основе формулы (29). Отсюда следует одно — модель (17) оптимальной партии заказа некорректна. Здесь не хотелось бы углубляться в детали, когда все ясно, однако запись (17) ошибочно исходит из необходимости поддержания среднегодового остатка, который представляет собой полугодовую потребность в производственном запасе. Можно догадаться, что корректная оптимизация полугодовой потребности приведет к дефициту производственного запаса. Вот тогда и происходит подмена среднегодового остатка на годовую потребность в производственном запасе, в результате чего получается объем одной партии запаса EOQ, который нельзя признать оптимальным. В общем, принятие ошибочной концепции породило ошибки при ее математической формализации.

Модель оптимальной партии заказа EOQ получила развитие в публикациях [1; 4], в которых принимается идея о разумности создания страхового запаса, что объясняется двумя причинами. Во-первых, рост спроса на продукцию вызывает рост дневного расхода запаса. Во-вторых, могут быть задержки при поставке очередной партии запаса. Тогда использование именно страхового запаса помогает организации избежать простоя. Если первое направление получило теоретическое (пусть и умозрительное) развитие, 4 то второе направление остается нераскрытым. Соответственно, автор хотел бы предложить решение, направленное на обоснование объема страхового запаса, решение, базирующееся на концепции и инструментарии модифицированной модели оптимальной партии запаса.

Итак, фактические сроки создания партии запаса могут отклоняться друг от друга, а главное, в силу разных причин могут отличаться от установленного срока создания партии запаса. Относительной мерой здесь может быть отклонение на один день

.---1,125 . (35)

2 'V С' Р' Р' 5

Результат соотношения (35) однозначно ука-

зывает на то, что размер годовых расходов на

4 Оценивается выгода от хранения страхового запаса, если известна вероятность готовности покупателей ждать поставки нужного им товара. Интересно, обладают ли продавцы достоверной информацией о доле лояльных покупателей из общего их числа? По интуитивному убеждению автора, такой подход к обоснованию страхового запаса для практики управления является тупиковым.

фактического срока создания партии запаса, для чего требуется вычислить коэффициент вариации сроков создания запаса с помощью формул (36), (37), (38):

сьт _ ^,

Мт

(36)

где сЬт — коэффициент вариации сроков создания запаса;

от — стандартное отклонение сроков создания запаса;

Мт — средний срок создания запаса;

1

ст -Мт)

(37)

1 г „_

V

1, Г5ГУ

065

(39)

Ь„. _

'V

065 V РЯ

0вс + 0т + °т

(40)

где Ь — оптимальное число партий страхового

Г^ усуу Г- Г-

ГЭГУ

запаса.

После подстановки правой части выражения (39) в формулу (40) возникшее выражение (41) сокращается до записи (42):

Ь гэгу

065 •

т от- сЬтЬ

065

Р-Яв

0вс + 0т + °т

Ьгэгу

• сь V Р • Я

т '1 1 "вс

0вс + 0т + °т

(41)

(42)

где та — фактический срок создания а-й партии

запаса;

а = 1,..., г — число номеров партий запаса;

1 2

Мт _ - & . (38)

2 а _1

Очевидно, что установленный срок создания запаса не зависит от принятого числа партий запаса. Тогда возможное условное годовое число дней отклонения от установленного срока создания запаса может быть рассчитано как произведение величины ттПп на величину сЬт. Если учесть, что при формировании страхового запаса возникают расходы, идентичные годовым расходам на поддержание потребности (снова подчеркнем, годовой потребности) в производственном запасе, то зная дневной расход запаса, можно вычислить условно годовой объем страхового запаса как произведение величин ттт> СУР V,. Если абстрактно предположить равномерный расход страхового запаса в течение года, то условно дневной расход страхового запаса логично вычислить с помощью формулы (39):

т тш •сЬт-Ь 1

Напомним, что произведение первых двух сомножителей, расположенных в числителе формулы (42), представляет собой условно годовое число дней отклонения от установленного срока создания запаса. Тогда оптимальный срок хранения страхового запаса можно корректно определить с помощью выражения (43), а после подстановки правой части формулы (42) в знаменатель выражения (43) и некоторых преобразований возникшая запись (44) трансформируется в выражение (45):

т гэгу

ттш' сЬт

Ьг.

тт гэгу

ттт ' сЬт

т сь V 'Р Я

тш Ут У1 Т в I 8вс + 0т + °т

ттш ' сЬт V •Р'Явс

(0вс + 0т + °т ) ,

(43)

(44)

(45)

где т — оптимальный срок хранения страхового

ГЭГУ * * *

ГЭГУ

запаса.

где Ь1 ^ — условно-дневной расход страхового запаса.

Оптимальное число партий страхового запаса можно определить с помощью модели (10), если переменную Ь заместить переменной Ь , что разумно, поскольку выбор значений параметров модели не приводит к изменению самой модели:

Наконец, зная дневной расход запаса (не путать с условно дневным расходом страхового запаса, который является исключительно абстракцией), оптимальный объем страхового запаса можно корректно определить с помощью записи (46), а после подстановки правой части формулы (45) в правую часть выражения (46) и некоторых преобразований возникшая запись (47) трансформируется в выражение (48): Ь _ Ь т

гэгу 1 ГЭГУ '

Ь югу Ь1

т тт • сЬт

Ь • Р • Явс

(00вс + о0т + °г ) ;

(46)

(47)

ЬГЭГУ .

Гтш •сЬт У1 РР^

(0вс + о0т + о0г ) . (48)

Отметим, что вычисления на основе формул (45), (48) не всегда позволяют сформировать оптимальный объем страхового запаса. Напомним,

по истечении предельного срока хранения запаса производственный запас исключается из хозяйственного процесса организации. В обозначенной ситуации нельзя руководствоваться выражениями (45), (48), а следует ориентироваться на вторую строку матрицы 2, т. е. принятый объем страхового запаса должен быть меньше оптимального объема страхового запаса. Однако если выполняется первая строка матрицы (50), то предприятие будет способно к функционированию с минимальными расходами на поддержание страхового запаса, т. е. принятый объем страхового запаса должен быть равен оптимальному объему страхового запаса.

Матрица 2

T + T < T est rsrv max T = T est, rsrv rsrv V , = V est, rsrv rsrv

T < Т + Т max — est rsrv T = Т — T , est, rsrv max est v , = V • T , est, rsrv i est, rsrv

Прмечание: Т — принятый срок хранения страхового

г est, rsrv г г г г

запаса; V — принятый объем страхового запаса.

7 est, rsrv г г

Обобщим полученные результаты. Во-первых, записи (36), (37), (38), (45), (48), матрицы 2 образуют модель оптимальной партии страхового запаса. Во-вторых, параметр T является хоть и ключевым, но

г ' г г rsrv

техническим и может принимать дробное значение без необходимости округления. В-третьих, параметр V t является целевым и может пересматриваться

est, rsrv г г

перед созданием новой партии запаса, поскольку компоненты, формализующие модель оптимальной партии страхового запаса, могут меняться под влиянием разнообразных причин. В-четвертых, модель оптимальной партии страхового запаса корректна, так как основана на корректной формализации принятой в исследовании концепции.

Корректные и некорректные модели оптимизации денежных средств и развитие модели активного управления остатком денежных средств

Пусть при нулевых остатках на банковских счетах и в кассе годовая потребность предприятия в денежных средствах определяется как произведение дневного расхода денежных средств на число дней в году, а его продолжительность составляет 365 дней. Если предприятие привлекает банковский кредит для пополнения денежных средств, то по истечении срока кредитования оно обязано кроме возврата кредита перечислить коммерческому банку при-

читающийся процентный платеж, относительной мерой которого является годовая ставка по кредиту. Кроме того, если коммерческий банк устанавливает взимаемую с заемщиков дополнительную плату в виде фиксированной суммы денежных средств, то предприятие сталкивается с расходами по привлечению кредита, причем каждый раз, когда вынуждено заимствовать денежные средства.

Итак, если предприятие кредитуется 1 раз в год, то годовые расходы на поддержание потребности (подчеркнем, годовой потребности) в денежных средствах могут быть вычислены с помощью формулы (49):

8М = 365 • М, • Явс + Sвc , (49)

где SM — годовые расходы на поддержание потребности в денежных средствах;

365 — число дней в году;

М1 — дневной расход денежных средств;

Rвc — годовая ставка по кредиту;

5вс — расходы по привлечению кредита.

Обсудим компоненты записи (49). Первое слагаемое, состоящее из трех сомножителей, представляет собой годовой процентный платеж по банковскому кредиту, а произведение первых двух сомножителей — годовую потребность в денежных средствах. Если предположить, что все расположенные в правой части формулы (49) элементы не зависят от величины кредитуемой потребности в денежных средствах, тогда предприятие получает полную свободу в выборе способа поддержания годовой потребности в денежных средствах. В частности, речь идет о выборе числа привлекаемых в год кредитов, что предопределяет величину кредитуемой потребности в денежных средствах. Соответственно, когда число привлекаемых в год кредитов превышает единицу, а коммерческий банк использует при определении эффективной годовой ставки по кредиту методику простых процентов, тогда и ставка по кредиту в привязке к сроку кредитования вычисляется как частное от деления годовой ставки по кредиту на число привлекаемых в год кредитов. Отсюда, принимая во внимание изложенные аспекты, будет справедлива запись (50), которая после соответствующих преобразований трансформируется в выражение (51):

Sм = 365 • М, Явс

и

и

и

+sr

1

SM - ' 365 'M ' RBC + LBC ' SBC :

LBC

(50)

(51)

где Ьвс — оптимальное число привлекаемых в год

кредитов.

Обсудим формулу (51). При единичном значении параметра Ьвс запись (51) превращается в формулу (49). Таким образом, выражение (49) является частным случаем записи (51), которая формализует годовые расходы на поддержание потребности в денежных средствах и состоит из двух слагаемых. Первое формализует годовой процентный платеж по банковскому кредиту, который снижается при увеличении переменной Ьвс. Второе формализует годовые расходы по привлечению кредита, которые растут при увеличении переменной Ьвс. Очевидно, так происходит оптимизация, в результате которой при увеличении переменной Ьвс годовые расходы на поддержание потребности в денежных средствах сначала должны снижаться, а затем расти. Отсюда состояние, при котором упомянутые расходы уже не снижаются, но еще и не растут, означает, что они достигли своего минимального уровня, т. е. критерием оптимальности является минимальный размер годовых расходов на поддержание потребности в денежных средствах. Данному состоянию неизбежно должно соответствовать оптимальное число привлекаемых в год кредитов, что далее следует выразить аналитически, однако для начала потребуется изменение записи формулы (51) в эквивалентную ей запись (52):

= Р]зс •365 • М1 • Явс + ^вс • ^вс . (52)

Далее дифференцируем обе части функции (52) по параметру Ьвс, что позволяет произвольно зафиксировать скорость (53) изменения функции (52) на нулевом уровне (т. е., если говорить экономически, когда будет иметь место нулевое изменение годовых расходов на поддержание потребности в денежных средствах). Правила же дифференцирования позволяют получить выражение (54), детализирующее скорость (53) изменения функции (52):

dLm

<Sm dLBI

= 0;

(53)

Если запись равенства (56) видоизменить в эквивалентную ему запись (57), то после некоторых преобразований получится формула (58), предназначенная для определения оптимального числа привлекаемых в год кредитов:

-1- • 365 • м • Явс = Sвс; (57)

L2

lbc =

365 • Mj • RBC

Sn

(58)

Учитывая принятое число дней в году, оптимальный срок кредитования можно корректно определить с помощью выражения (59), а после подстановки правой части формулы (58) в знаменатель выражения (59) и некоторых преобразований возникшая запись (60) трансформируется в выражение (61):

- 365 (59)

= ; (60)

L ' ^BC 365

365 • Mj

\ SBC

365 SBC

Mj RBC

(61)

где Твс — оптимальный срок кредитования.

Наконец, зная дневной расход денежных средств, оптимальную величину кредитуемой потребности в денежных средствах можно корректно определить с помощью формулы (62), а после подстановки правой части записи (61) в правую часть выражения (62) и некоторых преобразований возникшая запись (63) трансформируется в выражение (64):

(62)

Mopt = Mj • Tbc ;

opt = Mj ^ 365 • SBC

Mj RBC

365 • Mj SBC

opt

V

R

(63)

(64)

= 1 lbc •365 • mi • rbc +1 lbc • sbc . (54) где M — оптимальная величина кредитуемой

После подстановки правой части записи (53) в левую часть выражения (54) и некоторых преобразований возникшая запись (55) трансформируется в равенство (56):

0 = -1 • L-- • 365 • Mj • Rbc +1 • Lj• Sbc ; (55) Lbc • 365 • Mj • Rbc = Sbc . (56)

opt

потребности в денежных средствах.

Обобщим полученные результаты. Во-первых, записи (61), (62) образуют модифицированную модель оптимальной потребности в денежных средствах. Во-вторых, параметры TBC, Mopt являются целевыми и могут пересматриваться каждый раз перед кредитованием, поскольку компоненты,

формализующие модифицированную модель оптимальной потребности в денежных средствах, могут меняться под влиянием разнообразных причин. В-третьих, модифицированная модель оптимальной потребности в денежных средствах корректна, так как основана на корректной формализации принятой в исследовании концепции, являясь конкурентом некорректного подхода, изложенного в публикациях [1; 2] под названием модели оптимального размера денежных средств (или модели Баумоля):

С * 2 •

рт

к

(65)

Мор1 _

рт

к

(69)

Очевидно, что трансформация записи (62) позволяет получить выражение (70), соответственно, трансформация записи (59) позволяет получить выражение (71):

т _

вс

Ьвс _

_ Морг .

М 065

т

(70)

(71)

вс

После подстановки правой части формулы (70) в знаменатель выражения (71) и некоторых преобразований возникшая запись (72) трансформируется в выражение (73):

Ьвс _

Ьвс _

065

орг

М

М

065 • М1

М

(72)

(73)

орг

Заменим числитель формулы (73) на левую часть записи (67), в результате чего получим выражение (74), причем будет верна обратная ему формула (75):

т

(74)

Ьвс _

М

С*

— оптимальная сумма денежных средств; F — постоянные трансакционные затраты по купле-продаже ценных бумаг или обслуживанию полученной ссуды;

Т — общая сумма денежных средств, необходимых в течение всего периода; k — относительная величина альтернативных затрат.

При описании формулы (65) сохранены символы и их расшифровки, зафиксированные в первоисточниках, после чего можно приступить к доказательству ее некорректности, однако для начала надо представить модель (64) в символах выражения (65):

р _ 0вс; (66)

т _ 065 М1 ; (67)

к _ Явс . (68)

Если левые части записей (66), (67), (68) подставить в правую часть модели (65), то получится эквивалентная ей формула (69):

орг

1 _ Морг

_ т

и

(75)

После подстановки левых частей записей (66), (67), (68), а также правых частей выражений (74), (75) в запись (51) и некоторых преобразований возникшая формула (76) сокращается до выражения (77):

0М _

М^т.к+- т т

0М _ Морг • к +

М рт

•р;

орг

М

(76)

(77)

орг

После подстановки правой части записи (69) в формулу (77) и некоторых преобразований возникшее выражение (68) трансформируется в запись (79):

рт

(78)

рт

0м _А--к +

к

рт

0М _ 2 • 4ЁТк . (79)

Годовые расходы на поддержание потребности в денежных средствах можно определить, если в модели (77) параметр Мор( заменить параметром с*, что разумно, поскольку выбор значений параметров модели не приводит к изменению самой модели: р т

р т (80)

0М _с •к+-

с*

После подстановки правой части записи (65) в формулу (80) и некоторых преобразований возникшее выражение (81) трансформируется в запись (82):

р т р т

о0м _А 12---к +

к

2

р т

СМ _

72•л[ЁТк.

(81)

(82)

к

Если критерием оптимальности является минимальный размер годовых расходов на поддержание потребности в денежных средствах, значит параметр С* определен неправильно. Для доказательства выдвинутого утверждения достаточно разделить правую часть записи (82) на правую часть записи (79):

(

42

+

\

4ЁТ-к

.-=-= 1,125 . (83)

2-4Ё-Г-к

Результат соотношения (83) указывает на то, что размер годовых расходов на поддержание потребности в денежных средствах, вычисленный на основе формулы (80), не является минимальным, так как превышает (в число раз, равное 1,12505) размер годовых расходов на поддержание потребности в денежных средствах, определенных на основе формулы (77). Отсюда следует одно — модель (65) оптимального размера денежных средств некорректна, поскольку ошибочно исходит из необходимости поддержания среднегодового остатка, который представляет собой полугодовую потребность в денежных средствах. Понятно, что корректная оптимизация полугодовой потребности приведет к дефициту денежных средств. Вот тогда и происходит подмена среднегодового остатка на годовую потребность в денежных средствах, в результате

чего получается величина кредитуемой потреб-

С*

*, которую нельзя признать оптимальной, т. е. принятие ошибочной концепции породило ошибки при ее математической формализации.

Модель оптимального размера денежных средств (или модель Баумоля) не нашла применения на практике, более того, не получила развития и в теории, так как полностью заимствует методологию модели оптимальной партии заказа EOQ. Дело в том, что движение производственных запасов (пополнение ^ расход до нуля ^ пополнение) существенно отличается от движения денежных средств (постоянное и плохо прогнозируемое изменение остатка), следовательно, единый подход к управлению такими разными видами оборотных активов вряд ли уместен. В принципе, такую же судьбу можно было бы предсказать

и модифицированной модели оптимальной потребности в денежных средствах, которая заимствует методологию модифицированной модели оптимальной партии запаса. Однако автор не рассматривает модифицированную модель оптимальной потребности в денежных средствах в качестве самостоятельного инструмента администрирования, а считает ее начальным компонентом изложенной в публикациях [1, 3] под названием модели определения целевого остатка денежных средств (или модели Миллера—Орра), где есть свои проблемы. Соответственно, автор хотел бы предложить их решение, направленное на обоснование остатка денежных средств, решение, включающее в себя концепцию и инструментарий модифицированной модели оптимальной потребности в денежных средствах.

Итак, величина остатка денежных средств меняется ежедневно, причем стохастически, т. е. без закономерности, что отражено на рис. 2. Тогда можно установить условный целевой остаток денежных средств, определив верхнюю и интуитивно нижнюю границы остатка денежных средств. Для этого используются формулы (84), (85), (86), (87), опубликованные в работе [1], но измененные в части символов в целях представленного исследования:

(

М2 =

у/3

(1 + ЯВс Г -1

+М,

(84)

где Мг — целевой остаток денежных средств; Мь — нижняя граница остатка денежных средств;

Мн = 3-М2 - 2-Мь , (85)

где Мн — верхняя граница остатка денежных средств;

1

=-Х (СЁ - СОЁ-тсЁ )2

(86)

рис. 2. Величина остатка денежных средств (по оси ординат) на конец дня

(по оси абсцисс)

г=1

где а2ср — дисперсия, являющаяся мерой рассеяния чистого денежного потока;

—поступление денежных средств за день ^ COFt — выплата денежных средств за день

— средний уровень чистого денежного потока;

1 "

Рсн = — X (с!Рt - св¥д . (87)

П t=1

Принципиально важна нижняя граница остатка денежных средств, поскольку она предопределяет целевой остаток денежных средств, а также верхнюю границу остатка денежных средств. Если фиксируемый посредством выражения (61) оптимальный срок кредитования исчисляется в днях, то при допущении равномерного расходования оптимальной величины кредитуемой потребности в денежных средствах, определяемой посредством формулы (64), логично считать, что однодневный остаток денежных средств должен быть вычислен посредством предлагаемого автором выражения (88). Отсюда и нижняя граница остатка денежных средств определяется однодневной потребностью в выплатах:

Ыь = ^. (88)

Твс

Обсудим записи (84), (85), (86), (87), (88). Они образуют модифицированную модель активного управления остатком денежных средств. В случае образования избытка денежных средств их можно положить на депозит в банке (в зависимости от предложения коммерческого банка) на срок, не превышающий число дней, оставшееся до погашения кредитуемой потребности в денежных средствах. В случае возникновения дефицита денежных средств банк предоставляет предприятию однодневный кредит. Причем предприятие и коммерческий банк могут установить договорные отношения по контролю за остатком денежных средств (автоматическое изъятие (на срочный депозит) денежных средств до

целевого уровня на рис. 2 представлено направленной вниз пунктирной стрелкой, а автоматическое пополнение (за счет привлечения кредита) денежных средств до целевого уровня на рис. 2 представлено направленной вверх пунктирной стрелкой). Модифицированная модель активного управления остатком денежных средств требует, чтобы договор предусматривал равенство годовых ставок RBC по депозиту и кредиту, а также равенство расходов SBC по привлечению кредита и размещению денежных средств на депозит. Наконец, изъятие денежных средств должно происходить, если их остаток не ниже верхней границы, соответственно, пополнение денежных средств должно происходить, если их остаток не выше нижней границы.

Подводя общий итог, хотелось бы отметить, что исследование не завершено, а полученные результаты не являются окончательными. Автор сознает некоторые недостатки представленных моделей с точки зрения их практического использования. Очевидно, здесь потребуются дополнения, причем автор намерен исследовать возможность имитационного моделирования процесса оптимизации производственных запасов и денежных средств.

Список литературы

1. Бригхем Ю., Гапенски Л. Финансовый менеджмент. Полный курс в 2-х т. / пер. с англ. / под ред. В. В. Ковалева. СПб.: Экономическая школа. 1997. Т. 2. 669 с.

2 . Baumol W. J. The Transactions Demand for Cash: An Inventory Theoretic Approach // Quarterly Journal of Economics. 1952. November. P. 545—556.

3. Miller M. H., Orr D. A Model of the Demand for Money by Firms // Quarterly Journal of Economics. 1966. August. P. 413—435.

4 . Snyder A. Principles of Inventory Management // Financial Executive. 1964. April. P. 13—21.

5. Wilson R. H. A Scientific Routine for Stock Control // Harvard Business Review. 1934. V. 13. P. 116—128.