КОНЦЕПЦИЯ ЭНЕРГОСБЕРЕГАЮЩИХ РЕГУЛЯТОРОВ Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 681.2

Концепция энергосберегающих регуляторов

Жмудь В. А., Касторный А. В. ФГБОУ ВПО НГТУ (Новосибирск, Россия)

Аннотация. Управление объектами в контуре с отрицательной обратной связью широко применяется в науке и технике [1]. При этом регулятор рассчитывается, исходя из математической модели объекта управления и цели регулирования, осуществляется расчет регулятора, который обеспечивает устойчивость, точность и требуемое качество переходного процесса в системе при изменении предписанных значений выходной величины (задания). Как правило, регулятор оптимизируют для обеспечения требуемых динамических и статических свойств системы, не принимая в расчет энергетические показатели переходного процесса. В ряде случаев экономия затрат энергии при управлении является ключевой потребностью проекта.2

Ключевые слова: численная оптимизация, энергосбережение, регуляторы, автоматика, моделирование, динамические системы, точность управления

ВВЕДЕНИЕ

В современных системах управления механическими системами и транспортными объектами все шире применяются автоматические структуры на основе контура с отрицательной обратной связью [1, 2]. В таких системах объект управления является частью петли, в которой также присутствует измеритель реального состояния объекта, формирователь

предписанного состояния и регулятор, обеспечивающий переход объекта из реального состояния в предписанное. При этом регулятор рассчитывается, исходя из математической модели объекта и необходимости обеспечения требуемой статической и динамической точности. Зачастую в эти требования включают специфический вид переходного процесса, например, отсутствие перерегулирования, или ограничение его максимального значения, и (или) минимизацию времени переходного процесса и так далее.

При управлении транспортными системами или сложными механическими объектами количество изменений задания (предписанного значения для выходной величины) может быть достаточно велико на протяжении некоторого времени функционирования. Если в задачу не вводить требование минимальных затрат энергии при управлении, то суммарные затраты энергии могут существенно варьировать в зависимости от результата расчета регулятора. Для некоторых

транспортных задач такой подход не желателен, поскольку минимизация энергетических затрат не только важна, но может оказаться ключевой задачей управления.

Например, при межпланетных перелетах космических зондов данная локальная постановка задачи коррекции траектории вытекает именно из глобальной задачи минимизации расходов топлива. Даже небольшой в процентном соотношении перерасход топлива на протяженной траектории может привести к неоправданному увеличению массы спутника (вместе с топливом), которую необходимо вывести на орбиту. Это, в свою очередь, приводит к необходимости увеличения затрат топлива на старте. Это также повышает массу космического корабля и так далее. Поэтому увеличение требуемого запаса топлива, например, на 5 %, может вызвать необходимость увеличения массы корабля на старте на 20 % и более.

Простым подходом к решению подобных задач является численная оптимизация регулятора с применением критерия, в который входят энергетические затраты. Но только на основании этого критерия оптимизацию осуществлять нельзя, поскольку требуется ввести в него также и цель управления, а именно: изменение выходной величины по заданному закону от изменений задания.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

В простейшем виде систему автоматического управления можно представить в виде контура, показанного на рис. 1 [1, 2].

Здесь выходная величина У(() должна быть по возможности как можно более близка к заданию У((), ошибка управления Е(/) равна разности этих величин; регулятор преобразует эту ошибку в управляющий сигнал Ц7), который, воздействуя на вход объекта, заставляет его выходную величину приближаться к заданию, снижая ошибку.

Отрицательный знак обратной связи означает, что воздействие контура противоположно по знаку возмущению, которое вызвало это воздействие. Целью регулирования обычно является поддержка приближенного равенства выходной величины У(() ее предписанному значению, заданию У(().

Работа выполнена по заданию Министерства образования и науки РФ, проект №7.599.2011, Темплан, НИР № 01201255056.

Возмущение

Вход Выход

Рис. 1. Структурная схема простейшей системы с

В простейшем виде это требование задается соотношением для случая ступенчатого скачка V(t):

lim Y (t) = V (t). (1)

t

Как правило, наиболее успешным регулятором считается тот, который обеспечивает наилучший переходный процесс. Критерием качества переходных процессов служит совокупность показателей: быстродействие, отсутствие или малая величина перерегулирования, небольшая величина остаточной погрешности.

Одним из способов оценки качества системы является вычисление целевой функции, представленной как интеграл от модуля или квадрата ошибки, или иных показателей на ее основе [3-6]. Такая целевая функция позволяет осуществлять автоматическую численную оптимизацию коэффициентов регулятора. Например, эффективно использование целевой функции следующего вида:

т

Y = J | E(t)| tdt, (2)

о

или ее модификаций [2]. Здесь T - время до достижения задачи управления. Модификации состоят в ведении под интеграл дополнительных слагаемых, которые равны нулю или принимают малое значение при удовлетворительном переходном процессе, но резко возрастают при признаках неудовлетворительного качества этих процессов [3].

При этом затраты энергии на управление не принимаются в расчет.

Затраты энергии можно описать как интеграл от квадрата управляющего воздействия:

т

P = J U 2(t )dt. (3)

о

Экономия энергетических затрат целесообразна лишь при условии достижения цели управления. Из целей управления в этом случае, как правило, целесообразно исключить достижение наилучшего быстродействия.

Нами предлагается изъять из рассмотрения

;льной обратной связью: 1 - объект, 2 - регулятор характеристики переходного процесса. Вместо этого можно предложить требование достижения ошибки требуемой малой величины к наперед заданному времени после окончания процесса переключения управления, то есть после скачкообразного изменения задания.

Если управление должно перевести систему из одного статического состояния в другое, то, по-видимому, также целесообразно достижение к этому же времени пренебрежимо малой производной от выходной величины (что в данном случае тождественно малой величины производной ошибки). Поэтому задача оптимизации может быть сформулирована следующим образом: требуется достижение минимума интеграла (3) при условии достижения следующего соотношения:

г > в Е(Г) £ X; | dE(Г) / Ж £ С . (4)

Здесь в - предписанное время достижения цели, X, С - предписанные максимальные значения для ошибки и ее производной.

2. МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

Для решения поставленной задачи предлагается использовать метод численной оптимизации регуляторов. Целевая функция при этом может быть сформирована, например, в следующем виде:

т

^ = | {и 2(0 + ¥ш [кп ]}Ж. (5)

0

Здесь Еш - штрафная функция, зависящая от параметров регулятора кп. Эта функция должна принимать большие значения при невыполнении соотношения (4), и пренебрежимо малое значение при его выполнении. На рис. 2 показана структурная схема для оптимизации регулятора с целью достижения минимума энергетических затрат.

Вход

Системы V

а

Ошибка Е

Управление

и

4

Выход Системы

2

1

5

3

Рис. 2. Структурная схема структуры для оптимизации системы по критерию энергосбережения: 1 - объект, 2 -регулятор, 3 - анализатор достижения цели управления, 4 - анализатор энергетических затрат, 5 - оптимизатор

регулятора

Пример 1. Рассмотрим объект, заданный передаточной функцией вида:

У (я) _ ехр(-2,у) и (я) _ я(3я +1)

(6)

Сначала вычислим регулятор для системы с таким объектом, не принимая в расчет энергетические соображения, затем вычислим регулятор с учетом задачи экономии энергетических затрат и сопоставим результаты. Выберем ПД-регулятор, поскольку интегральная компонента содержится в передаточной функции объекта (множитель 5 в знаменателе), и в регуляторе она не требуется. Схема для

моделирования объекта и оптимизации регулятора в программе У1яБ1т показана на рис. 3. При этом используется целевая функция вида:

^ + gP.

(7)

Здесь использована сумма целевой функции (2) и энергетических затрат (3) с весом g. В случае g = 0 энергетические затраты не учитываются, при чрезмерно большом положительном g затраты энергии становятся главным фактором расчета регулятора. Поэтому наилучшее значение этого весового множителя требуется определить опытным путем.

Рис. 3. Схема моделирования с введением в целевую функцию интеграла от квадрата управления с коэффициентом крупно

В результате оптимизации регулятора при g = 0 получены следующие значения коэффициентов: КР = 0,3926 ~ 0,39;

Кс = 1,14128 ~ 1,14. Передаточная функция регулятора при этом имеет вид:

Жк (5) _ Кр + К05 .

(8)

Величина энергозатрат для управления объектом с целью перевода его из нулевого состояния (по выходной величине) в единичное составило Р = 0,6825 усл. ед.

Переходный процесс завершается

приблизительно через 20 с, имеет перерегулирование около 3 % в момент / = 10 с, первое достижение заданного уровня происходит в момент / = 8 с. Указанный переходный процесс показан на рис. 4 красной линией.

О 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60

Рис. 4. Результаты моделирования крупно выходной сигнал

Введем g = 100. В результате получены следующие значения коэффициентов:

КР = 0,225756 ~ 0,226; Кс = 0,560765 ~ 0,56.

Переходный процесс показан на рис. 4 синей линией. Величина энергозатрат составила Р = 0,27989 усл. ед. Переходный процесс завершается приблизительно через 20 с, имеет перерегулирование около 2 % в момент / = 17 с, первое достижение заданного уровня происходит в момент / = 14 с.

Повысим весовой коэффициент до g = 1000. В результате получены: КР ~ 0,0894; Кс ~ 0,00583.

Переходный процесс показан на рис. 4 черной линией. Величина энергозатрат составила Р = 0,06818 усл. ед.

Переходный процесс завершается

приблизительно через 50 с, имеет перерегулирование около 1 % в момент / = 32 с, первое достижение заданного уровня происходит в момент / = 25 с.

На рис. 5 показана динамика затрат энергии на управление в системах с указанными тремя регуляторами, цветовая маркировка та же самая.

Рис. 5. Результаты моделирования крупно интеграл от квадрата управления

При отработке ступенчатого возмущения

графики аналогичные (см. рис. 6), энергозатраты такие же.

О 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60

Рис. 6. Результаты моделирования крупно выходной сигнал при нулевом входе и ступенчатом возмущении

Таким образом, при включении в целевую функцию множителя, связанного с затратами энергии, удается снизить эти затраты в 10 раз, при этом длительность переходного процесса увеличивается, но его качество остается под контролем и не ухудшается (перерегулирование даже уменьшается).

3. МОДИФИЦИРОВАННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

Пример 2. В рассмотренной выше постановке задачи на примере управления спутников качество переходного процесса не играет существенной роли. Задачу можно сформулировать следующим образом:

Вариант 1: К заданному времени т ошибка должна существенно приблизиться к нулевому значению (с допустимой погрешностью).

Вариант 2: К заданному времени т ошибка и ее производная должны существенно приблизиться к нулевому значению.

Целевая функция для задачи Варианта 1 может быть сформирована, например, в следующем виде:

т

^4 = 11 Е (01^ . (9)

т

Целевая функция для задачи Варианта 2 может быть сформирована, например, в следующем виде:

т

^5 = \ {|Е(* )| + |^Е(*)/. (10)

т

На рис. 7 показана схема для моделирования и оптимизации по соотношению (7), где вместо слагаемого из (2) взято слагаемое из (10) ПД-регулятора для объекта из Примера 1. Здесь т = 50 с.

В результате получены следующие значения

коэффициентов: КР ~ 0,0393; Кс ~ - 0,251. Затраты энергии составили Р = 0,02093 усл. ед., то есть дополнительно в 3,26 раз меньше, чем в Примере 1. Это в 32,65 раза меньше, чем в случае

оптимизации регулятора по критерию (2), то есть в сравнении с результатом Примера 1 при g = 0.

Рис. 7. Схема моделирования и результат оптимизации при замене в целевой функции линейно нарастающего сигнала (1) на ступенчатый скачок с запаздыванием 50 с

График полученного переходного процесса показан на рис. 8.

Рис. 8. График переходного процесса из схемы на рис. 7 крупно

Из графика видно, что переходный процесс не вполне завершился к моменту т = 50 с, хотя этот процесс стремится к завершению, и к моменту / = 60 с он практически завершен. Причина этого кроется в излишне большом коэффициенте g = 10. Снизим этот коэффициент до значения g = 1. Полученный переходный процесс для этого случая показан на рис. 9, а график изменения производной ошибки регулирования показан на рис. 10.

Рис. 9. График из схемы на рис. 12 крупно

Рис. 10. График из схемы на рис. 12 крупно

Получаемый регулятор при этом имеет следующие коэффициенты: КР ~ 0,0618; Кс ~ -0,467. Затраты энергии составляют Р = 0,04076

усл. ед., то есть в 16,7 раз меньше, чем при g = 0. На рис. 11 показана соответствующая схема для оптимизации.

Рис. 11. Структура для оптимизации по Примеру 2 4. ПОДВЕДЕНИЕ ИТОГОВ

На основании выполненных модельных исследований можно рекомендовать следующие уточненные структуры для модельной оптимизации регуляторов.

Структура на основе соотношения (7) с учетом (2) и (3) показана на рис. 12. В этой структуре можно осуществить сложение ранее интегрирования, что позволит использовать один интегратор вместо двух, как показано на рис. 13.

Структура по рис. 12 работает следующим образом. Объект 1 и регулятор 2 замкнуты в петлю через первый сумматор. Остальные элементы требуются для настройки параметров регулятора 2. Выпрямитель 6 преобразует ошибку в ее модуль. Генератор 8 формирует линейно нарастающий сигнал. Умножитель 9 умножает модуль ошибки на линейно нарастающий сигнал, интегратор 10 интегрирует результат этого умножения. В результате на выходе интегратор 10 формируется сигнал по соотношению (2). При

этом последовательно соединенные блок возведения в квадрат 7 и интегратор 11 вычисляют затраты энергии в соответствии с соотношением (3). На втором сумматоре, входы которого соединены с выходами интеграторов 10 и 11, вычисляется стоимостная функция в соответствии с соотношением (7). Различные весовые коэффициенты могут быть обеспечены, например, за счет введения соответствующего коэффициента усиления в генераторе 8. Оптимизатор регулятора осуществляет многократное моделирование работы системы с анализом результирующего значения целевой функции. При этом отыскивается такое значение параметров регулятора, при котором стоимостная функция минимальна.

На рис. 14 показана структура на основе использования целевой (стоимостной) функции в виде суммы величин (3) и (10).

9 г

\

1 к

10

Управление

и

Выход Системы

Рис. 12. Структурная схема на основе соотношения (7) с учетом (2) и (3): 1 - объект, 2 - регулятор, 5 - оптимизатор регулятора, 6 - выпрямитель, 7 - блок возведения в квадрат, 8 - генератор линейно нарастающего сигнала, 9 - блок

умножения сигналов (умножитель), 10, 11 - интегратор

Вход

Системы

Ошибка

Управление

Выход Системы

Рис. 13. Структурная схема на основе соотношения (7) с учетом (2) и (3): 1 - объект, 2 - регулятор, 5 - оптимизатор регулятора, 6 - выпрямитель, 7 - блок возведения в квадрат, 8 - генератор линейно нарастающего сигнала, 9 - блок

умножения сигналов (умножитель), 10 - интегратор

Структура по рис. 13 работает аналогично с тем отличием, что для ее упрощения использована линейность операций

интегрирования, вследствие чего сумма интегралов равна интегралу от суммы. Поэтому вместо интегрирования сигналов на интеграторах 10 и 11 с последующим сложением результата можно первоначально сложить используемые величины, после чего проинтегрировать результат сложения.

Структура по рис. 14 работает аналогично, но вместо линейно нарастающей функции используется ступенчатый скачок, запаздывание которого соответствует времени, к наступлению которого требуется завершение переходного процесса. Этот сигнал формирует генератор 14.

Выпрямитель 6 вычисляет модуль ошибки, а последовательное соединение

дифференцирующего устройства 12 и выпрямителя 13 вычисляет модуль производной ошибки. Третий сумматор вычисляет сумму этих модулей, которая на умножителе 9 умножается на задержанный ступенчатый скачок. Результат через второй сумматор подается на вход интегратора 10. На вход этого же интегратора через этот же сумматор подается квадрат управляющего сигнала. Таким образом, на выходе интегратора 10 вычисляется сумма величин (10) и (3), оптимизатор регулятора вычисляет такие коэффициенты регулятора, которые

обеспечивают минимум указанной величине.

8

Вход Выход

Системы Ошибка Управление Системы

Рис. 14. Структурная схема на основе суммы целевых (стоимостных) функций (3) и (10): 1 - объект, 2 - регулятор, 5 -оптимизатор регулятора, 6 - выпрямитель, 7 - блок возведения в квадрат, 9 - блок умножения сигналов (умножитель), 10 - интегратор, 12 - дифференциатор, 13 - выпрямитель, 14 - генератор ступенчатого сигнала с заданным запаздыванием

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной статье предложены структурные схемы для оптимизации регуляторов с целью сокращения затрат энергии (интеграла от квадрата управляющего воздействия) при переводе объекта из одного состояния в другое.

Предложен метод и структуры, позволившие сократить затраты энергии в 10-30 раз и более. Постановка этой задачи наиболее целесообразна в случае, когда объект содержит интегратор в своей модели, то есть в том случае, когда по окончании переходного процесса управление не требуется и управляющий сигнал может (и должен) принимать нулевое значение. Во всех остальных случаях цели энергосбережения требуют специального рассмотрения на уровне постановки задачи, что может быть предметом дальнейших исследований.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Востриков А. С. Проблема синтеза регуляторов для систем автоматики: состояние и перспективы. Автометрия, №2, том 46, стр.319

[2] Никулин Г. Л., Французова Г. А. Синтез системы регулирования электромеханического усилителя руля автомобиля. Автометрия. -2008. № 5. С. 93-99.

[3] V.A. Zhmud, A.V. Liapidevskiy. The Design of the Feedback Systems by Means of the Modeling and Optimization in the Program VisSim 5.6/6.0 // Proc. Of The 30th IASTED Conference on Modelling, Identification, and Control ~ AsiaMIC 2010 -November 24-26, 2010 Phuket, Thailand. PP. 27-32.

[4] Воевода А.А., Жмудь В.А., А.Н. Заворин, О. Д. Ядрышников. Сравнительный анализ методов

оптимизации регуляторов с использованием программных средств У1б81ш и МЛТЬЛБ // Мехатроника, автоматизация и управление. № 9, 2012. с. 37 - 43.

[5] Бугров С.В., Жмудь В.А. Ограничение области значений параметров оптимизации в программе У1б81ш 5.0/6.0// Сборник научных трудов НГТУ. Новосибирск. 2009. 3(57). С. 119 - 122.

[6] Жмудь В. А. Моделирование и оптимизация систем управления лазерным излучением в среде У1б81ш : учеб. пособие / В. А. Жмудь ; Новосиб. гос. техн. ин-т. - Новосибирск : Изд-во НГУ, 2009. - 116 с.

Вадим Аркадьевич Жмудь -

заведующий кафедрой Автоматики НГТУ, профессор, доктор технических наук, автор более 200 научных статей, включая 10 патентов и 6 учебных пособий. Область научных интересов и компетенций - теория

автоматического управления,

электроника, лазерные системы, оптимизация, измерительная техника. E-mail: oao nips@bk.ru

Касторный Александр Валерьевич -

аспирант кафедры Автоматики НГТУ. E-mail: flayter1@gmail.com