Контроль последовательности равномерно распределённых чисел на выходе модели генератора, реализованного по схеме сдвигового регистра Текст научной статьи по специальности «Математика»

Секция радиоприемных устройств и телевидения

УДК 681.3.001.63

И.В. Сидько

КОНТРОЛЬ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЁННЫХ ЧИСЕЛ НА ВЫХОДЕ МОДЕЛИ ГЕНЕРАТОРА, РЕАЛИЗОВАННОГО ПО СХЕМЕ СДВИГОВОГО РЕГИСТРА

Двоичный шумовой сигнал позволяет сравнительно просто регулировать уровень постоянной составляющей и эффективное значение выходного напряжения путём точного ограничения уровней этого двоичного сигнала. Однако стационарность и случайность свойств механизма, генерирующего шумовой сигнал, должны быть предметом тщательного исследования.

Вместо чисто аналогового метода генерации случайных процессов часто используют цифровой генератор случайной последовательности, выполненный на сдвиговом регистре [1]. Такой генератор формирует двоичные псевдослучайные шумовые последовательности. На рис. 1 изображена схема и-разрядного цифрового сдвигового регистра. Максимальная длительность периода, которую можно получить, используя «линейную» цепь обратной связи (сумматор по модулю 2), составляет 2п-1 периодов, соответствующих частоте тактовых импульсов. В самом

/-чП

деле, и-разрядный сдвиговый регистр может находиться в 2 различных состояниях, однако одно из этих состояний (000 в схеме рис. 1) непрерывно самовоспроиз-водится. На рис. 1 приведены различные варианты получения псевдослучайной последовательности в зависимости от вариантов коммутации сдвигового регистра и схемы сумматора по модулю 2. Таким образом, можно генерировать различные последовательности, причем максимальная длина таких последовательностей будет 2П-1. Работа сумматора по модулю 2 определяется соответствующей таблицей истинности (табл. 1).

Таблица 1

А 0 1

в

0 0 1

1 1 0

Рис. 1. Схемы трёхразрядного сдвигового регистра (п=3), формирующие последовательность максимальной длины, обратную ей последовательность и последовательность не максимальной длины

Для исследования выбраны два наиболее жёстких критерия, применяемых на практике. Это критерий случайностей по методу серий и критерий на некоррелированность по тесту корреляций.

При анализе реальных критериев случайности наиболее удобными для реализации в виде самостоятельного устройства и достаточно эффективным оказался метод “серий”. Согласно этому методу все возможные значения чисел делятся на два класса: класс “а” и класс “б”. Серией, в свою очередь, называется любой отрезок последовательности, состоящий из следующих друг за другом чисел одного и того же класса. Количество чисел в серии называется её длиной.

При контроле генератора случайных чисел по критерию случайности методом серий [2] критериями согласия могут служить: количество серий максимальной длины любого класса, а также общее количество серий обоих классов. Теоретические значения математического ожидания серий обоих классов “а” и “б” длины 1 могут быть определены из соотношения

п

(1)

МГц = МГ2г

2

г +2

где п - длина выборки; 1 - длина серии.

В табл. 2 представлены результаты исследования модели 11-разрядного генератора двоичных последовательностей максимальной длины по методу “серий”. Объём выборки составил п=10 000 двоичных случайных чисел.

Вероятность найти хотя бы одну серию из чисел класса “а” или “б” длиной к или больше составляет

п

Р(Я1 14 > 1) = 1 - е 12+ц = 1 - е

10000

13

0,7.

(2)

Из (2) видно, что вероятность получения серий максимальной длины вполне согласуется с опытными данными.

Найдём нижний предел общего числа серий при Рдов = 0.95:

^ (Я) = 1(п +1 -1,65л/п -1) = 4918.

Следовательно, общее число обоих классов при выборке п=10 000 должно быть Я < 4918, что также согласуется с экспериментальными данными.

Т аблица 2

Длина серии 1 Фактическое число серий Ожидаемое число серий

Г1І Г2і Гі Мгіі=Мг2і мя1к МЯк

1 1 264,9 1 243,9 2 508,8 1 250 2 500 5 000

2 640,4 628,2 1 268,6 625 1250 2 500

3 310,9 312 622,9 312,5 625 1 250

4 160,4 159,2 319,6 156,25 312,5 625

5 80,6 75,2 155,8 78 156,25 312,5

6 38,9 34,8 73,7 39 78 156,25

7 21,6 17,7 39,3 19,5 39 78

8 12,5 8,9 21,4 9,75 19,5 39

9 7,2 5 12,2 4,87 9,75 19,5

10 2,1 2,4 4,5 2,435 4,87 9,75

11 1,6 1,4 3 1,217 2,435 4,87

12 0,6 0,7 1,3 0,685 1,217 2,435

Экспериментальный нижний предел общего количества серий в 10-ти испытаниях составил 5 033,1 Теоретический нижний предел общего количества серий при Рдов=0,95 составил 4 918

Рассматривая исходную равномерно распределённую числовую последовательность как реализацию стационарного некоррелированного случайного процесса Хп , Ы=1,2...,п, можно сравнить теоретическую и эмпирическую автокорреляционные функции [2]. При этом значения эмпирической автокорреляционной функции

N-1 1 / N-1 \2

В(Т):

N

1 N-1 1

Т I X,- Х„-

1 ,=0

N (N -1)

=0

, X = 0,1,...т„

Б(т) =

—,т = 0, 12

0,т Ф 0

так, что с вероятностью Р выполняется неравенство

Б(т) - Б(т)

С

12д/N -1

(3)

должны быть близкими к значениям теоретической корреляционной функции

(4)

(5)

где С = 1 для Т > 1, С = 42 для Т = 0.

Соотношение (3) справедливо для случая, когда Х1 - равномерно распределённая в интервале от 0 до 1 случайная последовательность. В(0) = — - значе-

ние автокорреляционной функции в момент времени Т = 0 , определяет значение дисперсии сигнала Х1.

Экспериментальной проверке подвергалась выборка чисел, сформированных датчиком, реализованным по схеме сдвигового регистра с объёмом п=10 000 элементов. Полученная автокорреляционная функция представлена на рис. 2.

Для доверительной вероятности Рд=0,99, 1р=2,58 [2] значения модуля разности теоретической и эмпирической корреляционных функций в соответствующие моменты времени 1 представлены в табл. 3.

Таблица 3

X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Б(т) - Б(т) 1,2801е- 006 0,0006 0,0008 0,0004 0,0006 0,002 0,0003 0,0008 0,0002 0,0002

ґ с р 12 -у/ N -1 0,003 0,0022 0,0022 0,0022 0,0022 0,0022 0,0022 0,0022 0,0022 0,0022

Рис. 2. Автокорреляционная функция процесса на выходе генератора

Анализ табл. 3 показывает, что неравенство (5) для исследуемой выборки выполняется. Следовательно, можно утверждать, что последовательность Х№ Ы=1,2...,10 000 является некоррелированной. Таким образом, сформированная последовательность оказывается вполне пригодной для статистического моделирования линейных систем с постоянными параметрами.

Для проверки распределения последовательности случайных чисел использо-

2

вались критерий равномерности С (критерий Пирсона) и критерий Колмогорова [3]. Критерий Пирсона основан на статистике

с2=х , (6)

І=1

пр,

где У1 - количество чисел, попавших в і-й интервал гистограммы распределения; - математическое ожидание количества чисел, попавших в І-й интервал. Рас-2

пределение С дает возможность оценить расхождение между гипотетическим распределением и статистическим. Если вероятность р очень мала (не превосходит

выбранного уровня значимости а, такого, что событие с вероятностью а считается уже практически невозможным), это значит, что опытные данные противоречат выбранной гипотезе Н, состоящей в том, что случайная величина X имеет гипотетическое распределение: эту гипотезу надо отбросить.

В качестве меры расхождения между теоретическим и статистическим распределениями А.Н. Колмогоров рассматривает максимальное значение модуля разности между статистической функцией распределения Г (х) и соответствующей теоретической функцией распределения [2, 3]:

Б = тах(Г* - Г(х) ).

Основанием для выбора в качестве меры расхождения величины Б является простота её вычисления. Вместе с тем она имеет достаточно простой закон распределения. Т ак, А.Н. Колмогоров доказал, что, какова бы ни была функция распределения Г(х) непрерывной случайной величины X, при неограниченном возрастании числа независимых наблюдений п вероятность неравенства

в4п > 1

стремится к пределу

Р(1) = 1 -X (-1)к . е-“21\ (7)

к=-¥

Проверке подвергалось четыре выборки по 4096 чисел в каждой, область распределения случайных чисел при этом разбивалась на десять равных интервалов. Количество чисел, попавших в каждый интервал, приведены в табл. 4.

Таблица 4

№ п/п интервалов 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1-я выборка 423 412 400 419 399 398 394 407 417 426

2-я выборка 417 427 406 414 394 405 392 419 405 416

3-я выборка 419 421 401 423 393 413 401 410 400 414

4-я выборка 411 420 402 418 398 413 399 426 391 417

2

Используя выражение (6), подсчитаем значение С для каждой выборки:

С2 = 2,8974; с2 = 2,7277; С = 2,3065; С = 2,8486.

Так как параметры распределения известны, то число степеней свободы р определяется как

р = I - 4 = 10 - 4 = 6.

2

По значениям С и р = 6 с помощью табл. 3 прил. [2] определяем вероятно-

2

сти Р того, что величины Ср с Р степенями свободы превзойдут данные значе-

2

ния С . Значения этих вероятностей для всех четырёх выборок будут приблизительно равны Р = 0,8. Проверка по критерию согласия Колмогорова даёт схожие

результаты, что говорит о том, что выдвинутая гипотеза равномерности распределения чисел в выборках не противоречит выдвинутой гипотезе.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Корн Г. Электронные аналоговые и аналого-цифровые вычислительные машины. - М.: Мир. 1967.

2. Галустов Г. Г. Моделирование случайных процессов и оценивание их статистических характеристик. - М.: Радио и связь, 1999. - 119 с.

3. ВентцельЕ.С. Теория вероятностей: Учеб для вузов. 7-е изд. - М.: Высш. шк., 2002. - 575 с.

УДК 681.3х5.001.63:518.5

Д.В. Мирвода

МЕТОД ДИАГНОСТИКИ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ В РАБОЧЕМ

СОСТОЯНИИ

Особый интерес при исследовании параметров линейной системы представляет ее импульсная функция. Функцию Ь(Х) можно использовать для непосредственного определения амплитудной характеристики, затухания и критических частот. Методами анализа Фурье с ее помощью получают частотные характеристики.

Все чаще получают импульсную функцию по реакции у(1;) системы на стационарный широкополосный шум х(1) Корреляционная связь между входным и выходным сигналами определяется при помощи известного соотношения Винера-Ли:

Я,7 (т) = ]н(т-1)К„ ДОА. (1)

Принимая х(1;) за «белый» шум, можно заменить автокорреляционную функцию шума Яхх(^) в данном выражении импульсной функцией а5(Х) - автокорреляционной функцией идеального «белого» шума:

Яху (т) = |й(т -1) а- 8(1)<1 = а ■ И(т). (2)

В этом случае взаимная корреляционная функция дает выражение для оценки импульсной функции Ь(Х). Наиболее эффективным оказывается данный метод при моделировании и анализе статистических по своей природе процессов.

Метод статистического моделирования имеет ряд существенных достоинств, к которым следует отнести приспособленность метода к решению многомерных задач, высокую помехоустойчивость к случайным сбоям машины и потребность в относительно небольшом объеме памяти для промежуточных результатов.

Для построения реального устройства диагностики необходимо проводить достаточно объемную работу по накоплению априорных статистических данных, характеризующих исследуемую линейную систему, а также классифицировать ее возможные состояния в рабочем режиме, определяя их как классы. От качества и количества проведенных испытаний зависит достоверность распознавания образов и, следовательно, в целом качество диагностики линейной системы в рабочем состоянии.

БИБИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Корн Г. Электронные аналоговые и аналого-цифровые вычислительные машины. - М.: Мир, 1967.