УДК 622.625.28
КОНТАКТНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МАССИВНОЙ ВЫСОКОЭЛАСТИЧНОЙ ШИНЫ С ДОРОЖНЫМ ПОКРЫТИЕМ
А.А. Сердюк, профессор, д.т.н., А.А. Савченко, доцент, к.т.н., И.А. Царенок, ст. лаборант, Национальный горный университет
Аннотация. Разработана математическая модель расчета контактного взаимодействия массивной высокоэластичной шины с основанием при учете проскальзывания и уводом.
Ключевые слова: высокоэластичная шина, коэффициенты жесткости пружин, качение, проскальзывание, увод, площадка контакта.
Введение
Массивные высокоэластичные (МВЭ) шины только в настоящее время начали получать достаточно широкое распространение. Этому способствовала настоятельная необходимость в оснащении машины шинами, способными продолжать перемещение при неизменных нагрузочных, демпфирующих и скоростных свойствах, независимо от приобретенных повреждений. Но при этом свойства безаварийных шин должны не уступать пневматическим прототипам в приложении к конкретным условиям эксплуатации [1].
Массивные высокоэластичные шины состоят из посадочной, демпфирующей и протекторной функциональных частей, обеспечивающих получение больших значений касательных составляющих сил на площадке контакта, которые определяют повышение силы тяги и торможения.
Для выбора параметров функциональных частей необходимо точное описание напряженно-деформированного состояния области протектора, примыкающей к площадке контакта. Из решения этой задачи может быть получена, в частности, зависимость удельного давления от длины площадки контакта жесткостных характеристик резинового слоя функциональных частей МВЭ шин. В работе [2] изучен вопрос взаимодействия футерованного колеса в плоской постановке в режиме чистого качения.
Математическая модель
В данной работе ставится целью рассчитать качение с проскальзыванием и уводом массивной высокоэластичной шины.
Задача решается при следующих представлениях: массивная функциональная часть заменяется эквивалентной моделью, состоящей из сосредоточенных масс
т. = т N- М_1 К-
(I = 1 , N; } = 1 , М; к = 1 , К),
соединенных безмассными пружинами, имитирующими объемную сплошную среду (рис. 1).
Соответствующие коэффициенты жесткости пружин определяются по формулам
С= 2п М~1Е Я. Ь; г, = е ь n(я -щ-,); (1)
Сг ф, = 0,5 М-1 п ОЩ Ь;
СЯ = 0,5 К Ь п О Zk,
где Е, О, Я., N М, К, Ь - модули упругости первого и второго рода; текущий радиус функциональной части; число звеньев модели в радиальном, окружном и поперечном направлении; ширина пятна контакта.
Коэффициенты жесткости Сг. находят из условия приложения гидростатического давления к слою массы функциональной части без жесткого центра; Сф. - из гидростатического сжатия на жестком центре; Сгф. - из закручивания слоя на жестком центре; CZ К Я - из поперечного смещения слоя на жестком центре.
Рис. 1. Модель сплошной среды шины
Для численного решения задачи о напряженно-деформированном состоянии необходимо получить систему дифференциальных уравнений движения модели и проинтегрировать ее численно. Уравнения движения рассматриваемой системы (рис. 1), число степеней свободы которой равно 2NMK, получим методом Лагранжа, для чего запишем выражения
- кинетической энергии:
N М К
т = 0,5N-М-К-1шсТТТ(( + У2j + ¿2;); (2)
- потенциальной энергии системы:
N M K . (( t - Дг° )
П = 0,252ZZ{Cr,-V j '
( so)
+сф
+С
где
(( и-Д Ф°.) +
(дФ0 eo )2
( -Д Ф° )4 + C ((-Д) )4
Ij , \ 2 + CZRR . .2
((oS0 ) (Д^^8„ )
(3)
=
Дг°, =
ДФ,. =
(( - Xj-ik )2 + (( - yij-ik )2
(o o \2 . / o o \2
- -ik) +( - y,j-ik)
(j - X-ijk )2 +(- y,-ijk )2
У2
/2
^ = Г(( -xhjk)2 +( -yhjk)2
У2
Д гФи =
Д гф°. =
(( - -i j-ik )2 +(- yt-i j-ik )2
(o o \2 . / o o \2
xij - X-i j-ik) +( - y,- i j-ik)
У2
У
Hz. . =
=
(y,j - yt-i j-ik)+(( - z, - i j-ik)
(o o \2 . / o o \2
y<j - y, -ij-ik) + (( - z,-i j -ik)
>2.
где - xijk > yijk, zijk, xijk, yijk, zijk - текущие и
начальные координаты масс соответственно; е0 -
характеристика нелинейности материала слоя, которая связана с напряжением законом
8= E x(s/s0 )3 [3].
Подставим соотношения (2), (3) в уравнение Лагранжа II рода
NMK
+Cr
X,jk + Cr
(x, jk xi j -1 k )
Дг
, jk
дгф, jk - rфo¡jk ^ ( Дг Фо*6o
- i j -ik )
Дгф,
jk
+сф
+cz
ДФ;й -ДФ°,* I3 ( - x
, jk_
Дф j 6
vi jk
i jk )
Дф,
+ (4)
jk
-Kjk
(yijk - y, - i j -ik).
Дг,
jk
x , jk :
(xijk- x -1 jk )/аф jk = Q
x ^ y ^ z
i= 1m; j = ; k = \K.
Решение системы (4) выполним при следующих граничных начальных условиях:
Q xyijk = М Q ziMk sign x iMk
X ^ У
где м - коэффициент трения резина - покрытие дороги;
Xijk = Ricos (2niM -); ytjk = R sin(2nM-1); i = ; j = ; k = .
m
c
Граничные условия выбраны на основании анализа реальной картины взаимодействия массивной высокоэластичной шины с прямолинейным абсолютно жестким полотном дороги при наличии трения по закону Кулона.
Интегрирование системы уравнений движения (4) проведено модифицированным методом Эйлера, имеющим второй порядок аппроксимации.
Метод приводит к следующим рекуррентным формулам:
х+ V2) _ ■ (я -12) + х(ЩД..
_ ^) + х(
X ^ У ^ 2
где Д( - номер и величина шага по времени.
R2= 0,675; е = 0,7; b = 0,445 м; д = 0,8.
Эти параметры соответствуют МВЭ шине модели ELKO-362.
L,lmm
Рис. 2. Зависимость длины площадки контакта 1 от нагрузки на колесо Р: кривая 1 - для МВЭ колеса с резиной модулем упругости Е = 2 мН/м2; кривая 2 - для колеса с резиной модулем упругости Е = 6 мН/м2
На рис. 3 представлена зависимость сдвиговой деформации угг в окружном сечении при
Rj =
R + R
——2—M при повороте 10°.
Величина шага по времени выбрана из условий устойчивости по Куранту [4]
At < min (Ar, Дгф,, Дф,, Azr/ / с,
где с - скорость звука в резине.
Численное решение задачи выполнено на ЭВМ при следующих параметрах МВЭ шины и дороги:
Рис. 3. Деформация шины при повороте 1 - для колеса с резиной модулем упругости Е = 2 мН/м2; 2 - для колеса с резиной модулем упругости Е = 6 мН/м2
Заключение
Результаты проведенных расчетов представленные на рис. 2, 3. Кривые 1, 2 указывают на зависимость пятна контакта от исполнения МВЭ шины. Пятно контакта определяет коэффициент сопротивления качения, который находится в зависимости с технико-экономическими показателями машины.
Литература
1. Безаварийные шины подъемно-транспортных
машин / В.А. Тютин, В.В. Вербас, А.П. Науменко, А.Г. Смирнов. - Днепропетровск: - УкО ИМА пресс, 2000. - 182 с.
2. Сердюк А.А. Взаимодействие футерованного
колеса шахтного локомотива с рельсом // Горный журнал. - 1991. - №9. - С. 80-83.
3. Потураев В. Н. Резиновые и резинометалличе-
ские детали машин. - М.: Машиностроение, 1966. - 300 с.
4. Уилкинс В. Вычислительные методы в гидро-
динамике. - М., 1967. - 384 с.
Рецензент: С.Е. Блохин, профессор, д.т.н., НГУ.
М = 700; N = 8; K = 10; R1= 0,33 м;
Статья поступила в редакцию 14 января 2005 г.