CC BY
1
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION NATURAL SCIENCE. 2024. No. 3
Научная статья УДК 539.3
doi: 10.18522/1026-2237-2024-3-34-38
КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ТРАНСВЕРСАЛЬНО ИЗОТРОПНОГО
СЛОЯ С ТРЕНИЕМ
Дмитрий Александрович Пожарскийш, Никита Борисович Золотое2
12 Донской государственный технический университет, Ростов-на-Дону, Россия
1 pozharda@rambler. ru в
Аннотация. Изучается пространственная контактная задача о несимметричном взаимодействии двух штампов на трансверсально изотропном слое при учете сил трения в неизвестной области контакта. Плоскости изотропии параллельны граням слоя. Силы трения учитываются в направлении одной из координатных осей. Нижняя грань слоя подчинена условиям скользящей заделки. Материал слоя характеризуется пятью независимыми упругими параметрами. При помощи двойного интегрального преобразования Фурье и закона Кулона задача сводится к интегральному уравнению относительно контактного давления. Степень анизотропии определяется тремя безразмерными параметрами, входящими в ядро интегрального уравнения, два из которых удовлетворяют характеристическому уравнению. В частных случаях интегральное уравнение совпадает с известными интегральными уравнениями соответствующих контактных задач с трением для изотропного слоя и полупространства. Для численного решения используется метод Б.А. Галанова. Рассматривается система интегрального уравнения и интегрального неравенства. Задается прямоугольник, априори содержащий неизвестную область контакта. Путем введения специальных нелинейных операторов система сводится к одному нелинейному интегральному уравнению типа Гаммерштейна, которое решается методом последовательных приближений. Область контакта определяется узлами, в которых искомая функция положительна. Штампы берутся в форме несимметричных эллиптических параболоидов. Метод позволяет исследовать перколяцию, т.е. процесс слияния дискретных областей контакта при увеличении приложенных сил и осадок штампов. Расчеты сделаны для разных коэффициентов трения, материалов и относительных толщин трансверсально изотропного слоя.
Ключевые слова: теория упругости, трансверсально изотропный слой, контактные задачи, трение
Для цитирования: Пожарский Д.А., Золотов Н.Б. Контактная задача для трансверсально изотропного слоя с трением // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2024. № 3. С. 34-38.
Благодарности: исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 24-2100014, https://rscf.ru/project/24-21-00014/.
Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0).
Original article
CONTACT PROBLEM FOR A TRANSVERSALLY ISOTROPIC LAYER WITH FRICTION
Dmitry A. Pozharskiim, Nikita B. Zolotov2
12 Don State Technical University, Rostov-on-Don, Russia
1 pozharda@rambler. ru M
© Пожарский Д.А., Золотов Н.Б., 2024
ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ._2024. № 3
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2024. No. 3
Abstract. It is investigated the spatial contact problem of asymmetric interaction of two punches on a trans-versally isotropic layer with friction forces taken into account in an unknown contact domain. The planes of isot-ropy are parallel to the layer faces. The friction forces are taken into account along one coordinate axis. The lower layer face is subjected to sliding support. The layer material is characterized by five independent elastic parameters. The problem is reduced to an integral equation with respect to the contact pressure with the help of a double Fourier transformation together with the Coulomb law. The anisotropy degree is characterized be three dimensionless parameters arising in the kernel of the integral equation, two of which satisfy characteristic equation. In particular cases, the integral equation coincides with those well-known for the corresponding contact problems with friction for the isotropic layer and half-space. The B.A. Galanov method is used for numerical solutions. A system of the integral equation and integral inequality is considered. A rectangle is taken which a priori contains the unknown contact domain. By introducing special nonlinear operators, the system is reduced to only one nonlinear equation of the Hammerstein type which can be solved by the successive approximations method. The contact domain is determined by nodes at which the function required is positive. The punches are taken in the form of asymmetric elliptic paraboloids. The method allows us to investigate percolation, i.e. the process of junction of the discrete contact domains due to increasing the forces applied and settlements of the punches. Calculations are made for different friction coefficients, materials and relative thicknesses of the trans-versally isotropic layer.
Keywords: elasticity theory, transversally isotropic layer, contact problems, friction
For citation: Pozharskii D.A., Zolotov N.B. Contact Problem for a Transversally Isotropic Layer with Friction. Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Natural Science. 2024;(3):34-38. (In Russ.).
Acknowledgments: the research was supported by the Russian Science Foundation grant No. 24-21-00014, https://rscf.ru/project/24-21-00014/.
This is an open access article distributed under the terms of Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC-BY4.0).
Введение
Многие современные материалы, играющие важную роль на практике, характеризуются трансверсальной изотропией [1]. При помощи разных методов изучались контактные задачи для трансверсально изотропного слоя без учета сил трения [2, 3], в том числе периодические контактные задачи [4]. Рассматривались контактные задачи, в которых плоскости изотропии перпендикулярны границе трансверсально изотропного полупространства [5] или слоя [3, 4]. В случае изотропного материала слоя исследованы контактные задачи как без учета [6, 7], так и с учетом сил трения [8]. Был предложен метод решения интегрального уравнения контактной задачи с трением для изотропного упругого полупространства [9]. При неизвестных областях контакта хорошо зарекомендовал себя численный метод, предложенный Б.А. Галановым [10]. В предлагаемой работе получено интегральное уравнение контактной задачи для транстропно-го слоя с трением и применен численный метод в случае несимметричного контакта с двумя штампами.
Постановка задачи и интегральное уравнение
Рассмотрим трансверсально изотропный упругий слой {|х|«х>, [у|«х>, 0<г<й}, грань которого взаимодействует с двумя жесткими штампами в области контакта О. Грань 2=0 лежит без трения на недеформируемом основании (скользящая заделка). Плоскости изотропии параллельны граням слоя. Закон Гука включает пять независимых упругих параметров [5]. Под действием нормальных сил Р\ и Рг штампы внедряются без перекоса, испытывая осадки 61 и 62. Также к штампам приложены одинаково направленные вдоль оси х касательные силы Т1=цР1 и Тг=цРг, под действием которых штампы начинают движение с учетом трения Кулона с коэф-
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION NATURAL SCIENCE. 2024. No. 3
фициентом трения ц. Задача рассматривается в квазистационарной постановке. Пусть основания штампов имеют форму эллиптических параболоидов:
г(х у) = \х2 /(2*11) + (У -1 )2 /(2*12), У > 0, ' I*2/(2*21) + (У +1)2/(2*22), У < 0, где 21 - расстояние между точками начального касания на оси у.
При заданных параметрах упругости Атп, известных величинах к, ц, 81 и 82, функции Дху) требуется определить область контакта О и контактное давление а2(х,у,0)=^(х,у), (ху)еО. Затем при использовании интегральных условий равновесия штампов могут быть найдены силы Р1 и Р2.
Допустим, что двухсвязная или односвязная область контакта априори содержится в прямоугольнике 5":{|х|<а, У|<Ь}, а<Ь. Для простоты далее положим 81=82=8. При помощи двойного интегрального преобразования Фурье и закона Кулона сведем контактную задачу к интегральному уравнению относительно q(x.y), которое после выделения главных членов и введения безразмерных обозначений (п=1, 2):
х ^-У /._ 1 ,.l4_q(x,y) q= A11A33- A123
b b b b b b 2nd An(ri + Y2)
f '(x', /) = f (xy), An = , Bn = —, Pn' = —-Ц-, S'^ S, Q'^Q, J b ' n 2RM' n 2Rn2 n 2n£b2
можно записать в виде (штрихи далее опускаем, (x.y)eQ)
Il q(4, П)K(x y - n)à^dn = 8- f (x, y), (1)
Q
1 X
K ( x, y) = - цсс —-2 + Kl ( x, y) - ^K 2 ( x, y),
4x 2 + y 2 x 2 + y 2
x, y) = -Ши ) - 1]Л
A 0
1 vx^2'
u-'x +y
A
V
du, (2)
x
K2( x, y) = TT^-ïï Я L2(u) -aJ
A(x2+y2)0
Vxw ^
u —-
A
du, (3)
V«) =--, а = У 0 2 ,
У^Л^ / У1> у2сШ(и / у2) У1 + у2
ь («) = (Уо + А^М»/п) - (Го + Г12)Г2с1Ь(и /Г2) (Г1 + Г2 Х^С^Ы / /1) - Х2СЛ(н / /2)) '
Здесь Л(м) - цилиндрические функции; уо=А1з/Ап; уп (п=1, 2; Яеу1>Яеу2>0) - корни характеристического уравнения [1, 2, 5]
/А11А44 - г2[АпА33 - А1з(А1з + 2А44)] + А33А44 = 0.
Параметр X характеризует относительную толщину транстропного слоя. Подынтегральные функции в ядрах (2) и (3) экспоненциально убывают на бесконечности.
Для перехода к изотропному случаю следует выполнить предельные переходы (V - коэффи-
V
циент Пуассона) у0 ^-, уп ^ 1, п = 1, 2 .
1 -V
В этом случае интегральное уравнение (1) переходит в известное уравнение для изотропного слоя [8], а при дополнительном пределе Х^<х> уравнение (1) в точности совпадает с известным уравнением контактной задачи с трением для изотропного полупространства [9].
ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ._2024. № 3
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2024. No. 3
Численное решение
Для решения контактной задачи используем метод Б.А. Галанова [10], позволяющий одновременно определить область контакта и контактные давления. Объединим интегральное уравнение (1) с условием положительности контактного давления в Q, а также с интегральным неравенством отсутствия контакта и равенством давления нулю в дополнительной области S\Q. Введем специальные нелинейные операторы, которые автоматически удовлетворяют интегральному неравенству [10]. Сведем систему интегрального уравнения и неравенства к одному нелинейному интегральному уравнению типа Гаммерштейна в прямоугольной ячейке S. Для численного решения нелинейного уравнения применим модифицированный метод Ньютона последовательных приближений. Область контакта Q определяется узлами сетки, покрывающей S, в которых искомая функция положительна.
Для расчетов выберем трансверсально изотропные материалы: гнейс влажный (у0 = 0,4545 ; Y = 1,621 ; y2 = 0,5476) и древесина (ель Дугласа, у0 = 0,05897; ух = 1,621;у2 = 0,3503) [1]. В табл. 1 приведены значения суммарной силы P=P1+P2 в зависимости от осадки ô для случая вдавливания двух несимметричных параболоидов с параметрами ^1=^1=^2=2,5; ^2=4,5; /=0,5 при в=1; ц=0,2 и разных X. Сила растет как с увеличением осадки штампов, так и с уменьшением относительной толщины слоя.
Таблица 1 / Tab/e 1
Значения силы P / Values of the force P
Параметр Значение
ô 0,5 0,7 0,9 0,5 0,7 0,9
Материал Гнейс Древесина
X=1 0,160 0,280 0,421 0,223 0,406 0,635
X=2 0,128 0,218 0,320 0,159 0,278 0,418
При увеличении осадки 5 и уменьшении расстояния 2l между вершинами штампов наблюдается процесс перколяции, т.е. слияния дискретных областей контакта [3, 4]. В табл. 2 даны значения силы и осадки в начале перколяции при Ai=1; Bi=0,5; A2=0,8; $2=0,4; s=1; ц=0,2 и разных X и l. При утончении слоя перколяция наступает при меньших осадках, что связано с заделкой нижней грани слоя.
Таблица 2 / Table 2
Значения силы и осадки при перколяции / Values of the force and settlement for percolation
Параметр Значение
X 1 1 3 3
/ 0,3 0,4 0,3 0,4
Гнейс
ô 0,11 0,20 0,13 0,27
P 0,0293 0,0877 0,0290 0,0950
Древесина
ô 0,078 0,14 0,12 0,23
P 0,0214 0,0716 0,0295 0,0911
Выводы
Выбранный численный метод позволяет исследовать процесс перколяции дискретных областей контакта. Расчеты показывают, что трение приводит к несимметричному распределению контактных давлений вдоль линии своего действия относительно вершин штампов, но слабо влияет на вдавливающие силы и процесс перколяции. Показано, что требуемые для начала пер-коляции осадки штампов и расстояние между их вершинами существенно зависят от материала трансверсально изотропного слоя.
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION NATURAL SCIENCE. 2024. No. 3
Список источников
1. Ding H., Chen W., Zhang L. Elasticity of transversely isotropic materials. Dordrecht: Springer, 2006. 435 p.
2. Fabrikant V.I. Contact and crack problems in linear elasticity. Sharjah: Bentham, 2010. 1030 p.
3. Pozharskii D.A., Zolotov N.B. Contact problems for a transversely isotropic layer // PNRPU Mech. Bull. 2022. № 2. P. 105-113. Doi: 10.15593/perm.mech/2022.2.10.
4. Pozharskii D.A., Zolotov N.B. Periodic contact problems for a transversely isotropic layer // J. Appl. Mech. Tech. Phys. 2022. Vol. 63, № 6. P. 1065-1072. Doi: 10.1134/S0021894422060207.
5. Fabrikant V.I. Non-traditional contact problem for transversely isotropic half-space // Quart. J. Mech. Appl. Math. 2011. Vol. 64, № 2. P. 151-170. Doi: 10.1093/qjmam/hbq029.
6. Ворович И.И., Александров В.М., Бабешко В.А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. М.: Наука, 1974. 456 с.
7. Alexandrov V.M., Pozharskii D.A. Three-dimensional contact problems. Dordrecht: Kluwer, 2001. 406 p.
8. Александров В.М., Чебаков М.И. Аналитические методы в контактных задачах теории упругости. М.: Физматлит, 2004. 304 с.
9. Galin L.A., Goriacheva I.G. Three-dimensional contact problem of a motion of a stamp with friction // J. Appl. Math. Mech. 1982. Vol. 46, № 6. P. 819-824.
10. Galanov B.A. The method of boundary equations of the Hammerstein-type for contact problems of the theory of elasticity when the regions of contact are not known // J. Appl. Math. Mech. 1985. Vol. 49, № 5. P. 634-640.
References
1. Ding H., Chen W., Zhang L. Elasticity of transversely isotropic materials. Dordrecht: Springer Publ.; 2006. 435 p.
2. Fabrikant V.I. Contact and crack problems in linear elasticity. Sharjah: Bentham Publ.; 2010. 1030 p.
3. Pozharskii D.A., Zolotov N.B. Contact problems for a transversely isotropic layer. PNRPU Mech. Bull. 2022;(2):105-113. Doi: 10.15593/perm.mech/2022.2.10.
4. Pozharskii D.A., Zolotov N.B. Periodic contact problems for a transversely isotropic layer. J. Appl. Mech. Tech. Phys. 2022;63(6):1065-1072. Doi: 10.1134/S0021894422060207.
5. Fabrikant V.I. Non-traditional contact problem for transversely isotropic half-space. Quart. J. Mech. Appl. Math. 2011;64(2):151-170. Doi: 10.1093/qjmam/hbq029.
6. Vorovich I.I., Aleksandrov V.M., Babeshko V.A. Non-classical mixed problems of the elasticity theory. Moscow: Nauka Publ.; 1974. 456 p. (In Russ.).
7. Alexandrov V.M., Pozharskii D.A. Three-dimensional contact problems. Dordrecht: Kluwer Publ.; 2001. 406 p.
8. Aleksandrov V.M., Chebakov M.I. Analytical methods in contact problem of the elasticity theory. Moscow: Fizmatlit Publ.; 2004. 304 p. (In Russ.).
9. Galin L.A., Goriacheva I.G. Three-dimensional contact problem of a motion of a stamp with friction. J. Appl. Math. Mech. 1982;46(6):819-824.
10. Galanov B.A. The method of boundary equations of the Hammerstein-type for contact problems of the theory of elasticity when the regions of contact are not known. J. Appl. Math. Mech. 1985;49(5):634-640.
Информация об авторах
Д.А. Пожарский - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой прикладной математики.
Н.Б. Золотое - ассистент, кафедра прикладной математики.
Information about the authors
D.A. Pozharskii - Doctor of Science (Physics and Mathematics), Professor, Head of the Department of Applied Mathematics.
N.B. Zolotov - Assistant, Department of Applied Mathematics.
Статья поступила в редакцию 05.03.2024; одобрена после рецензирования 10.04.2024; принята к публикации 04.07.2024. The article was submitted 05.03.2024; approved after reviewing 10.04.2024; accepted for publication 04.07.2024.
