CC BY
37
метод аппроксимации.
5. Метод аппроксимации удобно использовать в качестве стартового для решения нелинейного уравнения. При достижении области квадратичной сходимости метода Ньютона, можно использовать его для нахождения корня уравнения. При этом трудоемкость расчета будет минимальной.
6. Параметр е1 при монотонной функции w{x), определяемый как
12j w(x) x -
a + b
\dx
показывает среднюю скорость изменения функции на ^^. Этот параметр может использоваться при анализе чувствительности в практических задачах.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Амосов А. А., Дубинский Ю. А., Копченова Н. В. Вычислительные методы для инженеров. М. : Изд-во МЭИ, 2003. 596 с.
2. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). Определения, теоремы, формулы. СПб. : Лань, 2003. 832 с.
(b - a)3
УДК 621.81+539.4.013 537.311.4
Кудрявцев Александр Александрович,
аспирант ИрГТУ, тел. 89641145025
КОНТАКТНАЯ ТЕПЛОПРОВОДИМОСТЬ И МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В ЗАДАЧЕ АНАЛИЗА ТЕПЛОНАПРЯЖЕННОСТИ СБОРНЫХ КОНСТРУКЦИЙ
A.A. Kudryavcev
THE HEAT CONDUCTION AND FINITE ELEMENT METHOD IN PROBLEM OF PREFABRICATED ELEMENTS CONTACT HEAT INTENSION ANALYSIS
b
2
a
ci =
Аннотация. Рассмотрено теплонапряжен-ное состояние деформируемых сборных конструкций. Математическое моделирование проводится на основе трехмерных моделей метода конечных элементов (МКЭ), где представлено два физических типа контактных задач: определения температурного поля в сборной конструкции; и ее расчета на прочность, при внешнем силовом воздействии, включая полученное в первой задаче температурное поле.
Ключевые слова: контакт, теплонапря-женность, температурное поле.
Abstract. The heat intension of prefabricated elements is considered. The mathematical modeling is realized on bases of three-dimensional models of finite element method. There are two physical types of contact problem: the calculation of thermal field for prefabricated elements and the stress calculation in the presence of the involving forces and this thermal field.
Keywords: contact, heat intension, thermal
field.
Физическая сущность явления контактной теплопроводимости сборных конструкций, при их работе в условиях силового и температурного воздействий (теплонапряженности), заключается в том, что при вариации уровня механического контактного давления на сопрягаемых поверхностях деталей и прохождении через них теплового потока наблюдается вариация поля температур. Это физическое явление подтверждается экспериментальными данными, полученными в работе [4] и других. Возникающее при этом дополнительное контактное сопротивление тепловому потоку приводит к повышению градиента температурного поля в области стыка деталей. Последнее обстоятельство влияет на свойства пластичности материала в этом месте, что приводит к изменению (ослаблению) в нем условий контактного механического сопряжения деталей и, соответственно, уменьшению уровня работоспособности сборной
Современные технологии. Механика и машиностроение
ш
конструкции в целом. В особенности актуальным представленное обстоятельство является для вы-соконагруженных тепловых машин, таких как турбины авиационных двигателей [3], двигатели внутреннего сгорания и другие.
Моделирование теплонапряженного состояния сборных конструкций, с получением гарантированного уровня приближения к картине реального процесса, проводится на основе решения двух контактных физических задач. Первой из них является задача контактной теплопроводности, с вычислением в сборной конструкции поля температур. Вторая - контактная задача определения напряженно-деформированного состояния (НДС) сборной конструкции, при полном комплексе внешнего силового и температурного воздействия.
Для монолитного аналога сборной конструкции решение этих двух физических задач может быть проведено раздельно, с использованием представленной выше последовательности. Однако подавляющее большинство энергоемких тепловых машин являются конструкциями сборными, где на сопрягаемых поверхностях используется различный уровень посадок или условий сопряжения. Более того, в процессе работы конструкции эти условия сопряжения изменяются. Главным фактором для решения контактной температурной задачи в этом случае является уровень контактного давления на сопрягаемых поверхностях [3].
Таким образом, решение температурной и силовой контактных задач должно проводиться с применением алгоритма взаимозависимости, что является необходимым условием для получения достоверной картины теплонапряженного состояния сборной конструкции.
В аналитическом решении задачи контактной теплопроводности известен подход, определяемый граничными условиями четвертого рода [6], которые сводятся к одновременному заданию равенства температур и тепловых потоков на границе раздела и определяются, соответственно, выражениями вида
т\ = Т T1 т 2
гр '
дп
дТ
гр
дп
(1)
(2)
гр
В этом случае решение контактной задачи теплопроводности сводится к следующему:
1) контактирующие тела приводятся к одному телу, состоящему из нескольких материалов с разными теплофизическими свойствами, с одной обобщенной областью и одной обобщенной границей;
2) в обобщенной области и на обобщенной границе разномодульного тела прикладывается тепловая нагрузка, отвечающая граничным условиям I, II и III родов;
3) находится решение задачи теплопроводности, при этом на границе раздела материалов, в случае необходимости, т. е. при неидеальном тепловом контакте, учитываются скачки температур, вводимые в условие (1).
Данный подход позволяет учитывать изменение температурного поля на границе двух тел, однако обстоятельство подбора коэффициентов проводимости стыка, осуществляемое относительно условий на обобщенной границе тел, ограничивает его использование.
Дальнейшее развитие представленного подхода стало возможным с применением численных методов и в особенности метода конечных элементов (МКЭ). Решение задачи в этом случае можно условно разделить на два типа.
Первый из них, названный в работе [1] «толщинным», основан на использовании свойств теплопроводности металло-воздушного слоя [2, 5], расположенного между поверхностями стыка деталей. КЭ-модель слоя построена посредством конечных элементов, подобных используемым для моделирования самих тел, но с измененными в них свойствами проводимости теплового потока. Данный подход вполне жизнеспособен, однако его применение в моделировании реальных конструкций сборных роторов сопряжено с рядом трудностей, обусловленных, главным образом, сложным характером деформирования рассматриваемого объекта, в особенности когда зона контакта изменяется в процессе нагружения конструкции или заранее неизвестна [3].
Второй тип моделирования условий контактной теплопроводности, условно названный «бестолщинным» [1, 3], связан с использованием для свойств проводимости стыка деталей некоторой полуэмпирической функции теплопроводности, включающей ее зависимость от контактного давления между контактными поверхностями [1] и, соответственно, между узловыми значениями КЭ-сетки контактирующих поверхностей.
Он основан на раздельном рассмотрении контактирующих тел, но в нем также используются выражения (1) и (2) - как граничные условия, характеризующие контактную тепловую нагрузку. Подход реализуется итерационной процедурой, основанной на последовательном решении обычных задач теплопроводности и последовательном удовлетворении тепловым контактным условиям. При этом на каждой последующей итерации на поверхности контакта тела нагружаются усред-
ненными значениями температур и тепловых потоков. Итерационная процедура продолжается до тех пор, пока на поверхности контакта не будут удовлетворены оба тепловых контактных условия -равенства температур и равенства тепловых потоков. Такой подход очень удобно реализовывать на основе метода конечных элементов (МКЭ). При этом глобальная система алгебраических уравнений для тел A и B выглядит следующим образом [1]: 'А 1 А 1 Г ЬгА }
■ + <
К] 0 ]1>А}]+{{/?
0 К 11т»} }
= 0
т} содержит слагаемое наличием контактной
(3)
[Ртк }, обу-
т
тепловой
где вектор словленное нагрузки.
В данной работе предлагается объединить оба представленных подхода, реализуемых на основе МКЭ, а также ввести дополнительное усовершенствование путем привлечения штрафных функций [3] для узлов, относящихся к телам A и B и находящихся на поверхностях контакта напротив друг друга. Пары этих узлов образуют контактный термический элемент (КТЭ). Данный прием привносит в методику расчета два дополнительных преимущества:
1) отпадает необходимость вычисления усредненных значений температур, вместо этого достаточно использовать лишь разность температур между контактирующими поверхностями;
2) путем применения разности температур появляется возможность учета величины термического сопротивления контакта Як исходя из соотношения
АТ = д Як, 2 (4)
где д - плотность теплового потока, Вт/м .
После введения штрафных функций общий вид схемы соединения элементов в глобальной матрице теплопроводимости [Кт] и глобального вектор-столбца теплового потока {0} имеет следующий вид:
[Кт ] =
+ К
— К„
— К„,
+К
± 2 + 2
(5)
[КТ ]
где \КТ ] - штрафные функции КТЭ, \< | - вектор
теплового потока КТЭ. Значения [<~] определяются по формуле
2 = Кт-дт. (6)
Энергетически члены выражений (5), модифицирующие одновременно матрицу [Кт] и вектор-столбец {0}, ничего в глобальную систему уравнений не привносят в силу применения знаков «+» и «-». Поэтому их допустимо определить как узловые штрафные величины (функции) теплового состояния рассматриваемой термической системы сборной конструкции. Определению оптимальных значений штрафных функций посвящено отдельное исследование. Цель использования этих функций - получение решения для задачи контактной теплопроводности в нагретых деформируемых телах сборной конструкции с учетом изменяющихся под воздействием работы внешних сил условий контактного теплообмена.
Расчет проводится с использованием итерационной процедуры. При этом на первой итерации в качестве разности температур АТ принимается значение, близкое слева к величине температурного диапазона взаимодействующих тел. Этот температурный диапазон обязательно должен быть частью исходных данных при постановке контактной задачи теплопроводности. Такое значение разности температур соответствует некоторому относительно большому значению контактного термического сопротивления, при котором теплообмен между телами очень мал. В реальных сборных конструкциях теплообмен происходит даже между деталями, поставленными с зазором относительно друг друга, благодаря хотя бы воздушной прослойке. Использование значения АТ, равного температурному диапазону, будет соответствовать абсолютному отсутствию теплообмена между телами, что является некорректной математической формулировкой физики процесса. С количественной точки зрения вопрос о задании начального значения АТ не является принципиальным, поскольку не влияет на конечный результат итерационных вычислений. Таким образом, начальное значение АТ можно рекомендовать принимать как 0,99 % от заданного температурного диапазона.
Результатом первой итерации имеем некоторое поле температур, или, с точки зрения МКЭ, - вектор-столбец {Т}. Данный вектор-столбец, при известных значениях коэффициентов теплопроводности тел, позволяет найти величину плотности теплового потока, нормального к поверхности контакта
Современные технологии. Механика и машиностроение
ш
ч =
л\г1 - г])
(7)
при изменении напряженно-деформированного состояния системы.
где X - теплопроводность одного из тел, Вт/м•K;
Т7, Ту - температуры в узлах 7 и у, принадлежащих одному из тел, °С;
- расстояние между узлами 7 и у, м.
В качестве узлов 7 и у целесообразно выбирать узлы вблизи поверхности контакта. Это объясняется снижением погрешности в определении теплового потока, проходящего через поверхность контакта. Следует также отметить, что для того, чтобы находимая плотность относилась к потоку, нормальному к поверхности контакта, необходимо, чтобы вектор ¡^ был также направлен по нормали к этой поверхности, что достигается определенным размещением узлов вдоль поверхности контакта. При построении КЭ-сетки такое условие нетрудно выполнить, учитывая также необходимость построения эквидистантных сеток.
На каждой итерации перед тепловым расчетом проводится силовой расчет, результатом которого имеем поля перемещений и напряжений, в том числе поле давлений по поверхности контакта. Основываясь на экспериментальных кривых зависимости термического сопротивления от давления [3] и аппроксимируя эти кривые билинейной функцией [2], изображенной на рис. 1, находим значение термического сопротивления контакта. Подставляя плотность теплового потока и термическое сопротивление контакта в (4), находим ДТ, после чего расчет переходит на вторую итерацию. Вычисления проводятся до тех пор, пока разность между значениями ДТ (или д) на текущей и предыдущей итерациях не станет меньше сколь угодно малой заданной величины.
Использование представленного подхода с применением билинейной аппроксимации [3] экспериментальных кривых зависимости термического сопротивления от давления привносит в методику преимущество, заключающееся в простоте вычисления термического сопротивления контакта
Овласть "активного" теп/юовмена
Рис. 1. Билинейная аппроксимация кривых зависимости термического сопротивления от давления
В качестве тестового примера рассматривается теплонапряженный контакт двух стержней постоянного сечения, представленных на рис. 2.
Граничные условия задачи приведены на этом же рисунке. Грань 9-10-11-12 одного из конечных элементов аппроксимации тела и грань 13-14-1516 конечного элемента другого тела образуют стык. Термосопротивление этого стыка меняется в зависимости от давления на представленных гранях тел. Это контактное давление, в свою очередь, является следствием внешней силовой нагрузки. В рассматриваемом примере для большей наглядности нагрузка задается в виде равных сил, сосредоточенных в узлах 17, 18, 19, 20. Следует отметить, что внешней нагрузкой также могут быть силы инерции или силы теплового расширения, однако вид внешней нагрузки не влияет на принцип вычислений.
В исходном, не нагруженном внешней нагрузкой, состоянии стержни стыкуются с зазором 0,5 мм. При некоторой малой нагрузке Б = 1 Н, что соответствует зазору между стержнями Д ~ 0,5 мм, термическое сопротивление контакта является бесконечно большим (теплообменом излучением и конвективным теплообменом в пространстве зазора пренебрегаем). Поле температур пред-
Рис. 2. Расчетная схема задачи о теплонапряженном контакте двух сплошных стержней
80
76.26 72.5 68.75
Рис. 3. Поле температур при контакте стержней с зазором, °С
ставлено на рис. 3. Перепад температур в области стыка составляет 76 °С.
Далее нагрузка была увеличена до значения Б = 97543 Н, что привело к изменению условий сопряжения с «зазора» на «натяг» величиной 4,7-10-6 мм с давлением р ~ 50 кПа. Такое сопряжение допустимо назвать касанием, оно соответствует пассивному теплообмену [5], согласно экспериментальным кривым зависимости термического сопротивления от давления [4]. Полученное поле температур представлено на рис. 4. В области контакта стержней оно изменяется весьма плавно - с перепадом температур 0,25 °С. Это можно объяснить тем, что эксперименты при получении используемых в данной работе кривых зависимости термического сопротивления от давления проводились в воздушной среде, что привело к относи-
тельно небольшим значениям термического сопротивления при касании по сравнению с задачей, где стержни сопрягаются с зазором и конвективный теплообмен в пространстве зазора не учитывается.
Затем нагрузка была увеличена до значения Б = 100000 Н, что соответствует величине натяга Д = 0,01 мм и давлению р ~ 112,4 МПа, т.е. характер теплообмена можно считать активным. Поле температур представлено на рис. 5. Здесь перепад температур в контакте составляет 0,08 °С.
Представленные выше результаты показаны на простейшей модели МКЭ. Это позволило провести подобные расчеты с использованием других представленных выше подходов и получит с ними полное согласование.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Блох М. В., Оробинсткий А. В. К решению контактной задачи теплопроводности методом конечных элементов // Проблемы прочности. 1985. № 6. С. 7782.
2. Гнучий Ю. Б. К решению контактных задач теории теплопроводности // Проблемы прочности. 1983. № 1. С. 104-107.
3. Пыхалов А. А., Милов А. Е. Контактная задача статического и динамического анализа сборных рото-
ров турбомашин : моногр. Иркутск : ИрГТУ, 2007. 192 с.
4. Шлыков Ю. П., Ганин Е. А., Царевский С. Н. Контактное термическое сопротивление. М. : Энергия. 1977. 328 с.
5. Чайнов Н. Д., Заренбин В. Г., Иващенко Н. А. Тепломеханическая напряженность деталей двигателей. М. : Машиностроение. 1977. 154 с.
6. Юдаев Б. Н. Теплопередача : учеб. для вузов. 2-е изд., пепераб. и доп. М. : Высш. шк., 1981. 319 с. : ил.
УДК 519.142.1+512.643 .8 Евсевлеева Лариса Геннадьевна,
канд. хим. наук, доцент, зав. кафедрой «Высшая математика», Ангарская государственная техническая академия
тел. (3955) 51-29-50, e-mail: cpk@myangarsk.ru
О ВЕРОЯТНОСТИ СВЯЗНОСТИ СЛУЧАЙНОГО ГРАФА
Evsevleeva L. G.
ON PROBABILITY OF RANDOM GRAPH CONNECTIVITY
Аннотация. Рассмотрены случайные графы. Исследуется поведение случайной величины £ - вершинной связности графа. Приводится явный вид распределения величины £, указываются условия сходимости к пуассоновскому распределению.
Ключевые слова: случайные графы, вероятность, вершинная связность.
Abstract. The author observes random graphs. The behavior of random graph quantity £ - point graph connectivity is examined. Explicit form of quantity distribution £ is given, convergence conditions to
Poisson distribution are specified.
Keywords: random graphs, probability, point connectivity.
Введение
Случайный граф Gm(t) из m вершин определим следующими условиями [1, 2]:
1) в начальный момент времени t = 0 все вершины изолированы;
2) с течением времени между вершинами случайным образом устанавливаются связи (ребра) таким образом, что любая появившаяся в ка-
