CC BY
47
Электронное научно-техническое издание
НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ
Эл № ФС 77 - 30569. Государственная регистрация №0421100025. ISSN 1994-0406
Конструкции алгебраической геометрии и простые 24-вершинные, 14-гранные полиэдры, не являющиеся стереоэдрами в клатратах
77-30569/330069 # 03, март 2012
Талис А. Л., Крапошин В. С., Веселов И. Н., Ронова И. А., Беляев О. А.
УДК 548.1
Институт элементоорганических соединений им. А.Н. Несмеянова РАН
МГТУ им. Н.Э. Баумана Тверской государственный университет Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова
talishome@mail.ru kraposhin@gmail.com Igor.veselov@mail.ru ron@ineos.ac.ru belayev@polly.phys.msu.ru
Введение
Огромные запасы углеводородов находятся в форме клатратных гидратов (газогидратов), строение и свойства которых определяются тетракоординированным водным каркасом, образованным ребрами полиэдров-полостей. Изучение структуры и свойств клатратных гидратов необходимо для разработки современных и безопасных технологий добычи и транспортировки газа (и других полезных ископаемых), создания энергосберегающих технологий, технологий разделения газовых смесей и т.п.
Несмотря на весьма продолжительную историю изучения клатратов, понимание особенностей их структуры, механизмов образования и фазовых превращений в них остается неполным. Первопричиной этого является несовместимость оси пятого порядка додекаэдра (основного полиэдра-полости клатратов) с решеткой кристалла. В рамках классической кристаллографии не существует конструкции, отображающей и симметрию додекаэдра, и симметрию решетки. Не существует такой конструкции и для отображения симметрии когерентного сопряжения в одном образце нескольких кристаллических клатратных фаз, которое было обнаружено в [1]. Решение подобных проблем потребовало применения аппарата алгебраической геометрии, в частности, для определения графа усеченного икосаэдра, с которым совпадает строение молекулы фуллерена С60 и который обладает той же точечной группой У, что и додекаэдр [2]. В
[2] было указано и на соответствие между Y и системой корней 8-мерной решетки Е8 (первой координационной сферы) максимальной полупростой исключительной алгебры Ли е8 [3].
Возможность реализации упорядоченных твердотельных структур в трехмерном
Т-.3
евклидовом пространстве Е определяется его топологическими свойствами, одним из которых является отсутствие разбиения на правильные тетраэдры. Поэтому плотнейшие упаковки шаров приходится аппроксимировать объединениями вокруг одного ребра 4-х, 5-ти и 6-ти неправильных тетраэдров, а центральный шар оказывается внутри одного из полиэдров, относящихся к типу полиэдров Франка-Каспера [4,5]. Дуальными к таким полиэдрам являются простые (в каждой вершине сходится минимально возможное число 3 ребер, т.е. 3) 14-гранники с 4-, 5- и 6-угольными гранями.,
0 12 2
Дуальное к тетракадекаэдру [4 , 5 , 6 ] разбиение сферы на 24 треугольника определяет канонический полиэдр Z14 Франка-Каспера (к=6), представляющий собой один из основных строительных блоков структур интерметаллидов (иначе называемых топологически плотноупакованными структурами, поскольку они сложены только из тетраэдров). Таким образом, вывод всех простых 24-вершинных 14-гранных полиэдров с 4-, 5- и 6- угольными гранями, фактически, является и выводом полиэдров Z14 вида [4«, 52к, б8-к], у которых в 6-к, 2к и 8-к вершинах сходятся по 4, 5 и 6 ребер. Полиэдры Франка-Каспера 214[46_к, 52к, 68-к] при к = 1, 2, 3, 4, 5 назовем неканоническими. При одном и том же к два полиэдра могут обладать одной и той же точечной группой симметрии, и, следовательно, не будут различаться в рамках классической кристаллографии. Данный пример наглядно демонстрирует необходимость определения кристаллографических конструкций в рамках более общего аппарата алгебраической геометрии.
Основной целью настоящей работы является определение конструкций алгебраической геометрии, способных адекватно отобразить симметрию простых 24-вершинных 14-гранных полиэдров с 4-, 5- и 6- угольными гранями. Решение данной задачи необходимо для априорного вывода полиэдров - полостей в клатратах и неканонических 14-вершинных полиэдров Франка-Каспера.
Конструкции алгебраической геометрии и таблицы инцидентности графов простых 24 -вершинных 14-гранных полиэдров.
Один из полиэдров, аппроксимирующих плотнейшие упаковки шаров - -усеченный октаэдр [46, 68] с шестью квадратными и восемью гексагональными гранями, представляет собой полиэдр Дирихле для ОЦК-решетки. Этот полиэдр показан на рис.1 вместе со своей таблицей инцидентности. Полиэдр [46, 68] принадлежат классу простых 24-вершинных 14-гранных полиэдров [4й, 512-2й, 6й+2], п=2, 3, 4, 6, который, в частности, содержит 10 стереоэдров, т.е. полиэдров, которые при размножении Федоровскими группами, осуществляют разбиения Е3 без промежутков [5]. В общем случае, к данному классу полиэдров могут принадлежать и не стереоэдры [46-к, 52к, 68-к], к=2, 3, 4, 5, 6.
Вершины полиэдра
Кельвина [46, 68] с группой симметрии Он=Тн и шаТн, принадлежат двум конгруэнтным прямым икосаэдрам:
[46,68] = {3,5}п и т^3,5}ш (1),
где та - диагональная плоскость симметрии куба, Ти - группа симметрии прямого икосаэдра {3, 5}п. Каждая вершина {3, 5}п окружена тремя вершинами та{3, 5}п и наоборот, поэтому графу [46, 68] может быть однозначно сопоставлен бихроматический граф (рис. 1а). Группа вращений икосаэдра У изоморфна проективной специальной линейной группе РЖ2(5), входящей в особую серию групп Р8Ь2(р), р=3, 5, 7, 11, относительно которых инвариантно множество из р и р+1 инволюций [3]. Максимальная из этих групп - группа РЖ2(11) порядка 660 содержит гексагональную и кубическую точечные подгруппы В6 и Т, а также подгруппу М5,п(рис. 2):
Р8Ь2 (11) = В6• М, п=Т. Ы5Л1 = I• Сп, (2)
где I - группа вращений икосаэдра, С11 - циклическая группа 11-го порядка [6]. В [2] было показано, что 12 борелевских подгрупп В=М511=С5*С11 группы РЖ2(11) соотносятся с 12 вершинами икосаэдра. Иными словами, множество вершин икосаэдра изоморфно совокупности смежных классов разложения группы по подгруппе:
12
у/С,^ РЖ2(11)/В = У ё1в , g1eв=C5Cll, (3)
и
где РЖ2(11) подгруппа индекса 12 в группе Матье М11 [3].
Поскольку параллелоэдр [46, 68] - это объединение двух конгруэнтных 12-вершинных (прямых) икосаэдров, обладающее группой симметрии Ои, для отображения симметрии его графа необходимо использовать максимальную подгруппу симметрической группы 8!2 (перестановок 12 символов), которая удовлетворяет условиям (1) - (3). Такой подгруппой является группа 2М12, множество смежных классов которой по М11 изоморфно совокупности вершин [46, 68]:
12 144
Ои/С^Ып/Мп = О 2giМц=0 gi2 РЗЬ^П) , (4)
г =1 г=1
где 2 - группа 2 порядка. Группа Мп содержит подгруппу Мп-$>п-п, где $>п.п -симметрическая группа порядка (12-п)!, п=8, 9, 10, 11. [3]. Соотношения (4) определяют таблицу инцидентности (ТИ) бихроматического графа параллелоэдра [46, 68]. В этой таблице 12х12 столбцу соответствует белая вершина, строке - черная, а знаку инцидентности - соединяющее их ребро (рис. 1.б). В каждом столбце и каждой строке по 3 знака, подтаблица 9x9 представляет собой ТИ конфигурации(93)2 конечной проективной геометрии [7]. Обозначим эту ТИ (рис. 1б) через ТШ23(М9-£3).
а) б)
Рис. 1. а). Вершины параллелоэдра [46, 68] являются вершинами белого и черного прямых икосаэдров. б). Таблица инцидентности (ТИ) графа параллелоэдра. Белым вершинам соответствуют столбцы ТИ, черным - строки, ребрам - зачерненные кружки.
Кружок в кружке определяет ребро, которое разделяет квадрат и гексагон параллелоэдра. Подблоки таблицы, содержащие такие знаки, показаны светло-серым
цветом.
Сохранение алгебраически существенной части условий (4) позволяет отобразить простой граф полиэдра [46, 68] в простой граф с тем же числом вершин, ребер и граней, которые могут отличаться, например, схождением ребер вершинах. Полиэдр с таким графом назовем М-эквивалентным параллелоэдру [46, 68], если отображение графов осуществляется преобразованием из 2М12.Можно показать, что для ТИ123(Мд 8з) алгебраически существенными являются два требования: вложение подтаблицы 9x9 в ТИ конфигурации 93 и равенство соответствующему инварианту Е8 числа знаков в диагональных блоках. С учетом существования кратных трем инвариантов 18, 24, 30 системы Е8, в диагональных блоках ТИ12з(М9^3) могут быть {(3(7+0^ 3(1+]/[)},/=0, ±1 знаков.
Старшему инварианту 30 соответствует объединение 24 знаков диагональных блоков ТИ123(Мд 8з) с 6 знаками двух подблоков недиагональных блоков. Если такими подблоками являются 10-12x1-3 и 7-9x10-12, то 30-значная подтаблица ТИ123(Мр-^3) определяет гексагональную призму с двумя параллельными гексагонами оснований и 6 боковыми октагонами, каждый из которых разделяется внутренним горизонтальным ребром на 4- и 6-угольник. В недиагональных блоках ТИ123(М9^3) такие ребра определяются знаками подблоков 10-12x4-6 и 7-9x10-12, которые назовем горизонтальными (рис. 1 ). При соединении внутренним ребром вершин одного цвета октагон может быть разбит на два 5-угольника. Замена 2к бихроматических ребер графа на монохроматические (между вершинами одного цвета) требует отбрасывания 2к знаков ТИ и введения 2к стрелок, которые, в терминах проективной геометрии, определяют "инцидентность" между вершиной и вершиной (прямой и прямой). Алгебраически существенными являются только диагональные блоки, поэтому уменьшение числа знаков инцидентности допустимо только в недиагональных. При отбрасывании внутренних (горизонтальных) ребер в 2 соседних боковых октагонах один из них может быть разделен новым бихроматическим ребром на 4- и 6-угольник, а второй - монохроматическим на два 5-угольника. Это определяет возможность
поэтапного отбрасывания знака в горизонтальном подблоке: сначала отбрасываются 2 знака, соответствующие отбрасываемым ребрам, а затем вводится знак, соответствующий новому ребру.
"I
Рис. 2. Групп - подгрупповые соотношения в проективной специальной линейной группе РЖ2(11) или 111. Подгруппы I' и I'' изоморфны группе I, но не являются
сопряженными [6].
Итак, в общем случае, можно определить требования к ТИ123(Мп-£12_п), которая задает простой 24-вершинный граф М-эквивалентный [46, 68]: блок пт вкладывается в ТИ конфигурации п3 конечной проективной геометрии, а строение всей ТИ определяется соотношением:
2 [3+(3-к/ и {(3(7+/)и 3(1+|/[)}+6 (/36, (5)
где в квадратной и фигурной скобках указано число знаков в недиагональном и диагональных блоках; 5(к,/)=2к/(/)-3(/+[/[) - число монохроматических стрелок. Для краткости, вместо символа ТИ123(Мп-£12_п) будем использовать символ ТИ МпБп-п/К); например, граф параллелоэдра [46, 68] будет характеризоваться символом ТИ М9^3(0, 0).
1 2 3 4 5 6 7 К С 11 12
1 • • •
? • • *
3 • • *
4 • • о:
• •
6 7 • *
* • *
Я * * *
ч • • *
11 •
11 • У •
1? • й •
а)
1 2 3 4 5 6 7 Я V 0 11 12
1 • • •
2 * • #
3 * •
4 • • •
5 * *
в • • :
1 N * • •
* • •
V • • •
10 • в •
11 • й •
12 и • •
в)
Рис. 3. Таблицы инцидентности, графы в форме диаграмм Шлегеля и определяемые ими простые 14-гранные полиэдры-полости клатратов: а) тетракадекаэдр, б) полиэдр
№ 10 из статьи [5], в) полиэдр с одной 4-угольной гранью из статьи [8]. Шестиугольники заштрихованы, четырехугольники показаны темно-серым цветом. В тетракадекаэдре жирные линии выделяют боковые декациклы. Внутри полиэдра в)
изображена молекула метана.
Рассмотрим все М-эквивалентные полиэдры (кластеры), графы которых определяются ТИ М9^3(р,к), удовлетворяющей (5). Условия ]=0, к{(0)=0, 1, 2, 5=2к означают замену 2к боковых граней [46, 68] на 2к пар 5-угольников по механизму:
[46,68]=[(4 и 6)6-2к,(4и 6)2к,62] ^ [((4 и 6) 2)3-к,((52)2)к, 62] = [46-2к, 54к ,68-2к], (6) 2 2 2
где (4 и 6) и (5 ) - декациклы, возникающие при объединении пары боковых октагонов или двух пар 5-угольников. Варианту к=0 соответствует параллелоэдр
[46, 68] (рис. 1а); k=1- стереоэдры №2, 3, 8 [5]; k=2- стереоэдры №5, 7, 9 [5]. Условия
12 2
f=0, k=3, 5=2к, в соответствии с (5), определяют тетракадекаэдр [5 , 6 ] (рис. 3а), который не является стереоэдром. Стереоэдр на рис. 3б определяется ТИ, которая задается одним из преобразований m группы 2М12, поэтому данный полиэдр обозначим символом [42, 58, 64]m. Преобразование т определяется дополнительным разбиением множества из 21 вектора в (5) на 20 (инвариант Е8) и 1[9].
В работе [8] был с помощью компьютерного перебора вариантов объединения полиэдров по граням был выведен полиэдр, содержащий наряду с 5-угольными и 6-угольными, одну 4-угольную грань, и не являющийся стереоэдром. Поэтому задача нахождения разбиения методом компьютерной переборки чрезвычайно усложняется: для заполнения пустот между нестереоэдрами может понадобиться несколько разных полиэдров. Поэтому возникла задача априорного определения ТИ простого 24-вершинного 14-гранного полиэдра с одной 4-угольной, десятью 5-угольными и тремя 6-угольными гранями. Хотя данный полиэдр и не является стереоэдром, он может быть полиэдром-полостью в клатратах. Решение этой задачи оказалось возможным благодаря тому, что симметрия системы Е8 (одной из основных конструкций развиваемого аппарата) задается определенным блоковым дизайном или —у,к,Х)-схемой (см. ниже).
Блоковый дизайн и графы особых (объединений) полиэдров.
В данной статье решается задача априорного вывода трехмерных упорядоченных (не обязательно кристаллических) структур. Другими словами, это задача нахождения множества вершин, соединенных ребрами (графов), обладающих определенной симметрией (в нашем случае симметрией решетки Е8). Например, имеется множество из V элементов. Число всех возможных перестановок данного множества образуют группу из V! элементов. В такой группе будут присутствовать и физические нереализуемые симметрии, т.е. мы вообще о структуре ничего не узнаем. В зависимости от поставленной физической задачи с помощью блокового дизайна из этой охватывающей группы выделяются необходимые симметрии. Блоковый дизайн, т.е. разбиение множества на подмножества, реализуется например, в форме ^(у, k, X)-схемы. По определению ^(у, к, Х)-схема - это множество из v элементов, разбитое на Ь подмножеств (блоков) из k элементов так, что любые t элементов содержатся в X блоках. При t=1 имеем bk=vr, так что каждый элемент принадлежит г блокам [3].
Системой Штайнера S(t, к, у) называется ^(у, к, Х)-схема при t=4, v=11, к=5, Х=1), 4-(11, 5, 1)=S(4, 5, 11). Система S(4, 5, 11), состоящая из 66 блоков, показана ниже в виде таблицы [10]. Каждое число входит в Ьк/у=г=30 блоков. Система S(4, 5, 11) однозначно определяет систему S (5, 6, 12), группой автоморфизмов которой является использованная выше группа М12 (соотношение (4) [3, 10]. И вообще, обе упомянутые системы Штайнера описывают симметрии решетки Е8.
Примером ^(у, к, Х)-схемы с Х^1 является 2-(11, 5, 2) -схема или биплоскость, которую образуют выделенные жирным шрифтом пятерки чисел в первом столбце показанной ниже таблицы. Действительно, у=11 - это 11 чисел от 0 до 10, причем 10
обозначено римской цифрой X; блок состоит из к=5 чисел. Какие бы 2 числа мы не взяли, найдутся только два блока из Ь=11, которые их содержат [10]. Например, 5 и 7 содержатся только в 3-м и 5-м блоках и т.д.
Таблица.
Система Штайнера Б(4, 5, 11)или 4-(11, 5, 1)-схема [10].
13459 07293 03618 04^ 06X59 05784
2456Х 183X4 14729 15230 1706X 16895
35670 29405 2583Х 26341 28170 279X6
46781 3X516 36940 37452 39281 38X07
57892 40627 47X51 48563 4X392 49018
689X3 51738 58062 59674 504X3 5X129
79X04 62849 69173 6X785 61503 6023X
8X015 7395X 7X284 70896 72615 71340
90126 84X60 80395 819X7 83726 82451
Х1237 95071 914X6 92X08 94837 93562
02348 X6182X2507 X3019 X5948 X4673
В используемой нами ТШ23(Ми-572-и) неявно задействована конечная проективная плоскость РО(2^), которая является системой Штайнера = 5(2, д+1, q +д+1).
Действительно, для РО(2^) число точек V (столбцов в таблице инцидентности) и прямых Ь (блоков, то есть строк в ТИ) равно v=Ь=q +q+1; число k точек на прямой (число точек в блоке) и число г прямых, проходящих через одну точку (каждая точка принадлежит г прямым) равно k=г=q+1. Любые две точки ( =2) принадлежат одной (Х=1) прямой, а общее число знаков инцидентности в ТИ РО(2^) равно +q+1)(q+1). Для любого целого t
(2<^<) каждая ^схема определяет и Г-схему, для которой ^=^1, ^^(у+1^)^+1^. Это
позволяет по известной РО(2д) строить более общие ^(у, к, X) схемы[3, 11].
22 Например, при 1=3^ v=q +1, k=q+1, =1 система Штейнера 5(3, q+1, q +1) определяет
плоскость Мёбиуса (инверсную плоскость), которая получается из евклидовой плоскости
присоединением единственной идеальной точки. Данная точка считается принадлежащей
всем прямым плоскости, а такое присоединение уравнивает на плоскости прямые и
окружности, называемые циклами. Подмножество из q +1 точек проективного пространства
порядка q, обладающего тем свойством, что никакие три точки в нем не коллинеарны
является овалоидом. Использование овалоида над координатным полем ОР(2) позволяет
получать точки конечной аффинной плоскости соответствующего порядка, которую, в свою
очередь, можно соотнести с корневой системой соответствующей полупростой алгебры.
Рис. 4. Таблица инцидентности плоскости Мёбиуса порядка 3 и определяемое ею объединение 9 кубооктаэдров вокруг центрального. а) Таблица инцидентности плоскости Мёбиуса порядка 3 как 3-(10, 4, 1)-схема [11].б), в) определяемое таблицей а) объединение по квадратным граням 10 кубооктаэдров из ГЦК - решётки. Тройная б) и двойная в) оси кластера совпадают с тройной и двойной осями нулевого кубооктаэдра.
Для определяемой 5(3, 4, 10) плоскости Мебиуса (при д=3) справедливы следующие положения:
1) Число всех точек плоскости д +1=10
2
2) Число всех циклов д (д +1) =30
3) Каждый цикл инцидентен q+1 =4 точкам
4) Каждая точка инцидентна q(q+1)=12 циклам
5) Каждые два столбца пересекают в точности q+1=4 строки.
Удовлетворяющая этим условиям таблица инцидентности (рис. 4а) состоит из 10 столбцов и 30 строк [11]. В работе [7] показано, что столбец в ТИ (рис. 4а) можно считать центром кубооктаэдра, а каждый из 12 знаков инцидентности данного столбца - вершиной этого кубооктаэдра. При такой трактовке ТИ 5(3, 4, 10) определяет объединение по квадратным граням 10 кубооктаэдров, в котором 6 кубооктаэдров стоят на всех квадратных гранях центрального, тем самым выделяя его (рис. 4б, в). Центр такого кубооктаэдра соответствует идеальной точке Ро плоскости Мебиуса. Изображённый на рис. 4б, в кластер обладает симметрией П3 и вкладывается в ГЦК-решётку [7]. Таким образом, если рассмотренные ТИ РО(2^)=5(2, q+1, q +q+1), д=2, 3, 4 определяли графы особых кластеров тетракоординированных (алмазоподобных) структур, то подтаблица ТИ 5(3, q+1, q2+1), q=3 определяет граф особого кластера тетраэдрической (металлической) структуры.
Каждый блок В в ^(у, k, Х)-схеме может быть представлен своим характеристическим вектором (с1, ... , су), таким что сг=1 если г е В и сг=0 если г £ В. Таким образом, ^схема является и двоичным кодом, в каждом слове которого из V символов находятся к ненулевых. Используемая в (2)-(4) группа Р5Ь2(11), представляет собой группу автоморфизмов биплоскости [5-8], поэтому решение данной задачи потребовало трактовки группы М12 и как группы автоморфизмов троичного кода Голея G12. Этот код определяется добавлением проверки на четность к коду G11, состоящему из 729 наборов (слов), в которых по 11 позициям размещены 1, -1 и 0:
в11=1 + 132.x5 + 132/ + 330х8 + 110х9 + 24.x11
^2=1 + 264/ + 440х9 + 24.x12 (7)
где Ах" обозначает число А наборов х", состоящих из п ненулевых символов [5]. Если 0 сопоставляется пустая клетка в ТИ , 1 - знак инцидентности, то -1 сопоставляется пустая клетка ТИ, в которую может быть перенесен знак инцидентности. Переход от ^ (у, k, Х)-схемы к определяемому ею коду, существенно расширяет симметрийные возможности определения ТИ графов. Действительно, система 5(4, 5, 11) состоит из 66 блоков, а код G11 из 729 слов. Не вдаваясь в математические подробности изложенные в [9], укажем, что соотношения (7) позволяют априори получать особые ТИ вида ТИ123(Мд-5з), которые нельзя выделить только в рамках соотношений (5). Полученная по этому алгоритму ТИ и определяемый ею граф 14-гранного полиэдра с одной 4-угольной, десятью 5-угольными и тремя 6-угольными гранями приведен на рис. 3в.
Рис. 5. Образование декацикла в тетракадекаэдре из молекул воды при молекулярно-динамическом моделировании фазового перехода газогидрат - лед.
Полученные результаты можно, в частности, рассматривать как симметрийную основу для взаимной трансформации полиэдров, т.е. фазовых и структурных превращений. Ранее было показано, что так можно описать мартенситные превращения в железе [12] и титане [13], эвтектоидное превращение в сталях[14], а также использовать для молекулярно-динамического моделирования разложения газогидрата, в результате которого молекула газа покидает полиэдр - полость из молекул воды [12]. Например, для газогидрата I с метаном, занимающим додекаэдрические и тетракадекаэдрические пустоты, было установлено, что его фазовому переходу в лед (воду) предшествует процесс трансформации части тетракадекаэдров (рис.3а) в априори выведенные полиэдры-полости газогидратов (рис. 3б, в). Для части тетракадекаэдров зафиксирован и процесс образования декациклов, через которые молекулы метана уже могут покинуть тетракадекаэдры (рис. 5).
Заключение
Полиэдр Кельвина является родоночальником особого класса простых 24-вершинных 14-гранных полиэдров с 4-,5-и 6-угольными гранями. Его симметрия наиболее полно определяется соотношениями (4), в которых используется базовая конструкция группы Матье М12. Эта группа представляет собой группу автоморфизмов системы Штайнера £(5,6,12), которая однозначно связана с кодом Голея G12 и системой Е8 [2, 3, 6]. Применение конструкций М12, £(5, 6, 12), G12 и Е8 позволило априори определить графы полиэдров этого класса, который содержит 10 стереоэдров, генерирующих 23 кристаллографических тетракоординированных разбиения Е . Хотя структуры большинства газогидратов ограничиваются этими разбиениями, но принципиально важно в рамках единого аппарата априори определять и графы полиэдров, которые не являются стереоэдрами. В частности, принадлежность стартовых полиэдров к одному классу гарантирует сборку упорядоченных (не обязательно кристаллических) структур.
В более широком контексте, результаты данной работы позволяют утверждать, что существуют особые полиэдры (кластеры) или объединения полиэдров (кластеров), которые являются структурными реализациями конструкций алгебраической геометрии
и не могут быть адекватно определены в рамках классической кристаллографии. Априорный вывод таких "строительных блоков" позволяет установить закон сборки широкого класса упорядоченных (не обязательно кристаллических) тетракоординированных (клатратных, алмазоподобных и т.п.) и тетраэдрических (металлических и т.п.) структур. В частности для интерметаллидов такими строительными блоками являются полиэдры Франка-Каспера Z14[46-k, 52k, 68-k], канонический (k=6) и неканонические k=1, 2, 3, 4, 5. Для них символ в квадратных скобках (тот же, что и для выведенных полиэдров - полостей) обозначает количество вершин, в которых сходятся по 4, 5, 6 ребер, а симметрия определяется соответствующей таблицей инцидентности. При одном и том же k два полиэдра Z14[46-k, 52k, 68-k] могут обладать одной и той же точечной группой симметрии, и будут различаться только (определяемыми в рамках алгебраической геометрии) таблицами инцидентности. Это наглядно демонстрирует ограниченность классической кристаллографии и возможности развиваемого подхода.
Выводы
1. Выделена система конструкций алгебраической геометрии: решетка векторов Е8, группа Матье М12, система Штейнера S(5, 6, 12) и код Голея G12, которая позволяет априори определять графы особого класса простых 24-вершинных 14-гранных полиэдров с 4-,5-и 6-угольными гранями. Впервые выведен граф полиэдра данного класса, который обладает одной 4-угольной гранью и не является параллелоэдром.
2. Впервые показано, что существуют особые полиэдры (кластеры) или объединения полиэдров (кластеров), которые являются структурными реализациями таких конструкций алгебраической геометрии как код Голея и плоскость Мёбиуса (инверсная плоскость)
3. Выведены возможные в интерметаллидах неканонические 14-вершиные полиэдры Франка-Каспера Z14[46-k, 52k, 68-k], которые при одном и том же k могут обладать одной и той же точечной группой симметрии и различаться только в рамках алгебраической геометрии.
Авторы выражают глубокую признательность М.И. Самойловичу за интерес к работе и стимулирующие обсуждения Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 09-03-00740 а) и программы ОХНМ РАН ОХ-О6.
Список литературы.
1. Walsh M.R., Koh C.A., Sloan E.D., Sum A.K., Wu D.T. Microsecond Simulations of Spontaneous Methane Hydrate Nucleation and Growth //Science. 2009. V.326 №.5956, P.1095 - 1098 .
2. Kostant B. The graph of the truncated icosahedron and the last letter of Galois // Notices of the AMS, 1995, vol. 42, no. 9, pp. 959-968.
3. Конвей Дж. Слоэн Н. Упаковки шаров, решетки и группы. Т.1. М.: Мир, 1990. 415 с.
4. Кокстер Г.С.М. Введение в геометрию. М.: Наука, 1966. 648с.
5. Delgado Friedrichs O., O'Keeffe M. Isohedral simple tilings: binodal and by tiles with ^ 16 faces //Acta Cryst. A. 2005. V.61. P.358-364.
6. Lijnen E., Ceulemans A., Fowler P.W., Deza M. The undecakisicosahedral group and a 3-regular carbon network of genus 26 //J. of Math. Chem. 2007.V42, №3. P.617-644.
7. Самойлович М.И., Талис А.Л. Основы теории симметрии наноструктурных состояний. М.: ЦНИТИ "Техномаш", 2006. С.10-238.
8. Gabbrielli R. A new counter-example to Kelvin's conjecture on minimal surfaces // Phil. Mag. Lett. 2009. V.89. P. 483-491.
9. Самойлович М.И., Талис А.Л. Газогидраты: скрытые симметрии и локальные фазовые превращения - ключ к пониманию закономерностей строения полиэдральных тетракоординированных структур //Наука и технология. 2010. №4. С.41-55.
10. Brown E. The Fabulous (11, 5, 2) Biplane //Mathematics magazine 2004. - V.77. - P.87-99.
11.Картеси Ф. Введение в конечные геометрии. М.: Наука, 1980. 320 с.
12. Kraposhin V.S., Talis A.L., Dubois J.-M. Structural realization of the polytope approach for the geometrical description of the transition of a quasicrystal into a crystalline phase// J. Phys.: Condens. Matter. V. 14(2002) 8987- 8996.
13. Kraposhin V.S., Talis A.L., Wang Y.J. Description of polymorphic transformations of Ti and Zr in the framework of the algebraic geometry // Materials Science and Engineering A. -2006. - V.438-440. - P.85-89.
14. Крапошин В.С., Сильченков А.Д. Кристаллографический механизм перлитного превращения в системе железо-углерод// Проблемы черной металлургии и металловедения. -2009. -№2. -С.55 -64.
15. Веселов И.Н., Талис А.Л., Ронова И.А., Терещенко Г.Ф. Молекулярно-динамическое моделирование фазового перехода газогидрат I - лед // Молекулярное взаимодействие и конформации молекул : Тезисы докладов XV Всероссийского Симпозиума. Петрозаводск, 2010. С. 69.
electronic scientific and technical periodical
SCIENCE and EDUCATION
_EL № KS 77 - 3Ü56'». .V;II421100025, ISSN 1994-jMOg_
Constructions of algebraic geometry and simple polyhedra which are not stereohedra for clathrates and have 24 vertices and 14 faces
77-30569/330069 # 03, March 2012
Talis A.L., Kraposhin V.S., Veselov I.N., Ronova I.A., Belyaev O.A.
A.N. Nesmeyanov Institute of Organoelement Compounds of Russian Academy of Sciences
(INEOS RAS)
Bauman Moscow State Technical University
Tver State University Lomonosov Moscow State University
talishome@mail.ru kraposhin@gmail.com Igor.veselov@mail.ru ron@ineos.ac.ru belayev@polly.phys.msu.ru
The authors show the existence of special polyhedra (clusters) and combinations of polyhedral, which are the structural implementation of algebraic geometry constructions. An algorithm of graph derivation corresponding to a special class of simple polyhedra with 24 vertices and 14 faces was considered for the case when these polyhedra have 4-, 5- and 6-gonal faces. The graph was derived for the first time for the polyhedron with one tetragonal face and which is not a parallelohedron. Polyhedra of this class allowed to determine the possibility for 14-verticed canonic and non-canonic Frank-Kasper polyhedra to be presented in the structure of intermetallics. This approach allowed to determine the symmetry of wide spectrum of ordered (not necessary crystalline ones) tetra-coordinated (diamond-like, clathrates) and tetrahedral (metallic) structures larger, including also nanostructured states.
Publications with keywords: dathrates, algebraic geometry, symmetry, phase transformations, polyhedra
Publications with words: dathrates, algebraic geometry, symmetry, phase transformations, polyhedra
References
1. Walsh M R., Koh C.A., Sloan D.E., Sum A.K., Wu D.T. Microsecond simulations of spontaneous methane hydrate nucleation and growth. Science, 2009, vol. 326, no. 5956, pp. 1095 - 1098. DOI: 10.1126/science.1174010.
2. Kostant B. The graph of the truncated icosahedron and the last letter of Galois. Notices of the AMS, 1995, vol. 42, no. 9, pp. 959-968
3. Conway J., Sloan N.J.A. Sphere packings, lattices and groups. New York, Springer, 1988. 703 p. (Rus. ed.: Konvei Dzh., Sloen N. Upakovki sharov, reshetki i gruppy. Moscow, Mir Publ., 1990, vol. 1. 415 p.).
4. Coxeter H.S.M. Introduction to geometry. New York, Wiley, 1961. 443 p. (Rus. ed.: Kokster G.S.M. Vvedenie vgeometriiu. Moscow, Nauka Publ., 1966. 648 p.).
5. Delgado-Friedrichs O., O'Keeffe M. Isohedral simple tilings: Binodal and by tiles with < 16 faces. Acta Crystallographica A: Foundations of Crystallography, 2005, vol. 61, no. 3, pp. 358-362. DOI: 10.1107/S0108767305009578.
6. Lijnen E., Ceulemans A., Fowler P.W., Deza M. The undecakisicosahedral group and a 3-regular carbon network of genus 26. Journal of Mathematical Chemistry, 2007, vol. 42, no. 3, pp. 617-644. DOI: 10.1007/s10910-006-9137-2.
7. Samoilovich M.I., Talis A.L. Osnovy teorii simmetrii nanostrukturnykh sostoianii [A foundation for the theory of symmetry of ordered nanostructures]. Nanomaterialy [Nanomaterials]. Moscow, Tekhnomash Publ., 2006, pp. 10-238.
8. Gabbrielli R. A new counter-example to Kelvin's conjecture on minimal surfaces. Philosophical Magazine Letters, 2009, vol. 89, no. 8, pp. 483-491. DOI: 10.1080/09500830903022651.
9. Samoilovich M.I., Talis A.L. Gazogidraty: skrytye simmetrii i lokal'nye fazovye prevrashcheniia - kliuch k ponimaniiu zakonomernostei stroeniia poliedral'nykh tetrakoordinirovannykh struktur [Hydrates: hidden symmetries and local phase transformations - the key to understanding patterns of polyhedral tetracoordinated structures]. Nauka i tekhnologii vpromyshlennosti, 2010, no. 3, pp. 46-61.
10. Brown E. The Fabulous (11, 5, 2) Biplane. Mathematics magazine, 2004, vol. 77, April, pp. 87-100.
11. Karteszi F. Introduction to finite geometries. Amsterdam, North-Holland Publ., 1976. 266 p. (Rus. ed.: Kartesi F. Vvedenie v konechnye geometrii. Moscow, Nauka Publ., 1980. 320 p.).
12. Kraposhin V.S., Talis A.L., Dubois J.M. Structural realization of the polytope approach for the geometrical description of the transition of a quasicrystal into a crystalline phase. Journal of Physics: Condensed Matter, 2002, vol. 14, no. 39, pp. 8987- 8996. DOI: 10.1088/0953-8984/14/39/308.
13. Kraposhin V.S., Talis A.L., Wang Y.J. Description of polymorphic transformations of Ti and Zr in the framework of the algebraic geometry. Materials Science and Engineering A, 2006, vol. 438-440, Spec. iss., pp. 85-89. DOI: 10.1016/j.msea.2006.02.145.
14. Kraposhin V.S., Sil'chenkov A.D. Kristallograficheskii mekhanizm perlitnogo prevrashcheniia v sisteme zhelezo-uglerod [Crystallographic mechanism of pearlite transformation in the iron-carbon]. Problemy chernoi metallurgii i materialovedeniia, 2009, no. 2, pp. 41-50.
15. Veselov I.N., Talis A.L., Ronova I.A., Tereshchenko G.F. Molekuliarno-dinamicheskoe modelirovanie fazovogo perekhoda gazogidrat I - led [Molecular dynamics simulation of phase transition gas hydrate I - ice]. "Molekuliarnoe vzaimodeistvie i konformatsii molekul". 15 Vseros. simp. Tez. dokl. [Molecular interactions and conformations of molecules. 15th All-Rus. symp. Abstr.]. Petrozavodsk, 2010, p. 69.
