Конструктивный подход к исследованию задач управления линейными составными системами Текст научной статьи по специальности «Математика»

А

нализ и синтез систем управления

УДК 519.7

КОНСТРУКТИВНЫЙ подход К ИССЛЕДОВАНИЮ ЗАДАЧ УПРАВЛЕНИЯ ЛИНЕЙНЫМИ СОСТАВНЫМИ СИСТЕМАМИ

В.Р. Барсегян

Рассмотрена математическая модель управления линейными составными системами, описываемыми на разных интервалах времени разными дифференциальными уравнениями и некоторыми конечными связями для преемственности движения составных систем. Построен аналитический вид движения составных систем, исследованы свойства движения и геометрическая структура области достижимости. Сформулированы необходимое и достаточное условия вполне управляемости. Предложен метод решения задачи управления составными системами и способ решения задачи оптимального управления, сформулированы условия существования программного управления и движения.

Ключевые слова: составная система, вполне управляемость, оптимальное управление, область достижимости, условия преемственности движения.

ВВЕДЕНИЕ

Решение многих прикладных задач и процессов управления, выбор программных траекторий и управления сводится к управлению составными системами.

Следуя работам [1, 2], составной будем называть динамическую систему, описываемую на разных интервалах времени разными дифференциальными уравнениями и некоторыми конечными связями для стыковки траекторий.

Составные системы встречаются в различных прикладных задачах авиастроения, робототехники, электроэнергетики и др. Математическая модель составной системы возникает, в частности, при исследовании процессов управления с учетом взаимодействия объекта управления со средой в соответствии с некоторыми физическими законами, проявляющимися в дискретные моменты времени.

Составная система может быть получена также при кусочно-линейной аппроксимации сложной системы нелинейных дифференциальных уравнений. Поэтому решение различных задач управления нелинейной динамической системой, таким

образом, может быть аппроксимировано решениями аналогичных задач для составной системы.

Исследование и решение различных задач управления составными системами имеют важное теоретическое и прикладное значение, расширяют область применения соответствующей математической теории. В частности, в докладе [3] математические модели подобных систем, их поведение и вопросы управления. В работах [1, 2] приведены необходимые условия оптимальности составных систем. В статье [4] исследовано решение задачи оптимального управления линейными гибридными системами (в дискретном времени) с квадратичным критерием качества. Работа [5] посвящена качественному анализу кусочно-линейных динамических систем.

Настоящая статья посвящена исследованию некоторых свойств движения составных систем, в частности, поиску явного аналитического вида движения, формулировке необходимого и достаточного условий вполне управляемости, разработке метода решения задачи управления линейными составными системами и способа решения задачи оптимального управления, а также формулировке условий существования программного управления и движения.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ИССЛЕДОВАНИЯ

Рассмотрим управляемую составную динамическую систему, движение которой на интервале времени 1]с-1 < ? < к = 1, ..., т, описывается «¿-мерной системой

-с(к) = + ВДи'

(к)

„(к)

(1.1)

(к) (к)

Здесь х е Я , — ; — фазовый вектор системы; и к = 1, ..., т, — матрицы параметров системы (модели объекта) размерностями («кх«к) и («кхгк) соответственно; и(к)(^ — (гкх 1)-вектор управляющих воздействий. В общем случае будем предполагать, что элементы матриц А^) и

и компоненты вектор-столбцов и(к)(^ являются измеримыми ограниченными функциями.

Предполагается, что заданы промежуточные моменты времени 0 < ^ < ^ < ... < - 1 < = Т.

Пусть заданы начальное

(1.2)

терий качества к [и], где и — набор управляющих воздействий, т. е. и = {и(1)(^, ..., е р,

/ = 1, ..., к}, который может иметь смысл нормы некоторого нормированного пространства.

Задачу оптимального управления для системы (1.1) с условиями (1.2)—(1.4) и критерием качества к [и] можно сформулировать следующим образом.

Задача 2. Требуется найти набор оптимальных управляющих воздействий и°(^ = {и(1)0(^, ..., и(т)0(^}, t е Т ], который переводит движение системы (1.1) из начального состояния (1.2) при условии (1.4) в конечное состояние (1.3) и имеет наименьшее возможное значение критерия качества к [и0].

2. ПОСТРОЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ СОСТАВНОЙ СИСТЕМЫ

Для решения поставленных задач построим движение составной системы (1.1) с условиями (1.2). Для этого напишем решение системы (1.1) для промежутка времени в виде [6]

-(1)(0 = XI[1°, + |Щи т]и(1)(т)Л, (2.1)

Л1)

и конечное

-(т)(Т) =

(1.3)

состояния системы.

Преемственность между составными системами (1.1) при к = 1, ..., т (стыковки траекторий) обеспечивается выполнением следующих условий в промежуточные моменты времени к = 1.....т — 1:

ЕЛ) + ^(к +1Ч) = а

к

(1.4)

где Ек - («к + 1х ядерные рк - («к + 1х «к + 1)-мер-

ные матрицы, а ак — («к +1 х 1)-мерный вектор-столбец.

Предполагается, что матрицы Ек, и вектор ак известны, а матрицы такие, что существуют обратные матрицы 1, т. е. ¿е^ ф 0.

Рассмотрим следующие задачи.

Задача 1. Требуется найти условия, при которых существуют программные управляющие воздействия и(к)(!), к = 1, ..., т, переводящие движения составной системы (1.1) х®^) из начального состояния (1.2), при условии (1.4), в конечное состояние (1.3) на промежутке времени [10, Т], а также построить их. ♦

Пусть для отбора оптимальных решений на промежутке времени [!0, Т] задан некоторый кри-

а для моментов времени ! 1 ^ к = 1, ..., т — 1, представим его в виде

-(к + = Хк + 1^, !к]-(к + ^к) +

+ | Як + 1[t, т]и(к + 1)(т)^х

(2.2)

где ЯД т] = Хк[^ т]Вк[т], а через Хк[!, т] обозначена нормированная фундаментальная матрица решения однородной части уравнения (1.1) на промежутке времени [!к _ 1, tk].

Учитывая условия преемственности составных систем, из уравнения (1.4) получим

-(к + ^ = ^к-1 (ак - Е-®^)). (2.3)

Подставляя выражение (2.3) в решение (2.2), получаем

-(к + 1)(t) = Хк + Д, tk] ^к-1 ак -

Хк + Д, tk] /к1 Е^к) +

+ |Як + 1[Г, т]и(к + 1)(т)^т.

(2.4)

о

к

к

12

СОЫТВОЬ БС!ЕМСЕ8 № 4 • 2012

В формуле (2.4) при к = 1 и после подстановки выражения х(1)(?х) из (2.1) получим

Х(2)(0 = Х2[', ?1] Е-1 а1 -- Х^, ^ Е-1 Е^, ?0]х(1)(?0) -'1 '

- Х2[?, ?1] Е-1 Е1 |Н1[?1, ф(1)(х)Л + |#2[?, х]и(2)(х)Л.

X (-

X ^ а2 + ... + а^ + Хк + ^ д Ек1 х

к- 1

(-1)к П Ек+1 - л+1 - А+1 -, 'к - у] ^ х

)=1

к + 1 - ,/1'к + 1 - у 'к -

к-2

чк - 1

/ВД, т]^(т)А + (-1Г 1 П Ек + 1 - Д + 1 - у

'п 1 = 1

Если в формуле (2.4) к 1 2, то, записывая формулу (2.2) для предыдущей составной системы (т. е. для промежутка времени ['к - 1, 'к]), при ' = 'к будем иметь

х(к)('к) = 'к - 1]х(к)('к - 1) +

'к

+ | нк['к, х]и(к)(х)аГ. (2.5)

'к-1

Из условия (1.4) получим

(к)

('к - 1) = ^к-1 (ак- 1 - Ек - 1Х(к - 1)('к - 1)). (2.6)

Учитывая формулы (2.5) и (2.6), запишем выражение (2.4) в виде

х(к + 1)(') = Хк + 1[', 'к] Е-1 ак -

- Хк + 1 'к] Ек1ЕДО* 'к - 1] Е-11 ак - 1 +

+ Хк + 1 'к] Ек1 ЕДО* 'к - 1] Ек1 Ек - 1*(к - 1)('к - 1) -

'к

- Хк + 1[', 'к] Е- 1 Ек | Нк['к, х]и(к)(х)Л +

'к-1

+

|Нк + 1[', х]«(к + 1)(х)^х

Продолжая эту процедуру для предыдущих промежутков времени, с учетом условия преемственности составных систем, до достижения промежутка времени ['0, '1] и учитывая начальное условие (1.2) для фазового состояния х(к + 1)('), получим следующее выражение:

(к + 1),А =

Г к-1

(!) = Хк + ^ 'к] Ек 1 ](-1)к П Ек + 1 - у х 1 1 = 1

х Хк + 1 - у ['к + 1 - , 'к - /] ^к"-1! ВД^ 'о]х(1)('о) +

к- 1

+ (-1)к - 1 П Ек + 1 - !Хк + 1 - А + 1 - у 'к - у] а1 +

1 = 1

+ (-

(-1)к - 2 П Ек + 1 -1 Хк + 1 - у['к + 1 -1 'к - у] х 1 = 1

к-2

['к + 1 -1, 'к -] Е2 [й^, х]и(2)(х)Л + ... + '1

'к , + (-1)Ек | Нк['к, т]и(к)(т)Л | +

+ |Нк + 1[', х]и(к + 1)(х)^х.

'к

Введя обозначения

к - г

Ж(к) = п Ек+1 - 1Хк+1 - А + 1 - у 'к - 1 , 1=1

к = 2, 3, ..., т; / = 1, 2, ..., к - 1,

полученное выражение для фазового состояния х(к + 1)(') запишем в виде

Г к

х(к + 1)(') = Хк + 1[', 'к] Е-1 ^ (-1)к - ' Ж(к) а, +

и = 1

+ (-1)к №(к) ВД^, ?о]х(1)(?о)

+ Хк + 1[', 'к] Ек1 х

I (-1)

к + 1 - г ттЛк)

г = 1

ЖГ Е, | НД'г, х]и(г)(хМх '¿-1

+

+ | Нк + 1[', х]и(к + 1)(х)^х.

(2.7)

Здесь размерность матрицы Ж,(к) равна

(«к + 1 х«к + 1) и принято, что при / = кЖк(к) = Е — единичная матрица размерностью («к + 1 х «к + 1).

Таким образом, имея начальное состояние Х(1)('0) (1.2), условия стыковки (преемственности) фазовой траектории (1.4) и задавая управляющие воздействия м(г)(?), / = 1, ..., к, с помощью формулы (2.7) можно определить фазовое состояние системы (1.1) для произвольного момента времени ' из любого промежутка времени ['к - 1, ?к], к = 1, ..., т.

х

0

2

X

к- 1

'

к

X

к

к

3. О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ ДВИЖЕНИЯ СОСТАВНОЙ СИСТЕМЫ

Формула (2.7) представляет явный аналитический вид движения составной системы (1.1). В силу ограниченности множеств Pk, к = 1, ..., т, из выражения (2.7) непосредственно следует, что решение х®^) представляет собой действительный, абсолютно непрерывный «к-мерный вектор

на Я к [7].

К качественным аспектам теории управления принадлежит понятие области (множества) достижимости управляемого движения. Эти множества тесно связаны с различными задачами управления и многие результаты теории управления можно получить, изучая геометрическую структуру области достижимости [8, 9].

Пусть имеем и(к)(!) е Рк, к = 1, ..., т — набор управлений, определяемых на промежутках времени

[!к - г ^

Совокупность всех решений системы (1.1), которые имеют явный вид (2.7), обозначим через

Х(10, -01), Ц, и(г), £г, а;|/ = 1, 2, ..., к}). Определение. Множество

-01), ! ) = {х(к + 1)(! ) е ЯПк +1 |х(к + 1)(-) е Х«,, х^, Ц, и®, Ег, а,|/ = 1, 2, ..., к + 1})}

будем называть областью достижимости составной системы (1.1) в момент времени ! е [!к, !к + 1], отвечающей начальному условию (1.2), набору управлений и(к)(!) е Рк и условию стыковки траекторий (1.3). ♦

Набор управления и(к)(!) составляют все управления и®(!) е р ! е [!. -1, Ц, I = 1, ..., к, т. е. и(к)(!) =

= {и(1)(!), ..., и(к)(*)|и№(!) е р I = 1, ..., к}.

Основные свойства области достижимости составной системы формулируются в следующей теореме.

Теорема 1. Область достижимости К(10, -01), !) составной системы (1.1) является компактной, выпуклой и непрерывно зависит от ! при ! е [!к, !к + 1], к = 1, ..., т — 1.

Доказательство. Для краткости записи множества достижимости, в ее обозначении будем опускать все

величины, кроме конечного момента времени 1. Чтобы доказать, что область К( 1) 1 е [1к, 1к + 1] является компактным множеством покажем, что оно ограничено и

о"к + 1

замкнуто в Я .

В силу ограниченности множеств Рк, к = 1, ..., т, из равенства (2.7) непосредственно следует ограниченность области достижимости К( 1).

Чтобы доказать замкнутость множества К( 1) в множестве Я к +1, покажем, что из любой последовательности точек х(к +(1), +(1), ..., х(к +(1), ... в К( 1) можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к некоторой предельной точке х (1) в К( 1).

Рассмотрим соответствующие решения х)к +1) (1), у = 1, 2, 3, ..., и наборы управлений ы^ +1) (1), м^ +1) (1),

..., м)к +1) (1), ...

Из равенства (2.7) имеем, что для всех у = 1, 2, 3, ... справедливо

х)к +1} (1) = Хк + 1[ 1, у Р--1

+ (-1)к Жк) Е^, 10]х(1)(10)

X (-1)к + 1 - Ж® Е, | ЯД1,, т] м)" (т)й +

X (-1)к Ж/к) а, +

г = 1

+ Хк + 1[1, 1к] Р-1 х

(О,

г = 1

+ |нк + 1[ 1, т] М)(к +1) (т)й,

(3.1)

где м)!) (•) е Р, г = 1, 2, ..., к + 1. Из слабой компактности множества Р, [10] следует, что из последовательности наборов функций {м(') (•), г = 1, ..., к + 1} можно выделить подпоследовательность, слабо сходящуюся к

набору функции м(') (•) е Р,, г = 1, 2, ..., к + 1. Переходя к пределу по подходящей подпоследовательности индексов в выражении (3.1), получим

х(к+1) (1) = Хк + 1[ 1, 1к] Рк-1

X (-1)к Жк) а, +

г = 1

+ (-1)к к) ВД^, 1о]х(1)(1о)

+ Хк + 1[ 1, 1к] Рк-1 х

к

Г;

X X (-1)к + 1 '' жг(к) Е, | н,.[1,, т] иуч (т)А + г = 1 -1

"(г) ,

+ |нк + 1[ 1, т] м(к +1) (т)й.

(3.2)

Равенство (3.2) означает, что х(к +1) (1) е К( 1), т. е. следует замкнутость области достижимости составной системы.

Для доказательства выпуклости множества К( 1) покажем, что отрезок

(1 - X)х(1)+1) (1) + Xх(к)+1) (1), 0 < X < 1,

к

X

-1

к

к

14

СОЫТВОЬ Б^ЕЫСЕБ № 4 • 2012

соединяющий две фазовые точки х(к)+1) (1) и х(2)+1), весь лежит в К( 1). Пусть м( 1)+1) (1) и м(к)+1) (1) — два набора управлений, соответствующих решениям х(^+1) (1) и х(к)+1). Определим набор управления м^к +1) (1) с Р,,

10 < 1 < 1, таким образом, чтобы для каждого промежутка времени [1, _ 1, 1,] имело место соотношение

(1) = (1 - X) м( 1)) (1) + X м(2) (1), г = 1, ..., к + 1.

Движение х[к +1), соответствующее набору управлений {м® (1), г = 1, ..., к + 1}, имеет вид

х!к +1) (1) = Хк + 1[1, 1к] Рк-1

X (-1)к Жк) а, +

г = 1

+ (-1)к Ж(к) Р^, 1о]х(1)(1о)

+ Хк + 1[1, 1к] Рк1 х

X (-1 )к + 1 к) Е, | #,[1,, т] и» (т)й +

С) ,

г = 1

+ |Нк + 1[1, т] м!к +1) (т)Л.

Следовательно,

хГ(1) = (1 - X) ^ + 1[1, 1к] Рк

X (-1)к Жк) а, +

1-г = 1

+ (-1)к Ж(к) Р^, 1о]х(1)(1о) + Хк + 1[1, 1к] Рк1 х

X (-1)к + 1 Ж® Е | Щ1, т] м(1)) (т)Л + г = 1 и .

жествами К( 1) и К( 1) становится меньше е, как только 11 — 11 < 8. Здесь расстояние между множествами К( 1) и К( 1) понимается по метрике Хаусдорфа [10].

Пусть м(1) = {м(г) е Р,, г = 1, ..., к + 1} — набор уп-

~(к + 1)/л

равлений, которому соответствует движение х (1) составной системы (1.1).

Тогда для моментов времени 1 и 1 из промежутка [1к, 1к + 1], вычисляя разность фазовых состояний

х(к +1) (1) — х(к +1) (1) согласно формуле (2.7), получим

х(к +1) (1) - х(к +1) (1) = {Хк + 1[ 1, 1к] - Хк + 1[ 1, 1к]} х

х Рк1 ^(-1)к к) ВД^, 1о]х(1)(1о) +

кк + X (- 1)к - '' к) ак + X (-1)к + 1 - '' ж;(к) Е X

г = 1

г = 1

1

I НД1,, т] и(г) (т)Л I + |Нк + 1[ 1, т] и(к +1) (т)Л

- |Нк + 1[ 1, т]и(к + 1) (т)й.

1к

Поскольку матрицы Х,[1, т] и Н,[1, т], г = 1, ..., к + 1, ограничены по норме, а интеграл есть непрерывная функция пределов интегрирования, то получим следующие оценки:

(-1)к Ж(к) ВД^, 1о]х(1)(1о) + X (-1)к Ж(к) ак +

г = 1

+ X (-1)к + 1 - Ж(к) Е \ Н,.[1,, т]и( 0 (т)Л

г = 1

3С'

+ IНк + 1[1, т] м(1)+1) (т)Л | + X| Хк + 1[1, 1к] Рк1 х

X (-1)к - '' Ж(к) а, + (-1)к Ж(к) рХ^, 1о]х(1)(1о)

и = 1

1|Хк + 1[ 1, 1к] - Хк + 1[ 1, 1к]|| < С,

IНк + 1[ 1, т]и(к +1) (т)Л

3

к ч

7-1 ^ / 1чк + 1-1т|/(к)

+ Хк + 1[1, 1к] Рк1 X (-1Г1 'Ж^Е, I Н,[1,, т] м(2)) (т)А +

=1

1

+ IНк + 1[1, т] ы(к)+1) (т)Л^,

'к ^

и поэтому

х!к +1) (1) = (1 - X)х(к)+1) (1) + Xх(к)+1) (1),

т. е. К( 1) — выпуклое множество.

Теперь изучим зависимость множеств К( 1) от 1 при 1 е [1к, 1к + 1], к = 1, ..., т - 1. Покажем, что для любого е > 0 найдется 8 > 0 такое, что расстояние между мно-

|Нк + 1[ 1, т]и(к +1) (т)й

для заданного е > 0 и 11 - 11 < 8, если 8 выбрать достаточно малым, где С — некоторая постоянная.

Таким образом, для 11 - 11 < 8 имеем

IIх(к +1) (1) - х(к +1) (1 )|| < 3С С + 3 + = е. (3.3)

Пусть точка х(к +1) (1) е К( 1) соответствует набору управлений и(к +1) (1) на интервале 1о < 1 < 1. Определим набор управлений и(к +1) (1) на интервале 1о < 1 < 1 и

х

к

х

к

к

<

х

к

+

х

к

3

к

пусть Зс(к +1) (?) будет соответствующим ему решением, тогда Зс(к +1) (?) е К( ?) и имеет место неравенство (3.3). С другой стороны, если +1) (?) е К(?), соответствующее набору управлений и+1) (?) на интервале < ? < ?,

то, определяя набор управлений на интервале ?0 < ? < ?, получим выражение (3.3).

Приведенные рассуждения показывают, что расстояние между множествами К( ?) и К( ?) меньше е, как только | ? — ? | < 8, где 8 зависит от е. Таким образом, область достижимости К( ?) непрерывно зависит от момента времени ?. Теорема 1 доказана.

4. РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Из формулы (2.7) при к = т - 1 и ' = 'т = Т получим

т- 1

Хт[ Т 'т - 1] Ет- 1 I (-1)

т + 1 - г

ЖЕ, х

г = 1

| НД^, т]и(г)(т)Л

+

'г-1

+ | #И[Т, х]и(т)(х)^х = п

(4.1)

где

'т- 1

п = х(т)(Т) - Х„[Т, - 1] X

т -1

х Ет-1-1 I (-1)т - г1} аг - (-1)тХт[Т, - 1] х

г = 1

х ^ ЖГ- ^Х^, ?0]х(1)(?0). (4.2)

Отметим, что здесь число соотношений равно «т, а п — известный вектор.

Теперь в выражение (4.1) вместо функций Н['г, т], / = 2, ..., т, введем функции Нг ['г, т] следующим образом:

Н [?1, т] =

Н1 [т] при '0 < т < 0 при < т < ?т = Т,

Н ['г, т] =

0 при '0 < т < ?г-1,

Н,[?г-,т] при 'г-1 <т< ,

0 при < т < 'т = Т, / = 2, ..., т - 1,

Н, ['т, т] = |0 при ?0 <т< 1, (4.3)

^ ^ ] 1НЖ[ Т, т] при 1 <т< = Т. ( )

Соотношение (4.1) при помощи введенных функций (4.3) запишется следующим образом:

т- 1

I (-1)т + 1 - ХДТ, гт - 1] Ет-1-1 ЖЕ-1 х

г = 1 Т

(г)

(т)

X | Нг ['г, т]м(г)(т)^т + | Нт [Т, т]м(т)(т)^т = п

'о

или

Т /т- 1

11 I (-1)т + 1 - гХт[Т, 'т - 1] Ет-1 ^Е^ X

'о г = 1

X Нг ['г, тК°(т)I¿т + |Нт[Т, т]^(т)^т = п.(4.4)

'о

Введем обозначения:

Н[т] = (НДт], ..., Нт - 1[т], ^„[т]),

и(т) = (И(1)(т), ..., и(т - 1)(т), и(т)(т))Т, (4.5)

где

Н[т] = (-1)т + 1 - гХт[Т, 'т - 1] Ет-1-1 ЖЕГ1 Н ['„ т],

/ = 1, ..., т - 1; Нт[т] = Нт[Т, т].

Учитывая обозначения (4.5), соотношение (4.4) запишем в виде

| Н [т]м(т)^т = п.

(4.6)

Для любой задачи управления принципиален вопрос о ее разрешимости, который сводится к анализу управляемости системы. Из формулы (4.6) следует, что составная система (1.1) вполне управляема тогда и только тогда, когда для любо-

п

го вектора п (4.2) из Я т можно найти управление

и(т, п) = (и(1)(т, п), ..., и(т)(т, п))Т, удовлетворяющее условию (4.6).

Таким образом, условие вполне управляемости составной системы (1.1) можно сформулировать в виде следующей теоремы.

Теорема 2. Для того чтобы составная система (1.1) была вполне управляемой на отрезке ['0, Т], необходимо и достаточно, чтобы вектор-столбцы матрицы

Н[т] = ((-1)тХт[Т, 'т - 1] Ет-1 ^V Н ['1, т], ..., Хт[Т, 'т-1] Ет-1-1 Жт- Ет1- 1 Нт- 1 [^ т], Нт [Т, т])

ббми линейно независимыми на этом отрезке. ♦

Теперь, на основе изложенного, функцию м(?), удовлетворяющую интегральному соотношению (4.6), ищем в виде [11]

и(<) = НТ[']С + V»,

(4.7)

о

'г

х

о

16

СОЫТВОЬ БС!ЕМСЕ8 № 4 * 2012

где С — постоянный вектор, подлежащий определению, Г(1) — некоторая вектор-функция (может быть, измеримая ограниченная функция на промежутке времени [!0, Т]) такая, что

J H[t] V(t)dt

= 0.

(4.8)

Равенство (4.8) выражает условие ортогональности вектор-функций Г(1) ко всем строкам (блокам) матрицы Н [!].

Подставляя выражение (4.7) в условие (4.6) и учитывая условия (4.8), получим

Ш0, ..., Т)С = п(10, ..., Т), (4.9)

где

Q(t0, ..., T) = J H[t]HT[t]dt.

(4.10)

m + 1

Уравнение (4.9) является системой ^ ik алгеб-

k = 1

раических уравнений относительно неизвестных

m + 1

k

С, у = 1 ..., I

к = 1

Уравнение (4.9) имеет решение, если ¿е1;О ф 0 либо ранг матрицы Q совпадает с рангом расширенной матрицы {О, п}. Решение уравнения (4.9)

С = О-1п,

(4.11)

следовательно, из выражений (4.7) и (4.11) имеем

и(!) = ЯТ[1Ш-1г| + П^). (4.12)

Таким образом, решение задачи 1 можно сформулировать в виде следующей теоремы, аналогичной теореме, доказанной в работе [11].

Теорема 3. Для того чтобы существовало программное управление (4.7) (или (4.12)) и соответствующее ему решение системы (1.1), удовлетворяющее условиям (1.2)—(1.4), необходимо и достаточно, чтобы матрица (4.10) ббма неособой или чтобы ранги матриц О и {О, |} были одинаковы. ♦

Для решения задачи 2 заметим следующее. При заданном критерии качества к [и] задачу оптимального управления с интегральными условиями (4.6) можно рассматривать как задачу условного экстремума из вариационного исчисления, где надлежит определить минимум функционала к [и] при условиях (4.6). Однако, как видно из формул (4.3) и (4.5), подынтегральные функции в условии (4.6) являются разрывными, поэтому классические теоремы вариационного исчисления не применимы для исследования этой задачи.

Левая часть условия (4.6) является линейной операцией, порожденной функцией и(!) на промежутке времени [!0, Т ] [6].

Следовательно, если функционал k[u] является нормой некоторого линейного нормированного пространства, то решение задачи 2 следует искать путем решения проблемы моментов, тогда набор оптимальных управляющих воздействий u0(t), t е [t0, T], минимизирующий функционал k[u] и удовлетворяющий условию (4.6), будет решением задачи 2. Таким образом, задача 2 приводится к проблеме моментов, решение которой известно из работы [6].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Предложен конструктивный подход к исследованию задач управления линейными составными системами. Учитывая линейность условия преемственности между составными системами, введена формула определения фазового состояния составной системы (1.1) для произвольного момента времени t из любого промежутка времени [tk _ 1, tk], k = 1, ..., m, при заданном начальном состоянии. Используя явный вид управляемого движения составной системы, исследованы некоторые характерные свойства движения. Построено решение задачи управления линейными составными системами и предложен способ решения задачи оптимального управления, сформулированы условия существования программного управления и движения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Величенко В.В. Оптимальное управление составными системами // Докл. АН СССР. - 1967. - Т. 176, № 4. -С. 754-756.

2. Ащепков Л. Т. Оптимальное управление системой с промежуточными условиями // Прикладная математика и механика. - 1981. - Т. 45, вып. 2. - С. 215-222.

3. Куржанский А.Б. Задачи динамики и управления для гибридных систем // Тез. докл. междунар. конгресса «Нелинейный динамический анализ - 2007», 4-8 июня 2007 г. -СПб., 2007. - С. 10.

4. Borrelli F., Baotic M., Bemporad A., Morreri M. Dynamic programming for constrained optimal control of discrete-time linear hibrid systems // Automatica. - 2005. - Vol. 41. -P. 1709-1721.

5. Johansson M. Piecewise Linear Control Systems. - Berlin: Springer, 2003. - 202 p.

6. Красовский Н.Н. Теория управления движением. - М.: Наука, 1968. - 476 с.

7. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Иностр. лит., 1954. - Т. 2.

8. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. - М.: Наука, 1972. - 576 с.

9. Черноусько Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. - М.: Наука, 1988. - 320 с.

10. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функционального анализа. - М.: Наука, 1976. - 496 с.

11. Зубов В.И. Лекции по теории управления. - М.: Наука, 1975. - 496 с.

Статья представлена к публикации членом редколлегии В.Ю. Рутковским.

Барсегян Ваня Рафаелович - д-р физ.-мат. наук, профессор, Ереванский государственный университет, в (374-10) 52-36-40, И [email protected], [email protected].

о

о