CC BY
186
КОНСТРУИРОВАНИЕ СИСТЕМ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
М. В. Модонова (Мордовский государственный педагогический институт им. М. Е. Евсевъева)
В статье рассматриваются различные подходы к конструированию систем математических задач, приводятся результаты анализа классификации и методов конструирования систем математических задач.
Ключевыге слова: система математических задач; блок задач; родственные задачи; методы конструи-
рования задач.
В последние десятилетия в методических исследованиях особое внимание уделяется конструированию различных «объединений» взаимосвязанных задач. Методистами, педагогами и психологами установлено, что ни одна задача, решаемая изолированно, не дает нужного образовательного результата, не позволяет достичь основных целей обучения математике. Так, Г. И. Саранцев указывает, что решение задач вызывает определенную умственную деятельность, которая обусловлена не только их содержанием, но и последовательностью их решения, количеством однотипных задач, комбинацией с другими задачами [6].
В методической литературе используются различные термины для обозначения «объединений» задач:
— блок — совокупность связанных между собой задач, объединенных общей идеей, исходя из условия их упорядочивания посредством обобщения, конкретизации, аналогии, таким образом, что каждая последующая задача либо обобщает предыдущую, либо конкретизирует ее, либо является ее аналогом, либо использует результат предыдущей задачи (Т. М. Калинкина);
— серия — система задач, включающая задачи, объединенные общей идеей решения (Н. С. Мельник);
— семъя — совокупность математических объектов, связанных каким-либо отношением (Е. А. Молчанова и др.);
— система — совокупность объектов, взаимодействие которых «вызывает» появление новых, интегративных качеств, не свойственных отдельно взятым образующим систему компонентам
(Г. И. Саранцев, Ю. М. Колягин, О. Б. Епишева и др.);
— цепочки — совокупность взаимосвязанных по фабуле, содержанию, по методам решения задач, развивающихся по сюжетной и прикладной линиям (Н. В. Вахрушева);
— цикл — совокупность, содержащая задачи, различные по формулировке и сюжету, но имеющие общее дидактическое назначение, служащие достижению одной цели (Г. В. Дорофеев).
Несмотря на многообразие подходов к типологии «объединений» задач, унифицированного термина, которым можно было бы обозначить всю совокупность перечисленных выше задач, нет. Обобщая указанные дефиниции, обозначим термином «родственные задачи» задачи, связанные между собой фабулой, содержанием, идеей решения, совокупностью используемых понятий, способом решения.
К проблеме построения взаимосвязанных задач обращались многие исследователи. Д. Пойа, например, выделяет 6 основных способов варьирования задачи: обобщение, специализацию, аналогию, «разложение» и составление новых комбинаций, введение вспомогательных элементов, «возвращение» к определениям [5].
По мнению Д. Ф. Изаака, по ходу решения любой геометрической задачи обнаруживаются различные свойства соответствующей геометрической фигуры, в том числе такие, которые в процессе решения не используются. Исследование задачи начинается тогда, когда после ее решения выявляются новые © Модонова М. В., 2009
№ 4, 2009
свойства полученного результата. В некоторых случаях они могут быть достаточно интересными (представлять собой «небольшие открытия») и использоваться для составления новых задач и различного рода обобщений. Ученый выделяет приемы составления новых задач: на основе обнаруженных в процессе решения исходной задачи свойств объектов, присущих условию; на основе обобщения результата, полученного при решении исходной задачи; посредством использования частных случаев исходной задачи; путем составления задачи, обратной исходной; с помощью замены одного из условий исходной задачи [2].
Рассматривая составление и решение задач, «порожденных» данной, Е. С. Канин к последним относит задачи, которые получаются из исходной: заменой части данных в исходной задаче другими данными без замены заключения задачи; при обобщении данных или искомых; путем специализации данных или искомых; добавлением новых заключений при сохранении данных; заменой части данных исходной задачи ее искомыми (часть данных принимается за искомые, а некоторые искомые считаются данными), т. е. путем «обращения» задачи [3].
И. Е. Дразнин считает одним из важнейших способов построения систем упражнений способ варьирования, под которым он понимает составление такой последовательности упражнений, в которой каждое последующее получено из предыдущего или одного из предыдущих изменением условия или параметра. Ссылаясь на опыт применения таких задач, ученый отмечает, что после нескольких месяцев работы учащиеся довольно успешно сами варьируют условия, а это развивает фантазию, интуицию, логику, т. е. предложенный способ дает ощутимый результат [1].
В исследовании Б. Ф. Харитонова, посвященном использованию взаимосвязанных задач в условиях дифференцированного обучения, к взаимосвязанным задачам относятся группы задач либо с общей геометрической конфигурацией (например, объединение треугольника и квадрата в различных вариациях), которая встречается в каждой задаче и является «ключом» к ее решению, либо с общим приемом, который, вариативно повторяясь, используется в решении каждой задачи [8].
Ниже приведена схема для построения блоков взаимосвязанных задач, предложенная И. Я. Куприяновой [4].
На схеме задачи с литерой А являются подзадачами исходной задачи, а с литерами Б, В — подзадачами к зада-
чам А. Схема показывает, что рассмотрение подзадач и задач, связанных использованием в условии или в решении
результата решения предыдущей задачи, является еще одним способом построения блоков взаимосвязанных задач.
Г. В. Токмазов, строя свои блоки задач, предлагает использовать одну задачу в качестве основной, а подзадачи составлять различными способами, например, подобрать новые вопросы (требования) к условию задачи; в соответствии с требованиями исходной задачи составить более общую задачу; сформулировать вопросы, которые раскрывают частные крайние случаи исходной задачи; рассмотреть условие (или требование), которое является отрицанием условия (или требования) первоначальной задачи; составить задачу, которая решалась бы с помощью контрпримера; составить задачу, которая решалась бы различными способами [7].
Указанными способами можно построить не только подзадачи, но и задачи обратные, противоположные данной, с одним условием или одним требованием. При этом пути построения блоков задач также могут быть различны: от данной задачи к совокупности задач, и наоборот — от совокупности к основной задаче.
Теоретическое осмысление проблемы конструирования взаимосвязанных задач представлено в работах П. М. Эр-дниева. Им были выделены следующие приемы построения взаимосвязанных задач: взаимообратные задачи; аналогичные задачи; обобщение вопроса задачи; рассмотрение стереометрических аналогов [9].
Г. И. Саранцев отмечает, что на последних этапах процесса формирования понятия важно использование блоков задач, объединенных какой-либо общей идеей [6]. Упорядочение задач может быть осуществлено посредством обобщения и конкретизации, привлечения аналогии, на основе составления взаимно обратных задач. Блоки задач могут конструироваться следующими способами:
— результаты решения предыдущей задачи используются в условии последующей;
— результаты решения предыдущей задачи используются в решении последующей;
— предыдущие задачи являются элементами последующей;
— решения совокупности задач осуществляются одним и тем же методом;
— на основе одной задачной ситуации.
Другими исследователями выделяются следующие методы конструирования систем задач: построение взаимооб-ратных и противоположных задач; обобщение и конкретизация задач; рассмотрение аналогов; расчленение условия и требования задачи на части и включение их в новые связи; составление задач на основе использования в них результата решения предыдущих задач (Т. М. Ка-линкина); конструирование задач, аналогичных данной; обобщение задачи; конкретизация задачи; конструирование задачи, обратной данной; варьирование; переформулировка задачи (О. Н. Ор-лянская); обобщение; конкретизация; составление обратных задач; варьирование; составление более сложных задач (Т. И. Дюмина) и др.
Проанализировав различные походы к конструированию «объединений» задач, совокупность приемов составления родственных задач представим следующим образом:
— обобщение условия или требования задачи;
— конкретизация условия или требования задачи;
— специализация условия или требования задачи;
— составление задач, обратных исходной;
— составление задач, аналогичных исходной;
— составление задач, являющихся частными случаями исходной;
— замена или добавление требования с сохранением условия;
— замена или добавление условия с сохранением требования;
— использование результатов решения предыдущей задачи в условии или решении последующей;
№ 4, 2009
что четыре перпендикуляра (или их продолжения) пересекаются в одной точке.
— составление задач, имеющих с исходной одинаковый метод решения.
Рассмотрим один из указанных приемов — прием обобщения. Обобщение как форма перехода от частного к общему имеет целью выделение общих существенных свойств, принадлежащих только данному классу объектов. Использование обобщения основано на расширении области изменения параметра либо на переходе от данного множества к более широкому множеству, содержащему данное. Первое направление преимущественно применяется в алгебре, второе — в геометрии. Снятие или ослабление ограничения, наложенного на условие первоначальной задачи, приводит к новой, более общей, задаче или к доказательству некоторого утверждения.
При построении обобщенных по отношению к данной задач обобщается либо условие, либо требование задач, либо их части. В соответствии с этим формирование приема у учащихся предполагает наличие задач, учитывающих каждое из обобщений. Примеры таких задач даны ниже.
1. Приведите пример более общего понятия данного.
2. Из данной совокупности задач выберите те, которые являются обобщением данной. Как были получены эти задачи?
3. Составьте задачу, обобщающую часть условия данной задачной ситуации.
4. Составьте задачу, обобщающую условие задачи.
5. Составьте задачу, обобщающую часть требования данной задачи.
6. Составьте задачу, обобщающую требование задачи.
7. Составьте задачу, обобщающую условие и требование задачи.
Одним из направлений обобщения служит «выход» из плоскости в пространство. Рассмотрим это на примере.
Исходная задача. Дана точка Р, принадлежащая внутренней области квадрата А1А2А3Аа. Из вершины А1 опущен перпендикуляр на прямую А2Р, из вершины А2 — на прямую А4Р. Из вершины А3 опущен перпендикуляр на прямую А1Р. Докажите,
Поскольку в условии задачи заданы взаимно перпендикулярные прямые, то естественно предположение о целесообразности использования в ее решении поворота. Это предположение усиливается тем, что в задаче речь идет о квадрате, а квадрат, как известно, поворотом вокруг точки пересечения его диагоналей на 90о отображается на себя. Указанный поворот переведет точку А1 в точку А2, прямую А1В1 в прямую А2Р. Аналогично точка А2 перейдет в точку А3, прямая А2В2 — в прямую А3Р, точка А3
— в точку А прямая А3В3 — в прямую А4Р, точка А4 — в точку А1, прямая А4В4
— в прямую А1Р. Прямые А1Р, А2Р, А3Р, А4Р пересекаются в точке Р, следовательно, пересекаются и прямые А1В1, А2В2, А3В3, А4В4, которые переводятся рассматриваемым поворотом в прямые А1Р, А2Р, А3Р, А4Р. План решения задачи найден. Основная идея доказательства
— использование поворота вокруг центра квадрата А1А2А3А4 на 90о.
Ограничение на положение точки Р несущественно в реализации плана решения задачи, а потому его можно снять. Идея решения не изменится, если квадрат заменить правильным п-угольником (например, шестиугольником), а перпендикулярные прямые А1В1 и А2Р, А2Р2 и А3Р, А3В3 и А4Р, А4В4 и А1Р — прямыми, образующими углы в 360о : п (60о).
Обобщенная задача. Произвольная точка Р плоскости соединена с вершинами правильного п-угольника А^.-.А^ Через вершину А1 проведена прямая А1В1 под углом 360о : п к прямой А3Р и т. д. Наконец, через вершину Ап проведена прямая АпВп под углом 360о : п к прямой А1Р. Докажите, что прямые А1В1, А2В2, ..., АпВп пересекаются в одной точке, если считать, что указанные прямые являются сторонами положительно направленных углов.
Из вышесказанного можно сделать вывод, что включение систем математических задач и приемов по их конструированию в процесс обучения матема-
тике оказывает существенное влияние на формирование качеств, характеризующих умственное развитие личности, ее творческие способности, мировоззрение. Системы задач позволяют систематизировать знания учащихся, построить их иерархию, сформировать представление о математике как науке в целом.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Дразнин, И. Е. О выборе последовательности упражнений / И. Е. Дразнин // Математика в школе. — 1990. — № 5. — С. 43.
2. Изаак, Д. Ф. Возникновение новых задач при исследовании задач по геометрии / Д. Ф. Изаак // Математика в школе. — 1994. — № 5. — С. 34.
3. Канин, М. 3. Развитие темы задачи / М. З. Канин // Математика в школе. — 1991. — № 3. — С. 22.
4. Куприянова, И. Я. Адаптивные программы управления решением геометрических задач : метод. рекомендации для студентов / И. Я. Куприянова. — Ростов н/Д : РГПИ, 1988.— 16 с.
5. Пойа, Д. Как решать задачу / Д. Пойа. — М. : Учпедгиз, 1961. — 208 с.
6. Саранцев, Г. И. Упражнения в обучении математике / Г. И. Саранцев. — 2-е изд., дораб. — М. : Просвещение, 2005. — 255 с.
7. Токмазов, Г. В. Задачи динамического характера / Г. В. Токмазов // Математика в школе. — 1994.— № 5 . — С. 9—12.
8. Харитонов, Б. Ф. Методика повторения приемов и методов решения геометрических задач / Б. Ф. Харитонов // Математика в школе. — 1990. — № 4. — С. 36—38.
9. Эрдниев, П. М. УДЕ как технология обучения / П. М. Эрдниев. — М. : Просвещение, 1992. — 175 с.
Поступила 22.04.09.
ЗДОРОВЬЕСБЕРЕГАЮЩАЯ КОМПЕТЕНЦИЯ КАК СОСТАВЛЯЮЩАЯ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ ПОДГОТОВКИ СТУДЕНТОВ ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ВУЗА
Ю. В. Лукашин (Саратовский государственный университет им. Н. Г. Черныгшевского)
В статье обосновывается актуальность формирования здоровьесберегающей компетенции будущего педагога. Анализируются различные подходы к пониманию ее сущности; представляется авторское видение компонентного состава.
Ключевыге слова: здоровье; здоровьесбережение; профессиональная компетентность; компетенции; здоровьесберегающая компетенция будущего педагога.
Вхождение России в Европейское образовательное сообщество, подписание Болонского соглашения связаны с категориями «компетентность» и «компетенции» — универсальными характеристиками специалиста любой области, в том числе в сфере образования.
На нормативном уровне компетентность как критерий качества выпускника и как «модельная конструкция представления результатов образования» [6, с. 21] была заявлена в государственных образовательных стандартах первого поколения. Второе их поколение закрепило компетентность в качестве «конкретной концептуальной результативно-целевой основы проектирования содержания
общего образования» [2, с. 12]. В ГОС ВПО третьего поколения компетенции выпускников вузов делятся на две группы: общие (базовые, универсальные, ключевые, надпрофессиональные) и предметно-специализированные (профессиональные).
Среди всего спектра профессионально-педагогических компетенций отдельной строкой выделяется здоровьесберегающая, представляющая собой новую парадигму оценки качества подготовки педагога XXI в. Начало разработок в этой области связано с изученнием возможности подготовки студентов вузов физкультурно-спортивного профиля к здоро-вьесбережению учащихся (М. Р. Вале© Лукашин Ю. В., 2009
