CC BY
9
АСТРОФИЗИКА И ЗВЕЗДНАЯ АСТРОНОМИЯ
УДК 531.011:521.11
DOI: https://doi.org/10.34680/2076-8052.2021.4(125).114-116 КОНФОРМНАЯ СИММЕТРИЯ ПРОБЛЕМЫ КЕПЛЕРА Я.И.Грановский CONFORMAL SYMMETRY OF KEPLER'S PROBLEM
Ya.I.Granovsky
Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого, yagran1931@gmail.com
В статье показано, что независимо от кинематики динамической группой задачи Кеплера является конформная группа SL2(C).
Ключевые слова: конформная группа, теорема Гамильтона, уравнение Дирака, геометрия электронных функций
Для цитирования: Грановский Я.И. Конформная симметрия проблемы Кеплера // Вестник НовГУ. Сер.: Технические науки. 2021. №4(125). С.114-116. DOI: https://doi.org/10.34680/2076-8052.2021.4(125).114-116
In this article it is shown that, independently on kinematics, the dynamical group of the Kepler's problem is conformal group SL2(C).
Keywords: conformal group, the Cayley-Hamilton theorem, Dirac equation, geometry of electronic functions
For citation: Granovsky Ya.I. Conformal symmetry of Kepler's problem // Vestnik NovSU. Issue: Engineering Sciences. 2021. №4(125). P.114-116. DOI: https://doi.org/10.34680/2076-8052.2021.4(125).114-116
Введение
Около 400 лет назад И.Кеплер установил три закона движения планеты вокруг Солнца, а спустя 80 лет И.Ньютон показал, что они вытекают из гипотезы о силе, действующей по закону обратных квадратов. С тех пор задача о движении в поле такой силы называется Проблемой Кеплера.
В ХХ в. оказалось, что законы движения в мире атомов и молекул, хотя и похожи на канонические уравнения, но имеют совершенно иное содержание: динамические переменные стали операторами, скобки Пуассона — коммутаторами, возникла квантовая механика.
Тем не менее, в этом мире осталось место для проблемы Кеплера — ею стала задача об устройстве атома водорода. Более того, действующая в нём сила, хотя и электрического происхождения, но зависит от расстояния, как и гравитационная — по закону обратных квадратов.
Займёмся же этой задачей!
Теорема гамильтона
В 1847 г. Гамильтон опубликовал короткую заметку, в которой проинтегрировал закон Ньютона
¿р ^ ^ ХП
— = F . В проблеме Кеплера F = ——, (а = GMm): Л г
~ Г^ , —2 am , „ ^
p = -aj ndtr =--J ndф = Qe + const; Q ■
L
e = -ex sin ф + ey cos ф.
am L '
(1)
В уравнении p - Qe = h содержится вся теория кеплеровского эллипса:
1-й закон («закон орбит»): г х р = L = = ОТ х е + г х h = Qrez + гИ ^ фе2, откуда следует уравнение орбиты г = р(1 +есс^ф)-1 при р = L/Q и е = И/О;
2-й закон («закон площадей»): постоянство секторной скорости = г 2ф /2 следует из сохранения
орбитального момента 5 = Ь /2т ;
3-й закон («закон расстояний»):
Т = каЬ/5 = 2ктаЬ /^тар = 2ка3/2 /4оМ .
Траектория импульса (Гамильтон назвал её годографом) представляет собой окружность с радиусом, равным О, центр которой сдвинут от начала на
вектор И . Эти окружности — большие круги трехмерной сферы, перпендикулярные моменту.
Просто удивительно, как эта простая картина ускользнула от внимания выдающихся математиков века...
Симметрия
Если представить эллипс Кеплера в параметрическом виде х = а^б, у = bsin6, то видно, что координаты х и у колеблются синхронно, что ведёт к замкнутости орбиты. Совпадение периодов ведёт к целому ряду эффектов: энергия не зависит от эксцентриситета, орбита не меняется при вращениях вокруг момента.
Наличие второго интеграла движения (в нашем
случае вектора И ) приводит к ещё одному преобразованию, вращению вокруг него: симметрия повышается от О(3) до О(4). Именно эта симметрия О(4) была установлена В.А.Фоком в 1935 г.
Можно указать ещё одно преобразование — инверсию относительно годографа. Инверсия относится к конформным преобразованиям, значительно расширяющим группу преобразований симметрии. Заметим, что в координатном представлении это преобразование выглядит весьма громоздко (эллипс превращается в гиперболу).
Уравнение Шредингера
Переходя к квантовой теории, мы должны пользоваться волновым уравнении Э.Шредингера = .
Р 2 Хе2
Гамильтониан Н=—---имеет тот же вид, что и в
2т г
классике, но теперь импульс — это оператор р2 =-Й2У2 (в дальнейшем будем считать к = 1 и полагать 2е2 = а). Оператором является и г , но в координатном представлении он сводится к простому умножению. Волновое уравнение вида
1 _2 }2 2та , „ -д2г —-+2тЕ
т(г)=о
(2)
г г 2 г
математики называют уравнением Уиттекера. Стандартным методом его решения является выделение асимптотик в особых точках г = 0 и да с последующей интерполяцией между ними.
Мы запишем это уравнение в импульсном представлении
г(р2 + k2)Т(р) = 2таТ(р), k2 =-2тЕ >0,
(3)
где импульс р сводится к умножению, а г становится дифференциальным оператором!
Разные авторы обращались с этим уравнением по-разному: Э.Хиллераас квадрировал его, В.А.Фок превращал из дифференциального в интегральное, Ю.Б.Румер изучал алгебраические свойства левой части.
Первое, что сделал Румер, — это ввёл оператор R1 = г (р2 + k 2)/2k и кулоновский параметр " = ат/к: уравнение Шредингера стало уравнением собственных значений этого оператора Я1¥ = "¥. Наряду с
Я1 он ввёл оператор R2 = г (р2 - к 2)/2к , соответствующий энергии Е > 0. Их коммутатор
Я Л2 ] = Я (4)
порождает третий оператор, равный Я3 = -/'(гд + 1). На этом алгебра замыкается — дальнейшие коммутации выражаются через три оператора:
ЯЯ2 ] = Щз, [Я2,Я3 ]=-Я [Лз,Я ] = Ш2. (5)
Алгебра этих трёх операторов носит название 0(2,1), отражающее её сигнатуру; она отличается от 0(3) знаком второго коммутатора (см. Приложение 1).
Как и в 0(3), в ней имеется оператор Я+ = Я2 + iЯ3, который превращает волновую функцию Т в Т', также являющуюся собственной функцией оператора Я1. В самом деле, Я1Я+Т- Я+ Я1Т = Я+Т, т. е. Я1Т'-Я+^Т = Т' или Я1Т' = (" + 1)Т'.
Я+ называют повышающим оператором; его можно применять повторно, так что возникает «лестница» состояний с арифметически растущим параметром " = "0 + п. Ограничений на число повторов нет, лестница бесконечна, что отличает некомпактную алгебру Румера от компактной 0(3).
Наряду с Я+ существует понижающий оператор Я- = Я2 - iЯ3, действующий в обратном направлении. Исходя из любого состояния, с помощью этих двух операторов можно восстановить весь спектр дискретных состояний. Все они одинаково зависят от углов и других аргументов (спин, чётность и т.п.), изменяется только радиальная (или импульсная) зависимость, так как кроме неё у операторов Я± нет других аргументов!
Что касается атома водорода, то его параметр "Л = "0 + п содержит "0 — кулоновский параметр основного состояния и п — радиальное квантовое число. В нерелятивистском случае "0 = 1, и энергия рав-
„ к2 1 (ат! та2
на Е =--=--1-I =—--— — получается
2т 2т у " ) 2{п + 1)2
известная формула Н.Бора.
Уравнение Дирака
Обратимся к релятивистской теории «магнитного» электрона (П.Дирак, 1928 г.). Его современная запись, с учётом влияния внешнего поля, предложена В.Паули* (см. также Приложение 2):
[у а Па+ т}¥ = 0.
(6)
Она включает: уа — 4-рядные матрицы Дирака со свойствами УаУр+УрУа= 28ар ; Па = ра -еАа
— комбинация 4-мерного оператора импульса ра=-/'д/ дха и 4-мерного потенциала Аа внешнего
(Ф!
электромагнитного поля; ¥ = 1 I — биспинор, волновая функция электрона.
Уравнение (6) — это два связанных линейных уравнения для двух спиноров ф и Их можно разделить с помощью уравнения
[(у- П)2 -т2]¥ = 0. (7)
Имеем (у-П)2 = П2 + /ест(Н + р3Е), где Н и Е
— напряжённости электромагнитного поля. Окончательно уравнение (6) принимает вид
[(Е-ге2 /г)2 -р2 -т2 -/р3стпХе1 /г2]Т = 0. (8)
тг Г72 1 д2 }2
Подставив V =--- г —— и разделив на
г дг 2 г 2
2
(-2/'к)2, приходим к уравнению Уиттекера
( 1 ■ А А
д2 - I + 9 р 4 ~ „2
Р
рТ(р) = 0,
(9)
в котором р = -Икг, "=ХаЕ/к, О=}2-(га)2 +12ар35п.
Нашей целью было получить это уравнение и убедиться, что оно имеет всё тот же вид, что и в нерелятивистской теории. Ниже мы установим его конформную симметрию.
Мы видим в уравнении (8) всё тот же оператор
2 р у (у +1) Ю.Румера Я1 = рд2-----— с единственной раз-
4 р2
ницей — коэффициент 1(1 + 1) заменён на у(у + 1) собственное значение оператора О (см. Приложение 3).
Построив операторы Я1 и Я2, заключаем, что и в релятивистской кинематике алгебра О(1,2) сохраняет
*Здесь и в дальнейшем приняты единицы измерения, в которых к=с=1.
силу вместе со своим следствием ^ = у + п. Поэтому энергия даётся формулой Е = т!
1 +
( Ze2 ^
n + у
V ' /
Геометрия электрона
Вернёмся к картине Гамильтона: годограф — это большой круг 3-мерной сферы, погруженной в 4-мерное эвклидово пространство. Кривизна этой
сферы равна 2/О2. Ввиду изоморфизма такой же кривизной обладает плоскость импульсов; её метри-
пропорционален
я I 2k
ческии тензоР gab = 8ab ^ p2 + k 2
5ab, метрическому тензору плоского пространства. Это означает, что она конформна! Впрочем, мы это видели выше, в разделе «Симметрия».
В квантовой теории геометрия импульсов остаётся той же, но вместо траекторий используется волновая функция. Что вносит в эту картину спин?
Обратимся к уравнению Дирака. Полный угловой момент J = L + S включает спиновую часть S =-2.
Согласно правилу сложения моментов j = l + 1/2, поэтому при данном j необходимо иметь две функции — одну для l = j + 1/2, другую — для l = j-1/2. Эту роль выполняют два спинора с противоположными чётно-стями, верхний ф и нижний Поэтому волновая функция электрона имеет не две компоненты, а четыре.
Наряду с вектором уа в теории электрона встречаются тензоры второго уаур, третьего уауруз и четвёртого уаурузуе рангов. Если считать их вместе с вектором, то получится 15 линейно-независимых матриц. Вместе с единичной матрицей они образуют полную систему матриц 4-го порядка. Все шестнадцать можно записать в виде расть, откуда легко получить коммутаторы [Oab, Oac] = ieaObc, отвечающие конформной алгебре SL2(C).
Остаётся лишь перечислить, в каких ролях выступают эти матрицы: первая из пяти троек ст — генератор вращений, вторая р2ст — генератор «бустов» [вместе они образуют алгебру Фока О(4)], третья pj5 — генератор сдвигов, четвёртая р3ст — генератор инверсий и, наконец, пятая р — генератор алгебры Румера 0(1,2) (см. Приложение 4).
Заключение
Таким образом, волновые функции атома водорода являются представлениями конформной группы. Этот вывод справедлив при любой кинематике. Спектр представляет собой арифметическую прогрессию с единичным шагом ^ = + п. Движение по спектру не меняет полный момент, вследствие чего спектр состоит из двух «лестниц» с противоположной чётностью.
Мы приходим к двум выводам:
— волновая функция электрона удовлетворяет уравнению Уиттекера при любой кинематике и любом спине;
— динамической группой Проблемы Кеплера является конформная SL2(C).
Неудивительно, что, будучи чисто геометрическими, эти свойства сохраняются и в классической механике.
Наконец, следует отметить, что конформная симметрия ограничена классом математических функций, подчиняющихся вырожденному гипергеометрическому уравнению с двумя особыми точками. Гипергеометрическое уравнение с его тремя особыми точками подчиняется квадратичной алгебре и выходит за рамки групп С. Ли.
На сегодняшний день эти положения являются наиболее общим результатом многолетних исследований выдающихся учёных, упоминавшихся выше.
Приложения
1. Алгебра (4) отличается от алгебры 3-мерных вращений О(3) знаком второго коммутатора, что отражается на её операторе Казимира Q = R1 - R2 - R32 имеющего в отличие от своего аналога алгебраически неопределённую форму. Оператор R1 «не похож» на R2, и это видно не только в коммутаторах, но и в его спектре — он непрерывен!
Что касается R-= R2 - iR3, то он ограничен: дойдя до основного состояния Т0, он обращает его в ноль R-x¥0 = 0, ив результате лестница состояний ограничена снизу!
2. Основываясь на уравнении Шредингера ihd^/dt = и релятивистском равноправии координат и времени, Дирак полагал гамильтониан линейной комбинацией операторов импульса Н = ap+bm . Поскольку, согласно А.Эйнштейну, E = p2 + m2, то
должно быть a2 = b2 и, сверх того, ab + ba = 0. Эти равенства Дирак удовлетворил с помощью матриц a = р1ст и b = р3. Окончательно волновое уравнение свободно движущегося электрона приняло вид ihd^/dt = [р15р + р3т]¥. Паули восстановил релятивистскую инвариантность, объединив операторы д/дх и d/dt и освободив инвариант m от матрицы.
3. Преобразуем матрицу О. Пусть Г = кр1 + iZap 3стЯ. Тогда Г2 = к2 - (Za)2 и О = L2 - (Za)2 + iZap3an = Г2 +Г + [L2 - к2 - кр1]. Слагаемые в скобке компенсируются и О =Г(Г + 1). Собственное значение Г равно у = Vк2- (Za)2, к = j +1/2.
4. Особая роль алгебры О(1,2) связана с тем, что комплексная плоскость Q = х + iy, в которой лежит годограф, инвариантна относительно дробно-
линейного преобразования <^'= . Матрица
1 + a ß у 1 -a
близкая к единичной, порождает преоб-
1 + а
разования растяжения С' = Ст-, сдвига С' = С + р и
1—а
1 1
инверсии с=с + У. Их генераторы коммутируют как
[&Х, Яр] = -Яр; \Еа, Яу] = gу; \Яр, Яу] = 2gа, что позволяет отождествить яа с R1, Яр с R—, яу с R+.
Таким образом, группа движений комплексной плоскости совпадает с О(1,2).
