CC BY
48
ИНЖЕНЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА
УДК 72.012
А.В. Иващенко, Е.П. Знаменская*
НОУВПО «СФГА», *ФГБОУВПО «МГСУ»
КОНФИГУРАЦИЯ ДЕЗАРГА В АРХИТЕКТУРНОМ И ДИЗАЙН-ПРОЕКТИРОВАНИИ
Представлены основные аспекты плоскостной и пространственной конфигурации Дезарга, а также основные положения, имеющие особое значение в теории формообразования на основе проективографии. Описанные свойства конфигурации указывают на возможность ее широкого применения в архитектурном и дизайн-проектировании и позволяют прогнозировать довольно сложные эффекты восприятия архитектурных форм. Приведены примеры зданий, где в конструктивных решениях современных архитекторов просматриваются мотивы пространственной конфигурации. Плоскостной вариант конфигурации часто используется в качестве декора и ограждений.
Ключевые слова: конфигурация, проективная геометрия, формообразование, дизайн-проектирование, архитектура, проективографический чертеж, точка, проекция.
Конфигурация Дезарга имеет фундаментальное значение не только для проективной геометрии, являясь основной конфигурацией в проективном и перспективном соответствии рядов точек и прямых, но и имеет весьма многочисленные приложения в архитектурном и дизайн-проектировании.
В соответствии с основными свойствами конфигурации Дезарга, если у данных двух треугольников соответственные вершины лежат на прямых, инцидентных одной точке, то продолжения сторон пересекаются в трех точках, инцидентных одной прямой. Конфигурация Дезарга возможна как на плоскости, так и в трехмерном пространстве. На плоскости это такая конфигурация десяти прямых и десяти точек, при которых каждая прямая инцидентна трем точкам конфигурации и каждая точка инцидентна трем прямым. При этом в случае параллельных прямых вводится в рассмотрение несобственная точка. Такой вариант конфигурации Дезарга встречается при рассмотрении ортогональных проекций.
В случае пространственного варианта в дополнение к прямым и точкам вводятся пять плоскостей, однако, они не являются основными элементами конфигурации (рис. 1).
«Доказательства для случаев dim(P(£)) > 3 и dim(P(£)) = 2 в корне отличаются друг от друга. Если dim(P(£)) > 3, то мы пользуемся лишь свойствами пересечений подпространств; поэтому результат окажется справедливым в любой аксиоматической теории. Если dim(P(£)) = 2, то нужно применить теорему Дезарга в аффинном случае, где используется основное поле» [1].
Инженерная геометрия и компьютерная графика
VESTNIK
MGSU
t
Рис. 1. Пространственная конфигурация Дезарга
«Если оба треугольника принадлежат одной проективной плоскости, то предложение Дезарга нельзя доказать лишь на основе аксиом инцидентности плоскости, однако оно справедливо на любой проективной плоскости, которую можно вложить в проективное пространство большей размерности. Пространственный случай предложения Дезарга следует из аксиом инцидентности пространства» [2].
Помимо указанных свойств конфигурации Дезарга, можно отметить особое значение этой конфигурации в проективографических эпюрах общего положения [3]. Количество этих конфигураций для каждого типа эпюры можно вычислить по специальному алгоритму, однако для построения полной системы проективографических прямых достаточно указать некоторую базовую (исходную) конфигурацию, относительно которой остальные линии последовательно выстраиваются в определенном порядке.
Как известно, прямые в конфигурации Дезарга равноправны с точки зрения проективной геометрии, однако прямые на проективографическом чертеже имеют строго упорядоченную иерархию и не взаимозаменяемы. Такой двойственный подход к проективографическому чертежу (как системы абстрактных конфигураций, с одной стороны, и связь с группой вращений ядра многогранника, с другой) обусловливает повышенный интерес к проблемам поиска известных конфигураций не только Дезарга, но также и Паскаля, Паппа и Брианшона [4, 5], связанных уже не только инцидентностными отношениями, но также и некими кониками, которые явно на чертеже не присутствуют, однако вполне «просматриваются» на эпюре с большим числом прямых (особенно это заметно на многоядерных эпюрах).
В многоэпюрных, но бедных симметриями структурах (к ним можно отнести некоторые типы многогранников Джонсона) классические конфигурации тоже присутствуют, но реальная помощь от их использования менее выражена [6].
Конфигурацию Дезарга можно рассматривать с различных точек зрения. Трехмерный вариант конфигурации Дезарга в определенном смысле «проще», и позволяет обращаться к трехмерным объектам. Однако, с другой стороны, поскольку в трехмерном пространстве можно говорить не только о прямых и точках, но и о плоскостях, то количество объектов, составляющих конфигурацию, уже не ограничивается 10 точками и 10 прямыми, но и дополняется 5 плоскостями.
«Пространственная фигура обладает внутренней симметрией, которую нельзя усмотреть в плоской конфигурации, именно пространственная фигура состоит из всех плоскостей и прямых, соединяющих пять точек, ... причем эти пять точек вполне равноправны» [7].
В случае пересечения плоскостью прямой трехгранной призмы мы имеем дело со случаем конфигурации Дезарга с несобственной точкой (т.е. точка пересечения прямых, инцидентным соответствующим вершинам треугольника, является бесконечно удаленной) [8].
Следует также указать на то, что различные операции в элементарной геометрии (например, гомотетия или параллельный перенос) также могут быть выведены из особых случаев двумерной конфигурации Дезарга [9].
«Сведение теоремы Дезарга к аффинному случаю приводит к двум различным конфигурациям, отвечающим соответственно случаям, когда прямая проходит или не проходит через точку, общую для прямых. Эти две конфигурации будут играть важную роль при аксиоматическом построении аффинной плоскости» [10].
Следует отметить некое «обобщение» плоскостной конфигурации Дезарга на трехмерный случай (не то же самое, что пространственный вариант конфигурации Дезарга), а именно: «If two tetrahedral correspond to each other in such a way that the lines joining corresponding vertices pass through a common point, then the lines of intersection of corresponding faces lie in a common plane, and conversely», — «Если два соответствующих тетраэдра расположены таким образом, что прямые, инцидентные соответствующим вершинам, пересекаются в одной точке, то прямые пересечения соответствующих граней лежат в одной плоскости и обратно» [11]. Этот факт имеет особое значение в теории формообразования на основе проективографии [12].
При архитектурном проектировании явным образом конфигурация Дезарга проявляется, например, при сечении трехгранной пирамиды плоскостью (пять плоскостей, входящих в состав конфигурации Дезарга — это четыре плоскости граней пирамиды и пятая секущая; десять прямых конфигурации — это шесть прямых ребер пирамиды и четыре прямые пересечения секущей плоскости с гранями пирамиды). При этом в частных случаях, возникающих, например, в случае параллелизма секущей плоскости одной из граней пирамиды, конфигурация Дезарга не исчезает, но принимает вид, характерный для многих построений проективной геометрии, использующих несобственную прямую и несобственные точки [13].
Известные свойства конфигурации Дезарга указывают на возможность ее широкого применения в архитектурном и дизайн-проектировании сложных объемов, состоящих из ряда простых пересекающихся форм.
Инженерная геометрия и компьютерная графика УЕБТЫНС
_мвви
В современной архитектуре усилилась роль математических идей и геометрических конструкций (башня Шухова, здание новой библиотеки в Минске и т.д.) [14].
В принципе, для образования пространственной конфигурации Дезарга достаточно пяти пересекающихся плоскостей, продолжение которых как раз ее и образует, но в полном виде в архитектурных объектах отыскать ее не удалось.
В явном виде пространственная конфигурация Дезарга практически очень мало представлена в творчестве архитекторов. Однако можно заметить определенные мотивы, связанные с этой конфигурацией, на примере ряда зданий и сооружений, возведенных в последние 10...20 лет (рис. 2—4).
Рис. 2. Музей современного ис- Рис. 3. Оперный театр в Гуанчжоу.
кусства в Торонто. Режим доступа: Режим доступа: http://domvstile.com/blog/
http://www.totalrealty.ru/catalog/canada/ architecture/874.html attractions
Рис. 4. Муниципалитет в Гааге. Режим доступа: http://econet.ua/artides/1508-gigantskoe-treugolnoe-zdanie-v-gaage
Необходимо заметить, что с эстетической точки зрения подобные архитектурные объекты имеют спорную ценность и требуются определенные усилия, чтобы увидеть в таких конструктивных решениях рассматриваемую конфигурацию.
Плоскостной вариант конфигурации Дезарга может быть использован в дизайне в большей степени как элемент декора (оформление интерьеров вы-
ставочных павильонов, малых архитектурных форм, абстрактные скульптуры в парках и скверах) [15, 16]. Есть пример здания (национальный стадион в Пекине), декоративное оформление ограждения стен которого выполнено в геометрическом стиле, и в пересечении полос можно узнать несколько вариантов плоскостной конфигурации Дезарга (рис. 5).
Рис. 5. Национальный стадион в Пекине. Режим доступа: http://techvesti.ru/ node/813
В целом же конфигурация Дезарга является для архитекторов не только идеей воплощения, выраженной в конкретных произведениях, но и инструментом проектирования, с помощью которого можно прогнозировать достаточно сложные эффекты восприятия (например, разницу восприятия архитектурного объекта вблизи и издали с учетом перспективного искажения).
Вывод. Изучение конфигурации Дезарга в различных вариантах и модификациях не только способствует лучшему пониманию теории перспективы и теней, но и дает возможность улавливать связи в отдаленных на первый взгляд задачах. Однако следует учитывать, что многие положения теории достаточно сложны и для ее освоения требуется значительное время. Поэтому на кафедре начертательной геометрии и графики разрабатывается компьютерная программа, которая позволит ознакомиться со всеми основными инвариантными свойствами конфигурации Дезарга.
Библиографический список
1. Берже М. Геометрия / пер. с фр. М. : Мир, 1984. Т. 1. 560 с.
2. Математическая энциклопедия / гл. ред. И.М. Виноградов. М. : Советская энциклопедия, 1979. Т. 2. 1103 с.
3. Гамаюнов В.Н. Проективография. Геометрические основы художественного конструирования для аспирантов, слушателей ФПК и студентов художественно-графического факультета. М. : МГПИ, 1976. 25 с.
4. Математический энциклопедический словарь / гл. ред. Ю.В. Прохоров. М. : Советская энциклопедия, 1988. 848 с.
5. Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия / пер. с нем. под ред. А.П. Юшкевича. 2-е изд. М. : Физматлит, 1960. 468 с.
6. Иващенко А.В., Кондратьева Т.М. Проективографический анализ многогранников Джонсона // Вестник МГСУ 2013. № 5. С. 226—229.
Инженерная геометрия и компьютерная графика
VESTNIK
MGSU
7. Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия / пер. с нем. С.А. Каменского. 5-е изд. М. : Едиториал УРСС, 2010. 344 с.
8. Четверухин Н.Ф. Проективная геометрия. 7-е изд. М. : Государственное учебно-педагогическое издательство, 1961. 360 с.
9. Coxeter H.S.M. Projective Geometry. New York : Blaisdell, 1964. Pp. 26—27.
10. Лелон-Ферран Ж. Основания геометрии / пер. с фр. В.В. Рыжкова. М. : Мир, 1989. 312 с.
11. Semple J., Kneebone G. Algebraic Projective Geometry. Oxford, 1952. 405 p.
12. Иващенко А.В., Кондратьева Т.М. Проективографические чертежи многокомпонентных систем многогранников // Вестник МГСУ 2012. № 6. С. 155—160.
13. Ефимов Н.В. Высшая геометрия. 5-е изд. М. : Наука, 1971. 576 с.
14. Волошинов А.В. Математика и искусство. М. : Просвещение, 2000. 400 с.
15. Соболев Н.А. Общая теория изображений. М. : Архитектура-С, 2004. 672 с.
16. Рунге В.Ф., Сеньковский В.В. Основы теории и методологии дизайна. М. : МЗ-Пресс, 2003. 252 с.
Поступила в редакцию в июле 2014 г.
Об авторах: Иващенко Андрей Викторович — кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры дизайна, Столичная финансово-гуманитарная академия ^ОУ ВПО «СФГА»), 109088, г. Москва, ул. Шарикоподшипниковсая, д. 15, ivashchenko_a@inbox.ru;
Знаменская Елена Павловна — кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры начертательной геометрии и графики, Московский государственный строительный университет (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, 8 (499) 183-24-83, grafika@mgsu.ru.
Для цитирования: Иващенко А.В., Знаменская Е.П. Конфигурация Дезарга в архитектурном и дизайн-проектировании // Вестник МГСУ 2014. № 9. С. 154—160.
A.V. Ivashchenko, E.P. Znamenskaya
CONFIGURATION OF DESARGUE IN ARCHITECTURAL AND DESIGN ENGINEERING
The Desargue configuration plays an essential role not only in projective geometry, being the main configuration in projective and perspective correspondence of rows of points and lines, but is also rich in applications in architectural and design engineering.
The article describes the main aspects of planar and spatial configuration of Desargue, and fundamental principles having particular importance in the shaping theory based on projectography.
The described configuration properties indicate the possibility of wide application in architectural design and engineering and allow predicting the effects of perception of rather complex architectural forms.
Examples of a number of buildings are given, where in modern design solutions of architects spatial configuration motives are visible. Planar configuration option is often used as decoration and fencing.
The authors conclude that researching the configuration of Desargue in different variants and modifications not only contributes to better understanding of the theory of perspective and shadows, but also provides opportunity to detect relations of the problems, which are different at the first sight. However it is necessary to take into account, that many postulates of the theory are quite complicated and significant amount of time is needed for learning it.
Key words: configuration, projective geometry, shaping, design engineering, architecture, projectography drawing, point, projection.
References
1. Berzhe M. Geometriya [Geometry]. Moscow, Mir Publ., 1984, vol. 1, 297 p.
2. Vinogradov I.M., editor. Matematicheskaya entsiklopediya [Mathematical Encyclopedia]. Moscow, Sovetskaya entsiklopediya Publ., 1979, vol. 2, 1104 p.
3. Gamayunov V.N. Proektivografiya. Geometricheskie osnovy khudozhestvennogo konstruirovaniya. [Projectography. Geometric Foundations of Artistic Design]. Moscow, MGPI Publ., 1976, 25 p.
4. Prokhorov Yu.V., editor. Matematicheskiy entsiklopedicheskiy slovar' [Encyclopedic Dictionary of Mathematics]. Moscow, Sovetskaya entsiklopediya Publ., 1988, 848 p.
5. Wieleitner H. Istoriya matematiki ot Dekarta do serediny 19 stoletiya [History of Mathematics from Descartes to the mid-19th century]. Moscow, Fizmatlit Publ., 1960, 468 p.
6. Ivashchenko A.V., Kondrat'eva T.M. Proektivograficheskiy analiz mnogogrannikov Dzhonsona [Analysis of Johnson's Polyhedra Using Projective Geometry Techniques]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2013, no. 5, pp. 226—229.
7. Hilbert D., Cohn-Vossen S. Anshauliche Geometrie. Berlin, Springer, 1996, 365 s.
8. Chetverukhin N.F. Proektivnaya geometriya [Projective Geometry]. 7th edition. Moscow, Gosudarstvennoe uchebno-pedagogicheskoe izdatel'stvo Publ., 1961, 360 p.
9. Coxeter H.S.M. Projective Geometry. New York, Blaisdell Publ., 1964, pp. 26—27.
10. Lelong-Ferrand J. Les Fondements de La Geometrie. Presses universitaires de France; 1re ed edition, 1985, 287 p.
11. Semple J., Kneebone G. Algebraic Projective Geometry. Oxford, 1952, 405 p.
12. Ivashchenko A.V., Kondrat'eva T.M. Proektivograficheskie chertezhi mnogokom-ponentnykh sistem mnogogrannikov [Shape Generation by Means of a New Method of Orthographic Representation ("Proektivografiya"): Drawings of Multi-Component Polyhedra]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2012, no. 6, pp. 155—160.
13. Efimov N.V. Vysshaya geometriya [Higher Geometry]. 5th edition. Moscow, Nauka Publ.,1971.
14. Voloshinov A.V. Matematika i iskusstvo [Mathematics and Art]. Moscow, Prosvesh-chenie Publ., 2000, 400 p.
15. Sobolev N.A. Obshchaya teoriya izobrazheniy [The General Theory of Images]. Moscow, Arkhitektura-S Publ., 2004, 672 p.
16. Runge V.F., Sen'kovskiy V.V. Osnovy teorii i metodologii dizayna [Fondamentals of Design Theory and Methodology]. Moscow, MZ-Press, 2003, 252 p.
About the authors: Ivashchenko Andrey Viktorovich — Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Department of Descriptive Geometry and Graphics, Capital Academy of Finance and Humanities (SFGA), 15 Sharikopodshipnikovskaya str., 109088, Moscow, Russian Federation; ivashchenko_a@inbox.ru;
Znamenskaya Elena Pavlovna — Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Department of Descriptive Geometry and Graphics, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; +7 (499) 183-24-83; grafika@mgsu.ru.
For citation: Ivashchenko A.V., Znamenskaya E.P. Konfiguratsiya Dezarga v arkhitek-turnom i dizayn-proektirovanii [Configuration of Desargue in Architectural and Design Engineering]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2014, no. 9, pp. 154—160.
