CC BY
9
УДК 517.91:532.2.
М.П. Ленюк, М.1. Шинкарик
СК1НЧЕННЕ Г1БРИДНЕ 1НТЕГРАЛЬНЕ ПЕРЕТВОРЕННЯ ТИПУ ЛЕЖАНДРА-ФУР'С-
БЕССЕЛЯ НА СЕГМЕНТ [0, R ]
Постановка проблеми. Вивчення фiзико-технiчних характеристик композитних MaTepiaiiB, як1 знаходяться в рiзних умовах експлуатаци, математично приводить до задач штегрування сепаратно! системи диференцiальних рiвнянь другого порядку на кусково -однородному iнтервалi з вiдповiдним початковими та крайовими умовами [1-3]. Одним iз ефективним методiв побудови iнтегральних зображень аналiтичних розв'язк1в алгоритмiчного характеру таких задач е метод гiбридних штегральних перетворень. Основнi положення скiнченних пбридних iнтегральних перетворень закладено в робот [4]. Цiль статть В данш роботi побудовано ск1нченне гiбридне штегральне перетворення (СГ1П),
породжене на сегменп [0, R3 ] з двома точками спряжения пбридним диференцiальним оператором
Лежандра - Фур'е - Бесселя.
Основна частина. Побудуемо iнтегральне перетворення, породжене на множит
= {г : Г е (0,Rj) ^ (Rj,R2) ^ (R2,R3); R3 < гiбридним диферен-цiальним
оператором (ГДО)
Mf = O(r)O(R - r)a2 Aw + O(r - R^OR - r) x
x a2 ^ + O(r - R2 )O(R3 - r)a2 Bv„ (1)
dr
У рiвностi (1) O(x) - одинична функщя Гевiсайда [5], A(/i) - узагальнений диференцiальний d2
оператор Лежандра [6], —-- диференцiальний оператор Фур'е другого порядку [7], Bva -
dr ,
диференцiальний оператор Бесселя [8].
Означення: Областю задання ГДО M^a назвемо множину G вектор-функцш
g (r) = {g1 (r); g 2(r); g 3(r )}з такими властивостями:
1) вектор-функцiя f (r) = {A^ [g1 (r)]; g2 (r); By a [g3 ]} неперервна на множит 12;
2) функцп g j (r) задовольняють крайовi умови
d -t
lim [shrg 1 (r)] = 0, (a22 — + ^2)g3 (r) = 0 (2)
r^o dr
3) функци g 1 (r) задовольняють умови спряження
r=R = 0; j, к = 1,2 (3)
[(4 d + ркп)gk (r) - Оd + j)gk+1 (r)]
dr dr
3 3
Умови на коефщенти: Щ > 0, Щ > 0, a3 > 0; a22 — 0,^22 — 0,
of2 + P22 * 0; a]m — 0, pkm — 0, Cjk = а*уА) -a^.; % • C2k > 0; 2a +1 > 0,
V — a, Ц1 — 0, (M) = (^1,^2).
З умов спряження (3) випливае базова тотожшсть: якщо вектор-функщя
u(r) = {uT(r);u2(r);u3(r)}е G та вектор-функцiя v(r) = {v1(r);v2(r);v3(r)} е G ,то мае мiсце рiвнiсть
К(г К(г) - щ(г Ук(г)]
Визначимо числа
С
г=Кк= —К+1(г К+1(г) - ик+1(г К+1(г)] г=Кк;к =1,2 (4) С1к
2 С11С1? К? 2 С 9 т->2«+1 2 1
С21С22 С22
вагову функцiю
о-(г) = 6>(г- г)а^Ьг + 0(г - Я1 )0(К2 - г)а2 + 0(г - К2)0(К3 - г)а3г2а+1 (5)
та скалярний добуток
К3 К1
(и(г ),г(г)) = | и(г )у(г )&(г )-г = | Щ (г (г 8кМг +
0 0 К2 К3
+ |и2(г)у2(г)а2-г + |и3(г)г3(г)а3г2а+1-г; и(г)еО, ((г)еО (6)
К1 К2 Наявшсть скалярного добутку (6), базово! тотожносп (4) та однорщних крайових умов (2) дозволяе показати виконання р1вносл
(М%[и(г)]Хг)) = (и(г), М(%у(г)]) (7)
Р1вшсть (7) показуе, що ГДО М^^ самоспряжений оператор. Отже, його спектр дшсний. Оск1льки ГДО
на множит /2 не мае особливо! точки, то його спектр дискретний [9]. При цьому
спектральному параметру /3 ввдповщае дшсна спектральна вектор--функщя
3
г)
т=1
фунКЦП У(^т
(г,/)повинш задовольняти ввдповщно диференщальш р1вняння Лежандра, Фур'е та Бесселя для звичайних функцш
Ог,3) = 1^(г - Кт-ЖКт - г)У(£т (г,/), К = 0 (8)
(Л(„) + Ь?)У^л(г,3) = 0, ге(0,К!)
ё 2
(— + Ь^У^г/) = 0, ге(К1,К2), (9)
ёг
2
(В,а + Ьз2 )уМ (г, /) = 0, г е (К2, Кз),
1
" 2
крайов1 умови (2) та умови спряження (3); Ь- = &- (/ + ку)2, к2 > 0.
Фундаментальну систему розв'язшв для диференщального р1вняння Лежандра (Л (и) + Ь1)( = 0 утворюють узагальнеш приеднання функци Лежандра першого роду Р ^ (сИг)
та другого роду 1^^)(сНг); (1 =---+ /Ь1 (/) [6] ; фундаментальну систему розв'язшв для
2
-2 2
диференщального р1вняння Фур'е (-т- + Ь9 )у = 0 утворюють тригонометричш функци
-г1 2
СОВ(&2г) та БШ(Ь2г) [7]; фундаментальну систему розв'язшв для диференщального р1вняння
Бесселя (Bv а + = 0 утворюють функци Бесселя дшсного аргумента першого роду Jv а (р^)
та другого роду Nv а(Ь3Г )[8].
В силу того, що спектральна задача Штурма-Шувшля (2), (3) й (9) регулярна та лшшна, покладемо:
У™л(г, ß = Ax Pf(chr), r e (0, R)
Vi
V^rß) = A2 cos&r) + B2 sin(b2r),r e RR2) (i0)
^(rß) = A3 Jvja (V) + B3 Nv,a (b3r), r e R R3).
Умови спряження (3) та крайова умова в точцi r = R дають для визначення п'яти величин Aj (j = i,3) та B^ (к = 2,3) однорщну алгебрачну систему i3 п'яти рiвнянь:
Zf£(chRi)A - vi \(b2Ri)A2 - vi2(b2Ri)B2 = 0, j = 1,2;
Vj2/(b2R2)A2 + Vj22(b2R2)B2 - «Ца;j2Ф3R2)A3 - «Vi;j2Ф3R2B = 0
<«;22(Ь R3) A3 + <^22^3 R3B = 0 (ii)
Введемо до розгляду функци
Sjk(b2Ri,b2R2) = vii2(bRi)vk2(b2R2)-vlj2(b2Ri)v2i(b2R2); jk = i,2;
^v,a;j2(^3R2,bsRs) = ^jW^bR) - ^^KU^), j = ^ (ß) = Zlln(chRi)Ö2j (b2 Ri, b2 R2) - Z^f);ii(chRi)^i j b Ri, b2 R2) bVTXj (ß) = ^22^3,b3R )*jibR,b2*2) - ,b3Rj)*;2 02Ri,b2*2).
Для того, щоб алгебрачна система (11) мала ненульовi розв'язки, необх1дно i досить, щоб визначник системи був рiвний нулю [10]:
2?ß - Z^i(chRi)bvaa2(ß) - Z$ii(chRi)bvaai(ß) =
= ¿v,a;22(b3R2,b3R3)aWiß) - ^v,a;i2(b3R2,b3R3)a(^);2(ß) = 0 (i2)
Ми одержали трансцендентне рiвняння для обчислення власних чисел ßn ГДО M^,^.
Пiдставимо в алгебрачну систему (11) ß = ßn (bj (ßn ) = b jn) й вiдкинемо останне рiвняння в силу лшшно! залежносп. При Aj Ф 0 маемо алгебра!чну систему двох рiвнянь для визначення A2, B2 :
2j2(b2nRi)A2 +2lj2(b2nRi)B2 = AiZ(fj(chRi), j = i,2 (i3)
J J 2in ;ji
Визначник алгебраино! системи (13) обчислюеться безпосередньо:
21i2i(b2nRi)2^2(b2nRi) - V^bnRi)21i22(b2nRi) = c^ Ф 0 .
Алгебрачна система (i3) мае единий розв'язок [10]:
A =
A
2 = [Zl^chRiVi^nRi) - Zl^chRV^nRi)],
c2ib2n 2in ;11 2in ;21
В =
A^[Z(f);;!(cИКl)v;21(Ь2ИКl) - 2(^);11(СИК1)(^2(Ь2ИК1)] (14) с,А„ У1" ;21 ^ ;11
2~ , М/ л 1 ^'"4/^224^2^ М-
21Ь2п
При ввдомих , В2 для визначення А^, В^ маемо алгебра!чну систему двох р1внянь:
и2*у2(Ьз„К2)Аз + и(2а72(Ьз„К2)Вз = -А^Ь*.]-1 а^ъ(Рп); 7 = 1,2 (15)
Визначник алгебра!чно1 системи (15) обчислюеться безпосередньо:
2 С
(^(М^К* ;22(М2) -даЬЛК*^ЬЛ) = -72^ = ^(Рп) * 0
л Ь^ К
-'Зп1 ^
Алгебра!чна система (15) мае единий розв'язок [10]:
"21Ь2пН а (Рп), А3 = <1;2( Рп ) ^ -
А = СгЬъЯа(Рп), Аз = -<%(А), Вз =<¿(3,), (16)
(;,■ (/п ) = а(р);2 (Рп )и(а ;12(ЬзпК2) - а(^);1(/п К'« ;22(Ь3nК2), 7 = 1,2 Шдставимо визначеш формулами (14) та (16) величини А ■, В^ (7 = 1,2; к = 2,з) у р1вносп (10). Одержимо функци:
(17)
у!^(г, Рп ) = С21р2п0. а (Рп )Р^(скг), =-1 + 1Ьщ
(1п 2
У((,а)2(г,Рп ) = Ча (Рп )[^^)1111(сИК1)^^2(Ь2пК1,Ь2пг) -- Z(f)21!(cИКl)^;2(Ь2nКl, Ь2пг)],
(р)2(Ь2пК1,Ь2пг) = (2(Ь2пК1 )сО^(Ь2пг) - (1 (Ь2пК1) Эт^Х
У((&(г,Рп ) = <й;1(Рп )^(,а (Ьзпг) - (Рп )( (Ьп^
Зпдно р1вност1 (8) спектральна вектор-функщя (г, Рп) визначена. II квадрат норми
п
визначаеться за стандартним правилом [10]:
Кз
у(а (г, рп ) и2=(ка (г, Рп), у(а (г, Рп))=\ у™ (г, Рп )]2 Ф —
0
Кз
- ¡[К%(г,Рп)]2^Иг-г + |[У™2(г,Рп)]Ч-г + |[У((,а)з(г,Рп)]2^г2а+-
0 К К2
(18)
Зпдно з роботою [4] наведемо твердження. Теорема 1 (про дискретний спектр). Кореш Рп трансцендентного р1вняння ¿(^(Р) = 0 складають
дискретний спектр ГДО Му^: дшсш, р1зш, симетрично розташоваш вщносно Р = 0 й на шввю1 Р > 0 утворюють монотонно зростаючу числову послвдовшсть з единою граничною точкою Р = &. Теорема 2 (про дискретну функщю). Система власних функцш {У,^ (г, Рп )}п=1 ортогональна на множиш 12 з ваговою функщею С (г), повна й замкнена.
Теорема 3 (про зображення рядом Фур'е). Будь-яка вектор-функщя § (г) е О зображаеться за системою {У^ (г, Рп )}пп=1 абсолютно й р1вном1рно збiжним на множит 12 рядом Фур'е:
го Кз
Кз лт(р)
У^(г,Рп )
§(г) = X \§(Ж^(АРп )С(Л)-Р а\\, (19)
п=1 0 11У(,а(г ,Рп
УС'(гРп )1|2
В подальшому зручно перейти до ортонормовано! системи власних функцш:
{(^(г,Рп )}ГО=1 = {У%(г,Рп ):|1 У%(г,Рп )11}ГО=1
Ряд Фур'е (19) набувае вигляду
го Кз
§ (г) = X \ §(р)У^(р,Рп С(р)-рг(2(г,Рп ) (20)
п=1 0
Ряд Фур'е (20) визначае пряме н й обернене н7Г ск1нченне пбридне штегральне перетворення (СГ1П), породжене на множит 12 ГДО :
"з
н^[ § (г)] = | § (г )()(г, Рп )с(г )-г - ~п
(21)
0
го
Щ^Шп ] = X ~п(Лг ,Рп ) - § (г) (22)
п=1
Визначимо величини та функци:
К1
-1 = а12с1^ИК1 : СП, -2 = а2С2 : с12, ~1п = I§1 (г>(¿1 (г, Рп )с1И-г,
0
К2 Кз
~2п = | § 2 (г >(1Л(г,Рп С -г, ~зп = | §з(г)У^з(г, Рп Сз^—, КК
—
^^ ' т 2 у (, а ;к +1 \ ^ ' п у | г=Кк
Теорема_4 (про основну тотожнють). Якщо вектор-функщя
Z^,m 2 (Рп ) = (ат 2 - + Ркт 2)(1и +1(г,Рп ) 1г=К ; т, к = 1,2.
/(г) = {Л(А)[^(г)]; Я2(г); В^[яз(г)]} неперервна на множит 12, а функци (г) задовольняють умови спряження
а — + Ркл)§к (г) - ( а% - + РРк2)§к+1 (г)] I г=к = <; 7, к = 1,2, (2з)
та крайов1 умови
Кш 1 (г)] = 0, ( а^ — + Р22 )§з (г) I г=К = §К (24)
г^0 -г
то мае мюце основна тотожтсть СГ1П ГДО М^^ :
з
Н(»Ж^(г)]] = -Р1 ~п-X к■ ~п + (а2з2)-1 vЙ>;з(Кз,Рn )Кз2а+1 §к +
г=1
2
+ Х-к У^2(Рп )<2к - Z(v^Рn )< ] (25)
г=1
2
,а ;12 (Рп <2к -к=1
Висновок. Побудоваш правила (21), (22) та (25) складають математичний апарат для одержання штегрального зображення точного аналогичного розв'язку вщповвдних задач математично! ф1зики кусково-однорщних середовищ.
Л1ТЕРАТУРА:
1. Коляно Ю.М. Методы теплопроводности и термоупругости неоднородного тела / Ю.М. Коляно.
- К.: Наук. Думка, 1992. - 280с.
2. Ленюк М.П. Температурш поля в плоских кусково-однорщних ортотропних областях / М.П. Ленюк. - К.: 1н-т математики НАН Укра!ни, 1997. - 188с.
3. Конет 1.М. Температурш поля в кусково-однорвдних цил1ндричних областях / 1.М. Конет, М.П. Ленюк. - Чершвщ.: Прут, 2004. - 276с.
4. Комаров Г.М. Сшнченш пбридш штегральш перетворення, породжеш диференщальними р1вняннями другого порядку / Г.М. Комаров, М.П. Ленюк, В.В. Мороз. - Чершвщ: Прут, 2001. -228с.
5. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальний курс. - М.: Наука, 1965. - 328с.
6. Конет 1.М., Ленюк М.П. 1нтегральш перетворення типу Мелера-Фока. - Чершвщ: Прут, 2002. -248с.
7. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений / В.В. Степанов. - М.: Физматгиз, 1959. -468с.
8. Ленюк М.П. Исследование основных краевых задач для диссипативного волнового уравнения Бесселя. - Киев, 1983. - 62с. - (Препринт / АН УССР. Ин-т математики; 83.3).
9. Ленюк М.П. Пбридш штегральш перетворення (Фур'е, Бесселя, Лежандра). Частина 1. / М.П. Ленюк, М.1. Шинкарик. - Тернопшь: Економ.думка, 2004. - 368с.
10. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. - М.: Наука, 1971. - 432с.
11. Ленюк М.П. Сшнченш пбридш штегральш перетворення, породжеш класичними диференщальними операторами математично! ф1зики. Том 1. / М.П. Ленюк. - Чершвщ: Прут, 2010. - 352с.
ЛЕНЮК Михайло Павлович - д.ф.-м.н, професор ЧФ НТУ «ХП1». Науков1 штереси:
- математична ф1зика, математичний анал1з, математичне моделювання.
ШИНКАРИК Микола 1ванович - к.ф.-м.н, доцент кафедри вищо! математики Тернопшьського нащонального економ1чного ушверситету. Науков1 1нтереси:
- математична ф1зика, математичний анал1з, математичне моделювання.
