CC BY
15
УДК 517.91:532.2
О.М. НЖ1ТИА
Чершвецький факультет НТУ «ХП1»
М.1. ШИНКАРИК
Тернопiльський нацiональний економiчний унiверситет
СК1НЧЕННЕ Г1БРИДНЕ 1НТЕГРАЛЬНЕ ПЕРЕТВОРЕННЯ ТИПУ ЛЕЖАНДРА-БЕССЕЛЯ-ФУР'е НА СЕГМЕНТ1 З ДВОМА ТОЧКАМИ СПРЯЖЕНИЯ
Методом задач1 Штурма-Лгувшля побудовано сктченне ггбридне iнтегральне перетворення, породжене на сегментi (0, R3] з двома точками спряження гiбридним диференщальним оператором Лежандра-Бесселя-Фур 'е.
Ключовi слова: гiбридний диференщальний оператор, задача ШтурмаЛув^я, гiбридне ттегральне перетворення.
О.М. НИКИТИНА
Черновицкий факультет НТУ «ХПИ»
Н.И. ШИНКАРИК
Тернопольский нициональный экономический университет
КОНЕЧНОЕ ГИБРИДНОЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТИПА ЛЕЖАНДРА-БЕССЕЛЯ-ФУРЬЕ НА СЕГМЕНТЕ С ДВУМЯ ТОЧКАМИ СОПРЯЖЕНИЯ
Методом задачи Штурма-Лиувилля построено конечное гибридное интегральное преобразование, порожденное на сегменте (0, R3] с двумя точками сопряжения гибридным диференциальным оператором Лежандра-Бесселя-Фурье.
Ключевые слова: гибридный дифференциальный оператор, задача Штурма-Лиувилля, гибридное интегральное преобразование.
O.M. NIKITINA
Chernivtsi department of National Technical University "Kharkiv Polytechnic Institute"
M.I. SHYNKARYK
Ternopil National ¡Economic University
FINITE HYBRID INTEGRAL TRANSFORM OF LEGENDRE-BESSEL-FOURIER TYPE ON THE SEGMENT WITH TWO POINTS OF CONJUGATION
By the method of Shtourm-Liouville problem it is introduced finite hybrid integral transform generated on the segment (0, R3] with two points of conjugation by hybrid differential Legendre-Bessel-Fourier operator.
Keywords: hybrid differential operator, Shtourm-Liouville problem, hybrid integral transfor.
Постановка проблеми
На сучасному еташ науково-техшчного прогресу, особливо у зв'язку i3 широким застосуванням композитних матерiалiв, виникае гостра потреба у вивченш фiзико-технiчних характеристик даних матерiалiв, яш знаходяться в рiзних умовах експлуатацп, що математично приводить до задач штегрування сепаратно! системи диференщальних рiвнянь другого порядку на кусково-однорщному iнтервалi з вщповщними початковими та крайовими умовами [1 - 3]. Одним iз ефективних методiв побудови штегральних зображень аналiтичних розв'язшв алгоритмiчного характеру таких задач е метод пбридних iнтегральних перетворень. Основш положения теори ск1иченних гiбридних штегральних перетворень закладено в роботi [4].
У цш статтi побудовано сшнченне гiбридне iнтегральне перетворення (СГ1П), породжене на сегментi (0, R3] з двома точками спряження пбридним диференцiальним оператором Лежандра-Бесселя-Фур'е.
Основна частина
Побудуемо на множит I2 ={r :r е (0,Ri) u (Ri,R2) u (R2,R3XR3 < <»} штегральне перетворення, породжене пбридним диференщальним оператором (Г ДО)
= 6(r )6(Ri - r )ai2 Л (А) + 6(r - Ri)0( R2 - r )a 2 Bv^ + 6(r - R2)6( R3 - r )a2 d 2/dr 2. (1) У рiвностi (1) 6(x) - одинична функцiя Гевiсайда [1], Л- узагальнений диференщальний оператор
2 / 2
Лежандра [4]; Bv а - диференщальний оператор Бесселя; d / dr - диференщальний оператор Фур'е другого
[{aknd + ßßi) gk (r) - (о)2 d + ßkß) gk+i(r)] |r=R = 0; j, k = 1,2. (3)
порядку (одновимiрний диференцiальний оператор Лапласа) [2].
Означення. Областю задання ГДО МЮ назвемо множину G вектор-функцiй
g(r) = {gi(r);g2(r);g3(r)}3 такими властивостями: 1) вектор-функцiя f(r) = {A(ß)[gi\;Bv,a[g2];g3} неперервна на множит I2 ; 2) функцй' gj (r) задовольняють крайовi умови:
lim [rrgi(r)] = 0, (а22 — + ß232)g3(r) lr=R3 = 0 (2)
r ^0 dr 3
3) функцп gj (r) задовольняють умови спряження:
a^r ^» ,, _ k........=Rk
3
Вважаемо, що виконанi умови на коефiцieнти: 2а +1> 0, v > а; (р) = (pi, №2), Mi - №2 — 0; 022 — 0 ,
ß232 > 0 , а232 + ß232 * 0; а]т > 0, ß]m > 0, cjk = a^ß - a\jß\j, c^ • C2k > 0; j, m,k = i,2. Для u(r) e G та v(r) e G мае м1сце базова тотожнiсть:
' ' Co k ' '
[uk (r)vk (r) - uk (r)vk (r)] |r=R, = — [uk +i(r)vk +i(r) - uk +i(r)vk +i(r)] |r=R, . (4)
k cik k
Якщо v(r) e G, а умови спряження для u (r) неоднорвдш:
О d + ß)i)uk(r) - (ak2 d + ßkj2)uk+i(r)] lr = Rk = ®jk; j,k = i,2,
то базова тотожнiсть мае вигляд:
' ' C-2 k ' '
[uk (r)vk (r) - uk (r)vk (r)] |r = R, = — [uk+i (r)vk+i(r) - uk+i(r)vk+i(r)] |r = R, +
k cik k
+ cfk1[(aik2 — + ßik2)vk+i(r)|r =Rk ®2k - °22 ^ + ß22>k+i(r)|r =Rk ®ik ]. (5)
2 ciici2 Ri2a+i i 2 ci2 i 2 i Визначимо числа: ai с^ = 11 —±-—---, a2ö"2 = ""^—ö—г, a3a3 = i, вагову функц1ю:
c2ic22 R2 SÄRi C22 Ri2a+i
cr(r) = 0(rЩRi - r)aishr + d(r - Ri)d(R2 - r)a2r2a+i + d(r - R2)d(R3 - r)a3 (6)
та скалярний добуток:
R3 Ri R2 R3
(u(r), v(r)) = I u(r)v(r)a(r)dr = j ui(r)vi(r)aishrdr + j u2 (r)v2 (r)<T2 r ^a+idr + j u3(r)v3(r)a3dr. (7) 0 0 Ri R2
Методом 1нтегрування частинами з використанням крайових умов (2) та базово! тотожност1 (4) встановлюемо р1вн1сть:
(MVp[u(r)], v(r)) = (u(r), MVp[v(r)]). (8)
Р1вн1сть (8) означае, що ГДО М^О самоспряжений диференц1альний оператор. Отже, його спектр д1йсний.
Оск1льки ГДО МО на множин1 I2 не мае особливо! точки, то його спектр дискретний [6]. Припустимо, що власному числу ß в1дпов1дае власна вектор-функц1я:
Vip(r, ß) = £ 0(r - Rk_i)6(Rk - r)уЦк (r, ß), R0 = 0. (9)
k=i
Тод1 функцп yV^.j (r, ß) повинн1 задовольняти в1дпов1дно диференц1альн1 р1вняння
(Л(р) + b2)Vv(p0i(r,ß) = 0, r e (0,Ri), 48
(Ву,а+ Ъ^У^г,в) = 0, Г е (ЯьЯ2), (10)
^ 2
(— + Ъз2)(>з(г,в) = 0, Г е (Д^з),
аГ2 ' '
—1 2 2 1/2 2 — крайовi умови (2) та умови спряження (3); Ъ> = а j (в + кj) , кj > 0 , ] = 1,3 .
Фундаментальну систему розв'язк1в для диференщального рiвняння Лежандра утворюють узагальнеш
приeднанi функщ! Лежандра Р(;)(сАг) та ¿^(скг), ( = -1/2 + /Ь^ [4]; фундаментальну систему розв'язшв
(1 V1
для диференщального рiвняння Бесселя утворюють дiйснi функщ! Бесселя першого роду ^ а(р2г) та другого
роду NV а(Ь2г) [3]; фундаментальну систему розв'язшв для диференщального рiвняння Фур'е утворюють
функщ! ео8(Ьзг) та 8т(Ъзг) [2].
Наявнiсть фундаментально! системи розв'язшв дозволяе в силу лiнiйностi спектрально! задачi
вiдшукувати функцi! j (г, в) у виглядi лшшно! комбiнацi! фундаментально! системи розв'язк1в:
1(г, в) = А^фкг) + В^фАг),г е (0, Д*),
к>">1 V1 v1
vVa);2(r,в) = Л2^,аф2Г) + 82^^),г е (Яь(11)
(О^,в) = Аз С08(ЪзГ) + Вз 81и(ЪзГ),г е (Д2, Дз). Умова обмеження в точцi г = 0 вимагае В1 = 0. Для визначення величин Aj (j = 1,з) та Вк (к = 2,з) умови спряження (3) й крайова умова в точцi г = Д дають однорвдну алгебра!чну систему п'яти рiвнянь:
2(*);11(сМ1)А1 -п(Ха^2(Ъ2^1)А2 -ы^а^-2Ф2Д)В2 = 0,j = 1,2,
(1; ]'1
ы(1«;]1(Ъ2^2)А2 + ы(2«;]1(Ъ2^2)В2 - v22(bзЯ2)Аз - v22(bзЯ2)Вз = 0, (12)
у22(ЪзДз) Аз + ^22 (Ъз^з ) Вз=0.
Введемо до розгляду функцп: /к (Ъ2 Д1, Ъ2 Д2) = ы(*а;>2 (Ъ2 Д1 )ы(2«;к1 (Ъ2 Д2 ) - ы(а;/2 (Ъ2 Д1) х
хы(1а;к1(Ъ2Д2);j,к = 1,2, ^2^2,Ъз^з) = V2^^Я^з)-^ЪД^ЪзЯз);j = 1,2; а^- ](в) = 2( *);11(сйД1)^( а2j(Ъ2%Ъ2- 2( ^"(сМ^ а1 jЪ%Ъ2
' V* ;11 ;21
Ъ(,а; j (в) = ¿22^2, Ъз^,*; % Ъ2 -¿12^*2, ЪзДз( j 2^2 % Ъ2 *2>.
Для того, щоб алгебра!чна система мала ненульовий розв'язок, необхiдно й досить, щоб визначник системи дорiвнював нулю [5]:
( (в) - 2( *);11 (сАД )Ъ( а-2 (в) - 2( *);11 (сАД )Ъ( *(в) = 0. (1з)
(*;11 V* ;21
Ми одержали трансцендентне рiвняння для обчислення власних чисел вп ГДО М(О,.
Шдставимо в систему (12) в = вп ( Ъ> (вп) — Ъ>п ) й вщкинемо останне рiвняння в силу лiнiйно! залежносп. Для визначення величин А2, В2 маемо алгебра!чну систему двох рiвнянь:
ы(1а; j 2(Ъ2пД1) А2 + ы(2«; 12(Ъ2пД1)В2 = 42 ^"(сАВД = 1,2. (14)
(1п; ]'1
Визначник алгебра!чно! системи (14) обчислюеться безпосередньо:
ы(1а;12(Ъ2пД1)ы(2а;22(Ъ2пД1) -ы(а;22(Ь2пД1)ы(а;12(Ъ2пД1) = ~Т2йх~22а+\ = 1«(вп) ф 0.
Алгебра1чна система (14) мае единий розв'язок [5]:
(*);11(сМ1)^2а.22(б2иД1) - г^(сМ^а.^пД!)], (15)
1а(Рп) ;п ;21
в2 = "Г^2{*У;11(сШ1)иЦа;12(Ь2пД1) - г{*У;11(скК1)иЦа;22(Ь2пД1)1 V* = -1/2 + 7Ь]п.
Ча(Рп) V* ;21 V* ;П
При вiдомих А, В2 для визначення Аз , В3 маемо алгебрачну систему двох рiвнянь:
^(¿зпДО Аз + V 22 ФзпД2) Вз =
Алгебра1чна система (16) мае единий розв'язок [5]:
У22(ЬзпД2) Аз + V 22 (Ьзп^2) Вз = - А^вп )]-1 (а)(вп У) = 1,2. (16)
А1 = Ча(Рп )С22Ьзп, Аз = аЦв), Вз = -о>1%(Рп), (17)
®$;>(вп) = (^п(ЬзпД) - (^(вп^(^Х) = 1,2. Щдставимо визначенi формулами (15), (17) величини А) та Вк () = 1Д£ = 2,з) у рiвностi (11). Одержимо
функцп: У^Г, вп ) = Ча(вп )С22^зп, У^Г, вп ) = с 22^п [^ ^ « )<^,а;12 (^1, ¿2пГ) -
Пп;21
- г(*);11 (с^Д1)^^,а;22 (Ь2пД1,Ь2пГ)] у(,а;у2 (Ь2пД1,Ь2пГ) = (Ь2пД1)(Ь1пг) -
;11
- и12а;)2(Ь2пД1Уу,а(Ь1пГ), У^Г, вп ) = (вп ^(^г)-(^(вп «^г). (18)
Згвдно формули (9) спектральна вектор-функщя У('1(г, вп) визначена (стае ввдомою). II квадрат норми обчислюеться за формулою:
Дз
у у(а(г, вп) и2=(усаа(г, вп уусаа^, вп»-$ ((г, вп ИМГ)^=
0
Д1 Д2 Дз
= | [У(а;1(г,вп)]2+ $ [УЦ^гвп)]2^2Г2а+^г + $ уЦз(г,вп)]2^г. (19)
0 Д1 Д2 Зпдно з роботою [7] сформулюемо так1 твердження.
Теорема 1 (про дискретний спектр). Кореш вп трансцендентного рiвняння ¿()(в) = 0 складають
дискретний спектр ГДО : дшсш, рiзнi, симетричнi вiдносно нуля й на шввга в > 0 утворюють
монотонно зростаючу числову послвдовшсть з единою граничною точкою в = ».
Теорема 2 (про дискретну функцш). Система власних функцш {У(^1(г,вп)}»=1 ортогональна на
множинi 12 з ваговою функцiею <у(г), повна й замкнена.
У подальшому перейдемо до ортонормовано1 системи власних функцш
{(1(г,вп)}»=1 = {У(1(Г,вп) :|1 (ОЧГ,вп) !1}«=1.
Теорема 3 (про зображення рядом Фур'е). Будь-яка вектор-функщя g(г) е О зображаеться за системою =1 абсолютно й рiвномiрно збiжним на множинi 12 рядом Фур'е:
с» Дз
g(Г) = I $ g(Р)(ар,вп)о(р)йр^(}а(г,вп). (20)
п =1 0
Ряд Фур'е (20) визначае пряме Нй обернене Н-^ сшнченне пбридне iнтегральне перетворення (СГ1П), породжене на множинi 12 ГДО МО! :
R3
HA (r)] = J g (r )vii(r,ßn )a(r )dr - gn, (21)
0
<x>
на gn ] = I £П®(г, ßn) - g (r). (22)
R1
n=1
Визначимо величини та функцй: di = c2a-ishRi :Cn,d2 = cfo^R^a+1 :C12,gin = Jgi(rV^-^r,ßn)^ishrdr,
0
R2 R3
~2n = Jg2(r va^r, ßn )^r 2a+1dr, ~3n = J g3(r )v(a.3(r, ßn )°3dr, R1 R2
AaUß) = (A2 ddr + ßm2)Vlk +i(r,ßn) lr =Rk m,k = 1,2.
tt
Теорема 4 (про основну тотожнiсть). Якщо вектор-функцiя f(r) = {Л(^)[gi(r)];5VA[g2(r)];g3(r)} неперервна на множинi I2, а функцй' gj (r) задовольняють KparöBi умови:
lim
r ^0
, idg1 (») dvv"2;14
shr «i- gi^
= 0,[(a22 d + ß22)g3(r)] lr = R3 = gR (23)
dr 3
та умови спряження:
A ddr + ßji)gk(r) - (Aj2 d + ßk2)gk+i(r)] lr=Rk = ® jk; j,k = 1,2, (24)
то мае мiсце основна тотожнiсть СГ1П ГДО Mty1^ :
ly,a
3
HVAwVAg (r)]] = -ßl ~n-Ik2 gn + (a232)-1vVVA;3(R3, ßn ) gR +
i=1
+ Idk[Zi^ßn)®2k -Z^ßn>1k]. (25)
k=1
Висновки
Одержат формули (21), (22) та (25) складають математичний апарат для побудови шгегрального зображення точного aнaлiтичного розв'язку вiдповiдних крайових задач математично! фiзики кусково-однорвдних середовищ.
Список використаноТ лiтератури
1. Коляно Ю.М. Методы теплопроводности и термоупругости неоднородного тела / Ю. М. Коляно. К.: Наук. думка, 1992. - 280 с.
2. Ленюк М.П. Температурш поля в плоских кусково-однорщних ортотропних областях / М.П. Ленюк. - К.: 1н-т математики НАН Украши, 1997. - 188 с.
3. Конет 1.М. Темперaтурнi поля в кусково-однорвдних цилiндричних областях / 1.М. Конет. М.П. Ленюк. -Чершвщ: Прут, 2004. - 276 с.
4. Комаров Г.М. Сшиченш пбридш iнтегрaльнi перетворення, породженi диференщальними рiвняннями другого порядку / Г.М. Комаров, М.П. Ленюк, В.В. Мороз. - Чершвщ: Прут, 2001. - 228 с.
5. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс / Г.Е. Шилов. - М.: Наука, 1965. - 328 с.
6. Конет 1.М. 1нтегральш перетворення типу Мелера-Фока / 1.М. Конет, М.П. Ленюк. - Чершвщ: Прут, 2002. -248 с.
7. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений / В.В. Степанов. - М.: Физматгиз, 1959. - 468 с.
8. Ленюк М.П. Исследование основных краевых задач для диссипативного волнового уравнения Бесселя / М.П. Ленюк. - Киев, 1983. - 62 с. - (Препринт / АН УССР. Ин-т математики; 83.3).
9. Курош А.Г. Курс высшей алгебры / А.Г. Курош. - М.: Наука, 1971. - 432 с.
