Конечно-разностная аппроксимация краевой задачи конвективного теплообмена в ковше со сталью Текст научной статьи по специальности «Математика»

Модель неоднородностей ионосферы: оценка метода коррекции Z-схемы

About the authors

Dr Nikolay Kashchenko — Ass. Prof., I. Kant Baltic Federal University, Kalinin-

E-mail: kaschtschenko@mail.ru

Dr Sergey Matsievsky — Ass. Prof., I. Kant Baltic Federal University, Kaliningrad. E-mail: matsievsky@newmail.ru

Andrey Viktorov — PhD student, I. Kant Baltic Federal University, Kaliningrad. E-mail: andrey_vik@mail.ru

Для численного решения краевой задачи конвективного теплообмена в ковше при продувке стали аргоном предложена конечно-разностная аппроксимация исходной математической модели конвективного теп-лопереноса в непрерывной дивергентной форме. Использована устойчивая и экономная неявная монотонная консервативная разностная схема.

For the numerical solution of the boundary value problem of convective heat transfer in a ladle while blowing steel argon proposed finite-difference approximation of the original mathematical model of convective heat transfer in a continuous divergence form. Used stable and economical implicit monotone conservative difference scheme.

Ключевые слова: конвективный теплоперенос, уравнение переноса вихря, уравнение переноса тепла, уравнение Пуассона для функции тока, дивергентное представление модели, разностная схема, односторонняя четырехточечная разностная аппроксимация внутрь области.

Key words: convective heat transfer, vortex transport equation, heat transfer equation, Poisson equation for the stream function, divergent representation of a model, differences scheme, one-sided four-point difference approximation inside the area.

Математическая модель конвективного теплопереноса в ковше со сталью в дивергентном представлении может быть представлена в вице (©, ю, Т)-системы [1; 2]

grad.

19

УДК 669.18.046.517

С. В. Веревкин, С. А. Дёмин

КОНЕЧНО-РАЗНОСТНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ КОНВЕКТИВНОГО ТЕПЛООБМЕНА В КОВШЕ СО СТАЛЬЮ

(1)

© Веревкин С. В., Дёмин С. А., 2016

Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. Сер.: Физико-математические и технические науки. 2016. № 3. С. 19 — 24.

д© д

й дх I Ие Рг дх

1 д

д©

г дг I Ие Рг дг

-- и©г

(2)

д2ш д (1 дш4

дг I г дг

(3)

20

где (1) — уравнение переноса вихря; (2) — уравнение переноса тепла; (3) — уравнение Пуассона для функции тока; ш — функция тока, связанная с компонентами скорости соотношениями

1 дш 1 дш и =---—, -9 =--—,

г дх г дг

где и и 9 — проекции скорости движения расплава на оси г и х;

ди д9

ю =---— функция вихря скорости.

дх дг

Уравнения (1) — (3) записаны в безразмерном виде в цилиндрической системе координат. Предполагается, что краевые условия задачи соответствуют аксиальной симметрии температуры, скорости и давления и исключают азимутальное движение расплава.

Для численного решения системы уравнений (1) — (3) необходимо представление исходных выражений в приближенной конечно-разностной форме. Для перехода от представления системы уравнений (1) — (3) в непрерывном виде к конечно-разностному аналогу используем устойчивую и экономную неявную монотонную консервативную разностную схему [1].

Уравнение переноса вихря (1) можно аппроксимировать следующим образом:

х(юк1 - Vи) =

юк ,1+1

-Юк

юк1 юк ,1-1

Ие( Ах)2 (1 + 0,5 Ие Ах |-к1+1/21) Ие( Ах)2(1 + 0, 5Ие Ах — 1)

(9+,1+У2 юк1 -9к,1-1/2 юк ,1-1 +9М+У2 юк ,1+1 - —-,1-1/2юк ,1) +

гк+1Ю к+1,1~гк Ю к1

г к+г/2 Ие(Аг)2(1 + 0,5Ие Дг

и

к+1/2,1

(4)

гк ю к 1 - гк-1ю к-1,1

гк - Ие( Аг )2(1 + 0,5Ие Дг

и

к-1/2,1

Дг к+1/2,1

ю,. -и

+и

- и

к-1/2,1 к-1,1 к+1/2,1 к+1,1 к-1/2,1

где ю ^ — значение вихря на предыдущем шаге по времени; х = — —

параметр динамического процесса; х = 0 соответствует стационарному

+ (9 + 1—) - (9-|9|)

режиму; - =—^^ - =—

1

Уравнение переноса тепла (2) с помощью монотонной разностной схемы можно представить как

®м+1 - 20 и + 0ы ,1+ 1

х( 0 — 0 ) —

ы к1 Ре(Л;)2(1+0,5РеАг|3к1|) "ы А;

а— 0к ,1+1 0 и + 0 и 0к ,1- 1 +

ы А;

ы+^2

(0к+1, и)

к-^2

(@Ы к-1,1)

Тк Ре( Лг )2(1 + 0, 5РеАг\ик11) тк Ре( Лг )2(1 + 0, 5РеАг\ик11)

—и ~ ® к+1,1 0 ы — и Ы1 0 к-1,1

(5)

ы Лг

ы Лг

где 0И — значение температуры на предыдущем шаге по времени.

Уравнение Пуассона для функции тока (3) аппроксимируем с помощью следующей разностной схемы:

ш — 2ш + ш г

А^ — к ,1+1 ы к ,1—1 + ' к

ы — (Лг)2 (Лг )2

ш —ш ш —ш

к+1,1 к1 к! к—1,1

к+1/2

к—

+ Гк ® Ш — 0. (6)

Произведём группировку членов разностных уравнений (4) —(6). Разностное соотношение (4) представим в виде

А и — А® ю + В® Ю + С® Ю + П® ® + Б® ® + х¿5

ы к+1,1 к—1,1 к ,1+1 ы к ,1—1 и к! к1

где

и Г

Л® -Ац —

к+1

гк+12

+ БЦ ю ы + х® ы — 0, (7) (Ке( Лг )2 (1 + 0,5 Ке Аг |ик + у2/11))—1 — А- ^+1/2,1,

г,

д® __к—

Ви — —

^ (е( Аг )2(1 + 0,5Ке Аг |ик I))1 + А-Г+,

гк—12

о

-ы

Аг

Сы — (е( Лг)2(1 + 0,5Ке Аг ^к^)) - А- Ч/+1/2,

п® — пи —

(Ке( Лг)—2(1 + 0,5Ке Аг |дк —у21))—1 + А_ 3+,,—у2,

21

Б® ——г- Ай ^^ Вч ~Сч ~пч — аГ (и++12,1—и——12,1) —А (3+2 " 3к,^12Ь х.

'к+1

Аг

Разностное соотношение (5) представим в виде

00 0 0 0 0

А — А 0+ В 0+ С 0+ П 0+ Б 0+ х0 — 0, (8)

ы и к+1,1 к к—11 ы к,1+1 к1 к,г—1 ы ы к1

где

А0 — ^ (Ре( Лг )2(1 + 0,5Аг|иИ I))1 - А-Щ,

„0 _ гк—1/2 Вк1 —-

Аг 11

(Ре( Лг )2(1 + 0,5Аг|иИ |))~ +—ик+г,

22

С® = (Ре(Ах)2(1 + 0,5Дфи 1 — Д- Эй,

П® -ик; -

Д2 11

(Рв(А2)2(1 + 0,5Дг |ЭИ |))~ +— ,

Е® - — Л® — К® — С ® — П® — г ЕИ - Лк! Кк! Ск1 ик1 х-

Разностное соотношение (6) представим в следующем виде: Ди - Ак>к+1,; + Вк>к—1,; + Си^к,;+1 + ииюк,;—1 ю к 1 + к! - 0

(9)

где

— 1 гк — 1 _Тк

к (Дг)2 Тк+уг ' к (Дг)2 Тк—у2

Ск! - Пк! - "

(Д2)2

Еи - —

1

(Дг)2 (Дт)2

лл

Тк+1/2 Тк—1/2

Одна из трудностей численного решения (®, ю, у)-системы состоит в постановке граничных условий для функции вихря скорости ю. Функция ю определена только внутри рассматриваемой области ковша и не определена на ее границе. Однако при решении системы уравнений методом сеток требуется задание граничных условий и для ю. Но граничные условия заданы лишь для скорости и температуры [1]. Для функции тока у граничные условия находятся через условие для скорости. Используя метод В. Л. Грязнова и В. И. Полежаева [4], значения ю на границе не задают, а сама функция ю определяется итерацией. Главным условием определения ю является выполнение условия по у на границе уменьшенной области, отстоящей от границ на один слой (интервал разбиения, шаг сетки).

Граничные условия по функции тока в непрерывной форме по определённой схеме аппроксимируются разностными аналогами. Подбором коэффициентов при членах полученного выражения (у в различных слоях разностной сетки) достигается выполнение самого граничного условия по у.

Согласование граничных условий по у проводят с помощью следующих разностных аппроксимаций нормальных производных по у на границах области решений.

Д ду

Для —использована односторонняя четырехточечная разностная дп

аппроксимация внутрь области ду-

дп

! —77 (11у — 18у1 + 9у2 — 2у З). 6к

где к — шаг дискретизации по соответствующей координате. Условию прилипания соответствуют соотношения

0 1 1

у - 0 у1 - ^ у2 — 9 у з.

Для ^-у- использована трехточечная аппроксимация внутрь области

дz2

д 2у

дп2

2h

-(0 "8У1 +У2).

д 2у

Условию —— = 0 соответствует соотношение у1 =— у2.

dz 8

Для д- f ± ^ дг Vr дг

использована центральная трехточечная аппрок-

r=0

симация с центром в узлах разностной сетки, отстоящих от оси симметрии на один шаг дискретизации:

д f 1 ду дг V r дг

r=0

J_

Ar

(

Г2 -Г1

Г1 "Г0

Л

(3/2)(Ar)2 (1/2)(Ar)2

f( Ar)3

(у2 - 4^1 + 3У0) =

3( Ar )■

:(3^0- 4У1 +У2).

Условию

д f 1 ду

дr V r дт

r=0

соответствуют соотношения у = 0, у1 = — у2.

Результат воздействия всплывающих газовых пузырей на жидкий металл, приводящий к конвективному перемешиванию, задается в виде вертикальной составляющей скорости $д-1 в слое узлов разностной сетки, отстоящем от поверхности фурмы на шаг дискретизации Дг с

1 (Уд_2 _Уд)

помощью соотношения $а-1 = -

'д-1

2Ar

(центральная разностная

1 ду.

аппроксимация соотношения д =--), откуда следует дополнитель-

г дг

ное соотношение у д_2 = 2 Дг • гд_ 1$ д_ 1, согласно которому производится согласование граничных и приграничных значений у.

23

Список литературы

1. Берковский Б. М., Ноготов Е. Ф. Разностные методы исследования задач теплообмена. Минск, 1976.

2. Самарский А. А. Теория разностных схем. М., 1983.

3. Коган А. Е. Внепечные и ковшевые процессы. Новокузнецк, 1990.

4. Грязнов В. Л., Полежаев В. И. Исследование некоторых разностных схем аппроксимацией граничных условий для численного решения уравнений тепловой гравитационной конвекции. М., 1974.

Об авторах

1

Сергей Валерьевич Веревкин — канд. техн. наук, доц., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград.

E-mail: verevkinserg@mail.ru

24

Сергей Александрович Дёмин — ст. преп., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград. E-mail: sergeidemin@nm.ru

About the authors

Dr Sergey Veryovkin — Ass. Prof., I. Kant Baltic Federal University, Kaliningrad. E-mail: verevkinserg@mail.ru

Sergey Demin — high instructor, I. Kant Baltic Federal University, Kaliningrad. E-mail: sergeidemin@nm.ru

УДК 519.6

А. И. Пахтеев, А. В. Степанов

ГЕНЕРИРОВАНИЕ РЕКОРДОВ МЕТОДОМ ВЫБОРКИ С ОТКЛОНЕНИЕМ

Обсуждаются методы генерирования рекордов. Соответствующие алгоритмы генерирования основаны на методе выборки с отклонением. Особое внимание уделяется случаю, когда рекорды берутся из популяции, имеющей гамма-распределение.

Methods of record generation are discussed. The corresponding algorithms are based on the rejection method. We concentrate on a case when records are taken from a gamma population.

Ключевые слова: рекорд, гамма-распределение, метод выборки с отклонением, метод обратного преобразования, метод генерации.

Key words: record, gamma-distribution, rejection method, inverse-transform method, generation technique.

Введение

Пусть X1, X2,... — последовательность случайных величин, заданных на одном вероятностном пространстве. Определим рекордные моменты L(n) и рекордные величины X(n) следующим образом:

L(1) = 1,

L(п +1)= min{j :j >L(n), Xj >X„ = XUn) для n ^ L

Математическая теория рекордов имеет богатую историю и берет свое начало со статьи Чендлера [5]. Развитие теории рекордов является актуальным в связи с различными приложениями, возникающими в метеорологии, гидрологии, в страховом и финансовом бизнесе. Перепады температур и атмосферного давления, паводки рек, спортивные достижения, страховые и финансовые риски, различные модели, свя-

© Пахтеев А. И., Степанов А. В., 2016

Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. Сер.: Физико-математические и технические науки. 2016. № 3. С. 24 —