CC BY
9Теорема 4. Пусть выполнены все условия теоремы 3 и, кроме того, для любой пары Х\,Х2 € X (соответственно € Ох{хо)) множество S(Q) П 1,^2) ф 0, тогда в множестве
Comfix(í¿) (соответственно Comfix(í¿) Г\Ох(хо)) существует наименьший элемент.
Доказательство. Проведем доказательство для случая, когда для любой пары Х\,Х2 € X множество S(Ç) П ф Доказательство для второго случая полностью аналогично. Рас-
смотрим семейство однозначных отображений g = {ga}a£A, 9а '■ X —>■ X,ga(x) = vn.îGa(x), максимальную относительно порядка цепь S* из C(xo',g) и нижнюю грань £ € X цепи S*, где элемент цепь S* и порядок построены в доказательстве теоремы 3. Так как согласно доказательству теоремы 3 элемент £ является минимальным элементом в множестве Comfix(^), то для завершения доказательства достаточно показать, что элемент £ сравним с любым элементом Comfix(^). Предположим, что существует элемент ( € Comfix(^), такой, что ( и £ несравнимы. Тогда согласно предположению теоремы найдется элемент w € S (G) С)- Так как £ и ( несравнимы, то w -<
В силу того что w € <S(G), найдется множество {wa}açA ^-значений в точке w, такое, что wa ^ w для всех а € А. А так как ga{w) = inf Ga(w), имеем неравенства ga{w) wa ^ w, а € А. Таким образом, w е S(xo;g) и w -< х,Ух е S*, т.е. S* U {w} € C(xo;g) и S* -<* S* U {w}, что противоречит максимальности элемента S* в множестве цепей С(хо]д). В результате получаем, что любой элемент ( € Comfix(í¿) сравним с Объединяя это с тем, что £ — минимальный элемент множества Comfix(^), заключаем, что £ — наименьший элемент множества Comfix(^). Теорема доказана.
Автор приносит благодарность профессору Т. Н. Фоменко за постановку задачи и внимание к работе.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Reem D., Reich S. Zone and double zone diagrams in abstract spaces // Colloq. Math. 2009. 115. 129-145.
2. Kirk W.A., Sims B. Handbook of metric fixed point theory. Dordrecht: Springer Science & Business Media, 2001.
3. Nadler Jr.S.B. Multi-valued contraction mappings // Pacif. J. Math. 1969. 30, N 2. 475-488.
4. Smithson R.E. Fixed points of order preserving multifunctions // Proc. Amer. Math. Soc. 1971. 28. 304-310.
5. Колмогоров A.H., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972.
6. Granas A., Dugundji J. Fixed point theory. N.Y.: Springer Science & Business Media, 2013.
7. Smithson R. Fixed points in partially ordered sets // Pacif. J. Math. 1973. 45, N 1. 363-367.
Поступила в редакцию 04.04.2016
УДК 539.3
КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНЫЙ АНАЛИЗ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ ВЫСОКОТОЧНОГО ТРЕУГОЛЬНОГО ЭЛЕМЕНТА ДИСКРЕТИЗАЦИИ С КОРРЕКТИРУЮЩИМИ МНОЖИТЕЛЯМИ ЛАГРАНЖА
Ю.В. Клочков1, А. П. Николаев2, О. В. Вахнина3
Изложен алгоритм расчета тонких оболочек, основанный на использовании треугольного конечного элемента, в столбец узловых варьируемых параметров которого дополнительно включены корректирующие множители Лагранжа, позволившие улучшить условия совместности элементов в рамках вариационной формулировки задачи.
Ключевые слова: оболочка вращения, метод конечных элементов, треугольный конечный элемент, множители Лагранжа.
The algorithm of calculation of thin shells on a basis of a triangular finite element is described. The column of nodal variable parameters of this element additionally contains correction
1 Клочков Юрий Васильевич — доктор техн. наук, зав. каф. высшей математики электроэнергетического ф-та ВолГАУ, e-mail: KlotchkovQbk.ru.
2 Николаев Анатолий Петрович — доктор техн. наук, проф. каф. лесного и водного хозяйства эколого-мелиоративного ф-та ВолГАУ, e-mail: anpetr40Qyandex.ru.
3 Вахнина Ольга Владимировна — канд. техн. наук, доцент каф. высшей математики электроэнергетического ф-та ВолГАУ, e-mail: OvahninaQbk.ru.
Lagrango multipliors, which allows one to improve tho conditions of compatibility between tho eleriierits in tho variational formulation of tho problom.
Key words: sholl of révolution, finite element niethod, triangnlar finite element, Lagrango multipliors.
В консчно-э.лсмснтных расчетах тонких пластин и оболочек широко применяются треугольные элементы дискретизации с различными наборами узловых варьируемых параметров [1 4|. В соотношениях Коши, входящих в систему основных уравнений теории тонких оболочек [5], деформации срединной поверхности являются функциями компонент вектора перемещения, а также их первых и вторых производных но криволинейным координатам. Поэтому наиболее целесообразным является включение в столбец узловых варьируемых параметров треугольного конечного элемента (ТКЭ) помимо компонент вектора перемещения их первых и вторых производных. Однако такие элементы наряду с преимуществами в виде повышенной точности вычислений обладают и существенными недостатками, являющимися следствием нарушения условий совместности но первым и вторым производным компонент вектора перемещения на границах между элементами.
В настоящей работе излагается алгоритм расчета тонких оболочек при использовании гипотезы Кирхгофа с применением ТКЭ, в столбец узловых варьируемых параметров которого дополнительно включены корректирующие множители Лагранжа, позволившие устранить несовместность данного типа элемента дискретизации. Столбец узловых неизвестных ТКЭ в глобальной (S длина дуги меридиана, 9 угол, отсчитываемый от плоскости XOZ против хода часовой стрелки) системе координат первоначально был выбран в виде
{иту}т =
1x54
Ь'у}Т {Wyf 1x18 1x18 1x18
(1)
где
{ч1)т =
1x18
'/•' Ч1 </' </:'s 7.S 4% <Гм Чм Чм 4% <fss ^ss^fie^fietse^se^se
Здесь под (т = г,], к) понимаются тангенциальные и, V или нормальная и> компоненты векторов перемещений узлов г,], к ТКЭ (рисунок).
В качестве дополнительных узлов ТКЭ / можно рассмотреть точки 1, 2, 3 в серединах сторон, одновременно являющиеся дополнительными узлами соседних ТКЭ II, III, IV(см. рисунок). В этих узлах обеспечивается непрерывность компонент векторов перемещений. Непрерывность для первых и вторых производных нормальных компонент векторов перемещений по направлениям нормалей п/ (I = 1, 2, 3) не обеспечивается:
Треугольный конечный элемент с основными г j к и дополнительными 1,2,3 узлами
ды/дщ ф —ды'/дщ, d2w/dnf ф d2w'/дп'2,
(2)
здесь штрихом обозначены компоненты и нормали смежных с ТКЭ / элементов дискретизации.
В связи с этим устранение неравенств (2) в срединных точках на границах между элементами осуществляется в рамках вариационной формулировки при помощи множителей Лагранжа:
Л/ (^ды/дщ + dw'/дп^ = 0, At (cPw/dvfi — d2w /дп}
= 0,
(3)
где t = 4, 5, 6.
Функционал для рассматриваемого конечного элемента I на основе (3) необходимо дополнить слагаемыми
IIi = Ai (dw/dni) + Л2 (dw/dn2) + Л3 (dw/dn3),
,2\ (4)
П2 = Л4 (d2w/dnj) + Л5 (d2w/dп2) + Л6 (д2и>/дп2
Первые и вторые производные нормальной компоненты вектора перемещения в направлении внешней нормали могут быть выражены через соответствующие производные нормальной компоненты вектора перемещения по глобальным криволинейным координатам ¿>, в:
дъи/дщ = [(ды/дБ) 1 сов си + (дги/дО)1 сов/З1],
д2и)/дп2 = [{(Риз/дБ2) сов2 сц + 2 {(Риз/дБдв)^ щ сов $ + (д2'ш/де2)1 сов2
(5)
где сц и /Зг — углы между векторами нормалей п/ и касательными векторами локального базиса а^
и
и а.
21-
Используя в качестве функций формы ТКЭ полиномы пятой степени [6], выражения (5) запишем в виде
ды/дщ = {Рг }Т{и^}Т, д2ы/сЖ2 = №"}Т{[/,Г}Т
1x54 54x1 1x54 54Х1
С учетом (6) соотношения (4) могут быть представлены в матричной форме:
уТ
,т,
где
П1 = {Л} [С]{Щ} , П2 = {А } [С }{Щ}
1x3 3x54 54x1 1x3 3x54 54x1
{Л,}Т = {Л1Л2Лз}, {Л"}Т = {Л4Л5Л6}, [С'] =
1x3 1x3 3x54
т
(6)
(7)
"КГ
, [<П =
о X £>4
Функционал Лагранжа для ТКЭ может быть записан следующим образом:
П = I (IV- I{Щт {Р} ^ + Щ + П2, (8)
у ^
где {£р~/}, — деформации и напряжения в слое оболочки, отстоящем от срединной поверхности
на расстоянии (; {Р} — столбец внешней нагрузки; {17}Т = {иии)} — матрица-строка, содержащая компоненты вектора перемещения точки внутренней области ТКЭ.
Для преобразования функционала (8) используются соотношения [3, 6, 7]:
{*"} = [С\{е<У, {4Л = [Г]М = [Г] [В] {17у} = [Т][В][РЩ{иП,
где {е}т — строка деформации и искривлений срединной поверхности оболочки.
С учетом этих соотношений и выражений (7) функционал (8) может быть записан в виде
П = {иту}Т[РЩт ! [В]т I [Г}т[С}[Т](1([В}(1Р[РЩ{и^}-{и!;}Т[РЩ
^ -И/2
т.
(9)
здесь [РЩ — матрица преобразования узловых неизвестных в локальной системе координат 0 ^ г] ^ 1 к столбцу (1); [В] — матрица функций формы и их производных в соответствии с соотношениями Коши; [С] — матрица упругости; [Г] — матрица перехода от {е^} к деформациям срединной
поверхности {еР7}Т = {вц £22 2^12 Хп Х22 2x12}; Л- — толщина оболочки; [А] — матрица, содержащая функции формы ТКЭ [6].
Функционал (9) для отдельного конечного элемента в компактной форме имеет вид
^ = Ют[К]{и^} - {и^}т{Щ + {и^}т[сТ{х'} + {иу}т[с }Т{Х },
где [К], — матрица жесткости и столбец узловой нагрузки ТКЭ [6].
Суммированием (10) определяется функционал системы конечных элементов
ПЕ = {и^}тт{и^} - {с/^п/ы+{с/^тг {лЕ}+{^тг {л',}.
Т / Т п
Выполняя минимизацию функционала (11) по узловым параметрам {и^} > {Л^} и {Л2} можно получить систему уравнений
(П)
т
(12)
В результате решения системы уравнений (12) определяются узловые неизвестные {С^}, {А^},
{Л2} рассчитываемой конструкции, на основе которых вычисляются прочностные параметры.
Пример. В качестве примера была решена задача по определению напряженно-деформированного состояния (НДС) жесткозащемленного по торцам цилиндра, загруженного внутренним давлением интенсивности д. Длина, толщина и радиус цилиндра были приняты равными 1,0 м; 0,02 м; 1,0 м соответственно; коэффициент Пуассона и = 0,3; модуль упругости Е = 2-105 МПа; д = 5 МПа. Вследствие наличия осевой симметрии рассчитывался фрагмент цилиндра длиной Ь/2 с центральным углом А в = 7г/20.
Расчеты были выполнены в двух вариантах: в первом варианте использовался стандартный ТКЭ с матрицей жесткости размером 54 х 54 [6], во втором варианте был реализован описанный выше алгоритм (3)-(11), в котором использовался ТКЭ с матрицей жесткости размером 60 х 60.
Результаты расчета представлены в таблице: приведены значения меридиональных <тм и кольцевых <тк напряжений на внутренней <тв и наружной <тн поверхностях оболочки в жесткой заделке в зависимости от густоты сетки дискретизации рассчитываемого фрагмента цилиндра. Также приведены значения напряжений, полученных при использовании четырехугольного конечного элемента (ЧКЭ) с матрицей жесткости размером 72 х 72 и аналогичным числом варьируемых параметров в узле 18 [8].
Как видно из таблицы, результаты повариантного расчета при использовании ТКЭ значительно различаются между собой. В первом варианте отсутствует сходимость вычислительного процесса, а значения контролируемых параметров НДС в точках жесткой заделки (х = Ь/2, в = 0,0 и х = Ь/2, в = 7г/20) существенно (в несколько раз) различаются между собой, тогда как ввиду условия осевой симметрии они должны быть равными. Во втором варианте наблюдается стабильность численных значений напряжений, равенство последних в вышеупомянутых точках жесткой заделки и совпадение со значениями напряжений контрольного варианта ЧКЭ с матрицей жесткости 72 х 72.
Координаты точки Вариант расчета Сетка узлов Напряжение, МПа
в им н им в и к н и к
ж = Ь/2, в = 0,0 1. ТКЭ, 54x54 5x5 420,0 -300,0 125,4 -89,4
10x10 311,5 -191,2 92,9 -56,8
20x20 250,2 -129,6 74,5 -38,3
30x30 231,6 -110,8 68,9 -32,7
2. ТКЭ, 60x60 5x5 481,8 -361,5 144,0 -107,9
10x10 481,9 -361,1 143,8 -107,8
20x20 481,3 -361,1 143,8 -107,8
30x30 481,3 -361,1 143,8 -107,8
ЧКЭ, 72x72 10x10 481,3 -361,1 143,8 -107,8
ж = Ь/2, в = 7г/20 1. ТКЭ, 54x54 5x5 532,7 -411,7 159,2 -123,0
10x10 630,6 -510,0 188,6 -152,4
20x20 679,5 -559,1 203,3 -167,2
30x30 691,0 -570,6 206,7 -170,6
2. ТКЭ, 60x60 5x5 481,9 -361,7 144,0 -108,0
10x10 481,3 -361,1 143,8 -107,8
20x20 481,2 -361,1 143,8 -107,8
30x30 481,3 -361,1 143,8 -107,8
ЧКЭ, 72x72 10x10 481,3 -361,1 143,8 -107,8
В заключение можно сделать следующий вывод: при расчете оболочек вращения с жестко-защемленным контуром необходимо использовать усовершенствованные ТКЭ с корректирующими
множителями Лагранжа. Применение стандартных ТКЭ в расчетах с жестким защемлением не
позволяет получать удовлетворительный по точности вычислений результат.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 15-41-02346-р_поволжье_а).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Zienkiewicz О. С., Taylor R.L. The Finite Element Method for Solid and Structural Mechanics. Oxford: Elsevier, 2005.
2. Батэ К.-Ю. Методы конечных элементов. M.: Физматлит, 2010.
3. Постное В.А., Хархурим И.Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. Л.: Судостроение, 1974.
4. Савенкова М.И., Шешенин C.B., Закалюкина И.М. Сравнение результатов конечно-элементного анализа с результатами асимптотического метода осреднения в задаче упругопластического изгиба // Вести. МГСУ. 2013. № 8. 42-50.
5. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. Л.: Судостроение, 1962.
6. Клочков Ю.В., Николаев А.П., Киселев А.П. Особенности формирования матрицы жесткости треугольного конечного элемента размером 54x54 // Изв. вузов. Строительство. 1998. № 2. 32-37.
7. Голованов А.И., Тюленева О.Н., Шигабутдинов А.Ф. Метод конечных элементов в статике и динамике тонкостенных конструкций. М.: Физматлит, 2006.
8. Киселева Т.А., Клочков Ю.В., Николаев А.П. Сравнение скалярной и векторной форм метода конечных элементов на примере эллиптического цилиндра // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 2015. № 3. 418-428.
Поступила в редакцию 29.04.2014
УДК 531.011+517.977+681.518.2
МЕТОДЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ В ЗАДАЧЕ АДАПТИВНОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ СО СВЯЗЯМИ
Б. И. Адамов1, А. И. Кобрин2
Статья посвящена применению методов аналитической механики к задаче адаптивной идентификации. Оцениваемые постоянные параметры удовлетворяют нелинейным уравнениям — параметрическим связям. Предлагаются модификации одного класса алгоритмов идентификации для удовлетворения таким ограничениям.
Ключевые слова: адаптивная идентификация со связями, оценивание параметров со связями, неголономная система, принцип наименьшего принуждения Гаусса.
The paper is devoted to the application of analytical mechanics methods to the problem of adaptive identification. The estimated constant parameters satisfy nonlinear equations — parametric constraints. Some modifications of identification algorithms are proposed to satisfy such constraints.
Key words: constrained adaptive identification, constrained parameter estimation, nonho-lonomic system, Gauss's principle of least constraint.
Введение. Оперативная идентификация параметров детерминированных систем применяется для построения адаптивных алгоритмов управления и позволяет в режиме реального времени получать оценки параметров в меняющихся условиях функционирования системы. Широко распространены методы идентификации параметров, в которых используется линейная параметрическая (идентификационная) модель исследуемой системы [1-3]. Достоинствами таких алгоритмов являются, в частности, их относительно простая структура и отсутствие дрейфов оценок при наличии
1 Адамов Борис Игоревич — асп. каф. теоретической механики и мехатроники НИУ МЭИ, e-mail: adamoff.b®yandex.ru.
2 Кобрин Александр Исаакович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. теоретической механики и мехатроники НИУ МЭИ, e-mail: kobrinai©yandex.ru.
