CC BY
81
УДК 518.5
КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОГО ФОРМООБРАЗОВАНИЯ ИЗГИБОМ С РАСТЯЖЕНИЕМ ПО ЖЕСТКОМУ ПУАНСОНУ
В.В. Корзунина, З.А. Шабунина
В статье предложен итерационный метод конечных элементов для решения задачи упруго-пластического формообразования изгибом с растяжением по жесткому пуансону с учетом особенностей деформирования заготовки
Ключевые слова: метод конечных элементов, приращения усилий, упруго-пластическая матрица жесткости
Контактные задачи, описывающие процессы формообразования деталей из листовых заготовок изгибом с растяжением по жёсткому пуансону, относятся к упруго-пластическим задачам с изменяющимися со временем границами [1]. Граничные условия в момент времени 1ш = 1ш-1 + Д1;ш определяются напряжённо-деформированным
состоянием в момент времени 1ш-1.
Целью настоящей работы является изложение ключевых моментов построения итерационного метода конечных элементов для решения задач такого типа.
Известно [2], что в методе конечных элементов в форме метода перемещений уравнения упруго-пластического равновесия конструкций
представляются в матричном виде
[К](и> = (О), (1)
где [К] - упруго-пластическая матрица жёсткости ансамбля конечных элементов, (и) - вектор-столбец перемещений, (О) - вектор-столбец узловых нагрузок.
Матрица жёсткости [К] зависит не только от реологических параметров материала конструкции, но и от её напряжённо-деформированного состояния, определяемого узловыми
перемещениями (и) .
Таким образом, уравнения равновесия (1) в любой момент времени являются системой нелинейных алгебраических уравнений, получить решение которой можно с помощью какого-либо итерационного метода.
При решении технологических задач формообразования деталей из листовых заготовок изгибом с растяжением по жёсткому пуансону используется шаговый метод нагружения.
Значения (И)ш на каждом ш -ом шаге нагружения определяются зависимостью вида
(И}ш = (И}ш-1 + (ДИ}ш, (2)
а уравнения равновесия записываются в виде
Корзунина Вера Васильевна - ВГУ, канд. техн. наук, доцент, е-шаН: [email protected]
Шабунина Зоя Александровна - ВГУ, канд. физ.-мат. наук, доцент, е-шаП: [email protected]
[К]ш(ДИ)ш = (ДОГ, (3)
где (ДИ}ш - вектор приращений перемещений для ш -го шага, (ДО)ш - вектор приращений нагрузок для ш -го шага.
Очевидно, что система уравнений (3) нелинейна [3]. Неизвестными в ней являются приращения перемещений (ДИ}ш .
Рассмотрим сначала граничные условия, налагаемые на эти приращения перемещений. Оставляя в стороне проблему, связанную с определением закона нагружения заготовки, будем полагать, что этот закон известен. Здесь под законом нагружения понимается траектория движения торцов листовой заготовки, то есть фактически будем считать, что граничные условия для приращения перемещений торцов заготовки заданы.
В области контакта заготовки с пуансоном необходимо поставить граничные условия непроникания. Обычно под условиями проникания понимают требование отсутствия перемещений точек контакта заготовки в направлении нормали к пуансону в области контакта заготовки и пуансона. Геометрически не составляет труда определить область контакта заготовки и пуансона к концу (ш - 1) -го шага. Но ставить граничные условия непроникания на таким образом определённые области контакта, категорически нельзя. В самом деле, бич формообразования, один из важнейших браковочных признаков - гофрообразование, при котором точки контакта могут «уходить» с поверхности пуансона. Поэтому в области контакта запрещено перемещение точек по направлению внутренней нормали к пуансону, а от поверхности пуансона, по направлению внешней нормали, перемещение возможно.
Таким образом, при переходе от (ш -1)-го к ш -му шагу нагружения, необходимо определять не просто всю область контакта к концу (ш -1)-го шага, а ту часть контакта, из которой точки заготовки не «уходят» с поверхности пуансона на ш -ом шаге. В качестве критерия «ухода» точки обычно ставится условие сонаправленности нормального давления на поверхности контакта с внешней нормалью к пуансону на ш -ом шаге нагружения. Очевидно, что определить часть контакта, на которой точки не
«уходят» с поверхности пуансона, можно только каким-то итерационным вычислительным процессом.
Далее рассмотрим процедуру формирования приращений усилий {ДQ}m . Поскольку на торцах заготовки приняты граничные условия в приращениях перемещений, то величины {ДQ}m определяются силами трения. Трение является едва ли не определяющим фактором в процессах обработки металлов давлением, поэтому так важно наиболее точным образом определять {ДQ}m . Удельная сила трения т - это составляющая вектора напряжений, касательная к поверхности контактирования. Простейшей классической закономерностью для удельной силы трения является закон Кулона - Амонтона
т = кр, (4)
где р - нормальное давление, к - коэффициент трения.
Вообще, проблеме описания закономерностей трения и определению параметров принятых закономерностей уделяется большое внимание, известно достаточно много различных формул определения т . Мы не будем обсуждать преимущества и недостатки этих формул, просто будем полагать, что она каким-либо образом выбрана, так как для построения обсуждаемого итерационного процесса важен совсем иной аспект контактного взаимодействия. Дело в том, что из-за того, что в процессе нагружения область контакта заготовки и пуансона меняется, наибольшие приращения сил трения приходятся на области либо вновь вступившие в контакт, либо отошедшие от контакта. Более того, вычислительные эксперименты показывают, что удовлетворительные численные решения дают только методы типа «предиктор - корректор». Следовательно, приращения усилий {ДQ}m должны также определяться итерационно на каждом шаге нагружения.
Обратимся теперь к особенностям итерационного вычисления обобщённой упруго-пластической матрицы жёсткости [К] . При формировании упруго-пластической матрицы [К] для каждого конечного элемента должна быть определена упруго-пластическая матрица [Б]е , связывающая приращения напряжений [Да]е и
деформаций [Де]е для этого элемента по «упругому закону»
[Да]6 = [Б]е[Де]е, (5)
здесь матрица [Б]е соответствует матрице упругости изотропного упругого тела с «переменными параметрами упругости». Если в конце (т -1)-ого шага нагружения интенсивности напряжений и деформаций соответственно равны а[т-1) и 8[т-1), то для первой итерации m -го шага берётся модуль упругости Бт(1) , равный
касательному модулю обобщённой кривой деформирования в конце (т -1) -го шага. Далее проводится конечно-элементный расчёт «упругого тела», определяется {Д8т(1)}, суммарная деформация
{8т(1)} = {8(т-1)} + {Дет(1)} и вычисляется
интенсивность деформации 8т(1) . По величине
8"(1) определяется из диаграммы деформирования
интенсивность напряжений а; и находится следующее приближение «модуля упругости»:
(6)
_т(1) (т-1)
=
8"(1) - 8(т-1)
что соответствует «хордальному модулю».
На следующих итерациях т -го шага проводятся аналогичные вычисления. Отметим, что на каждой итерации шага нагружения необходимо проверять условия нагружения. Для этого достаточно сравнить интенсивность деформаций в конце (т -1) -го шага с текущим значением интенсивности деформаций. Если имеет место разгрузка, то для расчёта принимается обычный модуль упругости Б . Обычно рекомендуется делать столько итераций, чтобы величины БтШ в соседних итерациях оказались достаточно близкими.
Пусть к началу т -го шага деформирования известно напряжённо-деформированное состояние заготовки и пересчитана сетка конечных элементов, вычислены силы трения ^(т-1)} в области контакта заготовки с пуансоном. Для перехода от (т -1) -го шага нагружения к т -му шагу на основании перечисленных особенностей деформирования заготовки предлагается следующий итерационный процесс:
Итерация 1. (Скольжение)
Формируется обобщённая матрица жёсткости с использованием касательного модуля упругости с предыдущего шага.
Прилагаются приращения перемещений к торцам заготовки.
Ставится условие непроникания: в точках контакта заготовки с пуансоном, в которых нормальные напряжения совпадают по направлению с внутренней нормалью к пуансону, запрещается перемещение точек по нормали к поверхности, то есть считается, что эти точки «не уходят» с поверхности контакта.
Осуществляется конечно-элементный расчёт, определяются поле перемещений, напряжённо-деформированное состояние заготовки и область контакта при скольжении.
Итерация 2. (Трение)
2.1. Формируется обобщённая матрица жёсткости с использованием хордального модуля упругости (6).
2.2. Прилагаются приращения перемещений к торцам заготовки.
2.3. Ставится условие непроникания: в точках контакта скольжения, для которых нормальные
напряжения скольжения совпадают по направлению с внутренней нормалью к пуансону, запрещается перемещение по направлению нормали.
2.4. По напряжённо-деформированному состоянию итерации 1 формально вычисляется сила трения (Ош(1)} для точек контакта скольжения, которые «не уходят» с поверхности пуансона. Вычисляется правая часть системы (3) {ДОш(2)} = {ош(1)} - {о(ш-1)}.
2.5. Осуществляется конечно-элементный расчёт, определяется поле перемещений, напряжённо-деформированное состояние заготовки, область контакта трения, в которой определяется сила трения (Ош(2)} для точек, которые «не уходят»
с поверхности пуансона.
Итерация 3. (Переменные параметры упругости)
3.1. Аналогично 2.1, хордальный модуль
E
m(3)
Gm(2) _ G(m-1) 8m(2) _ g(m-1)
3.2. Аналогично 2.2.
3.3. Аналогично 2.3, рассматриваются точки контакта трения, которые «не уходят» с поверхности пуансона.
3.4. Аналогично 2.4, но приращение силы трения равно (Ош(2)} -(О(ш-1)} , где {Ош(2)} вычисляется для точек контакта трения, которые «не уходят» с поверхности пуансона.
3.5. Аналогично 2.5, определяется сила трения
(Ош(3)} для точек, которые «не уходят» с поверхности. Проводится сравнение модулей
Еш(2) т7ш(3)
и Е .
Если необходимы следующие итерации для уточнения переменных параметров упругости, то они строятся очевидным образом по аналогии с итерацией (3).
Отметим ещё одну особенность предлагаемого итерационного алгоритма.
Если в качестве конечных элементов использовать простейшие линейные элементы (тетраэдры), то неизбежно возникает проблема вычисления компонент напряжений и деформаций в узлах конечно-элементной сетки. В самом деле, при линейной аппроксимации перемещений в пределах одного конечного элемента напряжения и деформации постоянны, а в узловых точках сходятся по несколько конечных элементов с различными значениями напряжений и деформаций. Поэтому общая картина напряжённо-деформированного состояния, получаемая с помощью таких элементов, может совершенно искажать истинное решение. Следовательно, для получения относительно верных результатов необходимо проводить сглаживание компонент деформаций и напряжений. Хорошие результаты даёт глобальное интегральное среднеквадратичное сглаживание.
Литература
1. Малинин Н.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести / Н.Н. Малинин. - М.: Машиностроение, 1968. - 400с.
2. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике / О. Зенкевич. - М.: Мир, 1975. - 541с.
3. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред / Дж. Оден. - М.: Мир, 1976. -464с.
Воронежский государственный университет
FINITE ELEMENT IMPLEMENTATION OF MATHEMATICAL MODELS OF ELASTIC-PLASTIC FORMING BENDS WITH STRETCHING HARD PUNCHES
V.V. Korzunina, Z.A. Shabiinina
This paper proposes an iterative finite element method for solving the problem of elastic-plastic forming curved stretch over the hard punch with the deformation features of the work piece
Key words: finite element method, the increment of effort elastic-plastic stiffness matrix
