Конечно-автоматное моделирование инвестиционных процессов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 330.4

О.Р. Козырев1, Т.Д. Морозовская1, С.Ю. Обыденнова1, Р.В. Шамин2, 3, А.Г. Шмелева2,3, М.В. Шермадини3

КОНЕЧНО-АВТОМАТНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ИНВЕСТИЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ

Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева1 МИРЭА - Российский технологический университет2 Российский университет дружбы народов3

Статья посвящена построению формальных математических моделей для некоторых инвестиционных процессов на основании конечных автоматов. Представлены понятия теории конечных автоматов, позволяющие моделировать динамику дохода предприятия при отсутствии и наличии инвестирования. Показано, что использование конечных автоматов позволяет адекватно моделировать процессы инвестиций, производить оценку и устанавливать связи между финансированием предприятия и доходом. Представлены результаты решения модельных задач, сформулирована экономико-математическая модель на основе конечных автоматов, учитывающая эффекты «памяти» для оценки эффективности инвестиций. Предложенная конечно-автоматная модель может быть использована для количественной оценки эффективности инвестиций и определения максимальной эффективности инвестиций.

Ключевые слова: конечный автомат, инвестиции, динамика доходов предприятия.

Введение

Математические модели в экономике на основе конечных автоматов рассматривались в ряде работ, например, [1]. Модели позволяют установить связь между входом (финансированием) и выходом (доходом) предприятия. Классические производственные функции описывают мгновенную связь между факторами производства и объемами выпуска продукции. Соответственно, при фиксированной производственной функции и одинаковых факторах производства объем выпускаемой продукции предполагается как постоянная величина. В действительности, однако, это не всегда верно. Как правило, с течением времени прибыль фиксированного предприятия при постоянном объеме финансирования будет снижаться [2]. Это связано с тем, что при отсутствии инвестиций снижается конкурентоспособность продукции. Поэтому возникает необходимость в математических моделях, обладающих «памятью». Адекватным математическим аппаратом для описания эффекта памяти предприятий являются конечные автоматы.

В статье рассматривается математическая модель финансирования предприятий с учетом процессов инвестирования. Именно инвестиции в предприятие позволяют не только не снижать конкурентоспособность выпускаемой продукции, но и повышать ее, что должно привести к увеличению суммарной отдачи от предприятия.

Конечно-автоматное моделирование

Конечным автоматом называется модель вычислений, в которой входная последовательность символов преобразуется в выходную последовательность символов в зависимости от внутреннего состояния автомата, которое также меняется в каждый момент времени. Конечные автоматы позволяют моделировать вычислительные процессы с памятью, поэтому они являются удобным инструментом для моделирования динамических процессов в экономике. Теории конечных автоматов посвящено большое количество работ [3, 4].

© Козырев О.Р., Морозовская Т.Д., Обыденнова С.Ю., Шамин Р.В., Шмелева А.Г., Шермадини М.В., 2019.

Обозначим через А конечное множество входных символов, через В - конечное множество выходных символов (результаты работы автомата), через Q - конечное множество внутренних состояний автомата. Во множестве Q выделим начальное состояние, которое обозначим через qo е Q.

Конечный автомат работает в дискретные моменты времени, которые будем отмечать натуральными числами. Последовательность входных символов (в моменты времени I = 1, 2, ...) будем обозначать следующим образом а(1), а(2), ..., а(к), ....

Выходная последовательность обозначается ¿(1), Ь(2), ..., Ь(к), ....

Внутренние состояния, начиная с момента времени I = 0, обозначим q(0), q(1), q(2), ..., q(k), .... Причем q(0) = qo.

Выходная последовательность и последовательность внутренних состояний задаются с помощью следующих рекуррентных уравнений:

Ь(к + 1) = Ха(к), q(k)), (1)

q(k + 1) = g(а(k), q(k)), (2)

где k = 1, 2,..

Сделаем важное замечание. При моделировании экономических процессов с помощью конечных автоматов в качестве множеств А, В, Q рассматриваются действительные числа или векторы из чисел. В этом случае указанные множества не будут конечными. Однако в реальных экономических задачах всегда можно рассматривать только конечный набор чисел, поэтому допустимо применять методы теории конечных автоматов.

Динамическая модель предприятия без инвестирования

Оценку динамики дохода предприятия будем рассматривать в дискретные моменты времени. Единицей отсчета времени может являться год, квартал, месяц и т. д. в зависимости от специфики предприятия. Введем шкалу времени tk = k, k = 1, 2, ....

Через а(К) обозначим финансирование предприятия для выпуска определенной продукции. Предположим, что это финансирование полностью расходуется на производство продукции, исключая инвестиции и научно-конструкторские работы.

В каждый момент времени будем считать, что предприятие находится в определенном состоянии, которое оценивается с помощью числа и обозначается q(k), k = 1, 2, ....

В качестве результата деятельности предприятия оценивается доход, который обозначим через Ь^).

Основная идея конечного автомата состоит в том, что результат деятельности предприятия зависит не только от финансирования, но и от текущего состояния предприятия, которое также меняется на каждом шаге. Рассмотрим следующие рекуррентные уравнения, описывающие динамику нашей модели:

щ + 1) = /№), 4^)), (3)

q(k + 1) = g(a(k), 4^)). (4)

В простейшем случае можно использовать линейные функции / g:

Ь(и + 1) = М-а^)^), (5)

q(k + 1) = а^), (б)

где М > 0 представляет собой масштабный коэффициент, а константа а > 0 выражает динамику внутреннего состояния. При отсутствии инвестиций имеет место а < 1. Если а < 1, то состояние рассматриваемого предприятия ухудшается на каждом шаге, что соответствует снижению конкурентоспособности при отсутствии инвестиций.

На рис. 1 приведен характерный график дохода предприятия при следующих параметрах: М = 1, q(0) = 1, а = 0.9, а(К) = 10.

х.

Рис. 1. Динамика дохода предприятия без процессов инвестирования

Из рис. 1 видно, что в рассматриваемом случае результативность предприятия падает с экспоненциальной скоростью, и в течение 20 временных периодов наблюдается снижение результативности в 10 раз.

Динамические процессы инвестирования

Рассмотрим теперь математическую модель на основе конечных автоматов, в которой финансирование предприятия будет включать в себя также и финансирование инвестиций. В этом случае в качестве финансирования рассматривается не одна величина, а двумерный вектор:

Л(к) = (а0(к), а\к)), к = 1, 2, ..., (7)

где а0(к) выражает финансирование предприятия без учета инвестирования в момент времени к, а а1(к) означает объем инвестиций в предприятие в момент времени к.

В этом случае реакция предприятия на входной вектор а(к) будет описываться конечным автоматом, который определяется следующими рекуррентными уравнениями:

Ь(к + 1) = М а°(к) ^(к), (8)

д(к + 1) = а д(к), если а1(к) = 0, (9)

д(к + 1) = Р(а1(к)) ?(к), если а1(к) > 0, (1°)

где Р(х) > 1 - функция, выражающая улучшение состояния предприятия при инвестировании в объеме х.

Рассмотрим пример моделирования на основании представленного автомата. Пусть д(0) = 1, а = 0.98, М = 1, Р(х) = 1 + 0.1х. В качестве финансирования будем использовать последовательности:

а°(к) = 10, к = 1, 2, ..., 20; а1(к) = 0, к = 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19; а1(к) = 1, к = 5, 10, 15.

Результат численного моделирования с учетом представленных характеристик автомата приведен на рис. 2.

Рис. 2. Динамика дохода предприятия при наличии инвестирования

На рис. 2 видно, что результативность предприятия резко увеличивается после инвестирования. Разумеется, приведенный расчет является только модельным. В реальных ситуациях необходимо использовать более точные функции перехода в конечном автомате.

Оценка эффективности инвестиций

При моделировании процессов инноваций необходимо учитывать не только получаемый доход предприятия, но и расходы, которые включают в себя суммы инвестиций. Для этого введем в рассмотрение функцию прибыли предприятия:

Т = (¿(1) - а0(1) - а^1)) + (¿(2) - а0(2) - ^(2)) + ... + (Ь(К) - а°(К) - а1(К)), (11)

где К - количество отсчетов времени, в которые оценивается деятельность предприятия.

Для оценки эффективности инвестиций рассмотрим величину:

А = Т - Т0, (12)

где Т рассчитывается по следующей формуле:

Т0 = (Ь(1) - а0(1)) + (Ь(2) - а0(2)) + ... + (Ь(К) - ао(К)). (13)

Здесь предполагаем, что величины Ь(к) в формуле для Т0 являются результатом работы конечного автомата, где а1^) = 0.

Если величина А > 0, то инвестиции в предприятие оказываются оправданными на рассматриваемом временном интервале. Если же А < 0, то инвестиции будут неоправданными.

Оптимизационная задача

Используя методы конечных автоматов для оценки эффективности инвестиций предприятий, можно рассматривать оптимизационную задачу распределения инвестиций. Использование экономико-математических моделей на основе конечных автоматов позволяет учитывать эффекты «памяти» для оценки отдачи от инвестиций для предприятий.

Величина А, которая указывает на общую эффективность инвестиций на рассматриваемом временном интервале, зависит от последовательности Л1 = (а1(1), а1(2), ..., а1(К)).

Таким образом, получаем, что А = А(^1), и можно сформулировать оптимизационную задачу следующим образом:

Д* = тах(Д(^1) : Л1 е Ж] = Д^1*)), (14)

где W - это множество, задающее допустимые последовательности инвестиций. При этом величина Д представляет собой максимальную эффективность инвестиций, а последовательность A1 указывает на последовательность инвестиций, которая реализует максимальную эффективность.

Заметим, что указанный максимум всегда существует, поскольку в экономико-математических моделях используются конечные множества и, соответственно, множество W также будет конечным. Вопрос о том, каким образом строится множество W, может быть довольно сложным, поскольку при его определении необходимо использовать различные внутренние ограничения, связанные с устройством предприятия и его финансирования.

Заключение

В статье рассматриваются математические модели на основе конечных автоматов для моделирования связи между финансированием предприятия и доходом предприятия. Использование конечных автоматов позволяет учитывать эффекты памяти при финансировании предприятий. С помощью предложенных моделей рассматриваются динамические процессы инвестирования.

Показано, что с помощью моделей на основе конечных автоматов можно количественно оценивать эффективность инвестиций в рассматриваемое предприятие. На основании этой оценки сформулирована общая оптимизационная модель, которая показывает потенциальную эффективность инвестиций.

Представленные результаты получены при финансовой поддержке гранта РФФИ № 16-06-00300-а.

Библиографический список

1. Silva, J.M. Finite State Machine Modelling of the Macro-Economy/ J.M. Silva, J.A. Pereira // Journal of Advanced Management Science. - 2017. - Vol. 5, № 5. - P. 333-337.

2. Shamin, R.V. The Mathematical Model of the Law on the Correlation of Unique Competencies with the Emergence of New Consumer Markets / R.V. Shamin, A.A. Chursin, L.A. Fedorova // European Research Studies Journal. - 2017. - Vol. 20, iss. 3, pt. A. - P. 39-56.

3. Gill, A. Introduction to the Theory of Finite-state Machines / A. Gill. - New York: McGraw-Hill, 1962.

- 270 p.

4. Ginsburg, S. An Introduction to Mathematical Machine Theory. / S. Ginsburg. - Addison-Wesley, 1962.

- 157 p.

Дата поступления в редакцию: 30.11.2018

O.R. Kozyrev1, T.D. Morozovskaya1, S.Yu. Obydennova1, R.V. Shamin2 3, A.G. Shmeleva23, M.V. Shermadini3

INNOVATION EFFECTIVENESS QUANTITATIVE ASSESSMENT

Nizhny Novgorod state technical university n.a. R.E. Alekseev1 MIREA - Russian technological university2, Peoples' friendship university of Russia3

Purpose: Finite state machine theory usage in investment processes mathematical modeling is considered. Design/methodology/approach: Investments analysis is provided on the finite state machine model basis. Findings: It is shown that on top of finite state machines theory it is possible to model enterprises investment processes. Research limitations/implications: The proposed approach allows assess the connection between enterprise financing and income.

Originality/value: The model, considered in the article, can be used for quantitative investment effectiveness assessment and investment effectiveness maximum assessment.

Key words: finite state machine, investments, enterprise income dynamics.