CC BY
1ВЕСТНИК ОШСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА МАТЕМАТИКА, ФИЗИКА, ТЕХНИКА. 2023, №1
УДК 517.928.2
https://doi.org/10.52754/16948645 2023 1 24
КОНЕЧНАЯ СКОРОСТЬ И ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЛОКАЛИЗАЦИЯ В КРОСС ДИФФУЗИОННЫХ СИСТЕМАХ НЕДИВЕРГЕНТНОГО ВИДА С
ПЕРЕМЕННОЙ ПЛОТНОСТЬЮ
АриповМирсаид Мирсиддицович, д.ф.-м.н., профессор,
mirsaidaripov@mail.ru Хожимуродова Мадина Бахромовна,PhD, madinakhojimurodova@gmail.com Национальный университет Узбекистана, Ташкент, Узбекистан
Аннотация. Исследована задача Коши для кросс диффузионной параболической системы уравнений не дивергентного вида с переменной плотностью и поглощением, зависящим от времени. В работе путем построения решение типа Зельдовича-Баренблатта для системы установлены нелинейные эффекты конечной скорости и пространственной локализации распространение тепла. Используются метод регуляризации и методика верхнего-нижнего решения, чтобы показать локальное существование решения для нелинейного вырождающегося параболического системы. Обсуждается существование глобального решения, установлены blow-up свойство решения. Доказано локальное существование и единственность классического решения.
Ключевые слова: Задача Коши, кросс-диффузия, переменной плотность, конечной скорость, поглощение, локальное существование, глобальное решение, blow-up свойство
FINITE VELOCITY AND SPACE LOCALIZATION IN NON- DIVERGENT CROSS-DIFFUSION SYSTEMS WITH VARIABLE DENSITY
Aripov Mirsaid Mirsiddikovich, Dr Sc, professor, mirsaidaripov@mail.ru Khojimurodova Madina Bakhromovna, PhD, madinakhojimurodova@gmail.com National University of Uzbekistan Tashkent, Uzbekistan
Abstract. The Cauchy problem for a cross-diffusion parabolic system of non-divergent equations with variable density and time-dependent absorption is investigated.
In this paper, by constructing a solution of the Zeldovich-Barenblatt type for the system, nonlinear effects of finite velocity and space localization of heat conductivity are established. The regularization method and the upper-lower solution technique are used to show the local existence of a solution for a nonlinear degenerate parabolic system. The existence of a global solution is discussed, the blow-up property of the solution is established. The local existence and uniqueness of the classical solution is proved.
Key words: Cauchy problem, cross-diffusion, variable density, finite velocity, absorption, local existence, global solution, blow-up property.
Рассмотрим в области Q = {(t, x) : t > 0, x e Rn} следующую задачу Коши для кросс диффузионной параболической системы уравнений не дивергентного вида с переменной плотностью и поглощением, зависящим от времени
U V-'v(|rfV-\ик\\и)-n(t)u, и-v(|-^wkvvJ-ftOv, (1)
и \t__о = Uo (*) > a v |i=o = Vo (*) > a V* e rN (2)
где m — 1, ai > 0, i = 1,k > 1, p > 2,0 < y; (t) e C(0, да), n > p - положительные вещественные числа, n Ф —2, u = u (t, X) > 0, v = v (t, x) > 0 - искомые решения.
Нелинейные уравнения и системы уравнений в не дивергентной форме часто используются для описания различных физических явлений, таких, как процесс диффузии для биологических видов, резистивный диффузионных явлений в бес силовых магнитных полей, кривая потока укорочения, распространение инфекционных заболеваний и так далее, см. [1] - [6].
В работе [1] изучается нелинейные вырождающиеся параболическая система ut = v711 + au), vt = u72 (v„ + bv) с граничными условиями Дирихле. Используются метод
регуляризации и методика верхнего-нижнего решения, чтобы показать локальное существование решения для нелинейного вырождающегося параболического системы. Обсуждается существование глобального решения, установлены blow-up свойство решения.
Исследовано положительные решения вырожденных квазилинейных параболических систем не дивергентной форме
uit = f (ui+i )(Au + au), x t > 0, i = IV^ n—1,
unt = fn (u1 )(Aun + anun ) , X t > 0
с однородной граничным условием Дирихле и положительным начальным условием в работе [2]. Доказано локальное существование и единственность классического решения. Показано, что когда min{ax,...,an} <\ (где \ является первое собственное значение — А в
Q с однородным граничным условием Дирихле), то существует глобальное положительное классическое решение и все он не имеют свойство blow-up.
В работе [3] исследовано асимптотическое поведение автомодельных решений параболической системы не дивергентного вида
= u,7v(|vu,r—2Vu, ) — и» (, = 1,2)
Построены асимптотические представления автомодельных решений нелинейных в зависимости от значения входящих в систему числовых параметров, найдены необходимые и достаточные признаки их существования.
Свойства конечной скорости распространения возмущения (КСРВ) и асимптотика автомодельных решений для дивергентных систем рассмотрены в работах [3-6]. В настоящей работе путем построения решение типа Зельдовича-Баренблатта для системы (1) установлены нелинейные эффекты конечной скорости и пространственной локализации распространение тепла. Получены функции 7 (t), i = 1,2 при котором происходит
пространственная локализация распространение возмущения. Ниже построена автомодельная система, найдено её точное решение, проведён качественный анализ решение автомодельной системы. Автомодельная система относительно f(£,), ^(2,) для (1)
строится следующим образом оценки обобщённого решения и фронта для задачи (1),(2). Найдены условия на числовые параметры системы характеризующие нелинейную среду и
u(t,x) = u(t)w(т,ф|x|), v(t,x) = v(t)^(l,ф|x|) (3)
Тогда система (1) превращается в систему
— = у(| -1 УмГУм),
ду
дт \ 1 ' дт
г г
т(1) = | м(у)]а + Г (р-2)+т1 -1 с1у = | [v (у)]"2 +к (р-2)+-1 ф
w(t) = ехр(-|у1(у)ёу), у(0 = ехр(-|у2(у)ёуХ
о о
Используя алгоритм нелинейного расщепления [4] полагая
w(т,х) = (Т+т)-а1(т^т),ф|х|), у(т,х) = (Т+т)-а20(т1(т),ф|х|),
2(т1, ф|X) = Щ), 0(т1, ф|х|) = уД), £ = ф(х|)Т1-1/р,
(Т + т)1-а1к(Р-2)+т1+п1-1)
Tl(t) = ( + / ОЛ--, 1 -"1к(р -2) + т1 + П1 -1 Ф 0,Т > 0
1 - а1к(р - 2) + т1 + п1 -1)
Система (4) при выполнение условия п2т1 - а1т1 + к (р - 2) = а2т1 - а1т1 + к (р - 2)
превращается в автомодельную систему уравнений
п1
2 й£
(
т1-1
■Р п^в-1 й Х1 £ ЛИ
V (
т2-1
й£,
р-2 Л
й£
'-2 > й£,
а,
+ _£ +- / \
р й£ а2т1 +а1к (р - 2) + п1 -1
й£
й£
1
+ -£—2 +
а
р й£ а1т2 +а2 (р-2) + п2 -1
^ = 0,
f2 = 0,
где где £ - автомодельная переменная, 8 = рК (р- п), п < р ,
Введем функции
и + (1, х) = й(t)(T+ т)-аз (а - £р/(р-1) )р , У+ (1, X) = ^)(Т+ т)-а (а - £р/(р-) £, а > 0
р =
-р-1--1 = 1,2, £=ф(| X )т11/р, ф(| х| ) = [(р - п)/р]|
2) + т1 + "1 1
к(р-
|р/(р -п)
хГ" \р-пФ0
(Т+ т)1-аз(к(р-2)+т1 +а1-1)
Т© = ( л\ ^-7Т,1 -аз(к(р- 2) + т1 + а1 -1)
1 -а3(к(р- 2) + т1+а1 -1)
В работе в частности доказана следующая теорема Теорема. Пусть выполнены условия
а + к(р- 2) + т- -1 > 0,1 = 1,2, т^(да) < да, р > п
N
и0(х) < и + (0, х), х е Я
Тогда для решения задачи (1), (2) имеет место оценка
и(^х) < и + (t, х), v(t, х) < v+ (:,х) в О
а для фронта (свободной границы) справедлива оценка |х| < [р/ (р - п)]а(р- 1)/р(т1(1))1/(р-п) и
решение задачи (1), (2) пространственно локализовано.
Замечание. Из оценки решения, полученной в теореме вытекает, что поскольку и(;, х) < и+ (^ х), х) < v+ (t, х) в О, то решение задачи (1), (2) обладает свойством
и&х) = 0,v(t,x) = 0при|х > [р/ (р - п)]а(р-1)/р(т1 (1))1/(р-п) и т1(1) > 0, v! > 0
что означает конечную скорость распространения возмущений [1-3].
Основной сложностью при численном решение рассмотренной задачи является не единственности решения задачи (1) -(2). Поэтому весьма важно при численных расчетах выбор подходящих начальных приближений в зависимости от значения числовых параметров системы. Так как мы располагаем оценкой решения, её можно использовать в сочетание с принципом сравнение решения для проведения вычислительного эксперимента для достаточно широкого класса данных, используя найденное решение в качестве начального приближения. Также можно анализировать оценку погрешности численного расчета сопоставляя её с точными данными.
Литература
1. Samarskii, A.A. Blow-Up in Quasilinear Parabolic Equations. Berlin [Text] / A.A. Samarskii, V.A. Galaktionov, S.P. Kurdyumov, A.P. Mikhailov // 4(1995), Walter de Grueter, 535. http://dx.doi.org/10.1515/9783110889864
2. Zhi-wen Duan, Li Zhou. Global and Blow-Up Solutions for Nonlinear Degenerate Parabolic Systems with Crosswise-Diffusion [Text] / Zhi-wen Duan, Li Zhou. // Journal of Mathematical Analysis and Applications. - 244(2000). - P. 263--278.
3. Арипов, М. К асимптотическому поведению решений нелинейных параболических систем уравнений недивергентного вида. Вестник КазНУ [Text] / M. Арипов, А С. Матякубов //, №3(86), 2015, с. 275-282.
4. Aripov, M. Method of the Standard Equation for the Solution of the Nonlinear Value Problem [Text] / M. Aripov // Fan, Tashkent, 1988, 137 p.
5. Aripov, M. Computer modeling of nonlinear processes of diffusion [Text] / M. Aripov, Sh.A. Sadullaeva // Tashkent, "University" 2020, 687 pp.
6. Aripov, M., An asymptotic analysis of a self-similar solution for the double nonlinear reaction-diffusion system [Text] / M. Aripov, Sh.A. Sadullaeva // J. Nanosystems: physics, chemistry, mathematics, 2015, 6 (6), p. 1-10. (ISSN 1997-1397)
